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4.3《对数函数》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
2.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.函数的图象经过的定点是( )
A. B. C. D.
4.下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，其中，若，，，则的范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数且，且其中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知且，且，则( )
A. B. C. D.
9.设集合，，则( )
A. B. C. D.
10.设且，函数在上是增函数，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
11.三个数的大小关系为( )
A. B.
C. D.
12.若代数式有意义，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.已知函数与相交于，两点，与相交于，两点，若，，，四点的横坐标分别为，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
14.已知集合，，则( )
A. B.
C. D. 或
15.已知函数与交于、两点，如图截取两函数在、之间部分图像得到一条封闭曲线，则( )
A. 关于直线对称
B. 若点的横坐标为，则
C. 上的点到直线距离的最大值为
D. ，是上互异的两点，分别过，作的切线，斜率记为，，若，称为的一组关联点，则的关联点有无数组
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
16.已知函数，若，则的取值范围是 ．
17.已知函数若存在实数当时，满足，则的取值范围是_________________．
18.已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知函数，且．
求的定义域
判断的奇偶性，并说明理由
若，求满足的的取值集合．
20.本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
若对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；
若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．
根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间量法求解即可．
【解答】
解：因为，所以，
因为，所以，
又，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知：函数在定义域内单调递增，
结合选项可知：ABC错误，D正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由条件可知，，所以函数的图象经过的定点是．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：对于，因为指数函数单调递减，，
所以，所以该选项错误；
对于，因为对数函数在定义域内单调递减，，
所以，所以该选项错误；
对于，因为 ，所以 ，又因为在上单调递增，所以 ，故该选项错误；
对于，因为，，，在定义域上单调递增，所以，即，
因为，，，在定义域上单调递增，所以，即，
故，故D正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为在定义域内单调递减，
则，即；
又因为在定义域内单调递增，则，即；
且在定义域内单调递增，则，即；
综上所述：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：因为，其中，若，，
不妨设，
则，即，即，
所以，即．
因为，即，
解得，又因为，所以．
则的范围为
7.【答案】
【解析】解：函数，由，且，得，
则，即，所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数型函数的函数值，属于基础题．
先利用条件求出，再代入即可求出结果．
【解答】
解：因为，且，
所以，得到，
所以，故．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．
求解一元二次方程化简，求解对数不等式化简，然后利用并集运算得答案．
【解答】
解：由，
，
得，，．
故选A．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数的图象和性质，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．
由开口向上，对称轴大于，且，可得在上是增函数，结合复合函数的单调性得到关于的不等式组求解．
【解答】
解：且，，
令，对称轴为，
，
又由题意得在上单调，
在上是增函数，
要使函数在上是增函数，
则，解得．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性比较大小，属于基础题．
根据指数函数、对数函数的性质判断即可．
【解答】
解：因为在定义域上单调递增，所以，
又在定义域上单调递增，所以，
所以．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数型函数的定义域、值域，属于基础题．
由对数的真数大于列式即可求．
【解答】
解：由题可得，解得或，
故实数的取值范围为．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的对称性，考查指数函数与对数函数的综合应用，属于较难题．
由题意得出与关于直线对称，与关于直线对称，则，再逐项进行分析．
【解答】解：因为函数是函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以关于直线对称；
函数与函数互为反函数，关于直线对称，
所以与关于直线对称，与关于直线对称，
则，
因为在函数的图象上，所以，则，
即，所以也在函数的图象上，
故，则，故A正确；
则，则，所以，故B正确；
因为，且，故，
所以，故C错误；
因为，故D正确．
故选ABD．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集，并集，补集运算，简单的对数不等式的求解，属于基础题．
首先化简集合，，再利用交集，并集，补集的定义，求解即可．
【解答】
解：，，
，故A正确，C错误；
，故B正确；
D.或，故或，故D错误．
故选AB．
15.【答案】
【解析】解：对：函数，即，
两边同时取自然对数，得，
所以函数与互为反函数，
封闭曲线由两函数在交点间的部分组成，因此关于对称，
在函数上取，
其关于的对称点为，
而点既不在函数上，也不在函数上，
故不关于直线对称，选项A错误；
对：联立两函数得
当时，左边，右边，左边右边
当时，左边，右边，左边右边
在定义域上单调递增，在定义域上单调递增，方程在内有唯一解，选项B正确；
对：当时，左边，右边，左边右边
当时，左边，右边，左边右边
所以点的横坐标，
因为封闭曲线关于对称，
所以上的点到直线距离的最大值，即为上点到直线距离的最大值，
将直线平移至与曲线相切时，切点到直线的距离即为所求的最大距离，
令，，，
则，令，得，
即切点坐标为，
点到直线的距离为，选项C正确；
对：令，，，，，
则导数为，
，
，
集合，
对于任意，可在两函数图像上找到对应的点，，
即的关联点有无数组，选项D正确．
故选：．
16.【答案】
【解析】解：根据题意画出图象，得到，
，则，
即，则，则，则．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的应用，由题意正确画出图象，利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性进行转化是解决本题的关键，属于较难题．
先画出函数的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．
【解答】
解：函数的图象如下图所示：
若满足，其中，
则，，则，
即，则，
同时，，
，关于对称，，
则，则，
则 ，
，
，．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数型函数的过定点问题，属于基础题．
令，解得，代入解析式可得，从而可得答案．
【解答】
解：令，解得，
当时，函数，
所以函数的图象恒过定点．
故答案为：．
19.【答案】解：由解得，
故函数的定义域为．
函数为偶函数理由如下：
由于函数的定义域关于原点对称，
又，
故函数为偶函数．
依题意，若，
则，
解得．
设，，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减
又在其定义域内单调递增，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减
因为，所以，
解得，所以的取值集合为
【解析】本题考查函数的奇偶性，定义域，解不等式，属于中档题．
由题得到即可求解；
推出，即可判断；
判断出函数的单调性，则可得到，即可求解．
20.【答案】解：因为，可知函数的定义域为，
若函数为偶函数，则，
即，可得，即，
此时
，
则，即函数为偶函数，
所以；
因为，即，
可得，
即对于任意实数恒成立，
因为，则，可得，
所以实数的取值范围为；
由可知：，
若存在，使得成立，
即，
整理可得，
则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
构建，可知在内存在零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，
若，可知在内单调递增，
则，解得；
若，可知在内单调递减，在内单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围为．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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