期末真题重组检测卷(含解析)-2024-2025学年数学八年级下册湘教版

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期末真题重组检测卷-2024-2025学年数学八年级下册湘教版
一.选择题(共10小题)
1.(2023秋 济南期末)过多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成8个三角形,这个多边形的边数是(  )
A.8 B.9 C.10 D.11
2.(2024秋 成都期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(  )
A.OA⊥OB B.∠BAC=∠ACB C.OA=OB D.AD=AB
3.(2024春 凤山县期末)如图1,正方形ABCD的边长为2,点E为CD边的中点,动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示,则点M的坐标为(  )
A. B.(2,2) C. D.(2,2.5)
4.(2024秋 金沙县期末)以下列各组数为边长,可以构成直角三角形的是(  )
A.2,3,4 B.3,4,6 C.6,8,15 D.5,12,13
5.(2024秋 两江新区校级期末)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=120°,AB=4,AD=8,点H、G分别是边CD、BC上的动点.连接AH、HG,点E为AH的中点,点F为GH的中点,连接EF.则EF的最大值与最小值的差为(  )
A.2 B. C. D.
6.(2022秋 邗江区校级期末)在一次函数y=(2m﹣1)x+1中,y的值随着x值的增大而增大,则它的图象不经过(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.(2024秋 靖江市期末)已知直线MN∥x轴,M点的坐标为(2,3),并且线段MN=3,则点N的坐标为(  )
A.(﹣1,3) B.(5,3)
C.(1,3)或(5,3) D.(﹣1,3)或(5,3)
8.(2024秋 茂名期末)如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为(  )
A.25 B.49 C.81 D.100
9.(2024秋 绍兴期末)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+4的图象与x轴、y轴交于点M,N,直线l2:y=kx+b经过点N,且与x轴交于OM的中点P,以A(1,3),B(1,2),C(3,2)为顶点的△ABC在第一象限内,将△ABC向左平移n个单位,若△ABC的各边始终与直线l1或直线l2有交点,则n的取值范围是(  )
A. B. C.2≤n≤5 D.2≤n≤3
10.(2024秋 凤阳县期末)如图,菱形ABCD的边长为3cm,∠B=60°,动点P从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达点A后停止运动;同时动点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达点A后停止运动.设点P的运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象为(  )
A. B.
C. D.
二.填空题(共6小题)
11.(2024秋 嵊州市期末)已知点A的坐标是(1,2),则点A向右平移2个单位后的坐标是    .
12.(2020秋 南海区期末)一次函数y=2x﹣1的图象经过点(a,5),则a=    .
13.(2024秋 沙坪坝区校级期末)如图,3×3的方格纸中小正方形的边长为1,A,B两点在格点上,以线段AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多有     个.
14.(2024秋 临淄区期末)如图,菱形ABCD的周长为20,面积为24,P是对角线BD上一点,分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF,则PE+PF等于     .
15.(2024秋 铁西区期末)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B′C=2尺.则AC的长度为     尺.
16.(2024秋 西湖区期末)如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,点P从点A出发沿A→B→C以1cm/s的速度匀速运动至点C,图(2)是点P运动时,△ACP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象,则△ABC的面积为    cm2,周长为    cm.
三.解答题(共8小题)
17.(2024春 南充期末)如图,在矩形ABCD中,点E是BC边上一点,AE=AD,DF⊥AE于点F.
(1)求证:AB=DF.
(2)若AB=8,CE=4,求BC的长.
18.(2024秋 大东区期末)如图是某校的平面示意图.
(1)以大门A所在位置为原点,请在该题图中画出平面直角坐标系;
(2)在(1)的基础上,表示下列各点坐标:
教学楼B:    ;实验楼C:    ;图书馆D:    ;
操场E:    ;
(3)若体育馆F的位置坐标为(5,﹣1),在图中标出它的位置.
19.(2024秋 奉节县期末)全民健身手牵手,社区运动心连心.为提升社区居民的幸福感,某小区准备将辖区内的一块平地,如图所示的四边形ABCD进行改建,将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板.经测量,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=24米,BC=7米,CD=15米,AD=20米.
(1)求AC的长度;
(2)已知运动型塑胶地板每平方米200元,请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板,购买运动型塑胶地板的费用需要多少元?
20.(2024秋 遵义期末)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,∠1=∠2.有下列条件:①AB=BC;②AC⊥BD.
(1)从①②中任选一个作为条件,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)在(1)的条件下,若∠ABC=60°,AB,求菱形ABCD的面积.
21.(2024秋 海曙区期末)“书香中国,读领未来”,4月23日是世界读书日,我市某书店同时购进A,B两类图书,已知购进3本A类图书和4本B类图书共需192元;购进6本A类图书和2本B类图书共需240元.
(1)A,B两类图书每本的进价各是多少元?
(2)该书店计划恰好用48000元来购进这两类图书,设购进A类x本,B类y本.
①求y关于x的关系式.
②进货时,A类图书的购进数量不少于500本,已知A类图书每本的售价为38元,B类图书每本的售价为30元,如何进货才能使书店所获利润最大?最大利润为多少元?
22.(2024秋 沛县期末)如图,在△ABC中,CF⊥AB,垂足为F,BE⊥AC,垂足为E,M为BC的中点,连接MF,ME.
(1)求证:ME=MF;
(2)若∠ABC=54°,∠ACB=60°,求∠FME的大小.
23.(2024秋 河源期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,点D在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
(1)求AB的长;
(2)求点C和点D的坐标;
(3)y轴上是否存在一点P,使得S△PABS△OCD?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
24.(2024秋 宽城县期末)【问题背景】
著名的赵爽弦图(如图①,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c,大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2.
【探索求证】
古今中外,勾股定理有很多证证明方法,如图②,Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置,连接CD,其中∠A=∠B=∠DEC=90°,请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上),并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=2.4千米,HB=1.8千米,求新路CH比原路CA少多少千米?
【延伸扩展】
在第(2)向中若AB≠AC时,CH⊥AB,AC=5,BC=6,AB=7,设AH=x,求x的值.
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参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D C D D D B D
一.选择题(共10小题)
1.(2023秋 济南期末)过多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成8个三角形,这个多边形的边数是(  )
A.8 B.9 C.10 D.11
【解答】解:设这个多边形的边数是n,
由题意得:n﹣2=8,
∴n=10,
故选:C.
2.(2024秋 成都期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(  )
A.OA⊥OB B.∠BAC=∠ACB C.OA=OB D.AD=AB
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,AD∥BC,OA,OB,
∴OA⊥OB,∠BAC=∠ACB不一定成立,OA=OB,一定成立,AB=AD一定不成立,
故选:C.
3.(2024春 凤山县期末)如图1,正方形ABCD的边长为2,点E为CD边的中点,动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示,则点M的坐标为(  )
A. B.(2,2) C. D.(2,2.5)
【解答】解:由题意可知,当点P在边AB上时,y的值先减小后增大,
当点P在边BC上时,y的值逐渐减小,
∴M点的横坐标为AB的长度,纵坐标为BE的长度,
∵AB=4,EC=EDAB2=1,
∴BE,
∴M(2,),
故选:C.
4.(2024秋 金沙县期末)以下列各组数为边长,可以构成直角三角形的是(  )
A.2,3,4 B.3,4,6 C.6,8,15 D.5,12,13
【解答】解:A.∵22+32=13,42=16,
∴22+32≠42,
∴不能构成直角三角形,
故选项不符合题意;
B.∵42+32=25,62=36,
∴42+32≠62,
∴不能构成直角三角形,
故选项不符合题意;
C.∵6+8=14<15,
∴不能构成三角形,
故选项不符合题意;
D.∵122+52=169,132=169,
∴122+52=132,
∴能构成直角三角形,
故选项符合题意;
故选:D.
5.(2024秋 两江新区校级期末)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=120°,AB=4,AD=8,点H、G分别是边CD、BC上的动点.连接AH、HG,点E为AH的中点,点F为GH的中点,连接EF.则EF的最大值与最小值的差为(  )
A.2 B. C. D.
【解答】解:如图,取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作AN⊥BC于N.
∵四边形ABCD是平行四边形,∠BCD=120°,AD=2AB=8
∴∠D=180°﹣∠BCD=60°,AB=CD=4,
∵AM=DM=DC=4,
∴△CDM是等边三角形,
∴∠DMC=∠MCD=60°,AM=MC,
∴∠MAC=∠MCA=30°,
∴∠ACD=90°,
∴AC,
在Rt△ACN中,AC,∠ACN=∠DAC=30°,
∴ANAC,
∵AE=EH,GF=FH,
∴EFAG,
∵点G在BC上,
∴AG的最大值为AC的长,最小值为AN的长,
∴AG的最大值为,最小值为,
∴EF的最大值为,最小值为,
∴EF的最大值与最小值的差为:
故选:C.
6.(2022秋 邗江区校级期末)在一次函数y=(2m﹣1)x+1中,y的值随着x值的增大而增大,则它的图象不经过(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解:∵在一次函数y=(2m﹣1)x+1中,y的值随着x值的增大而增大,
∴2m﹣1>0,
∴该函数图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,
故选:D.
7.(2024秋 靖江市期末)已知直线MN∥x轴,M点的坐标为(2,3),并且线段MN=3,则点N的坐标为(  )
A.(﹣1,3) B.(5,3)
C.(1,3)或(5,3) D.(﹣1,3)或(5,3)
【解答】解:∵直线MN∥x轴,且M点的坐标为(2,3),
∴点N的纵坐标为3,
∵MN=3,
∴2+3=5,2﹣3=﹣1,
即点N的横坐标为5或﹣1,
∴则点N的坐标为(﹣1,3)或(5,3).
故选:D.
8.(2024秋 茂名期末)如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为(  )
A.25 B.49 C.81 D.100
【解答】解:由勾股定理可知:SA=36+64=100,
故选:D.
9.(2024秋 绍兴期末)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+4的图象与x轴、y轴交于点M,N,直线l2:y=kx+b经过点N,且与x轴交于OM的中点P,以A(1,3),B(1,2),C(3,2)为顶点的△ABC在第一象限内,将△ABC向左平移n个单位,若△ABC的各边始终与直线l1或直线l2有交点,则n的取值范围是(  )
A. B. C.2≤n≤5 D.2≤n≤3
【解答】解:由题知,
将x=0代入y=x+4得,y=4,
所以点N的坐标为(0,4).
将y=0代入y=x+4得,x=﹣4,
所以点M的坐标为(﹣4,0).
因为点P为OM的中点,
所以点P的坐标为(﹣2,0).
将点N和点P的坐标代入y=kx+b得,

解得,
所以直线l2的函数解析式为y=2x+4.
根据所给平移方式可知,
当点A在直线l2上时,n取得最小值;当点C在直线l1上时,n取得最大值.
将y=3代入y=2x+4得,
2x+4=3,
解得x,
所以n的最小值为:;
将y=2代入y=x+4得,
x+4=2,
解得x=﹣2,
所以n的最大值为:3﹣(﹣2)=5,
所以n的取值范围是:.
故选:B.
10.(2024秋 凤阳县期末)如图,菱形ABCD的边长为3cm,∠B=60°,动点P从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达点A后停止运动;同时动点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达点A后停止运动.设点P的运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象为(  )
A. B.
C. D.
【解答】解:∵点P的速度是3cm/s,点Q的速度为1cm/s,运动时间为x(s),
∴点P运动的路程为3x cm,点Q运动的路程为x cm.
①当0≤x≤1时,点P在线段BC上,点Q在线段AB上.
过点Q作QE⊥BC于点E,
∴∠BEQ=90°.
∵∠B=60°,
∴∠BQE=30°.
∴BEx cm.
∴QEx cm.
∴S△BPQBP QE3x xx2(cm2).
∴yx2(0≤x≤1).
∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象,排除B;
②当1<x≤2时,点P在线段CD上,点Q在线段AB上.
过点C作CF⊥AB于点F,则CF为△BPQ中BQ边上的高.
∴∠BFC=90°.
∵∠ABC=60°,
∴∠BCF=30°.
∵BC=3cm,
∴BFcm.
∴CFcm.
∴S△BPQBQ CFx x(cm2).
∴yx(1<x≤2).
∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象,故排除A;
③当2<x≤3时,点P在线段AD上,点Q在线段AB上.
过点P作PM⊥AB于点M.
∴∠M=90°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC.
∵∠ABC=60°,
∴∠MAP=60°.
∴∠APM=30°.
由题意得:AP=(9﹣3x)cm.
∴AMcm.
∴PMcm.
∴S△BPQBQ PMx (cm2).
∴y.
∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象.
故选:D.
二.填空题(共6小题)
11.(2024秋 嵊州市期末)已知点A的坐标是(1,2),则点A向右平移2个单位后的坐标是 (3,2)  .
【解答】解:点A(1,2)向右平移2个单位后的坐标是(1+2,2),即(3,2).
故答案为:(3,2).
12.(2020秋 南海区期末)一次函数y=2x﹣1的图象经过点(a,5),则a= 3  .
【解答】解:∵一次函数y=2x﹣1的图象经过点(a,5),
∴5=2a﹣1,
解得a=3.
故答案为:3.
13.(2024秋 沙坪坝区校级期末)如图,3×3的方格纸中小正方形的边长为1,A,B两点在格点上,以线段AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多有  5  个.
【解答】解:在直线AB的右下方有5个格点,都可以成为平行四边形的顶点,所以这样的平行四边形最多可以画5个,故答案为:5.
14.(2024秋 临淄区期末)如图,菱形ABCD的周长为20,面积为24,P是对角线BD上一点,分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF,则PE+PF等于  4.8  .
【解答】解:∵菱形ABCD的周长为20,面积为24,
∴AB=AD=5,S△ABD=12,
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF,
∴AB×PEPF×AD=12,
∴5×(PE+PF)=12,
∴PE+PF=4.8.
故答案为:4.8.
15.(2024秋 铁西区期末)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B′C=2尺.则AC的长度为  3.75  尺.
【解答】解:设AC的长度为x尺,则AB'=AB=(x+0.5)尺,
在Rt△AB'C中,由勾股定理得:AC2+B'C2=AB'2,
即x2+22=(x+0.5)2,
解得:x=3.75,
即AC的长度为3.75尺,
故答案为:3.75.
16.(2024秋 西湖区期末)如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,点P从点A出发沿A→B→C以1cm/s的速度匀速运动至点C,图(2)是点P运动时,△ACP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象,则△ABC的面积为 2  cm2,周长为 (11)  cm.
【解答】解:由题意得,当x=7时,△ACP面积最大,此时AP=AB=7×1=7(cm);当x=11时,△ACP面积为0,此时可得BC=4×1=4(cm).
又∵∠ACB=90°,
∴AC(cm).
∴△ABC的面积为:AC BC42(cm2),周长为7+4(11)(cm).
故答案为:2;(11).
三.解答题(共8小题)
17.(2024春 南充期末)如图,在矩形ABCD中,点E是BC边上一点,AE=AD,DF⊥AE于点F.
(1)求证:AB=DF.
(2)若AB=8,CE=4,求BC的长.
【解答】(1)证明:在矩形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,
∴∠FAD=∠BEA.
∵DF⊥AE,
∴∠DFA=90°=∠B.
在△ABE和△DFA中,

∴△ABE≌△DFA(AAS),
∴AB=DF;
(2)解:∵△ABE≌△DFA(AAS),
∴AE=AD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD,∠B=90°,
设BC=x,
则AB2+BE2=AE2,
∴82+(x﹣4)2=x2,
解得x=10,
∴BC=10.
18.(2024秋 大东区期末)如图是某校的平面示意图.
(1)以大门A所在位置为原点,请在该题图中画出平面直角坐标系;
(2)在(1)的基础上,表示下列各点坐标:
教学楼B: (﹣3,2)  ;实验楼C: (4,4)  ;图书馆D: (﹣4,5)  ;
操场E: (3,7)  ;
(3)若体育馆F的位置坐标为(5,﹣1),在图中标出它的位置.
【解答】解:(1)图1,建立平面直角坐标系,大门处为坐标原点,
(2)教学楼B:(﹣3,2);实验楼C:(4,4);图书馆D:(﹣4,5);操场E:(3,7);
故答案为:(﹣3,2),(4,4),(﹣4,5),(3,7);
(3)图1中,F点的位置.
19.(2024秋 奉节县期末)全民健身手牵手,社区运动心连心.为提升社区居民的幸福感,某小区准备将辖区内的一块平地,如图所示的四边形ABCD进行改建,将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板.经测量,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=24米,BC=7米,CD=15米,AD=20米.
(1)求AC的长度;
(2)已知运动型塑胶地板每平方米200元,请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板,购买运动型塑胶地板的费用需要多少元?
【解答】解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC25(米),
(2)∵152+202=625,252=625,
∴CD2+AD2=AC2,
∴△ACD为直角三角形,∠D=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACDAB BCAD CD24×720×15=234(米2),
∴购买运动型塑胶地板的费用为:234×200=46800(元),
答:购买运动型塑胶地板的费用需要46800元.
20.(2024秋 遵义期末)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,∠1=∠2.有下列条件:①AB=BC;②AC⊥BD.
(1)从①②中任选一个作为条件,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)在(1)的条件下,若∠ABC=60°,AB,求菱形ABCD的面积.
【解答】(1)证明:∵∠1=∠2,
∴AD∥BC,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形;
当选择①时:
∵AB=BC,四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形;
当选择②时:
∵AC⊥BD,四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形;
(2)解:由题意可得:BD平分∠ABC,AC⊥BD,
∴∠ABO=30°,
∴,
∴,
∴,
∴菱形ABCD的面积为.
21.(2024秋 海曙区期末)“书香中国,读领未来”,4月23日是世界读书日,我市某书店同时购进A,B两类图书,已知购进3本A类图书和4本B类图书共需192元;购进6本A类图书和2本B类图书共需240元.
(1)A,B两类图书每本的进价各是多少元?
(2)该书店计划恰好用48000元来购进这两类图书,设购进A类x本,B类y本.
①求y关于x的关系式.
②进货时,A类图书的购进数量不少于500本,已知A类图书每本的售价为38元,B类图书每本的售价为30元,如何进货才能使书店所获利润最大?最大利润为多少元?
【解答】解:(1)设A类图书的进价为a元,B类图书的进价为b元.
根据题意,得,
解得.
答:A类图书的进价为32元,B类图书的进价为24元.
(2)①根据题意,得32x+24y=48000,
解得yx+2000,
∴y关于x的关系式为yx+2000.
②设所获利润为W元,则W=(38﹣32)x+(30﹣24)y=6x+6(x+2000)=﹣2x+12000,
∵﹣2<0,
∴W随x的减小而增大,
∵当x=500时,y不是整数,
∴当x=501时,W值最大,W最大=﹣2×501+12000=10998,y501+2000=1332.
答:购进A类501本、B类1332本才能使书店所获利润最大,最大利润为10998元.
22.(2024秋 沛县期末)如图,在△ABC中,CF⊥AB,垂足为F,BE⊥AC,垂足为E,M为BC的中点,连接MF,ME.
(1)求证:ME=MF;
(2)若∠ABC=54°,∠ACB=60°,求∠FME的大小.
【解答】(1)证明:由条件可知△BCE和△BCF均是直角三角形,
∴MF=BM=CM,ME=BM=CM,
∴ME=MF;
(2)解:∵MB=MF,ME=MC,
∴∠MBF=∠MFB,∠MEC=∠MCE,
∵∠ABC=54°,∠ACB=60°,
∴∠BMF=180°﹣2×54°=72°,∠CME=180°﹣2×60°=60°,
∴∠EMF=180°﹣72°﹣60°=48°,
∴∠FME的度数为48°.
23.(2024秋 河源期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,点D在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
(1)求AB的长;
(2)求点C和点D的坐标;
(3)y轴上是否存在一点P,使得S△PABS△OCD?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)令x=0得:y=4,
∴B(0,4).
∴OB=4
令y=0得:0x+4,解得:x=3,
∴A(3,0).
∴OA=3.
在Rt△OAB中,AB5.
(2)∵AC=AB=5,
∴OC=OA+AC=3+5=8,
∴C(8,0).
设OD=x,则CD=DB=x+4.
在Rt△OCD中,DC2=OD2+OC2,即(x+4)2=x2+82,解得:x=6,
∴D(0,﹣6).
(3)存在,理由如下:
∵S△PABS△OCD,
∴S△PAB6×8=12.
∵点P在y轴上,S△PAB=12,
∴BP OA=12,即3BP=12,解得:BP=8,
∴P点的坐标为(0,12)或(0,﹣4).
24.(2024秋 宽城县期末)【问题背景】
著名的赵爽弦图(如图①,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c,大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2.
【探索求证】
古今中外,勾股定理有很多证证明方法,如图②,Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置,连接CD,其中∠A=∠B=∠DEC=90°,请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上),并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=2.4千米,HB=1.8千米,求新路CH比原路CA少多少千米?
【延伸扩展】
在第(2)向中若AB≠AC时,CH⊥AB,AC=5,BC=6,AB=7,设AH=x,求x的值.
【解答】解:(1),
S梯形ABCD=S△ADE+S△CDE+S△CBE

∴,
即a2+b2=c2;
(2)设AC=AB=x千米,则AH=(x﹣1.8)千米,
在Rt△ACH中,由勾股定理得x2=2.42+(x﹣1.8)2,
解得x=2.5,
即CA=2.5千米,
∴CA﹣CH=0.1(千米),
∴新路CH比原路CA少0.1千米;
(3)设AH=x,则BH=7﹣x,
在Rt△ACH中,由勾股定理得CH2=CA2﹣AH2,
在Rt△BCH中,由勾股定理得CH2=CB2﹣BH2,
∴52﹣x2=62﹣(7﹣x)2,
解得:.
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