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2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考
九年级数学第三次模拟考试卷
考试分数：100分；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在 ABC中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．下面的三个问题中都有两个变量：
①某地手机通话费为元/min，某人手机话费卡中共有元，此后话费卡中的余额与手机通话的时间；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量与排水时间；
③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积与腰长，其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．已知、均为锐角，且满足，则（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
如图，函数的图象过点和．有下列结论：①；②；③关于x的方程必有两个不等的实数根；其中正确结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，在 ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，在 ABC中，，，点在上，，点为上一动点．连接，．设，，图是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别对点，，进行了如下研究：
甲：点的纵坐标为；
乙：点的纵坐标为；
丙：点的纵坐标为．
则下列判断正确的为（ ）
A．甲错，乙、丙都对 B．甲、丙都错，乙对
C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错
10．点是二次函数图象的顶点，轴，且交一次函数的图象于点，点在轴上，下列结论错误的是（）
A．点一定在二次函数图象上
B．
C．当最小时，的最小值是3
D．若两个函数图象在第四象限有交点，则
第II卷（非选择题）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算的结果为 ．
12．如图，在中，，平分交边于点E，且，则的长为 ．
13．如图，是的直径，，是外的一点，是线段的中点，连接交于点，且满足四边形是矩形，则阴影部分的面积为 ．
14．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为 ．
15．已知抛物线经过点，其中．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号）．
16．如图，已知在 ABC中，，，，点是边上的动点，过点作分别交于点于点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（共7小题，共52分）
17．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．（8分）如图，一艘渔船以每小时海里的速度自东向西航行，在B处测得补给站C在北偏西方向，继续航行2小时后到达A处，测得补给站C在北偏东方向．
(1)求此时渔船与补给站C的距离；（结果保留根号）
(2)此时渔船发现在A点北偏西方向的D点处有大量鱼群，渔船联系了补给站，决定调整方向以原速前往作业，与此同时补给站C测得点D在北偏西方向，并立即派出补给船给渔船补给食物和淡水，若两船恰好在D处相遇，求补给船的速度．（精确到十分位，参考数据：，，）．
19．（6分）（1）计算：．
（2）先化简，然后从中选择一个你最喜欢的整数作为的值代入求值．
20．（7分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
21．（7分）如图，在中，连接，作的外接圆是的切线，连接交于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．（8分）如图1，在正方形中，点E是边上一点（点E不与点B、C重合），，交延长线于点F，
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点K，过点D作交于点G，垂足为点H，连接、．
①求证：；
②若，设，当是等边三角形时，求x的值；
③当时，求证：．
23．（10分）对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点，特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点．
(1)如图1，在点中，线段的垂点是　 　；
(2)已知点．
①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点，求b的值；
②如图3，若 ABC边上（包含顶点）存在线段的垂点，直接写出t的取值范围是　 　．
《九年级数学第三次模拟考试卷》参考答案
1．D
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．C
如图，
可假设，
∵
∴，故A选项错误，
，故D选项错误；
反过来，当时，不能得到，故B选项错误；
当时，能得到，故C选项正确；
故选：C．
3．B
将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是
故选：B．
4．A
解：①话费卡中的余额随手机通话时间的增大而减小，故①可以利用该图像表示；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量随排水时间的增大而减小，故②可以利用该图像表示；
③设绳子的长为，腰长，则另一边长为，
则等腰三角形的面积为：，
故③不可以利用该图像表示．
故可以利用该图像表示的有：①②．
故选：A．
5．C
解：∵，
∴
∴
∵，均为锐角
∴，
∴．
故选C．
6．C
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①不正确，
∵的图象过点，
∴，①
∴
∵的图象过点，
∴
∴②
得，
整理得，，
∵，
∴
∵
又∵
∴，故②正确；
∵方程，
∴，
∵，
∴，
由图象可知当，直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的方程必有两个不等的实数根．故③正确，
∴有2个结论正确；
故选：C．
7．C
解：，
，，，
，
，
由，
，
，
，
，
故选：C．
8．C
解：如图1中，

∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故①②正确，
如图2中，当M与C重合时，设．则，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，可得，
∴，
∴，故③正确，
如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，

如图1中，∵于H，，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．故⑤正确，
故选：C．
9．A
解：当点在点位置时，
，，
，
点的纵坐标为，
故甲错；
当点在点位置时，如下图所示，
，
在中，，，
，
，
点的纵坐标为，
故乙对；
如下图所示，
作点关于的对称点，连接，，
则，，
，
点的纵坐标为，
故丙对．
综上所述，甲错，乙、丙对，
故选：A．
10．C
二次函数，
当时，，
点一定在二次函数图象上，故选项A正确；
二次函数，
该函数的顶点坐标为，
点的坐标为，
点在上，轴，
点N的坐标为，
，
故选项B正确；
当最小时，，此时
点的坐标为，点的坐标为，
点在轴上，点M，N在y轴的左侧，
关于y轴对称点为 ，则直线与y轴的交点即为点P，此时的值最小，
，
的最小值是，选项C错误；
二次函数，
该函数图象开口向下，对称轴为直线，
当时，，
该函数图象与轴交于点，
一次函数与轴交于点，与轴交于点，
将代入，得，解得：，
将代入，得，解得：，
两函数图象在第四象限有交点，
，
故选项D正确；
故选：C．
11．/
解：，
故答案为：．
12．3
解：∵，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
13．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
14．/
解：，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．①②④
解：根据题意，画出抛物线的简图如下：
如图，由图可知，抛物线开口方向向下：即，
对称轴，，
∵’
∴，故①正确；
由题可知：抛物线的顶点坐标的纵坐标大于1，即，
∵，
∴故②正确．
抛物线经过点，，
，
，
，故③错误．
∵抛物线过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
点和点关于对称轴对称，
，整理，得，故④正确．
故答案为①②④．
16．/
解：以点A为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
过点C作于点G，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设的解析式为，
故，
解得，
∴的解析式为，
设的解析式为，
故，
解得，
∴的解析式为，
设，
∵，
∴，
不妨设的解析式为，
故，
解得，
∴的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
故当时，，
∴当时，，
故答案为：．
17．，，0，1．
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集为．
∴该不等式组的整数解为：，0，1．
18．(1)海里；
(2)海里时．
（1）.解：由题意得：
（海里），
，，
∴，
在中，（海里），
∴此时渔船与补给站C的距离为海里；
（2）如图：过点A作，垂足为E，
∴，
由题意得：
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，海里，
∴（海里），
（海里），
在中，（海里），
∴（海里），
∴海里，
∴（小时），
∴补给船的速度
（海里时）．
19．（1）；（2），当时，原式；当时，原式
解：（1）
；
（2）
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
当时，原式；当时，原式．
20．(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
21．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）连接，由切线的性质证明．由平行四边形的性质得到 则，由垂径定理得到即可得到结论；
（2）由垂径定理得到由勾股定理得到，证明，进一步得到即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，如图．
是的切线，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：，
∴
∴
22．(1)见解析
(2)①见解析；②；③见解析
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2））①证明：∵，
∴，
∴点D，点C，点H，点E四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴点B，点G，点H，点E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)；
(2)①b的值为或；②
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴点C不是线段的垂点；
∵，
∴，
∴点D是线段的垂点；
∵，
∴，
∴点E不是线段的垂点；
∵，
∴，
∴点F是线段的垂点；
综上所述，点D、F是线段的垂点；
故答案为：；
（2）①当时，点，
设点M是直线上存在的线段的等垂点，则设，
过点M作轴于点G，过点作轴于点H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：；
同理可得：，
∴，解得：；
∴b的值为或；
②∵．
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴直线的解析式为，
由垂点的定义可知，线段的垂点一定在直线上，

∵边上（包含顶点）存在线段的垂点，
当点在上时，，
当在直线上时，，
解得：，
当点在上时，得，
当在直线上时，，
解得：，
∴t的取值范围是；
故答案为：．

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