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3.3《指数函数》课堂训练
一、单选题：本题共16小题，每小题5分，共80分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数
C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
6.对，不等式恒成立，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知函数，若存在实数、、使得且成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
9.当时，函数与的图象是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则使成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.当，且时，函数与图象的交点个数为( )
A. B. C. D.
12.以下命题：
存在正数，使得；
幂函数图象与坐标轴无公共点的充要条件是；
函数的对称中心为．
其中，真命题的个数为
A. B. C. D.
13.已知，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
14.已知函数，则下列结论：
函数在上为增函数；函数过定点；
函数为偶函数；当时，函数的最小值是．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
15.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
16.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
17.已知，，，则( )
A. B. C. D.
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知是定义在上的奇函数，且当时，．
求函数的解析式
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
函数的定义域为集合，函数的值域为集合．
求；
若，且，求实数的取值范围．
20.本小题分
化简求值：
；
已知，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数及其性质，属于基础题．
由已知得，即函数为奇函数，由函数为增函数，为减函数，结合“增”“减”“增”，可得答案．
【解答】
解：函数的定义域为，，
，
即函数为奇函数，
又由函数为增函数，为减函数，
故函数为增函数．
故选A．
2.【答案】
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查指对不等式的解法及集合的交集，并集运算，属于基础题，
先求得集合，，即可得出结果．
【解答】
解：集合，
，
故，．
故选B．
3.【答案】
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查指对不等式的解法及集合的交集，并集运算，属于基础题，
先求得集合，，然后利用即可得出结果．
【解答】
解：集合，
，
故，．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数和对数函数的性质，同时考查集合的运算，属于基础题．
求出，，利用指数函数和对数函数的性质，同时考查集合的运算即可求解．
【解答】
解： 由，
得，
即，
由，
解得，
即
所以
则．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：由于在上单调递增，由，可得．
对于，要使 成立，则，
设，，则恒成立，
即恒成立，但是时，，故A错误；
对于，由于，则有当时，，
所以在上单调递增
又，可得，所以，故B错误；
对于，由于，则，
故在上单调递减，
又，，可得，
可得，
又，则有，故C正确
对于，由于，则有，
当时，，所以在上单调递增
当时，，所以在上单调递减
由于在上不单调，
所以无法判断与的大小，亦无法判断与的大小，故D错误；
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指对数不等式的恒成立问题，属较难题．
由题意可得，分，和两种情况，讨论不等式恒成立条件即可得解．
【解答】
解：由题意可知．
原不等式转化为，
时，，
当，时，，
当时，，
当时，；当时，，
故不存在、使得恒成立；
当时，因为，所以，因此，
因为，，
当时，；当时，，
当时，；当时，，
所以当时，，即，则．
综上所述，．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：因为函数，且存在实数、、使得，
则，等式两边同除以可得，
所以，，故，，
由基本不等式可得，整理可得，
当且仅当时，等号成立，
由可得，
则，等式两边同时除以可得，
则，故，可得，
所以，，故，
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，故故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是函数图象的应用，利用对数函数的性质和指数函数的性质解答此题，
【解答】
解：函数与可化为函数，其底数大于，是增函数，
又，当时是减函数，
故选C．
10.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，关于原点对称，
又因为，所以是偶函数，
当时，，则在上单调递增，
由，得，解得．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：
消去得
，
设，，且，
因为，且，所以，，所以为减函数，
又，从而是的唯一解，
此时，，
故两个函数的图像有唯一交点．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是命题的真假判断，对数式的化简，指数函数与对数函数的单调性，正弦型函数的对称中心，幂函数的图像与性质，属于中档题．
利用特殊值即可判断，利用幂函数的图像与性质即可判断，利用指数与对数函数的单调性即可判断，利用正弦型函数的对称性即可判断．
【解答】
解：对于，存在，则，，满足，正确；
对于，当时，，与坐标轴无公共点，故原命题不成立，错误；
对于，，则，故，正确；
对于，令，则，故函数的对称中心为，错误．
故选C．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对数式与指数式的大小比较．
利用指数函数和对数函数的性质求解即可．
【解答】
解：由题意，可知
，
，但是，
即，
．
．
故选：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的单调性与最值、判断或证明函数的奇偶性以及指数函数图象过定点问题，属于中档题．
判断函数的单调性可判断；利用指数函数所过的定点代入即可判断；利用奇偶性的定义即可判断；判断函数的单调性即可判断．
【解答】
解：对于，当时，函数单调递增，函数单调递减，所以在上为增函数，
当时，函数单调递减，函数单调递增，所以在上为减函数，
错误；
对于，当时，，即函数过定点，正确；
对于，由函数可得，解得，
故函数的定义域是，关于原点对称，
因为，，
所以，即原函数为偶函数，正确；
对于，当时，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，取得最小值，正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性．
判断每个函数在上的单调性即可．
【解答】
解：在上单调递增，
和在上都单调递减．
故选A．
16.【答案】
【解析】解：由，，
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指对数比较大小，属于基础题．
利用“，”分段法比较出三者的大小关系．
【解答】
解：因为单调递减，所以，
因为单调递增，
所以，
因为单调递增，所以，
故，即 A正确，C错误；则，所以 B正确；
则，所以 D正确．
故选：．
18.【答案】解：当时，，
则当时，，所以，
又是奇函数，，故，
当时，，
故函数
由，可得．
是奇函数，．
又是减函数，所以对恒成立．
令，则，
对恒成立．
方法一：令， ，
因为二次函数开口向上，所以为，中较大的值，
，解得．
实数的取值范围为．
方法二分离参数法对恒成立．
记，函数在区间上单调递减，
所以 ，
实数的取值范围为．
【解析】本题考查函数的奇偶性及函数解析式的求解，同时考查不等式恒成立问题及二次函数，属于较难题．
当时，，再由，求解当时，，故可得答案；
由已知可得恒成立，令，，则，即对恒成立．
方法一：利用二次函数性质可得，解出即可；
方法二：分离参数可得对恒成立，记，由函数的单调性即可求出答案．
19.【答案】解：，
或，
，
，
，
，
，
；
当时，即时，，满足条件，
当即时，，且，
解得，
综上所述，实数的取值范围，
即实数的取值范围为
【解析】本题考查集合的交集和补集运算及函数的定义域与值域，同时考查指对数函数的性质及集合关系中参数取值问题，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
分别求出集合，，结合集合的补集及交集的定义，可得答案；
分为空集和不为空集两种情况，可求出满足条件的实数的取值范围．
20.【答案】解：；
，
所以．
【解析】本题主要考查了指数，对数的运算性质，考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
利用指数，对数的运算性质即可求解；
利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．

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