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【培优卷】北师大版（2024)数学七下4.2全等三角形 同步练习
一、选择题
1．（2024·濠江模拟）如图，已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·贵州期中）如图，已知，连接，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·深圳期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七上·东营期末）如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·万州期末）如图，，点A在边上，，ED与AB交于点F，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·深圳期中）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·荣成期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是(　　)
A． B． C． D．1
8．（2024八上·廊坊期中）小明用铁丝做了一个，其中．然后，他又做了一个与全等的三角形，在另外这个三角形中有一个角为，则中等于的角是（　　）
A． B． C． D．或
二、填空题
9．（2018八上·东台期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y=　 　．
10．（2024七下·深圳期中）如图，，则　 　．
11．（2020八上·荆州月考）已知，△ABC≌△DEF， BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18cm2 ，则EF边上的高是　 　cm.
12．（2024八上·婺城期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则　 　．
三、解答题
13．（2021八上·芜湖期中）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE，AB=6，BC=8，CE=10.
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ACE的面积.
14．（2025八上·诸暨期末）如图，已知，点在同一直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，点是的中点，求的长．
15．（2023八上·巧家月考）如图所示，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，点P为的中点．若点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．
（1）用含的代数式表示和的长度（单位：厘米，）；
（2）若点N的运动速度与点M的运动速度相等，当时，点M运动了多少秒
（3）当点N的运动速度为多少时，能够使与全等．
16．（2024七下·光明期中）【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：_______（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是________；
【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值；
【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的性质得出，，再根据角之间的关系可得，根据平行线的性质得出，即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差即可求解．
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再利用平行线的性质及等量代换可得.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，，，，
，即，
如图，记与的交点为，
∵，
∴，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由，得到，，且，，记与的交点为，证得，，结合选项，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】A、，
，A错误；
B、，
，
，
，
，B错误；
C、，，
，
，
∴，，
，C错误；
D、没有足够的条件证明 ，D正确；
故答案为：D．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，即全等三角形的对应边和对应角相等；
A、根据全等三角形对应边相等即可判断；
B、根据全等三角形对应角相等以及题目给的可以推出即可判断；
C、根据全等三角形对应角相等和对顶角相等即可判断C
D、题目给出的条件不足以证明．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得△ABG≌△BEF，
∴∠1=∠EBF，∠2=45°，
∵∠3+∠EBF=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴135°，
故答案为：D.
【分析】先利用全等三角形的性质可得∠1=∠EBF，再结合∠3+∠EBF=90°，∠2=45°，利用角的运算和等量代换可得135°.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；概率公式
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个点，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是，
故选：B．
【分析】本题考查了概率公式的应用，根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，找到符合条件的点P的个数，结合概率公式计算，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形中只能有一个直角，
∴不可能是直角，
∴中等于的角的是．
故答案为：C．
【分析】利用三角形中只能有一个直角，再分析求解即可.
9．【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴x=4，y=5，
∴x+y=4+5=9．
故答案为：9.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可求得x、y的值，则x+y的值可求解。
10．【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，由，根据全等三角形的性质，求得x和y的值，将其代入代数式，进行计算，即可得到答案.
11．【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF
∴S△DEF=S△ABC=18cm
设EF边上的高为h，则 EF·h=18
即 ×6×h=18
h=6
故填6.
【分析】本题还可根据全等三角形的对应边上的高相等，求出BC边上的高，即可得到EF边上的高.
12．【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，
或，
当，
∵，
∴这种情况不存在，
当，
∴．
故答案为：10．
【分析】根据全等三角形的性质可得三角形两个内角度数，再根据三角形的内角和定理即可得到结论．
13．【答案】（1）解：∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24
（2）解：∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE
又∠B=90°
∴∠ACB+∠BAC=90°
∴∠ACB+∠DCE=90°
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°
∴△ACE的面积=
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质可得AC=CE，最后利用三角形的周长公式可得答案；
（2）利用全等三角形的性质可得AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE，利用角的运算求出∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°，再利用三角形的面积公式可得答案。
14．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和定理解题即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到，然后根据中点的定义得到，再根据解题．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
15．【答案】（1）解：由题意得：（厘米），（厘米）．
（2）解：由题意得：（厘米），
∵厘米，点P为的中点，
∴厘米．
∵，
∴．
∴．
解得：．
答：当时，点M运动了3秒
（3）解：设点N运动速度为v厘米∕秒，则（厘米），
分类讨论：
①当△BPM≌△CMN时，，
则
解得．
②当时，，
则
解得．
综上所述，当点N的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据速度、时间和路程的关系即可得到答案；
（2）由可得，即，计算求解即可；
（3）设点N运动速度为v厘米∕秒，则（厘米），分类讨论：①当△BPM≌△CMN时，，②当时，，分别求出点N的速度即可．
（1）解：由题意得：（厘米），（厘米）．
（2）解：由题意得：（厘米），
∵厘米，点P为的中点，
∴厘米．
∵，
∴．
∴．
解得：．
答：当时，点M运动了3秒
（3）解：设点N运动速度为v厘米∕秒，则（厘米），
分类讨论：
①当△BPM≌△CMN时，，
则
解得．
②当时，，
则
解得．
综上所述，当点N的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等
16．【答案】解：（1）图2中，阴影部分的边长为的正方形，因此面积为，也可以从边长为的正方形面积减去图1的面积，即，则
故答案为：，；
（2）由（1）可得
∴，
∴，解得：；
（3）∵两块直角三角板全等，
∴，
∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴，
设，
∴，
∵，即
∴
∵，
∴，解得：，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，表示面积，再由图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系；
（2）利用（1）中关系，整体代入，得出算式，进行求值，即可得到答案；
（3）根据两块全等的特制直角三角板，得到，求得，设，根据已知条件、列方程求得y的值，进而求得影音部分的面积，即可得到答案．
1 / 1【培优卷】北师大版（2024)数学七下4.2全等三角形 同步练习
一、选择题
1．（2024·濠江模拟）如图，已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的性质得出，，再根据角之间的关系可得，根据平行线的性质得出，即可求出答案.
2．（2024八上·贵州期中）如图，已知，连接，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差即可求解．
3．（2024七下·深圳期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再利用平行线的性质及等量代换可得.
4．（2025七上·东营期末）如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，，，，
，即，
如图，记与的交点为，
∵，
∴，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由，得到，，且，，记与的交点为，证得，，结合选项，即可求解.
5．（2024七下·万州期末）如图，，点A在边上，，ED与AB交于点F，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】A、，
，A错误；
B、，
，
，
，
，B错误；
C、，，
，
，
∴，，
，C错误；
D、没有足够的条件证明 ，D正确；
故答案为：D．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，即全等三角形的对应边和对应角相等；
A、根据全等三角形对应边相等即可判断；
B、根据全等三角形对应角相等以及题目给的可以推出即可判断；
C、根据全等三角形对应角相等和对顶角相等即可判断C
D、题目给出的条件不足以证明．
6．（2025七下·深圳期中）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得△ABG≌△BEF，
∴∠1=∠EBF，∠2=45°，
∵∠3+∠EBF=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴135°，
故答案为：D.
【分析】先利用全等三角形的性质可得∠1=∠EBF，再结合∠3+∠EBF=90°，∠2=45°，利用角的运算和等量代换可得135°.
7．（2024七下·荣成期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是(　　)
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；概率公式
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个点，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是，
故选：B．
【分析】本题考查了概率公式的应用，根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，找到符合条件的点P的个数，结合概率公式计算，即可求解．
8．（2024八上·廊坊期中）小明用铁丝做了一个，其中．然后，他又做了一个与全等的三角形，在另外这个三角形中有一个角为，则中等于的角是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形中只能有一个直角，
∴不可能是直角，
∴中等于的角的是．
故答案为：C．
【分析】利用三角形中只能有一个直角，再分析求解即可.
二、填空题
9．（2018八上·东台期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y=　 　．
【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴x=4，y=5，
∴x+y=4+5=9．
故答案为：9.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可求得x、y的值，则x+y的值可求解。
10．（2024七下·深圳期中）如图，，则　 　．
【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，由，根据全等三角形的性质，求得x和y的值，将其代入代数式，进行计算，即可得到答案.
11．（2020八上·荆州月考）已知，△ABC≌△DEF， BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18cm2 ，则EF边上的高是　 　cm.
【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF
∴S△DEF=S△ABC=18cm
设EF边上的高为h，则 EF·h=18
即 ×6×h=18
h=6
故填6.
【分析】本题还可根据全等三角形的对应边上的高相等，求出BC边上的高，即可得到EF边上的高.
12．（2024八上·婺城期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则　 　．
【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，
或，
当，
∵，
∴这种情况不存在，
当，
∴．
故答案为：10．
【分析】根据全等三角形的性质可得三角形两个内角度数，再根据三角形的内角和定理即可得到结论．
三、解答题
13．（2021八上·芜湖期中）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE，AB=6，BC=8，CE=10.
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ACE的面积.
【答案】（1）解：∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24
（2）解：∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE
又∠B=90°
∴∠ACB+∠BAC=90°
∴∠ACB+∠DCE=90°
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°
∴△ACE的面积=
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质可得AC=CE，最后利用三角形的周长公式可得答案；
（2）利用全等三角形的性质可得AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE，利用角的运算求出∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°，再利用三角形的面积公式可得答案。
14．（2025八上·诸暨期末）如图，已知，点在同一直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，点是的中点，求的长．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和定理解题即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到，然后根据中点的定义得到，再根据解题．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
15．（2023八上·巧家月考）如图所示，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，点P为的中点．若点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．
（1）用含的代数式表示和的长度（单位：厘米，）；
（2）若点N的运动速度与点M的运动速度相等，当时，点M运动了多少秒
（3）当点N的运动速度为多少时，能够使与全等．
【答案】（1）解：由题意得：（厘米），（厘米）．
（2）解：由题意得：（厘米），
∵厘米，点P为的中点，
∴厘米．
∵，
∴．
∴．
解得：．
答：当时，点M运动了3秒
（3）解：设点N运动速度为v厘米∕秒，则（厘米），
分类讨论：
①当△BPM≌△CMN时，，
则
解得．
②当时，，
则
解得．
综上所述，当点N的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据速度、时间和路程的关系即可得到答案；
（2）由可得，即，计算求解即可；
（3）设点N运动速度为v厘米∕秒，则（厘米），分类讨论：①当△BPM≌△CMN时，，②当时，，分别求出点N的速度即可．
（1）解：由题意得：（厘米），（厘米）．
（2）解：由题意得：（厘米），
∵厘米，点P为的中点，
∴厘米．
∵，
∴．
∴．
解得：．
答：当时，点M运动了3秒
（3）解：设点N运动速度为v厘米∕秒，则（厘米），
分类讨论：
①当△BPM≌△CMN时，，
则
解得．
②当时，，
则
解得．
综上所述，当点N的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等
16．（2024七下·光明期中）【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：_______（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是________；
【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值；
【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．
【答案】解：（1）图2中，阴影部分的边长为的正方形，因此面积为，也可以从边长为的正方形面积减去图1的面积，即，则
故答案为：，；
（2）由（1）可得
∴，
∴，解得：；
（3）∵两块直角三角板全等，
∴，
∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴，
设，
∴，
∵，即
∴
∵，
∴，解得：，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，表示面积，再由图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系；
（2）利用（1）中关系，整体代入，得出算式，进行求值，即可得到答案；
（3）根据两块全等的特制直角三角板，得到，求得，设，根据已知条件、列方程求得y的值，进而求得影音部分的面积，即可得到答案．
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