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专题19 一元二次方程单元过关检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2025秋·河北张家口·九年级统考期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程为（ ）
A． B．
C．（a，b为常数） D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意；
B、是分式方程，故不符合题意；
C、当a=0，b≠0时，方程（a和b为常数）为一元一次方程，当a≠0时，方程（a和b为常数）为一元二次方程，故不符合题意；
D、将化为一般式为，通过观察可得是一元二次方程，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义（指只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程），熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（2025秋·全国·九年级期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∴方程的一般形式为：
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键．
3．（2025春·八年级课时练习）若关于x的一元二次方程有一个根是2，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】把代入一元二次方程得，化简整理即可求解．
【详解】解：把代入一元二次方程，得
，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
4．（2025·广东广州·三模）方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】解：方程，
开方得：或，
解得：．
故选：A．
【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．
5．（2025秋·湖北黄冈·九年级校考期中）已知关于x的方程，则下列分析正确的是（　　）
A．当时，方程有两个相等的实数根
B．当时，方程有两个不相等的实数根
C．当时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
【答案】B
【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为，再判断各选项的正确与否即可．
【详解】解：方程可整理为，
∴．
当时，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A不符合题意；
当时，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B符合题意；
当时，的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C不符合题意；
∵方程的根的情况和的值有关，
故选项D不符合题意．
故选B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用能力，关键是能对该方程进行准确变形与计算．
6．（2025·全国·九年级专题练习）抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．2或 D．2或3
【答案】D
【分析】抛物线必定与y轴有1个交点，另一个交点在x轴，关键二次函数与一元二次方程的关系解题．
【详解】解：由题意得，当抛物线与y轴有1个交点，与x轴只有1个交点时，则
解得
当图象过原点并和x轴有2个交点时，则
0= a 2
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．（2025春·八年级课时练习）配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：
①用配方法解方程，变形后的结果是；
②已知方程可以配成，那么可以配成；
③若关于的方程有实数根，则；
④若可以配成形如的形式，则；
⑤用配方法可以求得代数式的最小值是1．
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据配方法和完全平方式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴，故①正确；
∵可以配成，
∴，即，
∴即，可以配方为，即，故②错误；
∵关于x的方程，即方程有实数根，
∴，
解得，故③正确；
∵可以配成形如的形式，
∴是一个完全平方式，
∴，故④错误；
∵，，
∴，
∴的最小值为1，故⑤正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了配方法和完全平方式中的字母求值，熟知配方法是解题的关键．
8．（2025春·八年级课时练习）根据下列表格的对应值：
由此可判断方程必有一个解满足(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据表中的数据可得时，，当时，，可判断当时，，即可求解．
【详解】解：根据表中的数据可得时，，当时，
∴时，
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的近似值，熟悉二次函数的图像是解题的关键.
9．（2025秋·九年级课时练习）某市近两年环保工作卓有成效，全年空气质量重度污染天数从2019年的36天降到2021年的25天．按照这样的降低率，该市全年空气质量重度污染天数首次不超过18天的年份是（ ）
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
【答案】B
【分析】设每年降低率为x，根据重度污染天数从2019年的36天降到2021年的25天建立方程求解，再设需要n年重度污染天数首次不超过18天，根据题意列不等式，整理得出，然后试值，即可解答．
【详解】解：设每年降低率为x，
则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或（舍去） ，
设再需要n年重度污染天数首次不超过18天，
∵ ，
∴，
当n=1时，，
当n=2时，，符合题意，
∴再经过两年重度污染天数首次不超过18天，该年份是2023年．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-百分率问题，解题的关键根据题意建立方程求出降低率．
10．（2025春·广东广州·九年级专题练习）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t，可得x=t-1或x=-3-t是方程ax2-bx+1=0的两个根，则有b=4a，再由y=a（x-2）2-4a，可得-4a≤-1，即将a≥，将点P(m,2)代入函数解析式可得a=，利用a的取值范围确定m的取值范围即可求解．
【详解】解：当y≥-1时，ax2-bx≥-1，
∴ax2-bx+1≥0，
∵当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t，
∴x=t-1或x=-3-t是方程ax2-bx+1=0的两个根，
∴t-1-3-t=-，
∴b=-4a，
∴y=ax2-bx=ax2+4ax=a（x+2）2-4a，
∴x=-2是函数的对称轴，
又∵当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t．
∴-4a≤-1，
∴a≥，
∵函数经过点P（m，2），
∴am2+4am=2，
∴a=，
∴≥，
∴m2+4m≤8，
∴m2+4m-8≤0，
∴-2-2≤m≤-2+2，
∴m的可能取值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2025秋·全国·九年级专题练习）方程的根为__________．
【答案】或/x=4或x=2
【分析】将方程右边提出，之后整体移至左边，再将左边因式分解即可得．
【详解】解：
，
移项，得：，
将左边因式分解，得：，
即，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查用因式分解法解方程的能力，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
12．（2025春·八年级课时练习）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______．
【答案】/
【分析】根据非负数的性质，即可得出，从而求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，以及非负数的性质，掌握一个数的平方为非负数是解题关键．
13．（2025秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为____________．
【答案】x(x-1)=90
【分析】每个人都要发送（x-1）次微信，有x个人，由微信的总数量列出方程，即可得到答案．
【详解】解：设数学兴趣小组的人数为x个，
∴每人要发送（x-1）次微信，
∴全班共送x（x-1）=90，
故答案为：x（x-1）=90．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是本题的关键．
14．（2025春·八年级课时练习）方程的根的判别式的值是__________．
【答案】9
【分析】先根据一元二次方程的定义得出，，的值，再根据根的判别式计算公式即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，，
则其根的判别式为，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式计算公式是解题关键．
15．（2025秋·全国·九年级专题练习）小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等．设花园四周小路的宽度均为xm，根据题意可列一元二次方程：_________；
通过解方程得出小路的宽为2米或12米，对方程解的合理性进行验证，因为荒地的宽为12 m，并且小路的宽应小于荒地宽的一半，所以小路的宽不能为_____m，它不是实际问题的解，应舍去．而小路的宽__m符合这个实际问题，所以小路的宽是_____m．
【答案】 （16－2x）（12－2x）＝×16×12 12 2 2
【解析】略
16．（2025秋·七年级课时练习）在方程中，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是______ ．
【答案】
【详解】分析：以y代替已知方程中的（x2﹣3x）即可．
详解：∵设y=x2﹣3x，
∴由方程，得：y++3=0，
去分母，得：y2+3y+2=0．
故答案为y2+3y+2=0．
点睛：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
三、解答题
17．（2025秋·九年级课时练习）解方程：（1） （2）
【答案】（1）x1=1，x2=-5；（2）x1=，x2=3
【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴或，
解得：x1=1，x2=-5；
（2），
∵a=2，b=-5，c=-3，
∴△=25-4×2×（-3）=49＞0，
∴x=，
解得：x1=，x2=3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．（2025秋·四川绵阳·九年级统考期末）已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根．
【答案】（1）；（2）当时，两个根
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且△=4（k+1）2-4k2≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可；
（2）直接得出k的值，进而解方程得出答案．
【详解】解:（1）根据题意得k2≠0且△=4（k+1）2-4k2=8k+4≥0，
解得：k≥-且k≠0；
（2）∵k≥-且k≠0，k为符合条件的最小整数，
∴k=1，
故x2-4x+1=0，
则x2-4x+4=-1+4，
故（x-2）2=3，
则x-2=± ，
解得：x1=2+，x2=2-．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．
19．（2025春·全国·八年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小即可．
【详解】（1）解：．
（2），
∵，
∴当即时，
原式有最小值．
（3），
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键．
20．（2025春·八年级课时练习）已知方程是关于的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数方程中有两个不相等的实数根．
(2)若，是方程的两根，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴对于任意实数，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴原方程为，
∵，是方程的两根，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
21．（2025春·全国·八年级专题练习）某演出团体准备在常州大剧院举办迎新演出，该剧院共有1500个座位．如果票价定为每张100元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加1元/张，那么门票就会减少3张．演出团体既要让利于民又要使得门票收入为240000元，则票价应该定为多少元/张？
【答案】200元/张
【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程，解之即可，再根据让利于民进行取舍．
【详解】解：设票价应定为x元/张，依题意有
，
解得：，．
∵要让利于民，
∴，
答：票价应定为200元/张．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
22．（2025春·全国·八年级专题练习）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
【答案】(1)；
(2)9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2025秋·全国·九年级专题练习）阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以＝﹣3．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1．求的值．
【答案】（1）-2，-；（2）﹣；（3）﹣．
【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；
（2）把m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2＝mn（m+n），然后利用整体的方法计算；
（3）先把t2+99t+19＝0变形为19 （）2+99 +1＝0，则把实数s和可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，利用根与系数的关系得到s+＝﹣，s ＝，然后变形为s+4 +，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1）x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝﹣；
故答案为﹣2；﹣；
（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，
∴m+n＝1，mn＝﹣，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；
（3）把t2+99t+19＝0变形为19 （）2+99 +1＝0，
实数s和可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，
∴s+＝﹣，s ＝，
∴＝s+4 +＝﹣+4×＝﹣．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．
24．（2025·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动、同时点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
(1)的面积能否等于？请说明理由．
(2)几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．
【答案】(1)的面积不能等于，理由见解析
(2)1s后，四边形的面积等于
【分析】（1）根据的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得所列方程没有实数根，进而得出的面积不等等于；
（2）根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合当时，点重合，即可得出结论．
【详解】（1）解：的面积不能等于，理由如下：
s，s，
运动时间的取值范围为：，
根据题意可得：cm， cm，cm，
假设的面积等于，
则，
整理得：，
，
所列方程没有实数根，
的面积不能等于；
（2）解：由（1）得：cm， cm，cm，运动时间的取值范围为：，
四边形的面积等于，
，
整理得：，
解得，，
当当时，点重合，不符合题意，舍去，
，
答：1s后，四边形的面积等于．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记当时，方程无实数根．
25．（2018秋·九年级单元测试）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或；
③选取一次项和常数项配方：．
根据上述材料，解决下面问题：
写出的两种不同形式的配方；
若，求的值；
若关于的代数式是完全平方式，求的值；
用配方法证明：无论取什么实数时，总有恒成立．
【答案】（1）①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：； ；或；（4）详见解析．
【分析】（1）根据题目中所给的方法解答即可；（2）把化为，根据非负数的性质求得x、y的值，即可求得的值；（3）根据完全平方式的特点，结合根的判别式解答即可；（4）因＞0，由此即可解答.
【详解】(1)①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：；
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
根据题意得，
解得或；
证明：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方是解题的关键．
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专题19 一元二次方程单元过关检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2025秋·河北张家口·九年级统考期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程为（ ）
A． B．
C．（a，b为常数） D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意；
B、是分式方程，故不符合题意；
C、当a=0，b≠0时，方程（a和b为常数）为一元一次方程，当a≠0时，方程（a和b为常数）为一元二次方程，故不符合题意；
D、将化为一般式为，通过观察可得是一元二次方程，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义（指只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程），熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（2025秋·全国·九年级期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∴方程的一般形式为：
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键．
3．（2025春·八年级课时练习）若关于x的一元二次方程有一个根是2，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】把代入一元二次方程得，化简整理即可求解．
【详解】解：把代入一元二次方程，得
，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
4．（2025·广东广州·三模）方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】解：方程，
开方得：或，
解得：．
故选：A．
【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．
5．（2025秋·湖北黄冈·九年级校考期中）已知关于x的方程，则下列分析正确的是（　　）
A．当时，方程有两个相等的实数根
B．当时，方程有两个不相等的实数根
C．当时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
【答案】B
【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为，再判断各选项的正确与否即可．
【详解】解：方程可整理为，
∴．
当时，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A不符合题意；
当时，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B符合题意；
当时，的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C不符合题意；
∵方程的根的情况和的值有关，
故选项D不符合题意．
故选B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用能力，关键是能对该方程进行准确变形与计算．
6．（2025·全国·九年级专题练习）抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．2或 D．2或3
【答案】D
【分析】抛物线必定与y轴有1个交点，另一个交点在x轴，关键二次函数与一元二次方程的关系解题．
【详解】解：由题意得，当抛物线与y轴有1个交点，与x轴只有1个交点时，则
解得
当图象过原点并和x轴有2个交点时，则
0= a 2
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．（2025春·八年级课时练习）配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：
①用配方法解方程，变形后的结果是；
②已知方程可以配成，那么可以配成；
③若关于的方程有实数根，则；
④若可以配成形如的形式，则；
⑤用配方法可以求得代数式的最小值是1．
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据配方法和完全平方式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴，故①正确；
∵可以配成，
∴，即，
∴即，可以配方为，即，故②错误；
∵关于x的方程，即方程有实数根，
∴，
解得，故③正确；
∵可以配成形如的形式，
∴是一个完全平方式，
∴，故④错误；
∵，，
∴，
∴的最小值为1，故⑤正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了配方法和完全平方式中的字母求值，熟知配方法是解题的关键．
8．（2025春·八年级课时练习）根据下列表格的对应值：
由此可判断方程必有一个解满足(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据表中的数据可得时，，当时，，可判断当时，，即可求解．
【详解】解：根据表中的数据可得时，，当时，
∴时，
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的近似值，熟悉二次函数的图像是解题的关键.
9．（2025秋·九年级课时练习）某市近两年环保工作卓有成效，全年空气质量重度污染天数从2019年的36天降到2021年的25天．按照这样的降低率，该市全年空气质量重度污染天数首次不超过18天的年份是（ ）
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
【答案】B
【分析】设每年降低率为x，根据重度污染天数从2019年的36天降到2021年的25天建立方程求解，再设需要n年重度污染天数首次不超过18天，根据题意列不等式，整理得出，然后试值，即可解答．
【详解】解：设每年降低率为x，
则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或（舍去） ，
设再需要n年重度污染天数首次不超过18天，
∵ ，
∴，
当n=1时，，
当n=2时，，符合题意，
∴再经过两年重度污染天数首次不超过18天，该年份是2023年．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-百分率问题，解题的关键根据题意建立方程求出降低率．
10．（2025春·广东广州·九年级专题练习）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t，可得x=t-1或x=-3-t是方程ax2-bx+1=0的两个根，则有b=4a，再由y=a（x-2）2-4a，可得-4a≤-1，即将a≥，将点P(m,2)代入函数解析式可得a=，利用a的取值范围确定m的取值范围即可求解．
【详解】解：当y≥-1时，ax2-bx≥-1，
∴ax2-bx+1≥0，
∵当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t，
∴x=t-1或x=-3-t是方程ax2-bx+1=0的两个根，
∴t-1-3-t=-，
∴b=-4a，
∴y=ax2-bx=ax2+4ax=a（x+2）2-4a，
∴x=-2是函数的对称轴，
又∵当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t．
∴-4a≤-1，
∴a≥，
∵函数经过点P（m，2），
∴am2+4am=2，
∴a=，
∴≥，
∴m2+4m≤8，
∴m2+4m-8≤0，
∴-2-2≤m≤-2+2，
∴m的可能取值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2025秋·全国·九年级专题练习）方程的根为__________．
【答案】或/x=4或x=2
【分析】将方程右边提出，之后整体移至左边，再将左边因式分解即可得．
【详解】解：
，
移项，得：，
将左边因式分解，得：，
即，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查用因式分解法解方程的能力，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
12．（2025春·八年级课时练习）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______．
【答案】/
【分析】根据非负数的性质，即可得出，从而求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，以及非负数的性质，掌握一个数的平方为非负数是解题关键．
13．（2025秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为____________．
【答案】x(x-1)=90
【分析】每个人都要发送（x-1）次微信，有x个人，由微信的总数量列出方程，即可得到答案．
【详解】解：设数学兴趣小组的人数为x个，
∴每人要发送（x-1）次微信，
∴全班共送x（x-1）=90，
故答案为：x（x-1）=90．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是本题的关键．
14．（2025春·八年级课时练习）方程的根的判别式的值是__________．
【答案】9
【分析】先根据一元二次方程的定义得出，，的值，再根据根的判别式计算公式即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，，
则其根的判别式为，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式计算公式是解题关键．
15．（2025秋·全国·九年级专题练习）小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等．设花园四周小路的宽度均为xm，根据题意可列一元二次方程：_________；
通过解方程得出小路的宽为2米或12米，对方程解的合理性进行验证，因为荒地的宽为12 m，并且小路的宽应小于荒地宽的一半，所以小路的宽不能为_____m，它不是实际问题的解，应舍去．而小路的宽__m符合这个实际问题，所以小路的宽是_____m．
【答案】 （16－2x）（12－2x）＝×16×12 12 2 2
【解析】略
16．（2025秋·七年级课时练习）在方程中，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是______ ．
【答案】
【详解】分析：以y代替已知方程中的（x2﹣3x）即可．
详解：∵设y=x2﹣3x，
∴由方程，得：y++3=0，
去分母，得：y2+3y+2=0．
故答案为y2+3y+2=0．
点睛：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
三、解答题
17．（2025秋·九年级课时练习）解方程：（1） （2）
【答案】（1）x1=1，x2=-5；（2）x1=，x2=3
【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴或，
解得：x1=1，x2=-5；
（2），
∵a=2，b=-5，c=-3，
∴△=25-4×2×（-3）=49＞0，
∴x=，
解得：x1=，x2=3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．（2025秋·四川绵阳·九年级统考期末）已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根．
【答案】（1）；（2）当时，两个根
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且△=4（k+1）2-4k2≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可；
（2）直接得出k的值，进而解方程得出答案．
【详解】解:（1）根据题意得k2≠0且△=4（k+1）2-4k2=8k+4≥0，
解得：k≥-且k≠0；
（2）∵k≥-且k≠0，k为符合条件的最小整数，
∴k=1，
故x2-4x+1=0，
则x2-4x+4=-1+4，
故（x-2）2=3，
则x-2=± ，
解得：x1=2+，x2=2-．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．
19．（2025春·全国·八年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小即可．
【详解】（1）解：．
（2），
∵，
∴当即时，
原式有最小值．
（3），
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键．
20．（2025春·八年级课时练习）已知方程是关于的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数方程中有两个不相等的实数根．
(2)若，是方程的两根，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴对于任意实数，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴原方程为，
∵，是方程的两根，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
21．（2025春·全国·八年级专题练习）某演出团体准备在常州大剧院举办迎新演出，该剧院共有1500个座位．如果票价定为每张100元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加1元/张，那么门票就会减少3张．演出团体既要让利于民又要使得门票收入为240000元，则票价应该定为多少元/张？
【答案】200元/张
【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程，解之即可，再根据让利于民进行取舍．
【详解】解：设票价应定为x元/张，依题意有
，
解得：，．
∵要让利于民，
∴，
答：票价应定为200元/张．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
22．（2025春·全国·八年级专题练习）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
【答案】(1)；
(2)9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2025秋·全国·九年级专题练习）阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以＝﹣3．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1．求的值．
【答案】（1）-2，-；（2）﹣；（3）﹣．
【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；
（2）把m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2＝mn（m+n），然后利用整体的方法计算；
（3）先把t2+99t+19＝0变形为19 （）2+99 +1＝0，则把实数s和可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，利用根与系数的关系得到s+＝﹣，s ＝，然后变形为s+4 +，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1）x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝﹣；
故答案为﹣2；﹣；
（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，
∴m+n＝1，mn＝﹣，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；
（3）把t2+99t+19＝0变形为19 （）2+99 +1＝0，
实数s和可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，
∴s+＝﹣，s ＝，
∴＝s+4 +＝﹣+4×＝﹣．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．
24．（2025·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动、同时点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
(1)的面积能否等于？请说明理由．
(2)几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．
【答案】(1)的面积不能等于，理由见解析
(2)1s后，四边形的面积等于
【分析】（1）根据的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得所列方程没有实数根，进而得出的面积不等等于；
（2）根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合当时，点重合，即可得出结论．
【详解】（1）解：的面积不能等于，理由如下：
s，s，
运动时间的取值范围为：，
根据题意可得：cm， cm，cm，
假设的面积等于，
则，
整理得：，
，
所列方程没有实数根，
的面积不能等于；
（2）解：由（1）得：cm， cm，cm，运动时间的取值范围为：，
四边形的面积等于，
，
整理得：，
解得，，
当当时，点重合，不符合题意，舍去，
，
答：1s后，四边形的面积等于．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记当时，方程无实数根．
25．（2018秋·九年级单元测试）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或；
③选取一次项和常数项配方：．
根据上述材料，解决下面问题：
写出的两种不同形式的配方；
若，求的值；
若关于的代数式是完全平方式，求的值；
用配方法证明：无论取什么实数时，总有恒成立．
【答案】（1）①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：； ；或；（4）详见解析．
【分析】（1）根据题目中所给的方法解答即可；（2）把化为，根据非负数的性质求得x、y的值，即可求得的值；（3）根据完全平方式的特点，结合根的判别式解答即可；（4）因＞0，由此即可解答.
【详解】(1)①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：；
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
根据题意得，
解得或；
证明：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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