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4.2《对数的运算》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.假定风力等级与风速的关系满足方程：其中为风速，单位：，为风力等级，年月日，河北省气象部门发布大风预警，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为注：
A. 级 B. 级 C. 级 D. 级
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历( )
A. B. C. D.
5.计算的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. B. C. D.
7.数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
10.若，，则( )
A. B. C. D.
11.已知，，则用，表示为( )
A. B. C. D.
12.若 ， ，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.若，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
14.某位养鱼爱好者定期给鱼缸的水质进行过滤，水中的杂质残留量与过滤时间单位：小时的关系满足，其中：是初始残留量，为常数过滤个小时后，水中的杂质残留量为原来的，过滤个小时后，水中的杂质残留量为原来的，则下列说法正确的是参考数据：( )
A.
B. 过滤个小时后，水中的杂质残留量为原来的；
C. 过滤个小时后，水中的杂质残留量为原来的；
D. 若水中的杂质残留量不超过原来的，则至少需要过滤小时
15.设，记曲线与直线，，轴所围成的封闭区域的面积为，数学家牛顿研究发现：，，则
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
16.计算： ．
17.某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业年月投入该新产品的研发经费为万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加，记年月为第个月，第个月该企业投入该新产品的研发经费不低于万元，则的最小值是 参考数据：，
18.计算：__________．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，．
求的通项公式
设，求满足的最大整数．
20.本小题分
设为数列的前项和，已知，．
求和的值
求数列的通项公式
记表示不超过的最大整数，设，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用对数的运算性质计算求解即可．
本题主要考查了对数运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
当时，，
故．
故选：．
由已知结合对数运算性质即可求解．
本题主要考查了对数运算性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
比较与，，所以；
比较与，，所以．
综上，．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数式的化简求值，属于基础题．
根据对数的运算性质求解即可．
5.【答案】
【解析】
【解答】
解：




．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数型函数的函数值，属于基础题．
结合对数的运算，直接代入求值即可．
【解答】
解：，，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的新定义问题，主要考查了对数的运算性质，属于较难题．
由已知结合对数换底公式先进行化简，可得，设，则，然后结合已知条件从而即可求解
【解答】
解：因为，
所以，
设，则，
所以为的整数次幂，
因为，
所以，
故满足条件的，，，，，，，，，
故则区间内的所有期盼数的和为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：因为，
由于，则，令，则，于是有，
整理可得，因为，解得，即，解得．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，取，满足，但，
故不等式不一定成立；
对于，因为实数，满足，所以若，则，，
因此，
当且仅当时，等号成立，故不等式一定成立；
对于，由选项B知：当时，，故不等式不一定成立；
对于，由选项B知：当时，
，故不等式不一定成立．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对数的运算，是基础题．
根据已知条件，结合对数的运算法则，即可求解．
【解答】
解：由，
故，
故选：
11.【答案】
【解析】【提示】，，，．
12.【答案】
【解析】【分析】利用对数的运算性质直接求解即可．
【详解】因为 ， ，
所以 ．
故选D．
【点睛】本题考查对数的运算法则及性质，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：对于因为，，所以， ，因此，故A正确；
对于由选项A知：，且，，因此，即，故B错误；
对于由选项A知：，且，，因此，故C正确；
对于因为，所以，
因此，即，故D正确．
14.【答案】
【解析】解：对于，由题意可知，，两式相除得，则，故A正确；
对于，过滤个小时后，个小时后，
两式相除得，所以，
所以过滤个小时后，水中的杂质残留量为原来的，故B错误；
对于，过滤个小时后，个小时后，
两式相除得，得，故C正确；
对于，由，过滤个小时后，，得，
设经过小时后，水中的杂质残留量不超过原来的，
则，即，，
两边取对数得，即，
得，
所以至少需要小时，故D正确．
故选：．
根据函数的解析式，再代入和，即可求解，即可判断；并根据规律判断；求得后，即可求解不等式，即可判断．
本题考查了指对数的互化和函数在解决实际问题上的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：对于，，，所以，故A正确
对于，，
，，
所以，故B错误
对于，
令，，，，而，故C错误
对于，如图，设直线，分别与曲线交于，两点，与轴交于，两点，
则梯形的面积为，
由图可知，，
故D正确．
16.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：由题意可得，则，所以，
所以，所以．
因为，所以的最小值为．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对数的计算，属于基础题．
利用对数的运算法则即可得出．
【解答】
解：原式．
故答案为．
19.【答案】解：设的公比为，
因为，
所以，即，
又，所以，
又是正项等比数列，
所以，于是，
所以的通项公式为．
由知，
，
又因为，所以，则为递增数列．
且，，
所以满足的最大整数为．
【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，数列的单调性，对数式的化简，属于中档题．
根据等比数列的通项公式列出关于和的方程，求解即可得到的通项公式．
由对数式的化简得到，并判断其单调性，求得的范围，即可得到最大整数．
20.【答案】解：当时，，即，解得．
当时，，即，解得舍去．
故的值为，的值为．
由题可得，时，，
所以，整理得，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
由题可得，，
当时，，
则，
所以
当且时，不是整数，
可设，
则，
可得．
综上所述，在中，，，，，共项满足，其余项，
所以．
故数列的前项和为．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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