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第二章《函数》课堂训练
一、单选题：本题共13小题，每小题5分，共65分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为( )
A. B. C. D.
2.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，则在区间的值域为( )
A. B. C. D.
4.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的解析式来分析函数的图象特征，如函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则该函数在上的值域是( )
A. B. C. D.
7.设函数，满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知，函数，在上没有零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是
A. 是偶函数 B. 的图象恒在轴上方
C. 的图象经过原点 D. 是上的减函数
11.下列各组函数表示同一个函数的是( )
A. 与
B.
C.
D. 与
12.已知函数的定义域为，且满足，则( )
A. B. C. D.
13.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
14.已知，则下列结论错误的是( )
A. B. C. 是偶函数 D. 有唯一零点
15.享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．以他的名字命名的函数为“高斯函数”，也叫做取整函数，它的函数值表示不超过的最大整数．例如，，下列说法正确的是 ( )
A.
B. 若，则
C. 函数的值域是
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
16.已知函数，则满足的的取值范围是__________
17.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
18.已知函数，则 ．
19.已知函数，若，则 ．
20.已知函数则 ．
21.已知若，则实数的值是 ；若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.本小题分
已知函数满足．
求的解析式
用定义法证明在上单调递减．
23.本小题分
已知是二次函数，若，且．
求函数的解析式；
若，记函数的最小值为，求的解析式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于选项A：定义域为，不是，故A错误；
对于选项B：值域为，当取集合中元素时，集合中没有元素与之对应，故选项B错误；
对于选项C：值域为实数集，当取集合中元素为负值时，集合中没有元素与之对应，故选项C错误；
对于选项D：满足函数的定义，故选项D正确；
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，判断函数的奇偶性，属于基础题．
根据题意结合奇偶性以及函数值的符号逐项分析判断．
【解答】
解：由题意定义域为，关于原点对称，
且，
所以是偶函数，故A错误；
当时，，
此时，且，故C错误；
当时，，
此时，故 D错误，B正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
由二次函数的单调性计算即可得．
【解答】
解：，
则在上单调递减，在单调递增，
又，，，
故在区间上的值域为．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图象的确定，属于基础题．
由函数的定义域及函数值的变化趋势，结合选项即可得解．
【解答】
解：的定义域为，
当时，，故排除，，
当时，，故排除，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意得
解得且，
所以定义域为．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：，
在上单调递减，在上单调递增，
是在上的最小值，且，，
在上的值域为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，属于基础题．
由题意可得，则，，解出和即可得函数解析式．
【解答】
解：函数
，
，，
解得，或，不合题意舍去，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据题意，分别讨论以及的情况，结合零点的定义代入计算，即可得到结果．
【详解】当时，，若无解，则或；
当时，，若无解，则．
综上，实数的取值范围是．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查值域的概念，属于基础题．
直接根据题意判断，则可得，则可得，得解．
【解答】
解：根据题意，可得，则可得，
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了幂函数性质的应用，属于较易题目．
根据函数定义域可判断，，D错误，结合幂函数性质即可判断．
【解答】
解：，的定义域为，
因此，，D错误；
又，所以的图象恒在轴上方，B正确，
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】
解：对于：的定义域为，
的定义域，
不是同一函数，故A错误；
对于：的定义域为，
的定义域为或，
不是同一函数，故B错误；
对于：的定义域，
的定义域为相同，对应关系也相同，是同一函数，故C正确；
对于：，
与的对应关系不同，不是同一函数，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：当时，，
又，
故，即．
故选B．
13.【答案】
【解析】解：集合的定义域由函数确定，解得，即，
集合为，故A中满足的元素为，，
因此，对应选项A．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求法，考查函数求值，奇偶性的判断，零点问题，属于基础题．
首先利用换元法解得的解析式，然后根据定义域可判断；直接令解得可判断；由定义域不关于原点对称得C错误；再根据函数解得可判断．
【解答】
解：令，，可得，
则，
可得，
因为定义域不同，故B错误；
，故A正确；
因为函数，
定义域不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故C错误；
函数，
令，解得，故D正确．
故选BC．
15.【答案】
【解析】对于：由定义得，所以A错误； 对于：若，即，则设，， 则，，， 由同向不等式的可加性得，，所以B正确； 对于：，， 所以，所以C正确； 对于：由，得，解得， 所以该不等式的解集为，所以D正确．故选BCD．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数及不等式求解，涉及指数与对数函数性质的应用，属于基础题．
分和进行讨论，即可求解得到答案．
【解答】
解：时，则 ，解得；
时，则 ，解得．
综上可得的取值范围是．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．
由，可知，再解关于的不等式即可．
【解答】
解：因为，即，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：因为，则，故．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】解：设，，，
当时，，
，无解，不符合题意；
当时，，；
当时，，
，无解，不符合题意；
当时，，
．
故答案为．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数求函数值，考查计算能力，属于基础题．
利用即可求解．
【解答】
解：因为，
故答案为．
21.【答案】或

【解析】当时，，解得；当时，，解得或舍综上，或设，由得由，解得．
22.【答案】解：因为恒成立，所以的定义域为，
．
令，，则，
故的解析式为，
证明：任取，，
令，
则
．
因为，所以，，
从而，即，
故在上单调递减．
【解析】本题考查求解函数的解析式，函数的单调性，属于基础题．
利用换元法令，，即可求解；
根据函数单调性的定义，用作差法证明即可．
23.【答案】解：设二次函数，
，

，
又，
，


，解得
．
由知，对称轴为直线，
当，即时，的最小值；
当，即时，的最小值；
当时，的最小值．
综上，

【解析】本题考查的是函数的解析式求法，用待定系数法求解，结合二次函数的性质是解决本题的关键．
设出二次函数的解析式由可求，再由构造方程组可求、的值，利用待定系数法进行求解即可；
因为，对称轴为，所以讨论与的关系，从而判断函数在上的单调性，得到函数的最小值

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