湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试卷(一)(含答案)

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湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试卷(一)(含答案)

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湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试
数学模拟试卷(一)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z在复平面内对应的点为,则( )
A. B. C. D.
2.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3.已知为直线,为平面,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某单位有员工500人,青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为300人, 150人和50人,在一项调查中需要按照年龄层次进行分层抽样,若抽出的青年职工为30人,则抽出的老年职工的人数为( )
A.5 B.15 C.30 D.50
5.函数的图象如图所示,则( )
A.1 B. C.2 D.
6.函数的最小值和最小正周期分别为( )
A. B. C. D.
7.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的,它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历,用画图软件拟合了自己的遗忘曲线,得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间(单位:小时)的函数关系式为,当记住的单词仅剩25个时,则离初次记忆经过了( )(参考数据:)
A.100小时 B.300小时 C.1000小时 D.3000小时
8.如图,在中,为上一点,且满足,若,则的最小值是( )
A.2 B.4 C. D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知事件,满足,,则下列结论正确的是( ).
A.若,则
B.若与互斥,则
C.若,则与相互独立
D.若与相互独立,则
10.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题中正确的是( )
A.直线与平面所成的角等于
B.四棱锥的体积为
C.两条异面直线和所成的角为
D.二面角的平面角的余弦值为
11.函数,则下列关于的说法正确的是( )
A.定义域为 B.值域为
C.为增函数 D.为非奇非偶函数
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数,的图象的对称中心是 .
13.某学校统计了所有在职教师(只有一级教师和高级教师)的工资情况,其中一级教师80人,平均工资为4.5千元,方差为0.04,高级教师20人,平均工资为6.5千元,方差为0.44,则该校所有在职教师工资的方差为 .
14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形,高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由运动,则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,已知矩形中,,将矩形沿对角线把折起,使移到点,且在平面上的射影恰好在上.
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积.
16.(15分)黄山雄踞风景秀丽的安徽南部,是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质,黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分(满分100分),根据这100名游客的评分,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,求的值;并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数(同一组数据用该区间的中点值做代表);
(2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行个别交流,求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.
17.(15分)已知的内角所对的边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)点在边上,且,求的周长.
18.(17分)已知函数.
(1)指出函数的基本性质:定义域,奇偶性,单调性,值域(结论不需证明),并作出函数的图象;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若关于的方程恰有个不同的实数解,求实数的取值范围.
19.(17分)在四棱锥中,,,,,.
(1)证明:与不垂直.
(2)已知内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等.
(ⅰ)求长的最小值.
(ⅱ)在(ⅰ)的条件下求三棱锥体积的最大值.
《湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A C C C C BC ABC
题号 11
答案 ABD
12.
13.0.76/
14.
15.(1)由于在平面上的射影O在上,
平面,又平面,,
又,,
平面,平面
平面,又平面,,
(2)由于为矩形,
由1知,,
平面,平面
平面,平面,

,,


16.(1)由频率分布直方图,得,则;
平均数为.
(2)评分在的频率分别为,
则在中抽取人,记为;在中抽取4人,记为,
从这6人中随机抽取2人,样本空间:
,共有15个结果,
设选取的2人评分分别在和内各1人为事件,
则,共有8个结果,
所以.
17.(1)由及正弦定理得,
所以,
所以,
因为,所以,所以.
(2)在中,,解得,
在中,,所以,
所以周长.
18.(1),,函数是偶函数,
在区间和上单调递增,在区间和上单调递减,
函数的最大值是,无最小值,值域为.
作图如下:
(2)因为关于的不等式恒成立,
令,则,即不等式在恒成立.
当时,因为,所以.
又,所以;
(3)关于的方程恰有个不同的实数解即有个不同的解,如下图所示:
当时,方程有四个根;当时,方程有两个根;
当或时, 方程无解.
设方程的两根分别为、,则,.
令,则.
因此,实数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数基本性质的求得、函数不等式恒成立以及复合型二次函数的零点个数问题,一般利用换元法转化为内层函数和外层函数的零点问题,同时也考查了二次函数的零点分布问题,考查数形结合思想的应用,属于中等题.
19.(1)作出四棱锥,如图1,
在中,,所以.
下面用反证法证明与不垂直:
假设,则由,平面,得平面,
又平面,所以.
作出平面四边形,如图2,连接,设与交于点,
易知,且为的中点,则由,,
得.
在中,,
在中,,这不可能,故假设错误.
所以与不垂直.
(2)(ⅰ)在平面四边形中,易得,,,
如图1,设平面与平面的交线为,
由,得,得,
所以到平面的距离是到平面的距离的2倍,所以.
由,得,得,
所以到平面的距离是到平面的距离的3倍,所以.
所以的轨迹是线段,其中为的三等分点,为的四等分点,则,.
如图3,当时,最短,
由(1)知为直角三角形,,则由等面积法得,,
所以长的最小值为.
(ⅱ)过点作于,过点作平面于,
则.
如图3,以为坐标原点,直线分别为轴,轴建立平面直角坐标系,则,
直线的方程为,即,
则点到直线的距离,所以.
在平面四边形中,,所以,
则.
所以三棱锥体积的最大值为.

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