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2024-2025学年第二学期九年级第三次模拟考试数学试卷
一、选择题（共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）2025的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
3．（3分）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为．若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（3分）如图1，在正方形中，，分别为边，上的动点，且．设，两点之间的距离为，的面积为，与的函数关系图象如图所示．已知点的横坐标为，则点的纵坐标为( )
A． B． C． D．
5．（3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
6．（3分）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在中， ，，则与的面积之比为（ ）
A．2：1 B．9：4 C．2：3 D．4：9
8．（3分）如图，四边形是半圆的内接四边形，点在上，连接的内心是的中点．若是直线上的动点，则I，E两点间的距离最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
9．（3分）如图，反比例函数和中，作直线，分别交x轴，和于点P，点A，点B，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
10．（3分）如图，二次函数的图象与轴交于点A、点，点，点在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，则下列说法：；；，正确的是（　　）
②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（共24分）
11．（3分）若，则的值为 ．
12．（3分）如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为 ．
13．（3分）已知方程的一个根为1，则方程的另一个根为 ．
14．（3分）如图，中，，，点D、E是边上的两点，且，，则 ．
15．（3分）如图，点是上的三点，若，则的度数是 ．
16．（3分）在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有 个．
17．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体侧面积为 ．
18．（3分）如图，在矩形中，．点在边上，且，分别是边，上的点，且，是线段上的动点，当是直角三角形时，的长为 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中的每个小正方形边长均为1个单位长度，已知，连接，根据条件画图．
(1)将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，再将点关于轴对称，得到点；
(2)在（1）的条件下，连接，利用网格画出线段的中点E，直接写出点E的坐标．
20．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
21．（6分）为丰富学生的文艺活动，开设以下项目：A．乐器，B．朗诵，C．合唱，D．舞蹈．为了解学生最喜欢哪一项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示两幅不完整的统计图．请回答下列问题：

(1)请你将条形统计图补充完整；
(2)在朗诵小组的训练中，三个同学（1个男生2个女生）表现优秀，现决定从这三名同学中任选两名参加朗诵比赛，求选中两名女生的概率（画出树状图或列表法解答）．
22．（6分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
23．（6分）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使．
(1)求证：；
(2)当，时，求的度数．
24．（本题8分）如图，内接于，是的切线，连接交于点E，交于点F，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，的顶点分别在双曲线和直线上，且轴．
(1)求和的值；
(2)当点在第一象限且在点左侧时，求面积的最大值．
26．（8分）如图，在中，高交于点．以为圆心，长为半径作交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径及的长．
27．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且过点．
(1)（3分）求抛物线解析式；
(2)（3分）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
(3)（4分）点是抛物线上的一点，连接，当时，求点的坐标．
答案
1-5 CABBD 6-10 CDDAD
11．； 12．； 13．4； 14．； 15．； 16．90； 17．； 18．或或
19．（1）如图，点C、点D即为所求；（2）如图，点E即为所求；．
20．（1）；（2）
21．（1）由在扇形统计图中，则占调查人数的
∴调查人数：（人）
的人数为（人）
（2）树状图如下：

∵共有6种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的参赛的有2种，
∴选中两名女生的概率为
22．设每千克水果应涨价元，
依题意列方程得：
整理，得
解这个方程，得
要使顾客得到实惠，应取，
答：每千克应涨价元．
23．（1）∵平分，
∴，
又，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
在中，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴．
24．（1）连接交于点H，连接，如图所示：
根据题意得：，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
，
∵为的半径，
∴垂直平分，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．（1）直线与双曲线交于点，
∴，，
解得，，；
（2）由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析为，
∵点在第一象限且在点左侧，且轴，
∴设，则点的横坐标为，
∴，即，
∴点到的距离为，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴面积的最大值为．
26．（1）如图，过作于．
中的高交于点，
，
．
，
，
平分，
．
是的切线．
（2） ，
设的半径为，则在中，，
，解得．
．
在中，由勾股定理得．
是的切线，
．
在中，，
，
．
．
27．（1）∵抛物线与y轴交于点，且过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）在中，当时，解得或，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
如图所示，连接，
由对称性可得，
∴，
∴当P、B、C三点共线时，的值最小，即此时的值最小，
在中，当时，，
∴当的值最小时， 点P的坐标为；
（3）如图所示，当点M在x轴上方时，设交x轴于G，过点G作于H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点M的坐标为；
如图所示，当点M在x轴下方时，如图所示，取，连接，设直线交于L，
∴，
∴，
同理可得平分，
∴同理可得，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．

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