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第七章《概率》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是( )
A. 至多一次正面向上 B. 两次正面都向上
C. 只有一次正面向上 D. 两次都没有正面向上
2.为庆祝六一儿童节，某幼儿园进行趣味游戏，游戏规则是箱子中有大小相同的个白色乒乓球和个橙色乒乓球，小朋友每次从箱子随机取出个乒乓球，确定颜色后再放回箱子，然后再取球，直到连续次取出白色乒乓球后停止取球，且最多取球次，每取球次给取球的小朋友发放个节日礼品，则小朋友获得个节日礼品的概率为( )
A. B. C. D.
3.从，，，这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
4.某学校参加社会实践活动的名教师和甲、乙、丙、丁名学生站成一排合影留念，则教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )
A. B. C. D.
6.若，，，则事件与的关系是( )
A. 事件与互斥 B. 事件与对立
C. 事件与相互独立 D. 事件与相互斥又独立
7.把标有，的两张卡片随机地分给甲、乙，把标有，的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得号纸片”与“丙得号纸片”是( )
A. 互斥但非对立事件 B. 对立事件 C. 相互独立事件 D. 以上答案都不对
8.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率先由计算机模拟产生之间的整数随机数，当出现随机数，或时表示甲获胜，出现，时表示乙获胜因为比赛采用了局胜制，所以每个随机数为一组，代表局的结果，经随机模拟产生以下组随机数：
据此估计所求概率的值为( )
A. B. C. D.
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“向上的点数为”，事件“向上的点数为”，事件“向上的点数为或”，则有( )
A. B. C. D.
10.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出粒都是黑子的概率为，从中取出粒都是白子的概率是则从中任意取出粒恰好是同一色的概率是( )
A. B. C. D.
11.从装有两个白球和两个黄球球除颜色外其他均相同的口袋中任取个球，以下给出了四组事件：
至少有个白球与至少有个黄球；
至少有个黄球与都是黄球；
恰有个白球与恰有个黄球；
至少有个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A. 组 B. 组 C. 组 D. 组
12.甲、乙两人进行投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为若第一次由甲开始投篮，则第五次是乙投篮的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，事件“两枚硬币朝上的面不同”，则( )
A. B. 与互斥 C. 与互为对立 D. 与相互独立
14.已知，，则下列说法中正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，互斥，那么
D. 如果，互斥，那么
15.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( )
A. 恰有一名男生和全是男生 B. 至少有一名男生和至少有一名女生
C. 至少有一名男生和全是男生 D. 至少有一名男生和全是女生
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
16.若事件与互斥，且，则 ．
17.从，，，中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为 ．
18.口袋中有除颜色外其他完全相同的个球，编号分别为，，，，，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，若两个编号的和为偶数则甲胜，否则乙胜这种游戏规则 填“公平”或“不公平”．
19.一袋中装有形状、大小都相同的只小球，其中有只红球，只黄球和只蓝球．若从中次随机摸出只球，则只红球和只黄球的概率为 ，只球颜色相同的概率为 ．
20.经过多年的技术积累，我国在车床加工零件方面取得长足进步某工厂加工的产品按技术指标从高到低可分为优品，良品，合格品和不合格品四个等级按以往统计数据：个零件中有件优品，件良品，件合格品和件不合格品现该工厂向某地发货件产品对方验货的规则如下：如果抽检的第一件产品是优品或良品，则接收全部产品；如果抽检的第一件产品是合格品，则再检验两件，如果都是优品或良品，则接收整批产品其余情况拒收整批产品若用频率代替概率，用随机抽样的方法采样，问本批产品被拒收的概率是__________．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
在每道单项选择题给出的个备选答案中，只有一个是正确的，若对道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这道题中：
恰有两道题答对的概率
至少答对一道题的概率．
22.本小题分
某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表单位：人
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团
未参加演讲社团
从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率
在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有名男同学，，，，，名女同学，，，现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对立事件的概念，属于基础题．
根据对立事件的定义，对每个选项进行逐一判断即可．
【解答】
解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，有：正正，正反，反正，反反，
事件“至少一次正面向上”包括：正正，正反，反正，
对：事件“至多一次正面向上”包括：正反，反正，反反，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；
对：事件“两次正面都向上”即：正正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；
对：事件“只有一次正面向上”包括：正反，反正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；
对：事件“两次都没有正面向上”即：反反，与事件“至少一次正面向上”是对立事件．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：获得个节日礼品，则取球次，
记第次取到白色乒乓球为事件，
由题意得，
记取球次后停止取球为事件，则，
所以．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：这个数任取两个数，有，，，，，共种情况，
两个数的和为偶数，则这两个数是奇数或是偶数，有和，共种情况，
所以两个数之和为偶数的概率．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：学校参加社会实践活动的名教师和甲、乙、丙、丁名学生站成一排合影留念，
基本事件总数，
其中，教师不站在两端，且甲、乙相邻包含的情况有种：
第一、二个位置是甲乙，第三、四两个位置中选一个是教师，排法总数为：，
第二、三个位置是甲乙，第四个位置中是教师，排法总数为：，
第三、四个位置是甲乙，第二个位置中是教师，排法总数为：，
第五、六个位置是甲乙，第二、三两个位置中选一个是教师，排法总数为：，
教师不站在两端，且甲、乙相邻包含的基本事件个数为，
则教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率为．
故选：．
基本事件总数，其中，教师不站在两端，且甲、乙相邻包含的情况有种：第一、二个位置是甲乙，第三、四两个位置中选一个是教师，排法总数为：，第二、三个位置是甲乙，第四个位置中是教师，排法总数为：，第三、四个位置是甲乙，第二个位置中是教师，排法总数为：，第五、六个位置是甲乙，第二、三两个位置中选一个是教师，排法总数为：，从而教师不站在两端，且甲、乙相邻包含的基本事件个数为，由此能求出教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率．
本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了条件概率的求法及相互独立事件同时发生的概率，属中档题．
记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，先求出，，再代入条件概率公式求解即可．
【解答】
解：根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，
则，
，
则目标是被甲击中的概率为．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的判断，属于基础题．
先求得，然后通过计算得到，从而判断出事件相互独立．
【解答】
解：，
．
事件与相互独立，不是互斥、对立事件．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查事件的概念，考查互斥事件和对立事件，属于基础题．
利用独立事件的概念即可判断．
【解答】
解：把标有，的两张卡片随机地分给甲、乙，把标有，的两张卡片随机地分给丙、丁，
事件“甲得号纸片”与事件“丙得号纸片”，
这两个事件可以同时发生，且是否发生互不影响，
故两事件之间的关系是相互独立事件．
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查频率与概率的关系，考试随机数，属于基础题．
由组随机数中先求出甲获得冠军的频数，从而可求出甲获得冠军的频率，进而可得答案．
【解答】
解：由题意可知，组随机数中甲获得冠军的有：
，，，，， ，，，，，，，有组，
所以甲获得冠军的频率为，
所以甲获得冠军的概率的近似值约为，
故故D．
9.【答案】
【解析】【分析】
根据事件间的基本关系直接判定即可．
本题主要考查了事件的基本关系，属于基础题．
【解答】
解：根据事件之间的关系，知事件发生当且仅当事件发生或事件发生，
所以．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
根据互斥事件的概率加法公式求解即可得到结果．
本题考查概率的计算，解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算，属于基础题．
【解答】
解：设“从中取出粒都是黑子”为事件，“从中取出粒都是白子”为事件，“从中任意取出粒恰好是同一色”为事件．
则，
由互斥事件的概率加法公式可得．
即从中任意取出粒恰好是同一色的概率是．
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了随机事件当中“互斥”与“对立”的区别与联系，属于基础题，
对立事件是在互斥的基础之上，在一次试验中两个事件必定有一个要发生．根据这个定义，对各选项依次加以分析，即可得解．
【解答】
解：对于，“至少有个白球”发生时，“至少有个黄球”也可能发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故中的两个事件不互斥．
对于，“至少有个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是或，而“都是黄球”说明黄球的个数是，故这两个事件不是互斥事件．
恰有个白球与恰有个黄球，这两件事是同一件事，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球．故不是互斥事件．
至少有个黄球说明有黄球，黄球的个数可能是或，而“都是白球”说明白球的个数是，故这两个事件是互斥事件且是对立事件．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由题意可分两类情况，
第类为第四次甲投篮，第类为第四次乙投篮，
则对应的概率如下表所示：
类别
第类 甲 甲 乙 甲 乙
甲 甲 甲 甲 乙
甲 乙 甲 甲 乙
甲 乙 乙 甲 乙
第类 甲 甲 乙 乙 乙
甲 乙 甲 乙 乙
甲 甲 甲 乙 乙
甲 乙 乙 乙 乙
所以第五次由乙投篮的概率是．
故选：．
由题意，可分第四次为甲投篮或第四次为乙投篮，列出所有可能情况，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式即可求解．
本题考查相互独立事件及互斥事件的概率计算公式，属中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件，对立事件，相互独立事件，古典概型及其计算，属于基础题．
利用古典概型公式即可判断，根据相互独立事件和互斥事件以及对立事件的定义即可判断、、．
【解答】
解：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
可能出现的情况有正，正，正，反，反，正，反，反四种情况，
事件包含正，正，正，反种，
事件包含反，正，正，正种，
事件包含正，正，反，反种，
事件包含正，反，反，正种，
对于，事件，故 A正确；
对于，事件和可能同时发生，即正，正，故B错误；
对于，由上面列举知，事件与为互斥事件，且其并集构成了整个样本空间，
即与互为对立，故C正确；
对于，由上面列举知：，
，
所以事件与相互独立，故D正确．
故选：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件和对立事件的相关概念，相互独立事件同时发生的概率等知识，属于基础题．
根据定义结合选项依次求解作答即可．
【解答】
解：对于，如果，则，故A正确
对于，如果，则，故B正确
对于，如果与互斥，则，故C正确
对于，如果与互斥，则，故D错误
故选ABC．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件的判断，由互斥事件的定义，即指不可能同时发生的事件，逐项判断即可求解．
【解答】
解：，恰有一名男生和全是男生，这两件事不可能同时发生，故是互斥事件；
，至少有一名男生和至少有一名女生，不是互斥事件，当选出的个人正好是名男生和名女生时，这两件事同时发生了；
，至少有一名男生和全是男生，不是互斥事件，因为“至少有一名男生”包含了“全是男生”的情况；
，至少有一名男生和全是女生是互斥事件，这两件事不可能同时发生．
故选AD．
16.【答案】
【解析】解：因为事件与互斥，且，
所以．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：从到中取三个不同的数，按从小到大排列，
总共有种可能，
等比数列满足中间数的平方等于前后两数的乘积，即，
满足条件的三元组为、、、，
因此，概率为．
故答案为：．
18.【答案】不公平
【解析】解：这种游戏不公平．
设“甲胜”为事件 ，“乙胜”为事件 ．
甲胜即两个编号的和为偶数包含以下种：
，，，，，
，，，，，
，，，
所以甲胜的概率为 ，
乙胜的概率为 ，
因为 ，所以这种游戏规则不公平．
故答案为：不公平．
19.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：一只口袋中装有形状、大小都相同的只小球，
其中有只红球、只黄球和只蓝球，从中次随机摸出只球，
基本事件总数，
一只红球和一只黄球的个数为
只红球和只黄球的概率为
只球颜色相同包含的基本事件个数，
只球颜色相同的概率为．
故答案为，．
20.【答案】
【解析】解：依题意：优品的概率为，良品的概率是，合格品的概率是，不合格品的概率是，且每件产品的等级是独立的．
方法：间接求，本批产品被拒收的概率；
方法：直接求，被拒收的情况包括：
第一种情况：抽检的第一件产品不合格，
第二种情况：抽检的第一件产品合格、第二件优良、第三件非优良；
第三种情况：抽检的第一件产品合格、第二件非优良，
故本批产品被拒收的概率．
故答案为：．
21.【答案】解：将”选择每道题的答案“视为一次试验，则这是次独立重复试验，
且每次实验中，”选择正确“这一事件发生的概率为，设答对的题数为，则，
恰有两道题答对的概率为
至少有一道题答对的概率为：．
【解析】本题主要考查了次独立重复试验及其概率，对立事件的概率计算．
根据题意设答对的题数为，可得，恰有两道题答对的概率为，直接计算即可．
利用对立事件的概率计算公式可得．
22.【答案】解：由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，
故至少参加上述一个社团的共有人，
所以从该班随机选名同学，
该同学至少参加上述一个社团的概率为．
从这名男同学和名女同学中各随机选人，
其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个．
因此被选中且未被选中的概率为．

【解析】本题考查古典概型的计算与应用，属基础题．
总人数减去既未参加书法社团又未参加演讲社团的人数即得至少参加上述一个社团的人数，然后与总数求比值即得；
利用列举法计数，然后计算即得．

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