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专题18 二次函数的最值问题
一、单选题
1．（2025秋·河南信阳·九年级统考阶段练习）某店加工烤鸭时，烤鸭的口感系数y和加工时间t（h）之间的关系式为y＝－0.2t2＋1.4t－2，口感系数越大，口感越好，则最佳加工时间为（ ）
A．3 B．3或4 C．3.5 D．3或5
【答案】C
【分析】利用二次函数求最值解答即可．
【详解】，
当时，取得最大值，为0.45，则最佳加工时间为3.5h确保正确无误
故选：C．
【点睛】本题考查了利用二次函数求最值，掌握求最值的方法是关键．
2．（2025秋·天津河西·九年级校考期末）已知二次函数，当，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值3
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向上，
∴在的取值范围内，当时取得最大值11，当时，取得最小值2，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．
3．（2025春·广东广州·九年级校考阶段练习）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-3，则m的值是（ ）
A． B． C．-2或 D．或
【答案】C
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【详解】解：由二次函数（m为常数)，得到对称轴为直线x= m，抛物线开口向上，
①当m≥ 2时，由题意得：当x= 2时，y最小值为 -3，代入得：4 - 4m=-3，
即：m = < 2 ，不合题意，舍去；
② 当-1< m< 2时，由题意得：当x=m时，y 最小值为-3，代入得：，即m=或m= (舍去)；
③ 当m≤-1时，由题意得：当x=-1时，y最小值为-3，代入得：1 + 2m=-3，即 m=-2，
综上，m的值是-2或．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
4．（2025秋·广西梧州·九年级校考期中）2025年北京冬奥会的冰墩墩受广大群众的喜爱，某超市销售冰墩墩饰品，每件成本为40元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本．为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少元？（ ）
A．80元，1800元 B．70元，2000元
C．70元，1800元 D．80元，2000元
【答案】C
【分析】设每月所获利润为，按照总利润=销售量(售价-成本)列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】设每月所获利润为，
由题意可知：
，
∵抛物线开口向下，
∴当时，函数有最大值为1800．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
5．（2025春·九年级课时练习）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最大值为4
B．函数图象关于直线对称
C．当时，y随x的增大而减小
D．x＝1或是方程的两个根
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：观察二次函数图象，发现：
开口向下，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的一个交点为．
A、，
二次函数的最大值为顶点的纵坐标，即函数的最大值是4，选项正确，不符合题意；
B、二次函数的对称轴为，
函数的图象关于直线对称，选项正确，不符合题意；
C、当时，随的增大而增大，选项错误，符合题意；
D、二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与轴有一个交点，
二次函数与轴的另一个交点为．
x＝1或是方程的两个根，选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质求解．
6．（2025秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A.B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）.P（3，4）.N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3．则a﹣b+c的最小值是（　　）
A．﹣15 B．﹣12 C．﹣4 D．﹣2
【答案】A
【分析】由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，可以求出抛物线的a值；当顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，即可求解．
【详解】解：由题意可知：当顶点在M处，点A横坐标为-3，
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）2+4，
将点A（-3，0）代入上式得：0=a（-3+1）2+4，解得：a=-1，
当x=-1时，y=a-b+c，
顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，
顶点在N处，抛物线的表达式为：y=-（x-3）2+1，
当x=-1时，y=a-b+c=-（-1-3）2+1=-15，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，本题的核心是确定顶点在M、N处函数表达式，其中函数的二次项系数a始终不变．
7．（2025·浙江杭州·校考一模）关于x的二次函数，其中为锐角，则：
① 当为30°时，函数有最小值；② 函数图像与坐标轴必有三个交点；③ 当时，函数在x >1时，y随 x的增大而增大；④ 无论锐角怎么变化，函数图像必过定点．其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．①④ C．②③ D．①②④
【答案】D
【分析】根据二次函数的图像与性质逐项判定即可．
【详解】解：①当时，，二次函数解析式为，
即当时，函数的最小值为；故①正确；
②令y=0，则，
=24sin2a+＞0，
抛物线与x轴有两个交点，加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴有三个交点，故②正确；
③∵当时，，对称轴，
∴x=1在抛物线对称轴的左侧，因此 x＞1时，y随x的增大先减小后增大，故③错误；
④
，
当时，即时，无论锐角怎么变化，抛物线经过定点或，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及到二次函数最值、二次函数图像与坐标轴交点、二次函数增减性以及二次函数图像过定点等问题，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
8．（2025·山东济南·统考一模）函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化函数为顶点式，可知x=2时取得最大值，所以取值范围必须包含x=2，又可知它的最小值-3是在x=0或x=4时取得的，结合即可得m取值范围．
【详解】解：，
当x=2时，函数取得最大值1，
当函数值取最小值-3时，得，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，根据对称轴求出顶点坐标是解题的关键．
二、填空题
9．（2025秋·北京西城·九年级北京市西城外国语学校校考期中）写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的性质即可得．
【详解】由题意，二次函数有最小值，说明函数开口向上，这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
10．（2025春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数的最大值是______．
【答案】5
【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，5），由a＝﹣2＜0可知：当x＝﹣1时，函数有最大值是5．
【详解】解：∵y＝﹣2（x+1）2+5中，a＝﹣2＜0，
∴此函数的顶点坐标是（﹣1，5），有最大值5，
即当x＝﹣1时，函数有最大值5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
11．（2025·贵州铜仁·统考一模）线段的长为2，为上的一个动点，分别以为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，则的最小值为___．
【答案】1
【分析】利用等腰直角三角形的性质知道AD=CD，C=B，∠ACD=∠A=45°，∠CB=∠B=45°，∠DC=90°．利用勾股定理和完全平方公式的变形得出D的表达式，利用函数的知识求出D的最小值．
【详解】解：在等腰Rt△ACD和等腰Rt△CB中，AD=CD，C=B，∠ACD=∠A=45°，∠CB=∠B=45°
∴∠DC=90°
∴AD2+CD2=AC2，C2+B2=CB2
∴CD2=AC2，C2=CB2，
∵D2=DC2+C2，
∴D
∴当CB=1时，DE的值最小，即D=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质和配方法的应用．
12．（2025秋·福建厦门·九年级厦门一中阶段练习）已知函数①y=﹣x2+1，②y=x2+2x．函数_____（填序号）有最小值．
【答案】②
【分析】根据二次函数图象的开口方向来确定相应二次函数具有的最小值．
【详解】①y=﹣x2+1中a=﹣1＜0，有最大值，②y=x2+2x中a=2＞0，有最小值．
故答案是：②．
【点睛】考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
13．（2025秋·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________
【答案】0或4
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，然后确定当x=4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解．
【详解】解：y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当m-2≤x≤m＜4时，x=-2时二次函数y=x2-2x-3的最大值为：y=4+4-3=5，符合题意，此时m=0；
当m≥4时，x=m时二次函数y=x2-2x-3的最大值为：m2-2m-3=5，
解得m1=4，m2=-2（舍去）．
综上所述，m的值为0或4都符合题意，6和-2都不符合题意．
故答案为：0或4
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定m的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．
14．（2025秋·江西赣州·九年级统考期末）若二次函数在－2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是_________．
【答案】或4．
【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①对称轴在－2≤x≤1左边时；②对称轴在－2≤x≤1上时；③对称轴在－2≤x≤1右边时，三种情况结合增减性讨论即可．
【详解】解：二次函数的对称轴是，
，二次函数开口向下，
①当对称轴在－2≤x≤1左边时，，即，
∴当－2≤x≤1时，随的增大而减小，
即当时，二次函数有最大值为，
解得，
∵，故此种情况无解；
②当对称轴在－2≤x≤1上时，，即，
∴当时，二次函数有最大值为，
解得或，
由于，故；
③当对称轴在－2≤x≤1右边时，，即，
当－2≤x≤1时，随的增大而增大，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
综上①②③所述，或，
故答案为：或4．
【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键．
15．（2025春·四川遂宁·九年级校考期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线的对称轴上，当点到点的距离与到点的距离之和最小时，点的坐标为________．
【答案】
【分析】连结AM，AC，由点M在对称轴l上，根据对称性可得AM=BM，根据两点间距离公式MC+MB=MC+AM≥AC，确定当点M在AC上时，MC+MB最小=AC，先求出A、C两点坐标，利用待定系数法求出AC的解析式，再求抛物线对称轴与AC的交点M的坐标即可．
【详解】解：连结AM，AC，
∵点M在对称轴l上，
∴AM=BM，
∴MC+MB=MC+AM≥AC，
∴当点M在AC上时，MC+MB最小=AC，
当x=0时，y=3，点C（0，3），
当y=0时，，解得x=-3或x=1,
∴点A（-3，0），
设AC解析式为,过点A、C，把坐标代入得：
，
∴解得，
∴AC解析式为,
当x=-1时，
点M（-1，2），．
故答案为（-1，2）．
【点睛】本题考查二次函数的对称轴，两轴的交点坐标，两点之间线段最短，勾股定理，掌握二次函数的对称轴，两轴的交点坐标，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，是解题关键．
16．（2025秋·黑龙江佳木斯·九年级校考期中）如图是二次函数（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=－1，下列判断：①b－2a=0；②4a－2b＋c＜0；③abc＞0；④当x=0和x=－2时，函数值相等； ⑤3a＋c＜0；⑥a－b＞m（ma＋b）；⑦若自变量x的取值范围是－3＜x＜2，则函数值y＞0．其中正确的序号是________．
【答案】①③④⑥
【分析】由抛物线的开口方向、对称轴的位置，与y轴的交点即可判断③；根据对称轴为直线x=－1即可判断①；由x=－2时，y＞0，即可判断②；根据抛物线的对称性，得到抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，(－4，0)，即可判断⑦；根据抛物线的对称性，得到x=－2与x=0时的函数值相等，x=－3与x=2时的函数值相等，即可判断④⑤．当x=－1时，有最大值，据此即可判断⑥．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵直线x=－1是对称轴，
∴a，b同号，b＜0，
∵c＞0，
∴abc＞0，故③正确；
∵直线x=－1是对称轴，
∴－=－1，即b－2a=0，故①正确；
x=－2时，y＞0，
∴4a－2b+c＞0，故②错误；
根据抛物线的对称性，得到x=－3与x=1时的函数值相等，
∴9a－3b+c＞0，
∵b－2a=0，
∴b=2a，
∴3a+c＞0，故⑤错误；
根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，(－4，0)，
若自变量x的取值范围是－4＜x＜2，则函数值y＞0．故⑦错误；
根据抛物线的对称性，得到x=－2与x=0时的函数值相等，故④正确；
根据图示知，当x=－1时，有最大值；
当m≠－1时，有a+bm+c＜a－b+c，
所以a－b＞m（am+b）．故⑥正确．
综上，正确的有①③④⑥．
故答案为：①③④⑥．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
三、解答题
17．（2025秋·山东济南·九年级校考期中）（1）计算（π﹣）0+( )﹣1﹣．
（2）抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y的轴交于点（0，3），求该二次函数的最大值．
【答案】(1)-;(2)4.
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
根据自变量与函数值的对应关系，可得函数解析式，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案．
【详解】(1)解：原式=1+3﹣3
=4﹣
=﹣．
(2) 解：当x=0时，y=m=3，
二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
当x=1时，y最大=4．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂以及二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．
18．（2025·浙江金华·统考一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②最小值为
【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值．
【详解】（1）抛物线与x轴相交于点
解得
；
（2）①点是抛物线上不同的两点．
若，则．
；
②
==，
当=1时，的最小值为-2．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19．（2025秋·甘肃陇南·九年级校考阶段练习）求函数的最值．
【答案】
【分析】直接利用二次函数的最值公式，即可即可得到答案．
【详解】解：二次函数，
，，，
，
该二次函数开口向上，
函数有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的最值公式是解题关键．
20．（2025秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知二次函数．
(1)直接写出二次函数图象的顶点坐标；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围是_____________．
【答案】(1)顶点坐标为；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可求解；
（2）确定其对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标后即可确定函数的图象；
（3）分别令和4求得函数值后即可确定y的取值范围．
【详解】（1）解：
；
∴顶点坐标为；
（2）解：列表：
x 1 2 3 4 5
y 3 0 0 3
描点，连线，故图象为：
；
（3）解：∵当时，；当时，，
又∵当时，y有最小值，
∴当时，y的取值范围是，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及二次函数的性质，作二次函数的图象时，关键是抓住几个关键点．
21．（2025秋·九年级统考期末）羽毛球运动是一项很好的健身项目，羽毛球发球时羽毛球飞行路线为抛物线的一部分，如图，一运动员在O点发球，则羽毛球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数关系式．
(1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度．
(2)已知羽毛球球网高度为m，发球点O与球网的水平距离为3m，试用函数的知识判断这次发球是否能过网．
【答案】(1)2
(2)球能过网，理由见解析
【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解；
（2）求出时球的高度，然后与高度m比较大小即可确定能否过网．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴当时，
．
（2）解：当时，
∵
∴球能过网．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
22．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数的图像为抛物线C．
(1)抛物线C顶点坐标为______；
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由；
(3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2)不经过，说明见解析
(3)
【分析】（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可．
（2）由题意得出平移后的函数表达式，将点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比较，相等则抛物线过该点．
（3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最小值，然后将代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围．
【详解】（1）解：化成顶点式为
∴顶点坐标为
故答案为：．
（2）解：由题意知抛物线的解析式为
将代入解析式解得
∴不经过点．
（3）解：∵对称轴直线在中
∴最小的函数值
将代入解析式得
将代入解析式得
∵
∴函数值的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解题的关键在于正确的表示出函数解析式．
23．（2025春·九年级课时练习）某商场经销一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图中线段所示．
（1）求出该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当该商品每件的销售价定为多少元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
【答案】（1）（）；（2）当该商品每件的销售价定为65元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润，最大销售利润是6250元．
【分析】（1）设该商品每星期的销售量与销售单价之间的函数关系式为： ，将A（40，500），B（90，0）代入，即可求解；
（2）设商场每星期经销该商品能够获得销售利润为w元，可列出w关于x的关系式，将其变形为的形式，结合x的取值范围，即可求解．
【详解】（1）设该商品每星期的销售量与销售单价之间的函数关系式为： ，将A（40，500），B（90，0）代入得：
，解得： ，
∴该商品每星期的销售量与销售单价之间的函数关系式为 ，
自变量的取值范围为 ；
（2）设商场每星期经销该商品能够获得销售利润为w元，根据题意得：
∵-10<0，
∴w有最大值，
∵，
∴当 时，w最大，为6250．
∴当该商品每件的销售价定为65元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润，最大销售利润是6250元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，最大销售利润的问题，常利函数的增减性来解答，我们首先要领会题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题的关键．
24．（2025·河南·校联考一模）某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象及其性质进行了探究，下面是其探究过程．
（1）函数解析式探究：函数的自变量x的取值范围为________．
（2）函数图象探究
①列表如下：
x 0 1 3 4 5 6
y m
其中，m的值为________．
②如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点已画出部分图象，请补全函数图象．
③根据函数图象，写出该函数的一条性质________．
（3）函数性质应用：当时，，当且仅当________时，函数有最小值________．
小明用代数的方法进行了证明：
∵，
∴．
∴．
∴当且仅当时，函数有最小值，即当时，________．
（4）解决问题：在中，若三角形的面积是1，则三角形的两直角边之和最小为________．
【答案】（1）；（2）①2；②作图见解析；③时，y随x的增大而增大；当时y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）3，2，2；（4）．
【分析】（1）由分母，即可得到答案；
（2）①将代入函数解析式即可得到答案；
②用平滑的曲线连接所描的点即可画出图象；
③可以从增减性、对称性、最值等角度进行描述；
（3）数形结合即可得到答案；
（4）利用材料中提供的方法构造完全平方公式即可求出最值．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴函数的自变量x的取值范围为，
故答案为：；
（2）①把代入得，，∴，
故答案为：；
②如图所示：
③时，y随x的增大而增大；当时y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）由图象可知，当时，函数有最小值2，
把时代入得值为2，
故答案为：3，2，2；
（4）∵的面积是1，
设一条直角边为a，则另一条直角边为，
∵，
∴两直角边之和最小为，
故答案为．
【点睛】本题考查了研究新函数性质的方法，数形结合是解决问题的关键．
25．（2025·广东·广东实验中学校考一模）一次函数y＝kx+6与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜6）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
【答案】（1），，；（2），．
【分析】（1）先将点代入一次函数的解析式可求出k的值，从而可得一次函数的解析式，再根据二次函数的解析式可得其顶点坐标为，然后将其代入一次函数的解析式可求出c的值，最后将点代入二次函数的解析式可求出a的值；
（2）先由（1）的结论得出二次函数的解析式，再令可求出点B、C的横坐标，从而可得，由此可得出W关于m的函数解析式，然后根据二次函数的性质求最小值即可．
【详解】（1）由题意，将点代入一次函数的解析式得：
解得
则一次函数的解析式为
二次函数的顶点坐标为
由题意知，在一次函数的图象上
则
将点代入二次函数的解析式得：，即
解得
综上，，，；
（2）由（1）得，二次函数的解析式为
由题意，可设点B的坐标为，点C的坐标为
令得，即
解得
则
则
整理得：
当时，W随m的增大而减小；当时，W随m的增大而增大
则当时，W取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、二次函数的性质等知识点，熟记二次函数的性质是解题关键．
26．（2025秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）将一条长为48cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于74cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
（2）两个正方形的面积之和可能等于68cm2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
（3）该怎么剪，才能使这两个正方形的面积之和为最小，最小值是多少？
【答案】（1）20cm和28cm；（2）不能，理由见解析；（3）剪成两段的长度分别为24cm和24cm时，面积之和最小，72
【分析】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形，设其中一个正方形的长为xcm，表示出另一个的长，然后根据“两个正方形的面积之和等于74cm2”作为相等关系列方程，解方程即可求解；（2）与（1）一样列出方程，利用根的判别式进行判断即可；（3）运用配方法将正方形的面积之和改为顶点式，然后分析最值.
【详解】解：设一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(12-x)cm
则=
（1由题意可得：，
解得：
5×4=20；7×4=28
答：剪成两段的长度分别为20cm和28cm
（2）由题意可得：，
，
，
原方程无实数根
∴不能
（3）由题意可得：，
∵a=2>0
当时，y有最小值为72
因此，剪成两段的长度分别为24cm和24cm时，面积之和最小，为72
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系列出方程是本题的解题关键.
27．（2025秋·湖南长沙·九年级统考期中）已知是关于的函数，若其函数图象经过点，则称点为函数图象上的“郡点”，例如：上存在“郡点”．
（1）直线___________（填写直线解析式）上的每一个点都是“郡点”，双曲线上的“郡点”是___________；
（2）若抛物线上有“郡点”，且“郡点”、（点和点可以重合）的坐标为、，求的最小值．
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“郡点”，且当，的最小值，求的值．
【答案】（1）；或；（2）；（3）的值为或
【分析】（1）根据“郡点”的定义得y＝x时，图象经过点P（t，t）；y＝＝x，函数图象经过点P（t，t），即可求解；
（2）由题意得：y＝x，即：y＝x2＋（a＋1）x a2 a＋2＝x，整理得：
x2＋ax a2 a＋2＝0，由韦达定理，即可求解；
（3）由题意得：y＝x2＋（n k＋1）x＋m＋k 1＝x，由题意△＝0得：m＝（n k）2 （k 1），分当 2≤n＝k≤1、当n＝k≤ 2、n＝k≥1三种情况，求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：y＝x时，图象经过点P（t，t），
y＝＝x，解得：x＝±1，
故答案为：y＝x，（1，1）或（ 1， 1）；
（2）设二次函数的“郡点”为
∴
∴
∴
∴
又“郡点”、（点和点可以重合）
∴△≥0
∴
∴或
对于
∵a=，对称轴a=-
∴时，
（3）∵只有一个“郡点”
∴与只有一个交点
=x
则方程有两个相同的根，
∴
可得
①当 2≤n＝k≤1时，n＝k时，m取得最小值，
即： （k 1）＝k，
解得：k＝；
②当n＝k≤ 2时，n＝ 2，m取得最小值，
即：（ 2 k）2 （k 1）＝k，
x无解；
③当n＝k≥1时，n＝1，m取得最小值，
即：（1 k）2 （k 1）＝k，
解得：k＝2±（舍去负值）
故：k的值为：或2＋．
【点睛】本题考查的二次函数知识的综合运用，核心是用韦达定理对数据进行处理，并且要求学生分清楚因变量和自变量．
28．（2025秋·湖南长沙·九年级雨花外国语学校校考开学考试）在平面直角坐标系中，我们将形如(1，﹣1)，(﹣2.1，2.1)这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
(1)直线 （填写直线解析式）上的每一个点都是“互补点”；直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为 ；
(2)直线y＝kx+2（k≠0）上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
(3)若函数y＝x2+（n﹣k﹣1）x+m+k﹣2的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当﹣1≤n≤2时，m的最小值为k，求k的值．
【答案】(1)y＝﹣x，(1，﹣1)
(2)有，(，)（k≠0，k≠﹣1）
(3)k的值为1或3+
【分析】（1）根据“互补点”的定义即可求解；
（2）假设直线上存在“互补点”，由题意可列出关于x的方程，解这个方程即可；
（3）根据题意列出关于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得m关于n的二次函数，将此函数化为顶点式再由二次函数的增减性进行分类讨论即可求解．
（1）
解：∵纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
∴直线y＝﹣x上的每一个点都是“互补点”；
设直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为（x，2x﹣3），
∴﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，
∴直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为（1，﹣1），
故答案为：y＝﹣x；（1，﹣1）；
（2）
解：假设直线y＝kx+2（k≠0）上存在“互补点”（t，﹣t），
则由题意得：﹣t＝kt+2，
解得：t＝（k≠0，k≠﹣1），
∴直线y＝kx+2（k≠0）上有“互补点”，点的坐标为（，）（k≠0，k≠﹣1）；
（3）
解：设“互补点”的坐标为（t，﹣t），
由题意可知，方程﹣t＝t2+（n﹣k﹣1）t+m+k﹣2有唯一解，
整理得：t2+4（n﹣k）t+4（m+k﹣2）＝0，且Δ＝0．
即16（n﹣k）2﹣4×4（m+k﹣2）＝0，
整理得：m＝n2﹣2kn+k2﹣k+2＝（n﹣k）2﹣k+2．
∴当n＜k时，m随n的增大而减小；当n＞k时，m随n的增大而增大；当n＝k时，m取得最小函数值﹣k+2．
①当﹣1≤k≤2时，此时当n＝k时，m取得最小值，
由题意得﹣k+2＝k，解得k＝1；
②当k＜﹣1时，此时当n＝﹣1时，m取得最小值，
由题意得（﹣1﹣k）2﹣k+2＝k，
整理得：k2+2＝0，显然无解；
③当k＞2时，此时当n＝2时，m取得最小值，
由题意得（2﹣k）2﹣k+2＝k，
整理得：k2﹣6k+6＝0，
解得k1＝3+，k2＝3﹣．
∵k＞2，
∴k＝3+．
综上所述，k的值为1或3+.
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义、解方程、一元二次方程根的判别式以及二次函数的增减性，对“互补点”的理解以及分类讨论的运用是解决本题的关键．
29．（2025秋·河南许昌·九年级统考期中）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)设点为抛物线上一点，当时，点P的纵坐标y满足，求的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把求得的解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）由，可知抛物线开口向下，对称轴为直线，函数有最大值4，故在内，时，有最大值4，时，有最小值，即可求得，，进而即可求得．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，解得，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2），
抛物线开口向下，对称轴为直线，函数有最大值4，
当时，点的纵坐标满足，
，
当时，，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
30．（2025·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）当的面积等于2时，求的值；
（3）在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），C（0，2）；（2）m=或；（3）存在最大值．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线表达式，求解即可；
（2）连接OQ，得到点Q的坐标，利用S=S△OCQ+S△OBQ-S△OBC得出△BCQ的面积，再令S=2，即可解出m的值；
（3）证明△APC∽△QPH，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据三角形的面积，可得QH=，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】解：（1）∵抛物线经过A（-1，0），B（4，0），可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2）；
（2）连接OQ，
∵点Q的横坐标为m，
∴Q（m，），
∴S=S△OCQ+S△OBQ-S△OBC=
=，
令S=2，
解得：m=或；
（3）如图，过点Q作QH⊥BC于H，
∵AC=，BC=，AB=5，
满足AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，又∠QHP=90°，∠APC=∠QPH，
∴△APC∽△QPH，
∴，
∵S△BCQ=BC QH=QH，
∴QH=，
∴，
∴当m=2时，存在最大值．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合．
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专题18 二次函数的最值问题
一、单选题
1．（2025秋·河南信阳·九年级统考阶段练习）某店加工烤鸭时，烤鸭的口感系数y和加工时间t（h）之间的关系式为y＝－0.2t2＋1.4t－2，口感系数越大，口感越好，则最佳加工时间为（ ）
A．3 B．3或4 C．3.5 D．3或5
2．（2025秋·天津河西·九年级校考期末）已知二次函数，当，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值3
3．（2025春·广东广州·九年级校考阶段练习）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-3，则m的值是（ ）
A． B． C．-2或 D．或
4．（2025秋·广西梧州·九年级校考期中）2025年北京冬奥会的冰墩墩受广大群众的喜爱，某超市销售冰墩墩饰品，每件成本为40元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本．为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少元？（ ）
A．80元，1800元 B．70元，2000元
C．70元，1800元 D．80元，2000元
5．（2025春·九年级课时练习）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最大值为4
B．函数图象关于直线对称
C．当时，y随x的增大而减小
D．x＝1或是方程的两个根
6．（2025秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A.B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）.P（3，4）.N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3．则a﹣b+c的最小值是（　　）
A．﹣15 B．﹣12 C．﹣4 D．﹣2
7．（2025·浙江杭州·校考一模）关于x的二次函数，其中为锐角，则：
① 当为30°时，函数有最小值；② 函数图像与坐标轴必有三个交点；③ 当时，函数在x >1时，y随 x的增大而增大；④ 无论锐角怎么变化，函数图像必过定点．其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．①④ C．②③ D．①②④
8．（2025·山东济南·统考一模）函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025秋·北京西城·九年级北京市西城外国语学校校考期中）写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是__________．
10．（2025春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数的最大值是______．
11．（2025·贵州铜仁·统考一模）线段的长为2，为上的一个动点，分别以为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，则的最小值为___．
12．（2025秋·福建厦门·九年级厦门一中阶段练习）已知函数①y=﹣x2+1，②y=x2+2x．函数_____（填序号）有最小值．
13．（2025秋·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________
14．（2025秋·江西赣州·九年级统考期末）若二次函数在－2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是_________．
15．（2025春·四川遂宁·九年级校考期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线的对称轴上，当点到点的距离与到点的距离之和最小时，点的坐标为________．
16．（2025秋·黑龙江佳木斯·九年级校考期中）如图是二次函数（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=－1，下列判断：①b－2a=0；②4a－2b＋c＜0；③abc＞0；④当x=0和x=－2时，函数值相等； ⑤3a＋c＜0；⑥a－b＞m（ma＋b）；⑦若自变量x的取值范围是－3＜x＜2，则函数值y＞0．其中正确的序号是________．
三、解答题
17．（2025秋·山东济南·九年级校考期中）（1）计算（π﹣）0+( )﹣1﹣．
（2）抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y的轴交于点（0，3），求该二次函数的最大值．
18．（2025·浙江金华·统考一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
19．（2025秋·甘肃陇南·九年级校考阶段练习）求函数的最值．
20．（2025秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知二次函数．
(1)直接写出二次函数图象的顶点坐标；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围是_____________．
21．（2025秋·九年级统考期末）羽毛球运动是一项很好的健身项目，羽毛球发球时羽毛球飞行路线为抛物线的一部分，如图，一运动员在O点发球，则羽毛球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数关系式．
(1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度．
(2)已知羽毛球球网高度为m，发球点O与球网的水平距离为3m，试用函数的知识判断这次发球是否能过网．
22．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数的图像为抛物线C．
(1)抛物线C顶点坐标为______；
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由；
(3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
23．（2025春·九年级课时练习）某商场经销一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图中线段所示．
（1）求出该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当该商品每件的销售价定为多少元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
24．（2025·河南·校联考一模）某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象及其性质进行了探究，下面是其探究过程．
（1）函数解析式探究：函数的自变量x的取值范围为________．
（2）函数图象探究
①列表如下：
x 0 1 3 4 5 6
y m
其中，m的值为________．
②如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点已画出部分图象，请补全函数图象．
③根据函数图象，写出该函数的一条性质________．
（3）函数性质应用：当时，，当且仅当________时，函数有最小值________．
小明用代数的方法进行了证明：
∵，
∴．
∴．
∴当且仅当时，函数有最小值，即当时，________．
（4）解决问题：在中，若三角形的面积是1，则三角形的两直角边之和最小为________．
25．（2025·广东·广东实验中学校考一模）一次函数y＝kx+6与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜6）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
26．（2025秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）将一条长为48cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于74cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
（2）两个正方形的面积之和可能等于68cm2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
（3）该怎么剪，才能使这两个正方形的面积之和为最小，最小值是多少？
27．（2025秋·湖南长沙·九年级统考期中）已知是关于的函数，若其函数图象经过点，则称点为函数图象上的“郡点”，例如：上存在“郡点”．
（1）直线___________（填写直线解析式）上的每一个点都是“郡点”，双曲线上的“郡点”是___________；
（2）若抛物线上有“郡点”，且“郡点”、（点和点可以重合）的坐标为、，求的最小值．
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“郡点”，且当，的最小值，求的值．
28．（2025秋·湖南长沙·九年级雨花外国语学校校考开学考试）在平面直角坐标系中，我们将形如(1，﹣1)，(﹣2.1，2.1)这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
(1)直线 （填写直线解析式）上的每一个点都是“互补点”；直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为 ；
(2)直线y＝kx+2（k≠0）上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
(3)若函数y＝x2+（n﹣k﹣1）x+m+k﹣2的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当﹣1≤n≤2时，m的最小值为k，求k的值．
29．（2025秋·河南许昌·九年级统考期中）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)设点为抛物线上一点，当时，点P的纵坐标y满足，求的值．
30．（2025·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）当的面积等于2时，求的值；
（3）在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
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