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苏教版高一下册数学必修第二册-第13章 立体几何初步
章末复习
[A　基础达标]
1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由(　　)
A．一个圆台、两个圆锥构成
B．两个圆台、一个圆锥构成
C．两个圆柱、一个圆锥构成
D．一个圆柱、两个圆锥构成
2．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)
A．2＋　　　　　　　　 B．
C． D．1＋
3．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的底面积是侧面积的(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
4．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chu meng)是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中△BCF是正三角形，AB＝2BC＝2EF，以下两个结论：①AB∥EF；②BF⊥ED.则(　　)
A．①和②都不成立
B．①成立，但②不一定成立
C．①不成立，但②成立
D．①和②都成立
5．在等腰直角三角形A′BC中，A′B＝BC＝1，M为A′C的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C BM A的大小为(　　)
A．30°　　　　　　　 B．60°
C．90° D．120°
6.如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均相等，D为A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．
7.如图，在一个底面边长为4 cm的正六棱柱容器内有一个半径为2 cm的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降________ cm.
8．已知直二面角α l β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离为__________．
9．如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
10．如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.
求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
[B　能力提升]
11．已知直线l，m和平面α，β满足l⊥α，m β，下列命题：
①α⊥β l∥m；②α∥β l⊥m；
③l⊥m α∥β；④l∥m α⊥β.
其中正确命题的序号是(　　)
A．①②　　 B．③④
C．①③　　 D．②④
12.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为(　　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
13．(多选)在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．A，M，N，B四点共面
B．BN∥平面ADM
C．直线BN与B1M所成的角为60°
D．平面ADM⊥平面CDD1C1
14.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．
[C　拓展探究]
15．如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1 BCDE.
(1)求证：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1 BCDE的体积为36，求a的值．
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选D．旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D．
2．解析：选A．如图，恢复后的原图形为一直角梯形，
所以S＝(1＋＋1)×2＝2＋.故选A．
3．解析：选C．设底面半径为r，则等边圆锥的母线长为l＝2r，S底＝πr2，S侧＝πrl＝πr×2r＝2πr2，所以＝＝.故选C．
4．解析：选B．因为AB∥CD，CD在平面CDEF内，AB不在平面CDEF内，
所以AB∥平面CDEF，又EF在平面CDEF内，由AB在平面ABFE内，且平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以AB∥EF，故①对；如图，取CD中点G，连接BG，FG，由AB＝CD＝2EF，易知DE∥GF，且DE＝GF，不妨设EF＝1，则BG＝BC＝EF＝，
假设BF⊥ED，则BF2＋FG2＝BG2，即1＋FG2＝2，即FG＝1，但FG的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立．故选B．
5．解析：选C．如图所示，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝.因为M为A′C的中点，所以MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM.所以∠CMA为二面角C BM A的平面角．因为AC＝1，MC＝AM＝，所以∠CMA＝90°.
6.解析：如图，连接B1D，因为三角形A1B1C1为正三角形，则B1D⊥A1C1, 又平面A1B1C1 ⊥平面AC1，交线为A1C1，B1D 平面A1B1C1，则B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，
则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D，由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，由已知，不妨令棱长为2，则可得AD＝＝CD，由等面积法算得AG＝＝，所以直线AD与平面DCB1的正弦值为＝；
故答案为.
答案：
7.解析：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积V＝×π×(2)3＝32π(cm3)，水面高度为4，此时正六棱柱容器中水的体积为V1＝×42×6×4－32π＝(288－32π)(cm3)，
若将铁球从容器中取出，则水面高度h＝＝(4－π)(cm)，则水面下降4－(4－π)＝(π)(cm).故答案为π.
答案：π
8．解析：如图，作DE⊥BC于点E，由α l β为直二面角，AC⊥l，得AC⊥β，进而AC⊥DE.又BC⊥DE，BC∩AC＝C，
于是DE⊥平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离．在Rt△BCD 中，利用等面积法得DE＝＝＝.
答案：
9．证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F，DG⊥AB于点G.
因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC.
又因为PA 平面PAC，所以DF⊥PA.
同理可得DG⊥PA.
因为DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于点H.因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.
又因为AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，所以AE⊥PC.因为AE∩BH＝E，所以PC⊥平面ABE.因为AB 平面ABE，所以PC⊥AB.又因为PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以PA⊥AB.因为PA∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC.
因为AC 平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
10．证明：(1)因为AD∥BC，BC 平面PBC，
AD 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
又平面ADMN∩平面PBC＝MN，
所以AD∥MN.
又因为AD∥BC，所以MN∥BC.
又因为N为PB的中点，
所以M为PC的中点．所以MN＝BC.
因为E为AD的中点，
DE＝AD＝BC＝MN，
所以DEMN.
所以四边形DENM为平行四边形．
所以EN∥DM.
又因为EN 平面PDC，DM 平面PDC，
所以EN∥平面PDC.
(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，
所以BE⊥AD.
又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E，
所以AD⊥平面PEB.
因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥PB.
又因为PA＝AB，且N为PB的中点，
所以AN⊥PB.
因为AD∩AN＝A，所以PB⊥平面ADMN.
又因为PB 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ADMN.
[B　能力提升]
11．解析：选D．由图可知，命题①不正确；
因为α∥β，m β， 所以 n α，且m∥n，
又因为l⊥α， 所以l⊥n，则l⊥m，故命题②正确；
若α∩β＝m，由图可知，命题③不正确；
因为l∥m，l⊥α， 所以m⊥α，又因为m β， 所以α⊥β，故命题④正确．
故选D．
12.解析：选C．因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确；综上C是错误的．故选C．
13．解析：选CD．对于A，A，B，M在平面ABC1D1内，N在平面ABC1D1外，故A错误；
对于B，若BN∥平面ADM，又BC∥平面ADM，则平面BCC1B1∥平面ADM，
而平面BCC1B1∥平面ADD1A1，矛盾，故B错误．对于C，如图，
取CD中点E，连接BE，NE，可得BE∥B1M，∠EBN为直线BN与B1M所成角，
由题意可得△BEN为等边三角形，则∠EBN＝60°，故C正确；
对于D，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD⊥平面CDD1C1，AD 平面ADM，
所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故D正确；故选CD．
14.解析：由题意，这种螺帽是由一个半径为R＝2的半球体挖去一个正三棱锥P ABC构成的几何体，该正三棱锥P ABC的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上，
设BC的中点为D，连接AD，过点P作PO⊥平面ABC，交AD于点O，
则AO＝PO＝R＝2，AD＝3，AB＝BC＝2，所以S△ABC＝×2×3＝3，
所以挖去的正三棱锥的体积为V＝S△ABC·PO＝×3×2＝2.
答案：2
[C　拓展探究]
15．解：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝90°，所以BE⊥AC，BC＝ED.
即在题图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.
又BCED，所以四边形BCDE是平行四边形．
所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，即A1O是四棱锥A1 BCDE的高．
由题图①，可知A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.
从而四棱锥A1 BCDE的体积V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3.由a3＝36，得a＝6.

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