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苏州市2024--2025学年第二学期初三数学第十七周滚动练习
一．选择题（共10小题）
1．将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝27°，则∠BOC的度数是（　　）A．18° B．27° C．45° D．72°
2．点A（﹣1，a）与点A′（b，2）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2024 D．2024
3．关于x的方程ax2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．； B．且a≠0； C．； D．且a≠0
4．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（　　）
A．； B．或a＞0； C．； D．或a＞0
5．若某种商品经过两次涨价后的价格为涨价前的121%，则该商品平均每次涨价（　　）
A．9.5% B．10% C．19% D．20%
6．四边形ABCD的两条对角线相交于点O，下列条件中，不一定能推得△AOB与△COD相似的是（　　）A．∠DAC＝∠DBC B．∠BAC＝∠ACD C． D．
第1题第7题
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE＝（　　）cm．
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（　　）
A． B． C． D．
第8题第9题
9．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，连接AF，点G为AF的中点，连接GE，若，则tan∠GEF的值为（　　）
A． B． C． D．
10．定义：若x，y满足（m为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．下列说法：①P（2，2）是“和谐点”；②直线y＝﹣2x+5上有且只有一个“和谐点”；③当k＞2时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数y＝x2+x+a的图象上有3个“和谐点”，则a＝﹣2或．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二．填空题（共10小题）
11．已知一个圆锥形零件的高线长为4，底面半径为3，则这个圆锥形的零件的侧面积为　 　 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD长是 　 　 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+3与x轴正半轴交于点A、B，若AB＝2，则m的值为 　 　 ．
第12题第13题
14．小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2＜x≤2）图象，关于该图象下列四个说法：①图象与坐标轴有两个交点；②图象存在最高点，其横坐标为﹣1；③图象最高点和最低点的距离等于；④直线y＝3与该图象有两个交点．正确的是　 　 ．
15．已知一次函数y＝k（x﹣3）+1图象与一圆心为（0，1），半径为1的圆相切，则切点坐标为　 　 ．
16．如图已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D、点E分别是边BC和边AC上的动点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°，点D对应点F恰好落在斜边AB上，同时将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DG，连接BG，则BG最小值为　 　 ．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，且m≠0，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为 　 　 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB′C沿AB′翻折到△AB′C′处，过点C作CD∥AB交AC′于点D，则CD的长是　 　 ．
第16题第18题
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（0，2），连接AB，点C为线段AB的中点，将线段AB绕点B逆时针旋转一定角度后，点A、C同时落在反比例函数的图象上，则k＝　 　 ．
第19题第20题
20．如图，已知AB是⊙O的直径，M为OB上的点，且AM＝7，MB＝1，弦PQ经过点M．当PQ⊥AB时，S△APQ＝　 　 ；S△APQ的最大值为　 　 ．
三．解答题（共10小题）
21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，点M是直线BC下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MH⊥x轴于点H，交BC于点N，求线段MN最大时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得∠QCB＝∠CBM．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，连接CD．
（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点P在直线BC的下方运动时，过点P作PE⊥BC交于点E，过点P作y轴的平行线交直线BC于点F．求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）在该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD．若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标；
（3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．已知如图1，平面直角坐标系中，O为原点，经过点（4，﹣8）的抛物线交x轴正半轴于点A（12，0），与直线l1：y＝﹣x+p有两个交点B，C，它们的横坐标为m，n（m＜n），且n﹣m＝4．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，将抛物线C1的顶点平移到原点O，得新抛物线L2，直线l2：y＝k（x+2）+1（k＜0）交抛物线L2于点D，E（点E横坐标小于﹣2），若l1与l2的交点为F，过点F作y轴平行线交抛物线L2于点G，试说明直线EG总经过定点，并求这个定点的坐标．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作弦CD⊥AB于点E，点F是弧BD上一点，连接OF，AF交CD于点H，过点F作直线交CD的延长线于M，交AB的延长线于点G，且FM＝HM，
（1）求证：MG是⊙O的切线；
（2）若；
①求HE的长；
②求AG的长．
27．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当时，求BF的长．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，D为斜边AB上一点，，以BD为直径作⊙O，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接DE，BE．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）求tan∠EDB的值．
29．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作弦CD⊥AB于E，点F是弧BD上一点，AF交CD于点H，过点F作一条直线交CD的延长线于M，HM＝FM，AC∥MG．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）延长AB、MF相交于点G，若，求OG的长．
30．如图，已知关于x的二次函数图象交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，连接BC，将线段BC绕点B逆时针旋转90°，得到线段BD．
（1）求tan∠ABC的值；
（2）若点D恰好在二次函数的图象上，求此时m的值；
（3）过点B作∠CBD的平分线交二次函数图象于点E，过点E作线段EF∥BD交x轴于点F，请直接写出 　 　 ．
∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，
设BE＝a，∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，∴AD＝AF＝6﹣a，CF＝CE＝7﹣a，
∵AF+CF＝AC＝5，∴6﹣a+7﹣a＝5，解得：a＝4，∴BE＝BD＝4．∴AF＝AD＝2，CF＝CE＝3，
设⊙O的半径为r，由海伦公式得：S，其中p，
由三角形内切圆可知：S△ABCC△ABC r，∴S△ABC＝p r，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，∴p（6+5+7）＝9，∴S△ABC6，
∴r，∴OE，∴OB，
∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，
∵HE OBOE BE，∴HE4，∴HE，∴DE＝2EH．故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理以及三角形面积，解决本题的关键是掌握三角形内心定义．
第8题第9题
9．【解答】解：过A点作AH⊥BC于点H，GM⊥BF于点M，如图，
∵∠ACB＝120°，∴∠ACH＝60°，在Rt△ACH中，∵∠CAH＝90﹣∠ACH＝30°，
∴CHAC4＝2，∴AHCH＝2，∵点G为AF的中点，∴FGFA，
∵GM∥AH，∴，∴GMAH，FM＝HM，设BE＝x，则FC＝2x，
∴CE＝4﹣x，MH＝FMx﹣1，∴ME＝MH+CH+CE＝x﹣1+2+4﹣x＝5，
在Rt△GEM中，tan∠GEM，即an∠GEF的值为．故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，理解锐角三角函数的定义和记住含30度直角三角形三边的关系，构建Rt△GME是解决问题的关键．
10．【解答】解：①y，解得：m＝﹣2，x2，故①成立；
②由题意可得，﹣2x+5，m＝x2+6x﹣15，则x，将m＝x2+6x﹣15代入上式，
3x2﹣29x+40＝0，解得：x＝8或x，故②错误；
③反比例函数y最多有两个和谐点，联立反比例函数与和谐点定义，得到四次方程x4+3x3﹣3kx﹣k2＝0，∵x4+3x3﹣3kx﹣k2＝0，∴（x2﹣k）（x2+3x+k）＝0，∴x2﹣k＝0或x2+3x+k＝0，
∵k＞2，∴解x2﹣k＝0得x＝±，解x2﹣3x+k＝0，∵Δ＝9﹣4k，∴当k＝2.1时，Δ＝9﹣4k＞0，
∴x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，∴该方程可能有4个实根，故③错误；
④联立二次函数与和谐点定义，得到四次方程x4+2x3+（3+2a）x2+2ax+a2+3a＝0，
当a＝﹣2或a时，方程有3个实数根，故④正确．故选：B．
方法二：∵x，y满足（m为常数），∴y﹣x，
∴3（y﹣x）＝（x+y）（x﹣y），当x﹣y＝0时，y＝x成立，
当x﹣y≠0时，﹣3＝x+y，即y＝﹣x﹣3，①把P（2，2）代入y＝x成立，故①正确；
②y＝﹣2x+5与直线y＝x和y＝﹣x﹣3不平行有两个交点，故错误；
③有两个交点，由得x2﹣3x+k＝0，当k＞2时，Δ＝9﹣4k，
当Δ＞0，有两点交点，Δ＝0，有1个交点，当Δ＜0，无交点；故错误；
④联立方程组和，
i）前面方程组有两个解为a＝﹣2，a，后面方程组一个解，
ii）前面方程组有一个解，后面方程组两个解，不成立；
iii）前后方程组各有两个解，但后面方程组中的两直线只有一个交点（，），
故正确；故选：B．
【点评】本题主要考查比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．【解答】解：∵高线长为4，底面半径为3，∴母线长为：5，
∴圆锥侧面积公式为：S＝πrl＝π×5×3＝15π，故答案为：15π．
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式，关键是计算出圆锥的母线长．
12．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理得：；
∵点D是斜边AB的中点，∴；设圆与AB，BC，CA的切点分别为E，G，F，分别连接OE，OG，OF，OA，OB，OC，如图，则OG⊥BC，OF⊥AC，
∵AC⊥BC，∴四边形OGCF是矩形，
∵OG＝OF，∴四边形OGCF是正方形，
∴CG＝CF，设⊙O的半径为r，
∵S△OAB+S△OAC+S△OBC＝S△ABC，
∴，
∴r＝2，∴BG＝BC﹣CG＝6；
∵OG＝OE，OB＝OB，∴Rt△OGB≌Rt△OEB（HL），
∴BE＝BG＝6，∴DE＝BE﹣BD＝6﹣5＝1；
在Rt△OED中，，故答案为：．
【点评】本题考查了内切圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．【解答】解：设A（a，0），B（b，0），则a，b是方程x2﹣2mx+3＝0的两个根，
∴a+b＝2m，ab＝3．∵抛物线y＝x2﹣2mx+3与x轴正半轴交于点A、B，
∴a＞0，b＞0，∴2m＞0，∴m＞0．∵AB＝2，∴b﹣a＝2．∴（b﹣a）2＝4．∴（a+b）2﹣4ab＝4，
∴（2m）2﹣12＝4．解得：m＝±2（负数不合题意，舍去），∴m＝2．故答案为：2．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线与x轴交点的横坐标与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系已知条件列出关于m的方程是解题的关键．
14．【解答】解：①令y＝0，由﹣x2﹣2x+3＝0得x1＝1，x2＝﹣3，
∵﹣2＜x≤2，∴图象与x轴有一个交点，与y轴的交点为（0，3），∴故①正确，符合题意；
②由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，该图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣2＜x≤2，∴当x＝﹣1时，图象取得最大值，故②正确，符合题意；
③由②知，最高点坐标为（﹣1，4）；当x＝2时，该图象取得最小值，此时最低点坐标为（2，﹣5），
∴两点的距离等于，故③正确，符合题意；
④当y＝3时，由﹣x2﹣2x+3＝3解得x1＝0，x2＝﹣2，但x＝﹣2不在﹣2＜x≤2范围内，
∴直线y＝3与该图象有一个交点，故④错误，不符合题意，故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
15．【解答】解：对于y＝k（x﹣3）+1，当x＝3时，y＝1，
∴一次函数y＝k（x﹣3）+1图象过定点P（3，1），
设切点坐标为H（x，y），圆心为E（0，1），则EH＝1，EH⊥PH，PE＝3，
∴（x﹣0）2+（y﹣1）2＝1①，∴12+（x﹣3）2+（y﹣1）2＝32②，
由①②解得，，∴切点坐标为，，
∴5＝（）2+a2．∴a．∴ka．故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣旋转，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
20．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，且AM＝7，MB＝1，∴AB＝8，OM＝3，
连接OP，OQ，图1，则OP＝OQ＝4，当PQ⊥AB时，由垂径定理可知，，
图1图2
在Rt△POM中，，则，
则此时，；
∵OM＝3，AM＝7，∴，即，同理：，
∴，
由图2可知，，当∠POQ＝90°时，S△POQ有最大值8，
此时，有最大值，若∠POQ＝90°，则，点O到PQ的距离为，此时，即存在PQ使得∠POQ＝90°，
即存在当∠POQ＝90°时，有最大值，故答案为：．
【点评】考查垂径定理，勾股定理等知识点，利用线段关系得面积关系是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
（2）设直线BC的解析式为：y＝k1x+b1，将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝k1x+b1，
得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设点M的横坐标为t，∵点M在BC下方的二次函数图象上，∴点M的纵坐标为：t2﹣2t﹣3，
∵MH⊥x轴交BC于点N，∴点N的横坐标为t，∴点N的纵坐标为：t﹣3，
∴，∴当时，MN为最大，
当时，，∴点M的坐标为．
（3）存在，点Q的坐标为或．
理由如下：设直线BM的解析式为：y＝k2x+b2，将点B（3，0），M（3/2，﹣15/4）代入y＝k2x+b2，
得：，解得：，
∴直线BM的解析式为：，
当∠QCB＝∠CBM时，有以下两种情况：
①当点Q在直线BC上方时，
∵∠QCB＝∠CBM，∴CQ∥BM，设直线CQ的解析式为：y＝k3x+b3，
则，b3＝﹣3，∴直线CQ的解析式为：，
解方程组，得：，，∴点Q的坐标为；
图2
②当点Q在直线BC的下方时，设CQ与BM交于点R，连接OR，
∵∠QCB＝∠CBM，∴RB＝RC，又点A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，
∴OR为BC的垂直平分线，且为∠BOC的平分线，由（2）知：点N的横坐标为，
∴，∴，∴H为OB的中点，
∵NH∥OC，∴点N为BC的中点，∴OR经过点N，
∵OR为∠BOC的平分线，∴直线OR的解析式为：y＝﹣x，
解方程组，得：，∴点R的坐标为，
设直线CR的解析式为：y＝k4x+b4，将C（0，﹣3），代入y＝k4x+b4，
得：，解得：，∴直线CR的解析式为：，
解方程组，得：，，∴点Q的坐标为．
综上所述：点Q的坐标为或．
【点评】此题主要考查了求函数解析式，二次函数的最值，函数的交点坐标等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，以及求函数交点坐标的方法，难点是分类讨论思想在解题中的应用，漏解是解答此题的易错点之一．
22．【解答】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C点为（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b1，∴，∴，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）存在，理由如下：
①当P点与B点重合时，此时DP＝DA，∴△ACP的面积是△ACD面积的2倍，∴P（﹣1，0）；
②过B点作BP∥AC交抛物线于点P，∵AB＝2AD，∴△ACP的面积是△ACD面积的2倍，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+3；∴直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立方程组，解得x＝﹣1，y＝0或x＝4，y＝﹣5，∴P（4，﹣5）；
综上所述：点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）存在，理由如下：∵y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴直线AC解析式y＝﹣x+3与对称轴的交点M（1，2），如图所示，
∴BD＝2，DM＝2，DA＝2，∴∠MBD＝∠MAD＝45°，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴M点即Q点，∴Q（1，2）；
当Q点在x轴下方时，设Q为（1，m），m＜0，
∵线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，
过A1作直线DQ的垂线于E点，
∵∠DQA+∠DAQ＝90°，∠DQA+∠EQA1＝90°，
∴∠EQA1＝∠DAQ，
∵∠ADQ＝∠QEA＝90°，AQ＝A1Q，
∴△ADQ≌△QEA1（AAS），
∴AD＝QE＝2，DQ＝EA1＝﹣m，
∴A1（1﹣m，m﹣2），
∵点A1恰好落在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴m﹣2＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3，
解得m＝﹣3或m＝2（舍），
∴Q（1，﹣3），
综上所述：Q点坐标为（1，2）或（1，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，并灵活运用等腰直角三角形的性质，平行线间距离相等，三角形全等知识综合解题是关键．
23．【解答】解：（1）∵抛物线过A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，
∴，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5；
（2）令y＝0，得x2+6x+5＝0，解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，∴C（﹣1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x+1．设点P（t，t2+6t+5），则F（t，t+1），
∴PF＝（t+1）﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，如图，过点B作BG⊥x轴于G，则∠BGC＝90°，
∵B（﹣4，﹣3），C（﹣1，0），∴BG＝3，CG＝﹣1﹣（﹣4）＝3，∴BG＝CG，
∴△BCG是等腰直角三角形，∴∠CBG＝45°，∵PF∥y轴，BG∥y轴，
∴PF∥BG，∴∠PFE＝∠CBG＝45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF＝90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE＝EFPF，设△PEF的周长为1，
则l＝PE+EF+PF＝（1）PF＝（1）（﹣t2﹣5t﹣4）＝﹣（1）[（t）2]，
∴当t时，周长1最大，最大值为：，此时点P为（，）；
图1图2
（3）存在．连接BD，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴抛物线的顶点为D（﹣3，﹣4），
∴BD，BC3，CD2，∵BC2+BD2＝（3）2+（）2＝20＝CD2，∴∠CBD＝90°，
（i）当点P在直线BC下方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴CM＝BM，
∵∠BCD+∠BDC＝∠PBC+∠PBD＝90°，∴∠PBD＝∠BDC，∴DM＝BM，
∴CM＝DM，∴点M是CD的中点，∴M（﹣2，﹣2），
设直线BP的解析式为y＝k′x+b′，则，解得：，
∴直线BM的表达式为：yx﹣1，由x2+6x+5x﹣1，
解得：x1＝﹣4（舍去），x2，此时点P（，）．
（ii）当点P在直线BC上方时，如图3，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP∥CD．
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把点C、D的坐标代入得：，
解得：，∴直线CD的解析式为y＝2x+2，
设直线BP的解析式为y＝2x+t，
把点B的坐标代入得：﹣3＝2×（﹣4）+t，
解得t＝5，∴直线BP的表达式为 y＝2x+5，
联立得x2+6x+5＝2x+5，
解得x＝﹣4（舍去）或 x＝0，∴此时点P（0，5）．
综上，存在点P，使得∠PBC＝∠BCD．点P的坐标为（，）或（0，5）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数综合运用，等腰直角三角形性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
24．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），∴1，∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+3，将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，∴9a﹣6a+3＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴D（﹣1，0），
令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
连接BA交对称轴于点E，连接DE，∵A、D关于直线x＝1对称，
∴DE＝AE，∴BE+DE＝AE+BE≥AB，当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小，
∵OA＝OB＝3，∴∠OAB＝45°，∴AC＝CE，∵AC＝2，∴CE＝2，∴E（1，2）；
（3）存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设P（1，t），当AM为正方形的对角线时，如图2，PM＝PA，过M点作MG⊥PC交于G，
∵∠MPA＝90°，∴∠GPM+∠CPA＝90°，∵∠GPM+∠GMP＝90°，∴∠CPA＝∠GMP，
∵PM＝AP，∴△PGM≌△ACP（AAS），∴GM＝CP＝t，PG＝AC＝2，∴M（1+t，t+2），
∴t+2＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，解得t＝﹣2或t＝1，∵M点在x轴上方，∴t＝1，∴M（2，3）；
当∠PAM＝90°时，AM＝AP，如图3，过A点作AH⊥x轴，过M点作MH⊥AH交于点H，
同理可证△MAH≌△PAC（AAS），∴AH＝AC＝2，CP＝MH＝﹣t，∴M（3+t，2），
∴2＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，解得t＝﹣2或t＝﹣2，
∴M（1，2）或（1，2）（舍去）；
当∠PMA＝90°时，PM＝AM，如图4，过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S，同理可得△MPT≌△AMS（AAS），∴TP＝SM，SA＝MT，∴M（2t，1t），
∴1t＝﹣（2t）2+2（2t）+3，解得t＝﹣3或t＝﹣3（舍去），
∴M（，）；
综上所述：M点坐标为（2，3）或（1，2）或（，）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
55．【解答】解：（1）∵抛物线经过点（4，﹣8）和点（12，0），
∴，解得：，∴抛物线C1的解析式为yx2﹣3x；
（2）∵抛物线与直线l1：y＝﹣x+p有两个交点B，C，
它们的横坐标为m，n（m＜n），联立得：x2﹣3x＝﹣x+p，整理得：x2﹣8x﹣4p＝0，∴m+n＝8，
又∵n﹣m＝4，∴m＝2，n＝6，∴B（2，﹣5），C（6，﹣9），
把B（2，﹣5）代入y＝﹣x+p，得：﹣5＝﹣2+p，解得：p＝﹣3，∴直线l1：y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得：x＝﹣3，∴直线l1：y＝﹣x﹣3与x轴交于点M（﹣3，0），如图，
∵A（12，0），B（2，﹣5），C（6，﹣9），∴AM＝12﹣（﹣3）＝15，
∴S△ABC＝S△ACM﹣S△ABMAM |yC|AM |yB|15×915×5＝30；
（3）∵抛物线C1：yx2﹣3x（x﹣6）2﹣9，顶点坐标为（6，﹣9），将抛物线C1的顶点平移
【点评】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（3）设BE与y轴交于点K，过K作KH⊥BC于H，
∵BE平分∠CBD，∠CBD＝90°，∴，∴△BHK是等腰直角三角形，
∴BH＝KH，设BH＝KH＝x，∵OB＝1，OC＝4，∠BOC＝90°，
∴，，∴CH＝4KH＝4x，
∴，∴，则，
∴，
过E作EM⊥x轴于M，则∠BME＝∠FME＝90°，
∴，则；
∵EF∥BD，∴∠MFE＝∠DBP，
∴，
∴，即MF＝4ME，
∴，
，
∴．故答案为：．
【点评】考查二次函数的综合，涉及旋转的性质、锐角三角函数、二次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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