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2024-2025学年第二学期九年级三模数学试卷
一、选择题（共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，点O是正九边形的中心，连接则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．25 B． C． D．32
4．（3分）如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为( )
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在菱形中，点E在边上，连结交对角线于点F，若，，则的长度为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．（3分）如图，将正方形沿折叠，使得点正好落在的中点处，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出两个小球，则摸出的两个小球的标号正好为一个奇数一个偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，蜂窝结构在工程学中有广泛应用，图①由4个房孔组成，图②由7个房孔组成，图③由10个房孔组成……，按照这样的规律，第⑨个图形中房孔的个数是（ ）
A．27 B．31
C．36 D．28
9．（3分）如图所示几何体是由8个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C．D．
10．（3分）已知二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若，且，则．其中结论正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共24分）
11．（3分）数据用科学记数法表示为 ．
12．（3分）分解因式： ．
13．（3分）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为
14．（3分）一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，D为的中点，直线轴，交该双曲线于点B，点E在x轴上，若的面积为，则 ．
16．（3分）如图，正方形边长为3，点P在边上运动，是直角三角形且，，则的最小值是 ．
17．（3分）如图，在矩形中，连接，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，，，，垂足为， ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，已知 的三个顶点及点O， 都在方格纸的格点上．
(1)经平移后得到点是点C的对应点，请在图中补全
(2)画出使和关于点O成中心对称．
20．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
21．（6分）某企业加工生产甲、乙两种文旅产品，单独加工生产甲种文旅产品960件与单独加工生产乙种文旅产品780件所用的时间相同．已知每天单独加工生产甲种文旅产品比每天单独加工生产乙种文旅产品多15件．求每天单独加工生产甲、乙两种文旅产品的数量．
22．（6分）为了解九年级学生每周利用进行搜索、答疑、写作等科技赋能学习的情况，学校“智能探究小组”成员随机调查了该校名九年级学生一周内的使用次数，根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图．
(1)填空：______；______．
(2)补全条形统计图，并求所调查的这批学生每周利用进行赋能学习次数的中位数．
(3)若该校共有九年级学生900名，请你根据样本数据，估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数．
23．（8分）如图，已知内接于，为直径，过点作的切线交延长线于，为上的一点，连接，交于，且．
(1)求证：；
(2)若的半径为，求的长．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过，两点．
(1)求点的坐标及的值；
(2)求的面积．
25．（8分）如图，在纸片中，，是斜边上一点，将沿折叠，使点落在点处，线段与相交于点，已知．
(1)求证：．
(2)若是斜边的中点，求证：四边形是菱形．
26．（8分）如图，是平行四边形的边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点．
(1)求证：．
(2)过点作于点，若是的中点，，求的值．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴为直线，连接．
(1)（3分）求抛物线的表达式；
(2)（3分）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点是直线上的动点，连接，当最大时，求出此时的坐标及的最大值；
(3)（4分）如图2，点的坐标，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，满足，直接写出点的坐标．
答案
1-5 DBDBC 6-10 BBDDB
11．； 12．； 13．4； 14．4
15．4； 16．； 17．； 18．
19．（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求．
20．（1）；（2）
21．设每天单独加工生产甲文旅产品x件，则每天单独加工生产乙文旅产品件，
根据题意，得，解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：每天单独加工生产甲文旅产品80件，乙文旅产品65件．
22．（1）名，
∴一共调查了60名学生，即，
∴，即；
（2）由（1）可得使用次数为7次的人数为人，
补全统计图如下：
按照从低到高的顺序把这60名学生使用的次数排列，中位数为第30名和第31名使用次数的平均数，
∵，
∴第30名和第31名使用次数分别为6次，6次，
∴中位数为次；
（3）名，
∴估计该校九年级学生每周利用进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数为255名．
23．（1）∵为的直径，为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）作于点，
∵为的直径，的半径为5，
∴，，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴．
24．（1）根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为，
；
（2）由（1）可得，，
如图，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，
设直线的解析式为，
将点代入得：，，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
，
的面积为：．
25．（1），
．
．
．
又由折叠可知，
．
又，
．
（2）是斜边的中点，
．
．
又
，
，
又∵，，
∴，
．
又，由折叠可知，
．
四边形是菱形．
26．（1）是的中点，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
．
．
，
．
（2）是的中点，
．
设，则．
，
．
，
，
．
，
是等腰直角三角形，
，
．
27．（1）∵，对称轴为直线，
∴，，
解得：，
∴；
（2）过点P作轴交于点F，如图所示：
由（1）得，
当时，
解得：，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，即取得最大，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，取得最大，即最大，
∴，
∴，
连接，
∴，
∵，
∴的最大值为；
（3）∵，，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为；
如图所示，连接，
∵点的坐标，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
取点，连接交于点E，
∴，
∴，即，
设直线的函数解析式为，
将点B、M代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
联立，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴；
找点M关于点D的对称点，
∴，
∴，
同理得直线的函数解析式为，
联立，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴；
综上可得，点E的坐标为或 ．

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