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2024—2025学年度第二学期初三校二模数学（试题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（　　）
A. 相等 B. 都是零
C. 互为相反数 D. 有一个数是零
2. 珠海长隆海洋王国的鲸鲨馆水体量约为立方米，将用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 垃圾分类功在当代，利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 厨余垃圾 B. 可回收物
C. 其他垃圾 D. 有害垃圾
4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A. B. C. D.
5. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B. 同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
10. 数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式时，我们可以令，，在平面直角坐标系中分别画出函数．和函数 的图象，如图所示，观察图象可知当时，，即，所以原不等式的解集为．请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式的解集是，则下列选项中可能是一次函数图象的是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式的结果是________．
12. 若，则______．
13. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为___________．
14. 鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点，．张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是___．
15. 如图，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、，且，连接、，则面积的最小值为_____．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分）
16. 计算：
17. 先化简，再代入求值：，其中．
18. 如图，为的外接圆，且为的直径．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，交的延长线于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，试判断的形状，并说明理由．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ．
（2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
20. 广州增城是著名的荔枝之乡，优质荔枝品种有“挂绿”“桂味”“糯米糍”“仙进奉”等某荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗进行种植，已知每株挂绿荔枝苗的价格比每株糯米糍荔枝苗的价格贵元，且用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．
（1）求购买每株挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗价格分别是多少元？
（2）该荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗共100株已知挂绿荔枝苗和糯米糍荔枝苗的成活率分别为和，若要使这批荔枝苗的成活率不低于，且购买荔枝苗的总费用最少，则应购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗各多少株？最少费用是多少元？
21. 定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”．
探究问题：
探究1：“智慧数”一定是什么数？
假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）．
可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论．
讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数．
探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？
我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类．
所以我们把这些“智慧数”分成两类，
表一 情况1：是奇数分析结论①3是“智慧数”②5“智慧数”③7是“智慧数”④9是“智慧数”………
表二 情况2：n是4的倍数分析 结论⑤8是“智慧数”⑥12是“智慧数”⑦16是“智慧数”⑧20是“智慧数”………
情况1：n是奇数 观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数且a、b的值均为连续的正整数． 猜想：所有奇数都是“智慧数” 验证：设，（且k为整数） ∵． ∴是“智慧数”． 又∵， ∴，即表示所有奇数（1除外） ∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”． 应用： （1）请直接填空：∵， ∴11是“智慧数”． 情况2：n是4的倍数 观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a与b的差都为2． 猜想：所有4的倍数都是“智慧数” （2）请仿照情况1证明以上猜想． 应用： （3）请直接填空：∵， ∴24是“智慧数”．
实际应用：
（4）若一个直角三角形纸片三边长度都是整数厘米，己知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ．
五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数图像上的一点，以点P为圆心，长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接．
（1）求证：P为线段的中点；
（2）若，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，将直线向上平移若干个单位长度后与相切，求平移后的直线的表达式．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、两点，点在直线上，将直线绕点C逆时针旋转，交坐标轴于I、G两点，直线上两点D、H关于点C对称，轴于点F，交直线于点E．
（1）求点A的坐标；
（2）设，令，求y的最大值；
（3）当（2）中的y取最大值时，将绕点H顺时针旋转，使点C的对应点落在x轴上，点E的对应点为点，求证：轴．
2024—2025学年度第二学期初三校二模数学（试题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】11
【13题答案】
【答案】cm2
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】##
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分）
【16题答案】
【答案】5
【17题答案】
【答案】，
【18题答案】
【答案】（1）见解析 （2）为等腰直角三角形，理由见解析
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
【19题答案】
【答案】（1）、、
（2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名
（3）
【20题答案】
【答案】（1）每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元．
（2）应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元．
【21题答案】
【答案】（1）6，5；（2）见解析；（3）7，5；（4）24或40
五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分）
【22题答案】
【答案】（1）见解析 （2）点的坐标为
（3）
【23题答案】
【答案】（1）
（2）最大值45
（3）见解析

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