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期末真题重组检测卷-2024-2025学年数学八年级下册湘教版
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 济南期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2024秋 成都期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB
3．（2024春 凤山县期末）如图1，正方形ABCD的边长为2，点E为CD边的中点，动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　）
A． B．（2，2） C． D．（2，2.5）
4．（2024秋 金沙县期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，15 D．5，12，13
5．（2024秋 两江新区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2022秋 邗江区校级期末）在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024秋 靖江市期末）已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（2，3），并且线段MN＝3，则点N的坐标为（　　）
A．（﹣1，3） B．（5，3）
C．（1，3）或（5，3） D．（﹣1，3）或（5，3）
8．（2024秋 茂名期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　）
A．25 B．49 C．81 D．100
9．（2024秋 绍兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线l2：y＝kx+b经过点N，且与x轴交于OM的中点P，以A（1，3），B（1，2），C（3，2）为顶点的△ABC在第一象限内，将△ABC向左平移n个单位，若△ABC的各边始终与直线l1或直线l2有交点，则n的取值范围是（　　）
A． B． C．2≤n≤5 D．2≤n≤3
10．（2024秋 凤阳县期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B＝60°，动点P从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 嵊州市期末）已知点A的坐标是（1，2），则点A向右平移2个单位后的坐标是　 　 ．
12．（2020秋 南海区期末）一次函数y＝2x﹣1的图象经过点（a，5），则a＝　 　 ．
13．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，3×3的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 　 　 个．
14．（2024秋 临淄区期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　 ．
15．（2024秋 铁西区期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为 　 　 尺.
16．（2024秋 西湖区期末）如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→B→C以1cm/s的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则△ABC的面积为　 　 cm2，周长为　 　 cm．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 南充期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：AB＝DF．
（2）若AB＝8，CE＝4，求BC的长．
18．（2024秋 大东区期末）如图是某校的平面示意图．
（1）以大门A所在位置为原点，请在该题图中画出平面直角坐标系；
（2）在（1）的基础上，表示下列各点坐标：
教学楼B：　 　 ；实验楼C：　 　 ；图书馆D：　 　 ；
操场E：　 　 ；
（3）若体育馆F的位置坐标为（5，﹣1），在图中标出它的位置．
19．（2024秋 奉节县期末）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，CD＝15米，AD＝20米．
（1）求AC的长度；
（2）已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？
20．（2024秋 遵义期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠1＝∠2．有下列条件：①AB＝BC；②AC⊥BD．
（1）从①②中任选一个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB，求菱形ABCD的面积．
21．（2024秋 海曙区期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需192元；购进6本A类图书和2本B类图书共需240元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划恰好用48000元来购进这两类图书，设购进A类x本，B类y本．
①求y关于x的关系式．
②进货时，A类图书的购进数量不少于500本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
22．（2024秋 沛县期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，BE⊥AC，垂足为E，M为BC的中点，连接MF，ME．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠ABC＝54°，∠ACB＝60°，求∠FME的大小．
23．（2024秋 河源期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024秋 宽城县期末）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接CD，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理．
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝5，BC＝6，AB＝7，设AH＝x，求x的值．
期末真题重组检测卷-2024-2025学年数学八年级下册湘教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D C D D D B D
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 济南期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：n﹣2＝8，
∴n＝10，
故选：C．
2．（2024秋 成都期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA，OB，
∴OA⊥OB，∠BAC＝∠ACB不一定成立，OA＝OB，一定成立，AB＝AD一定不成立，
故选：C．
3．（2024春 凤山县期末）如图1，正方形ABCD的边长为2，点E为CD边的中点，动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　）
A． B．（2，2） C． D．（2，2.5）
【解答】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，
当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，
∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，
∵AB＝4，EC＝EDAB2＝1，
∴BE，
∴M（2，），
故选：C．
4．（2024秋 金沙县期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，15 D．5，12，13
【解答】解：A．∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
B．∵42+32＝25，62＝36，
∴42+32≠62，
∴不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
C．∵6+8＝14＜15，
∴不能构成三角形，
故选项不符合题意；
D．∵122+52＝169，132＝169，
∴122+52＝132，
∴能构成直角三角形，
故选项符合题意；
故选：D．
5．（2024秋 两江新区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC，
在Rt△ACN中，AC，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴ANAC，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EFAG，
∵点G在BC上，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为：
故选：C．
6．（2022秋 邗江区校级期末）在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而增大，
∴2m﹣1＞0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
7．（2024秋 靖江市期末）已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（2，3），并且线段MN＝3，则点N的坐标为（　　）
A．（﹣1，3） B．（5，3）
C．（1，3）或（5，3） D．（﹣1，3）或（5，3）
【解答】解：∵直线MN∥x轴，且M点的坐标为（2，3），
∴点N的纵坐标为3，
∵MN＝3，
∴2+3＝5，2﹣3＝﹣1，
即点N的横坐标为5或﹣1，
∴则点N的坐标为（﹣1，3）或（5，3）．
故选：D．
8．（2024秋 茂名期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　）
A．25 B．49 C．81 D．100
【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，
故选：D．
9．（2024秋 绍兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线l2：y＝kx+b经过点N，且与x轴交于OM的中点P，以A（1，3），B（1，2），C（3，2）为顶点的△ABC在第一象限内，将△ABC向左平移n个单位，若△ABC的各边始终与直线l1或直线l2有交点，则n的取值范围是（　　）
A． B． C．2≤n≤5 D．2≤n≤3
【解答】解：由题知，
将x＝0代入y＝x+4得，y＝4，
所以点N的坐标为（0，4）．
将y＝0代入y＝x+4得，x＝﹣4，
所以点M的坐标为（﹣4，0）．
因为点P为OM的中点，
所以点P的坐标为（﹣2，0）．
将点N和点P的坐标代入y＝kx+b得，
，
解得，
所以直线l2的函数解析式为y＝2x+4．
根据所给平移方式可知，
当点A在直线l2上时，n取得最小值；当点C在直线l1上时，n取得最大值．
将y＝3代入y＝2x+4得，
2x+4＝3，
解得x，
所以n的最小值为：；
将y＝2代入y＝x+4得，
x+4＝2，
解得x＝﹣2，
所以n的最大值为：3﹣（﹣2）＝5，
所以n的取值范围是：．
故选：B．
10．（2024秋 凤阳县期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B＝60°，动点P从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵点P的速度是3cm/s，点Q的速度为1cm/s，运动时间为x（s），
∴点P运动的路程为3x cm，点Q运动的路程为x cm．
①当0≤x≤1时，点P在线段BC上，点Q在线段AB上．
过点Q作QE⊥BC于点E，
∴∠BEQ＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BQE＝30°．
∴BEx cm．
∴QEx cm．
∴S△BPQBP QE3x xx2（cm2）．
∴yx2（0≤x≤1）．
∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B；
②当1＜x≤2时，点P在线段CD上，点Q在线段AB上．
过点C作CF⊥AB于点F，则CF为△BPQ中BQ边上的高．
∴∠BFC＝90°．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCF＝30°．
∵BC＝3cm，
∴BFcm．
∴CFcm．
∴S△BPQBQ CFx x（cm2）．
∴yx（1＜x≤2）．
∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A；
③当2＜x≤3时，点P在线段AD上，点Q在线段AB上．
过点P作PM⊥AB于点M．
∴∠M＝90°．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∵∠ABC＝60°，
∴∠MAP＝60°．
∴∠APM＝30°．
由题意得：AP＝（9﹣3x）cm．
∴AMcm．
∴PMcm．
∴S△BPQBQ PMx （cm2）．
∴y．
∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 嵊州市期末）已知点A的坐标是（1，2），则点A向右平移2个单位后的坐标是　（3，2）　 ．
【解答】解：点A（1，2）向右平移2个单位后的坐标是（1+2，2），即（3，2）．
故答案为：（3，2）．
12．（2020秋 南海区期末）一次函数y＝2x﹣1的图象经过点（a，5），则a＝　3　 ．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象经过点（a，5），
∴5＝2a﹣1，
解得a＝3．
故答案为：3．
13．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，3×3的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 　5　 个．
【解答】解：在直线AB的右下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，故答案为：5．
14．（2024秋 临淄区期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　4.8　 ．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴AB×PEPF×AD＝12，
∴5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
15．（2024秋 铁西区期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为 　3.75　 尺.
【解答】解：设AC的长度为x尺，则AB'＝AB＝（x+0.5）尺，
在Rt△AB'C中，由勾股定理得：AC2+B'C2＝AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2，
解得：x＝3.75，
即AC的长度为3.75尺，
故答案为：3.75．
16．（2024秋 西湖区期末）如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→B→C以1cm/s的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则△ABC的面积为　2　 cm2，周长为　（11）　 cm．
【解答】解：由题意得，当x＝7时，△ACP面积最大，此时AP＝AB＝7×1＝7（cm）；当x＝11时，△ACP面积为0，此时可得BC＝4×1＝4（cm）．
又∵∠ACB＝90°，
∴AC（cm）．
∴△ABC的面积为：AC BC42（cm2），周长为7+4（11）（cm）．
故答案为：2；（11）．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 南充期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：AB＝DF．
（2）若AB＝8，CE＝4，求BC的长．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠FAD＝∠BEA．
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°＝∠B．
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝DF；
（2）解：∵△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠B＝90°，
设BC＝x，
则AB2+BE2＝AE2，
∴82+（x﹣4）2＝x2，
解得x＝10，
∴BC＝10．
18．（2024秋 大东区期末）如图是某校的平面示意图．
（1）以大门A所在位置为原点，请在该题图中画出平面直角坐标系；
（2）在（1）的基础上，表示下列各点坐标：
教学楼B：　（﹣3，2）　 ；实验楼C：　（4，4）　 ；图书馆D：　（﹣4，5）　 ；
操场E：　（3，7）　 ；
（3）若体育馆F的位置坐标为（5，﹣1），在图中标出它的位置．
【解答】解：（1）图1，建立平面直角坐标系，大门处为坐标原点，
（2）教学楼B：（﹣3，2）；实验楼C：（4，4）；图书馆D：（﹣4，5）；操场E：（3，7）；
故答案为：（﹣3，2），（4，4），（﹣4，5），（3，7）；
（3）图1中，F点的位置．
19．（2024秋 奉节县期末）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，CD＝15米，AD＝20米．
（1）求AC的长度；
（2）已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC25（米），
（2）∵152+202＝625，252＝625，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD为直角三角形，∠D＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB BCAD CD24×720×15＝234（米2），
∴购买运动型塑胶地板的费用为：234×200＝46800（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元．
20．（2024秋 遵义期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠1＝∠2．有下列条件：①AB＝BC；②AC⊥BD．
（1）从①②中任选一个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB，求菱形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
当选择①时：
∵AB＝BC，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形；
当选择②时：
∵AC⊥BD，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：由题意可得：BD平分∠ABC，AC⊥BD，
∴∠ABO＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的面积为．
21．（2024秋 海曙区期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需192元；购进6本A类图书和2本B类图书共需240元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划恰好用48000元来购进这两类图书，设购进A类x本，B类y本．
①求y关于x的关系式．
②进货时，A类图书的购进数量不少于500本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设A类图书的进价为a元，B类图书的进价为b元．
根据题意，得，
解得．
答：A类图书的进价为32元，B类图书的进价为24元．
（2）①根据题意，得32x+24y＝48000，
解得yx+2000，
∴y关于x的关系式为yx+2000．
②设所获利润为W元，则W＝（38﹣32）x+（30﹣24）y＝6x+6（x+2000）＝﹣2x+12000，
∵﹣2＜0，
∴W随x的减小而增大，
∵当x＝500时，y不是整数，
∴当x＝501时，W值最大，W最大＝﹣2×501+12000＝10998，y501+2000＝1332．
答：购进A类501本、B类1332本才能使书店所获利润最大，最大利润为10998元．
22．（2024秋 沛县期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，BE⊥AC，垂足为E，M为BC的中点，连接MF，ME．
（1）求证：ME＝MF；
（2）若∠ABC＝54°，∠ACB＝60°，求∠FME的大小．
【解答】（1）证明：由条件可知△BCE和△BCF均是直角三角形，
∴MF＝BM＝CM，ME＝BM＝CM，
∴ME＝MF；
（2）解：∵MB＝MF，ME＝MC，
∴∠MBF＝∠MFB，∠MEC＝∠MCE，
∵∠ABC＝54°，∠ACB＝60°，
∴∠BMF＝180°﹣2×54°＝72°，∠CME＝180°﹣2×60°＝60°，
∴∠EMF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠FME的度数为48°．
23．（2024秋 河源期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB5．
（2）∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C（8，0）．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D（0，﹣6）．
（3）存在，理由如下：
∵S△PABS△OCD，
∴S△PAB6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴BP OA＝12，即3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．
24．（2024秋 宽城县期末）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接CD，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理．
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝5，BC＝6，AB＝7，设AH＝x，求x的值．
【解答】解：（1），
S梯形ABCD＝S△ADE+S△CDE+S△CBE
，
∴，
即a2+b2＝c2；
（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝（x﹣1.8）千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得x2＝2.42+（x﹣1.8）2，
解得x＝2.5，
即CA＝2.5千米，
∴CA﹣CH＝0.1（千米），
∴新路CH比原路CA少0.1千米；
（3）设AH＝x，则BH＝7﹣x，
在Rt△ACH中，由勾股定理得CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，由勾股定理得CH2＝CB2﹣BH2，
∴52﹣x2＝62﹣（7﹣x）2，
解得：．
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