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2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷
一、单选题
1．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是( )
A.2023 B.2024 C.2025 D.2026
2．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在( )
A.和0之间 B.0和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间
3．2025年时政热点：全国铁路预计投产新线米，将数据用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
4．下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5．“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”。如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
6．深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术.一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位.据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次.设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7．如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是( )
A. B.
C. D.
8．一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为( )
A. B. C. D.
9．如图(1)，中，，，动点F从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点B.图(2)是点F运动时，的面积y随时间x变化的图像，则m的值为( )

A. B. C. D.
10．现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点M，N，使得四边形为平行四边形.甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是( )
A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
11．如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向运动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为( )
A.2 B. C. D.3
12．如图，在中，，.点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．某市试点区域的垃圾收集情况如图所示，每月可回收垃圾共收集80吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，估计全市每月收集的垃圾总量为_______吨.
14．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.
按照此规律继续摆下去，第___________个“小屋子”中图形“○”的个数是图形“●”个数的3倍.
15．如图,已知抛物线,线段,若抛物线a和线段b有两个交点,且两个交点均为整点(横、纵坐标均为整数的点),则整数m的值为______.
16．在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于H，G两点，若，，则的值为______.
三、解答题
17．已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件：
①，②，③.
(1)小明探究发现结论：，
证明如下：由①②，得④
由④③，得.
小红探究发现结论：，
证明如下：由①②，得④，
请你将小红的证明过程补充完整；
(2)请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值.
18．一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”.例如，因为，所以是半和数.
(1)已知是半和数，若，，求c的值；
(2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被3整除.你同意嘉嘉的看法吗？说明理由.
19．2025年3月国家卫健委提出“体重管理3年行动计划”，旨在普及健康生活.目前，国际多采用体质指数（以下简称），其计算公式为：（单位：）（其中：偏瘦：；正常：；超重：；肥胖：）.某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取男女生各10人，并对所调查的数据进行整理、描述和分析，下面是部分信息.
信息一：10名男生的身高，体重及统计表
身高(m) 1.57 1.66 1.69 1.73 1.73 1.75 1.78 1.83 1.88 1.67
体重 () 45 49 60 60 65 75 64 72.5 106 52.5
18.3 17.8 21.0 20.0 21.7 24.5 20.2 21.6 30.0 18.8
信息二：10名女生的身高（单位：m）如下：
1.59；1.62；1.64；1.64；1.64；1.66；1.67；1.68；1.70；1.73.
信息三：10名女生的条形图
(1)男生体重的中位数是_____，女生身高的众数是______；
(2)设样本中男生和女生身高的方差为和，则______（填或）；
(3)若该校九年级有学生200人，估计该校九年级学生中超重及肥胖的人数.
20．2025年是“健康体重管理年”，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械.如图(1)所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回.图(2)为其抽象示意图，已知在初始位置，，点B，C，G在同一直线上，，，.
(1)当在初始位置时，求点D到的距离；
(2)当双腿伸直后，点E，D分别从初始位置运动到点，，假设，，C三点共线，求此时点E上升的竖直高度.
（结果精确到，参考数据：，，，，，）
21．围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史.中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋，经问询每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元，学校决定购买40副围棋和副中国象棋.在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋；
方案二：按购买总金额的八折付款.
(1)分别求出按照方案一、二购买的总费用关于m的函数关系式；
(2)若雷莹选择方案二购买更合算，求m的取值范围.
22．如图，为的直径，弦，连接 ，，E为上一点，，连接，并延长交于点M，连接，在的延长线上取一点N，使，连接.

(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线；
(3)连接，交于点F，若，看一看，想一想，证一证：以下与线段，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由.
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，B两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接.当线段的长度取得最大值时，求的最小值；
(3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物交于点N，点M是新抛物上对称轴左侧的一个动点，点K在的对称轴上，连接，当且时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程.
24．如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，.将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接.
(1)与的数量关系是_______，位置关系是_______；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值；
(4)若，当点M为中点时，直接写出的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由数轴可得，
∴
，
，
故选：C.
2．答案：B
解析：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B.
3．答案：B
解析：.
故选：B
4．答案：C
解析：A、与不是同类项，不能合并，故此选项原计算错误，不符合题意；
B、，故此选项原计算错误，不符合题意；
C、，故此选项原计算正确，符合题意；
D、，故此选项原计算错误，不符合题意；
故选：C.
5．答案：D
解析：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D.
6．答案：B
解析：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x.
根据题意，得，
故选：B.
7．答案：D
解析：在和中，，，
A、当添加条件，得到，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意；
B、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意；
C、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意；
D、当添加条件，对应相等的条件为，能证得与全等，该选项符合题意；
故选：D.
8．答案：B
解析：如图所示，设交于H，
∵，
∴，
∴，
故选：B.
9．答案：A
解析：由图可知，，，
则，
由，可得是直角三角形，
由勾股定理可得 ，
即，
解得，即，
所以，
所以.
故选：A.
10．答案：C
解析：甲：设与相交于点O，
由作图可知，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形；
乙：由作图可知，平分，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
故选：C.
11．答案：C
解析：结合题图可知，当点N与点A重合时，的长 ，由图象知此时，
∵点M是的中点，
∴，即圆O的半径，
当的长时，设，
将，代入可得：
解得：，即此时，
过点N作，交的延长线于点G，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
，
∵， ，则，
在中，根据勾股定理，
已知，，则，
由图象可知的最大值为a，
∴，
故选：C.
12．答案：A
解析：如图所示，连接，当时，线段取最小值，
∵线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，
，
∵是等边三角形，
，
，
，
即，
，
，
∴当时，线段取最小值，
过点D作于点G，交于点H，
，
∴，
由勾股定理得，
根据等腰三角形的三线合一可得，点G是中点，且，
，
，
，
在 中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
故选：A.
13．答案：
解析：由题意得，
（吨）
故答案为：.
14．答案：12
解析：分析如下：
“小屋子”编号 “小屋子”中“○”个数 “小屋子”中“●”个数
第1个
第2个
第3个
第4个
… … …
第n个
令，解得，.为正整数，.故第12个“小屋子”中图形“○”的个数是图形“●”个数的3倍.
15．答案：2或4
解析：抛物线a和线段b有两个交点,
联立可得,,
,
当时,有一个交点,解得；当时,解得；
线段,
当时,,
若抛物线过时,将代入抛物线解析式得；若时,抛物线沿着y轴向上平移,与线段只有一个交点,
满足题意的m取值范围是,
为整数,
的值为2或3或4.
当时,抛物线与线段的交点坐标为,,符合要求；
当时,抛物线与线段的交点不是整点,不符合要求；
当时,抛物线与线段的交点坐标为,,符合要求；
的值为2或4,
故答案为：2或4.
16．答案：
解析：分别过点D，E作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
∴在中，，即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
∴，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于H，G两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
17．答案：(1)见解析；
(2)，.
解析：由①②，得④，
由，得，
∴
∴，
又∵，
∴.
(2)解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，即，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意.
18．答案：(1)5
(2)同意；理由见解析
解析：∵是“半和数”，∴.
∵，，
∴.
∴；
(2)同意.
设是一个“半和数”，则.
∴.
∵a，c整数，
∴为整数.
∴任意一个“半和数”都能被3整除.
19．答案：(1)，
(2)>
(3)约30人
解析：∵10名男生的体重（单位：）按从小到大排列为：
45，49，52.5，60，60，64，65，72.5，75，106，
∴中位数为：（）.
∵10名女生的身高（单位：m）如下：
答案：1.59；1.62；1.64；1.64；1.64；1.66；1.67；1.68；1.70；1.73.
∴众数为：.
故答案为：，；
(2)
，
；
，
.
.
故答案为：
(3)解析：男生超重：的1人；肥胖：的1人.
女生超重：的1人；肥胖：的0人.
∴（人）.
答：该校九年级学生中超重及肥胖的约30人.
20．答案：(1)
(2)
解析：过点D作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D到的距离约为；
(2)解析：过点E作于N，过点作于点M，
∵，，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
，
∴点E上升的竖直高度约为.
21．答案：(1)；
(2)
解析： ；
；
(2)解析：∵选择方案二购买更合算，
∴，
∴，
解得，
∴当时，该校选择方案二更划算.
22．答案：(1)4
(2)见解析
(3)正确，见解析
解析：∵，为⊙O的直径，
∴，
∴；
(2)证明：∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
即，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线.
(3)解析：正确.理由如下：
连接，

∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
23．答案：(1)
(2)
(3)或
解析：根据题意：，则，
将代入抛物线解析式得：，
解得：，则，
∴抛物线的表达式为；
(2)解析：将代入，则，
令，解得：或，
∴，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作x轴平行线，交延长线于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
设，
则点纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为，即有最大值，
此时，，即；
将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，
则，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长；
∵，
∴，
∴的最小值为；
(3)解析：根据题意，
令，解得：或，
根据题意：，
∴，
∴，
∵二次函数图象的对称轴为，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
过点M作于点H，过点N作x轴平行线交抛物线对称轴于点T，过点H作y轴平行线，交于点S，过点M作x轴平行线交于点L，则，，，
当点M在N点上方时，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，点H横坐标为2，
设，，则，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
则，
∴；
当点M在N点下方时，
同上得，，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
则，
∴；
综上，所有符合条件的点M的坐标为或.
24．答案：(1)，
(2)证明见解析
(3)
(4)或
解析：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转的性质可得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
令交于N，
∵，，
∴，
∴，
∴；
(2)证明：如图，过点C作与的延长线交于点G，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
(3)解析：如图，过点A作交于H，
由题意可得：为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：（负值不符合题意，舍去），
故；
(4)解析：由题意可得：为等腰直角三角形，
当时，，
∴，
如图，当时，连接、，作交于K，作交于L，作交于L，
由(1)可得：，
∵点M为中点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴；
如图，当时，连接、，作交于W，作交的延长线于R，作交于X，
同理可得：，，
∴，
∴；
综上所述，的值为或.

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