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2025年福建省厦门市中考数学模拟检测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是( )
A. 摸到白球是必然事件 B. 摸到白球和红球的可能性相等
C. 摸到黑球是不可能事件 D. 摸到红球的概率是
3.在年春节期间，中山陵旅游景区接待游客人次，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下列命题中，正确的个数是( )
若三条线段的比为：：，则它们组成一个等腰三角形；
两条对角线相等的平行四边形是矩形；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
两个邻角相等是平行四边形是矩形．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8.某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是( )
小组 测量内容
甲 ，，的长
乙 ，的长
A. 两组测量数据都不足 B. 甲组
C. 乙组 D. 两组都可以
9.如图，直线与双曲线交于点，将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点，与轴交于点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.二次函数的图象经过，，，四点，且，，则，，的大小关系是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.我市年月某天早晨的气温是，中午的气温比早晨上升了，中午的气温是______．
12.当 ______时，方程的解小于．
13.如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ______．
14.如图，在 中，按以下步骤作图：以为圆心，为半径作弧，交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点．若，，则的长是______．
15.如图，已知的直径与弦的夹角，过点作的切线交的延长线于点若，则阴影部分的面积为______．
16.记实数，，，中的最小数为，例如已知，，且，是两个连续的正整数，记的算术平方根为；，记的最大值为，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，在中，，，分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、，求证：四边形是菱形．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
年月日起中华人民共和国民法典正式施行某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：十分清楚；清楚；不太清楚；不清楚图和图是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．
求此次接受随机抽样调查的人数；
由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有______人
21.本小题分
为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，经过市场调研发现，每台售价为万元时，月销售量为台；每台售价为万元时，月销售量为台假定该设备的月销售量单位：台和销售单价单位：万元成一次函数关系．
求月销售量与销售单价的函数关系式；
根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的月利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
22.本小题分
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点在边的中点，将矩形纸片折叠，使点与点重合．
请在图中作出折痕，交边于点，交边于点，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点，使得四边形是菱形，请给出证明；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若折痕交于点，连接，若长为，为，直接写出的长．
23.本小题分
问题背景：已知在中，边上的动点由向运动与，不重合，同时点由点沿的延长线方向运动不与重合，连接交于点，点是线段上一点，求的值．
初步尝试 如图，若是等边三角形，，且点、的运动速度相等，小王同学发现可以过点作交于点，先证，再证，
从而求得的值为______．
类比探究
如图，若中，，，且点，的运动速度之比是：，求的值．
延伸拓展
如图若在中，，，记，且点、的运动速度相等，试用含的代数式表示的值直接写出结果，不必写解答过程．
24.本小题分
已知二次函数．
若该二次函数的图象过点、、，求二次函数解析式；
如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，，且，点在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，，．
求证：；
当点在线段上，且的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
25.本小题分
如图，是的直径，点是圆上一点除外，点，在上，满足，，，的延长线分别交于点，记．
若，求的度数；
连结，求证：；
如图，连结并延长，交于点，若
求的值；
请直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
相反数就是只有符号不同的两个数．
【解答】
解：根据概念，与只有符号不同的数是即的相反数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、摸到白球是随机事件，选项不符合题意；
B、白球的数量比红球的多，摸到白球的可能性大，选项不符合题意；
C、摸到黑球是不可能事件，选项符合题意；
D、摸到红球的概率是，选项不符合题意；
故选C．
根据事件的分类方法，以及概率的计算公式，逐一进行判断即可．
本题主要考查概率公式和随机事件，属于基础题目．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由三角形三边关系定理得：，
即，
即符合的只有，
故选：．
根据三角形三边关系定理得出，求出即可．
本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
5.【答案】
【解析】解：，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
本题考查合并同类项，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提．
6.【答案】
【解析】试题分析：利用等腰三角形的判定及矩形的判定方法分别判断后即可确定答案．
根据三条线段的比为：：，则可得到该三角形的两边相等，所以它们组成一个等腰三角形，正确；
两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确；
两个邻角相等是平行四边形是矩形，正确，
故选D．
7.【答案】
【解析】解：线段的两个端点坐标分别为，，
，
，
：：，
线段和线段的位似比为：，
点坐标为，即，
故选：．
根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答．
本题考查了位似变换，坐标与图形性质，掌握在平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：甲、乙两组的做法都可以，
乙组做法的理由：如图，根据测量数据可知，，，
由垂径定理可求出，
在直角三角形中，由勾股定理可求出，进而求出，问题得以解决；
甲组做法的理由：如图，由于已知，可以设外圆半径为，则可表示内圆半径，
根据弧长公式列方程组可求出即可，
所以甲、乙两组做法均可，
故选：．
乙的做法的合理性为可由垂径定理求出，又知，由直角三角形的勾股定理可求出答案；甲组做法的合理性由弧长公式和两条半径之间的关系列方程组求解即可．
本题考查垂径定理，直角三角形的边角关系，弧长的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及弧长的计算方法是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：作轴于点，轴于，如图，
直线向右平移个单位得到直线，
点坐标为，
，
，
∽，
，
，，
设，则，，
当时，，即点坐标为，
，
点坐标为，
，解得舍去，，
点坐标为，
把点坐标为，代入得．
故选：．
作轴于点，轴于，根据平移得到点坐标为，再证明∽，利用相似比得到，，设，则，，然后表示点坐标，点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得舍去，，于是点坐标为，最后把点坐标代入即可确定的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了相似三角形的判定与性质．
10.【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过，，
对称轴是直线．
当时，
抛物线开口向上．
当时，随的增大而增大．
，，
，
，，
，
．
离对称轴的距离比近，
，
，
故A正确、不正确．
当时，
抛物线开口向下．
当时，随的增大而减小．
又，，
，
，，
，
．
离对称轴的距离比近，
，
，
故C、均不正确．
故选：．
依据题意，可得对称轴是直线，从而再依据二次函数的性质，进行分类讨论可以得解．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
11.【答案】
【解析】解：两数相加即可得：；
故答案为：．
两数相加即可得出结果．
本题考查有理数加法的实际应用，正确进行计算是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
方程的解小于．
，
解得，，
故答案为．
首先解关于的方程，解得，根据题意可知，解不等式组求得解集即可．
此题考查了解一元一次方程与解一元一次不等式，根据题意列出不等式是求的取值范围的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
则，
，
故答案为：．
根据，，得出，再结合，即可作答．
本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，正确进行计算是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意得平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
连接交于，
，
，，
，
，，
，
故答案为：．
由题意得平分，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，于是得到，连接交于，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，过作于，
，
切圆于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，扇形的面积，
阴影部分的面积．
连接，过作于，由垂径定理得到，由切线的性质得到，由含度角的直角三角形的性质求出，，求出的面积，扇形的面，即可得到阴影部分的面积．
本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，扇形的面积，含度角的直角三角形，关键是由含度角的直角三角形的性质求出和的长．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，是两个连续的正整数，
，，
的算术平方根为；
；
如图，点是和的交点，
，
，
点在第一象限，
当时，，
的最大值为．
，
，
故答案为：．
根据新定义可得结论；
先根据新定义可得：，估算的大小，又知，是两个连续的正整数，可得，的值，由此即可求解；
根据最小数的定义可知：函数的图象是每一段图象的最低处，即可得函数图象，直线与在第一象限的交点的纵坐标即为的最大值．
本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，新定义，规律型数字的变化类，熟练应用函数图象的性质进行求解是解决本题的关键．
17.【答案】．
【解析】解：原式
．
根据零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质进行计算即可．
本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质．
18.【答案】见解析．
【解析】证明：在中，，，分别是、的中点，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是菱形．
根据，分别是、的中点，得到，结合得到，故AC，根据证明≌得到，即可得证．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，熟练掌握联系判定定理，三角形中位线定理是解题的关键．
19.【答案】解：
，
当
时，原式．
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】
【解析】此次接受随机抽样调查的人数是：人；
根据题意得：
人，
答：该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有人；
故答案为：．
根据的人数和所占的百分比即可得出答案；
用总的居民乘以“十分清楚”和“清楚”的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21.【答案】解：设月销售量与销售单价的函数关系式为，
每台售价为万元时，月销售量为台；每台售价为万元时，月销售量为台，
，
，
月销售量与销售单价的函数关系式为；
由题意得，，
整理得：，
解得或舍去，
答：该设备的销售单价应是万元．
【解析】利用待定系数法求解即可；
根据利润售价进价销售量列出方程求解即可．
本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出对应的关系式和方程是解题的关键．
22.【答案】图见解析，证明见解析；
．
【解析】解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
由条件可知四边形是菱形；
由条件可知，
由条件可知，
四边形是菱形，，
，，，，
，
．
连接，作的垂直平分线，交边于点，交边于点，交于点，直线即为折痕，在射线上取点，使得，先根据对角线互相平分，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据菱形的性质，求出，即可得到的长．
本题考查了复杂作图作垂线、作线段，垂直平分线的性质，折叠的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线，勾股定理等知识，根据题意正确作图是解题关键．
23.【答案】；
如图过点作交于点，
则．
，
，，
，
为等边三角形．
，．
由题意可知，．
．
，
．
在与中，，
≌，
．
，即，
，即．
．

【解析】【分析】
本题是相似形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
过点作交于点，由题意知是等边三角形，所以，所以可以证明≌，所以，由三线合一可知：，即可得出所求答案；
过点作交于点，由点，的运动速度之比是：可知，所以可以证明≌，所以，由，可知：，即可得出答案；
类似的方法可求出和，然后利用即可求出的值．
【解答】
解：过点作交于点，如图所示：
是等边三角形，
是等边三角形，
，
由题意知：，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
见答案；
理由如下：
如图，过点作交于点，
易得，，．
在中，，，
，，．
．
，
∽．
，
．
由∽可得．
，
．
．
，
即．
．
24.【答案】．
证明见解答；．
【解析】根据二次函数图象与轴交于两点、，设，
把代入得：，则．
．
证明：在和中，，，
∽．
，即．
，
．
根据题意，设，．
由可知，则点横坐标，点横坐标．
对于，由根与系数的关系可得：，．
由得出，即：，解得．
，
故．
根据二次函数图象与轴的交点坐标设该函数的交点式，然后把代入求出值即可．
通过证明∽，然后由对应边成比例证明结论；
设置，根据题意得出两点的横坐标关于的表达式，然后通过根与系数的关系得出和关于的表达式，再由得出，进而得到关于的方程求出的值，推出即可得到结果．
本题考查了二次函数的图象和性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用一元二次方程根与系数的关系是解答本题的难点．
25.【答案】；
证明见解析；
；．
【解析】解：是的直径，
，
，
，
，，
，，
；
证明：是的直径，
，
，
，
，，
，，
．
连结，，
则，
，
，
；
解：四边形是圆内接四边形，
，，
∽，
，
，
设，，则，
，，
，
；
连接、，过作于点，
由得，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
∽，
，
在中，，
由等面积可得，
，
，
，
．
由题易得，再根据，，可得，，进而得解；
由方法可得，连接，，易得是等腰直角三角形，从而得证；
先证∽，得，再根据，设，，则，利用相似比得解；
连接、，过作于点，先证是等腰直角三角形，得，进而利用勾股定理求得，进而证∽，所以，利用等面积勾股定理求得，所以，再求出，即可得解．
本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．

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