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第五章《函数应用》课堂训练
一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
2.有一组实验数据如下表所示：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，若在上有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.函数有三个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.函数，则函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
6.已知存在实数满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为( )
A. B. C. D.
8.函数的零点是( )
A. B. C. D.
9.已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.定义有序实数对的“跟随函数”为记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围( )
A. B. C. D.
11.假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度单位：和燃料的质量单位：、火箭除燃料外的质量单位：的函数关系是为大于的常数已知当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度( )
A. B. C. D.
12.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
13.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少，若要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤( )
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
14.若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
15.函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
16.用二分法求函数在区间内的零点时，需要的条件是 填序号在上连续不断
17.已知函数有最小值，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润单位：万元与运转的时间单位：年的函数关系为．
当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
19.本小题分
将余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位长度，进一步将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．
求的解析式；
求的单调递减区间；
若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围．
20.本小题分
已知集合，集合．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解析由题意知，可得在上单调递减，在上单调递增，
当时，，又，故只有个零点．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的解析式的求解，而针对该类选择题，利用特值检验可以快速有效地解决，属于基础题．
因为所给数据无明显规律，且是选择题，故可用特值检验，排除错误答案即可求解．
【解答】
解：当时，
A、，、，
C、，、，可排除；
当时，、，、，可排除．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：当时，只有个零点，
所以当时，只有一个零点，
即方程在时有一个解，即方程在时有一个解，
因为函数为增函数，且当时，，则，即．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：函数，
则，
当时，恒成立，在上单调递增，不可能有三个零点，舍去，
当时，令得，或，
令得，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
此时最多有一个零点，不符合题意，舍去，
当时，令得，或，
令得，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
若有三个零点，则，
解得，
综上所述，的取值范围为．
故选：．
先求出导函数，分，和三种情况讨论，得到的单调性和极值，进而判断的零点个数．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查判断函数零点所在区间，属于基础题．
令求出函数的零点，即可判断．
【解答】
解：因为，令，
即，解得，
即函数的零点为，
又，
所以函数的零点所在的区间为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
所以在上单调递增，
作出的图象，如图所示：
又，，，
又因为存在，满足，
函数图象可知，，，
因为，
即，
所以，
即，
所以，
所以，
即的取值范围是．
故选：．
分析函数的单调性，画出函数图象，数形结合求出的取值范围，即可得解．
本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，考查了对数函数、一次函数的性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，解得，所以．
令，解得，
所以游速为时耗氧量的单位数为．
故选：．
首先根据条件求，再代入求的值．
本题考查函数的实际应用，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，即，
，，
解得，
函数的零点为．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，是上的增函数，
需满足：，解得，则的取值范围为．
故选：．
由分段函数的单调性得到，求解即可；
本题考查函数单调性的性质和应用，涉及分段函数的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，则，
当时，；
当时，，
作出函数，的图象，如图所示：
函数在和上单调递增，在和上单调递减，
所以，，
由图象可知，时，函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点，
所以的范围是．
故选：．
根据自变量的不同范围解出函数的解析式，利用辅助角公式对函数进行化简，结合函数的图象和与直线有且仅有四个不同的交点，求得实数的取值范围．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象及性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：当燃料质量是火箭质量的倍，火箭的最大速度时，
则，得，
则当燃料质量是火箭质量的倍时，
火箭的最大速度．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：因为，则，
且函数在上单调递增，并且函数图象连续不间断，
由函数零点存在定理可知函数的零点在区间内．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：每过滤一次可使水中杂质减少，设要使水中杂质减少到原来的以下至少需要过滤次，
则．
又，所以．
故选：
14.【答案】
【解析】解：因为在区间上单调递增，且存在零点，
所以，即，解得，故B正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】解：因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，则，即，
所以，，
所以的零点有且只有一个，且所在的一个区间是．
故选：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查用二分法求函数在区间内的零点及零点存在性定理的应用，属基础题．
根据零点存在性定理及二分法适用条件即可求得结果．
【解答】
解：根据零点存在性定理及二分法适用条件知
用二分法求函数在区间内的零点时，需要的条件
在上连续不断，，
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，有最小值；
当时，单调递增．
所以要使在上有最小值，则最小值为，
所以，即，
所以的取值范围为．
求出当时函数的最小值，再由时函数的单调性及题意即可求解的取值范围．
本题考查了函数的最值，考查了函数思想，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以这批机器运转第年时，可获得最大利润万元；
记年平均利润为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以运转年时，这批机器的年平均利润最大．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】；
；
．
【解析】解：由题意余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，得，
再将所得曲线向左平移个单位长度，
得，
再将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的倍，
得，
所以；
由，
得，
所以的单调递减区间为；
令，得，
即，
则函数在上的图象与直线有且仅有个公共点．
由，得，
令，
则，，
作出的图象，如图．
所以，得，
即的取值范围为．
根据题给条件，逐步推导解析式即可得解；
整体代入余弦函数的单调递减区间求解即可；
根据有个零点等价于有个根，进而转化成两个函数图象有个交点根据题意确定交点的分布规律，从而确定的取值范围．
本题考查了余弦函数的图象及性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
20.【答案】解：由，得，
所以，解得，所以
所以
当时，，
所以；
因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
因为，
则对任意的恒成立，
令，
所以，即
解得或，
所以的取值范围为

【解析】本题考查集合的运算，考查二次不等式的解，属于较易题．
先求出集合，再求出其补集，然后求出集合，从而可求出；
由题意得，转化为对任意的恒成立，根据二次函数的性质可求得结果．

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