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2.3《函数的单调性和最值》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是偶函数，又在上是单调减函数的是( )
A. B. C. D.
4.下列函数中为偶函数且在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则( )
A. B.
C. D.
6.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则下列说法正确的是
A. 是偶函数 B. 的图象恒在轴上方
C. 的图象经过原点 D. 是上的减函数
8.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.下列命题正确的是( )
A. 定义在上的函数，若存在时，有，那么在上为增函数
B. 定义在上的函数，若有无穷多对，使得时，有，那么在上为增函数
C. 若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在上也一定为增函数
D. 若在区间上为增函数，且，，那么
11.函数的单调减区间是( )
A. B. C. D.
12.下列函数中，在区间上是减函数的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.求函数的单调增区间为 ．
14.满足下列三个性质的一个函数 ．
若，则
在上单调递减．
15.正实数满足，当取得最大值时，的最大值为 ．
16.函数的单调递减区间为 ．
17.已知是定义在上的增函数，若，则的取值范围是 ．
18.已知为奇函数，则的单调递增区间为_______．
三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性；
根据定义证明函数在区间上单调递增．
求函数在区间上最大值和最小值．
20.本小题分
已知函数．
判断函数的单调性，并用单调性的定义加以证明；
若函数的最小值是最大值的倍，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
因为在上单调递增，
根据反比例函数的单调性及函数图象的平移变换可得，
则是函数在上单调递增的必要不充分条件．
故选：．
结合基本初等函数单调性求出的范围，即可判断充分必要性．
本题主要考查了由函数单调性求解参数范围，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性的判断，属于基础题．
根据函数的单调性，确定各个函数的单调区间，选出正确选项，得到本题结论．
【解答】
解：选项A，在上单调递增，
在区间上为增函数，符合条件．
选项B，在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，不满足条件；
选项C，在上单调递减，则在区间上为减函数，不满足条件；
选项D，在上单调递减，不满足条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性和奇偶性，同时考查基本初等函数的 性质，根据函数单调性和奇偶性，逐一判断即可得出结论．
【解答】
解：函数 为偶函数，在上单调递减，符合题意；
函数 为非奇非偶函数，不符合题意；
函数 为非奇非偶函数，不符合题意；
函数为奇函数，不符合题意；
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
运用常见函数的奇偶性和单调性，即可得结果．
【解答】
解：对于，定义域为，满足，函数为奇函数，不合题意；
对于，定义域为，，偶函数，且在上为增函数，符合题意；
对于，，定义域为，但是为周期函数，不是在的增函数，不合题意；
对于，不具有奇偶性，不合题意．
故选B
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，指数函数和对数函数的性质，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题．
根据，，结合的奇偶和单调性即可判断．
【解答】
解：是定义域为的偶函数，
，
，，
，
又在上单调递减，
在上单调递增，
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解决参数问题，属于基础题．
根据二次函数的对称性和单调性可得答案．
【解答】
解：函数的图象的对称轴为，图象开口向上，
因为函数在区间上单调递减，
所以，解得，
所以的取值范围为．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了幂函数性质的应用，属于较易题目．
根据函数定义域可判断，，D错误，结合幂函数性质即可判断．
【解答】
解：，的定义域为，
因此，，D错误；
又，所以的图象恒在轴上方，B正确，
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数及函数的单调性，属于基础题．
首先判断出在上的单调性，然后可求．
【解答】
解：因为在上单调递减，所以在上单调递减，
所以，解得，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：是偶函数，故A错误；
B.函数为奇函数，且在区间上单调递增，故B正确；
C.正弦函数在上没有单调性，故C错误；
D.函数的图象不关于原点对称，不是奇函数，故D错误．
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查判断或证明函数的单调性，属于基础题．
利用举例说明即可判断，对于，运用增函数的定义，即可判断．
【解答】
解：对于，比如函数，
若，则，但函数在不为增函数，故A错误；
对于，比如函数，
在上有无穷多对，，使得时，有，但函数在不为增函数，故B错误；
对于，比如函数在区间和上均为递增函数，
但在上不是递增函数，
比如，，则，故C错误；
对于，若在区间上为增函数，且，，
由增函数的定义可得，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调区间，分段函数的单调性，属于基础题．
首先写成分段函数形式然后分类讨论即可．
【解答】
解：
当时，为增函数，
当时，是函数的增区间；是函数的减区间．
所以，函数的单调减区间是，
故选A．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查判断函数的单调性，属于基础题．
逐项判断函数的单调性即可得出答案．
【解答】
解：对于，在区间上是增函数，故A错误；
对于，在区间上是减函数，故B正确；
对于，在上单调递增，故C错误；
对于，在区间上是增函数，故D错误；
故选：．
13.【答案】和
【解析】【分析】
本题考查求函数的单调区间，分段函数的图象，属于基础题．
将绝对值符号去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可．
【解答】
解：，画出函数图象如图所示
结合图象得函数的单调递增区间为和．
故答案为：和．
14.【答案】答案不唯一
【解析】令，，，
所以满足若，则
，
即成立．
又在上单调递减，
所以符合题意．
15.【答案】
【解析】解：正实数满足，可得，，
由，当且仅当时等号成立，
即时，取到最大值，且，
，
当时，取到最大值为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：令，求得或，故函数的定义域为或，
由求函数的单调递减区间，由复合函数的单调性可知
即求函数在定义域内的增区间，
结合函数性质可得在定义域或内的增区间为，
故函数的单调递减区间为，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】
在上的增函数，说明为定义域，且函数值小对应自变量也小，列出不等式组解之即可．
【解答】
解：依题意，
原不等式等价于．
故答案为．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．
根据是奇函数求出，然后再求的单调增区间即可．
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
解得，
所以为二次函数，对称轴为，
所以其单调增区间为．
故答案为．
19.【答案】解：根据题意，函数，
因为函数的定义域为，
且，
所以函数为奇函数．
根据题意，设，
因为
因为，所以，，所以，即，也就是
所以函数在上单调递增．
因为函数在上为增函数，
所以在上为增函数．
所以：函数最小值为：；最大值为：．
【解析】用函数奇偶性的定义进行判断；
用单调性定义证明；
结合单调性求最大、最小值．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题．
20.【答案】解：在上为增函数，
下面证明：
设，
则
，
因为，，
所以，
即，
所以单调递增
由知，的最小值为，最大值为，
所以由已知，
即，
解得．
【解析】本题考查函数的单调性与最值．
利用定义求解即可
由单调性，得最值即可求解．

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