资源简介 湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试卷(一)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z在复平面内对应的点为,则( )A. B. C. D.2.已知集合,,则( )A. B. C. D.3.已知为直线,为平面,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某单位有员工500人,青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为300人, 150人和50人,在一项调查中需要按照年龄层次进行分层抽样,若抽出的青年职工为30人,则抽出的老年职工的人数为( )A.5 B.15 C.30 D.505.函数的图象如图所示,则( )A.1 B. C.2 D.6.函数的最小值和最小正周期分别为( )A. B. C. D.7.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的,它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历,用画图软件拟合了自己的遗忘曲线,得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间(单位:小时)的函数关系式为,当记住的单词仅剩25个时,则离初次记忆经过了( )(参考数据:)A.100小时 B.300小时 C.1000小时 D.3000小时8.如图,在中,为上一点,且满足,若,则的最小值是( )A.2 B.4 C. D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知事件,满足,,则下列结论正确的是( ).A.若,则B.若与互斥,则C.若,则与相互独立D.若与相互独立,则10.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题中正确的是( )A.直线与平面所成的角等于B.四棱锥的体积为C.两条异面直线和所成的角为D.二面角的平面角的余弦值为11.函数,则下列关于的说法正确的是( )A.定义域为 B.值域为C.为增函数 D.为非奇非偶函数三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数,的图象的对称中心是 .13.某学校统计了所有在职教师(只有一级教师和高级教师)的工资情况,其中一级教师80人,平均工资为4.5千元,方差为0.04,高级教师20人,平均工资为6.5千元,方差为0.44,则该校所有在职教师工资的方差为 .14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形,高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由运动,则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 .四、解答题:本题共5小题,共77分.解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,已知矩形中,,将矩形沿对角线把折起,使移到点,且在平面上的射影恰好在上.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积.16.(15分)黄山雄踞风景秀丽的安徽南部,是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质,黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分(满分100分),根据这100名游客的评分,制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,求的值;并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数(同一组数据用该区间的中点值做代表);(2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行个别交流,求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.17.(15分)已知的内角所对的边分别为,且.(1)求角的大小;(2)点在边上,且,求的周长.18.(17分)已知函数.(1)指出函数的基本性质:定义域,奇偶性,单调性,值域(结论不需证明),并作出函数的图象;(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)若关于的方程恰有个不同的实数解,求实数的取值范围.19.(17分)在四棱锥中,,,,,.(1)证明:与不垂直.(2)已知内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等.(ⅰ)求长的最小值.(ⅱ)在(ⅰ)的条件下求三棱锥体积的最大值.《湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试卷》参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B C B A C C C C BC ABC题号 11答案 ABD12.13.0.76/14.15.(1)由于在平面上的射影O在上,平面,又平面,,又,,平面,平面平面,又平面,,(2)由于为矩形,由1知,,平面,平面平面,平面,,,,,.16.(1)由频率分布直方图,得,则;平均数为.(2)评分在的频率分别为,则在中抽取人,记为;在中抽取4人,记为,从这6人中随机抽取2人,样本空间:,共有15个结果,设选取的2人评分分别在和内各1人为事件,则,共有8个结果,所以.17.(1)由及正弦定理得,所以,所以,因为,所以,所以.(2)在中,,解得,在中,,所以,所以周长.18.(1),,函数是偶函数,在区间和上单调递增,在区间和上单调递减,函数的最大值是,无最小值,值域为.作图如下:(2)因为关于的不等式恒成立,令,则,即不等式在恒成立.当时,因为,所以.又,所以;(3)关于的方程恰有个不同的实数解即有个不同的解,如下图所示:当时,方程有四个根;当时,方程有两个根;当或时, 方程无解.设方程的两根分别为、,则,.令,则.因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数基本性质的求得、函数不等式恒成立以及复合型二次函数的零点个数问题,一般利用换元法转化为内层函数和外层函数的零点问题,同时也考查了二次函数的零点分布问题,考查数形结合思想的应用,属于中等题.19.(1)作出四棱锥,如图1,在中,,所以.下面用反证法证明与不垂直:假设,则由,平面,得平面,又平面,所以.作出平面四边形,如图2,连接,设与交于点,易知,且为的中点,则由,,得.在中,,在中,,这不可能,故假设错误.所以与不垂直.(2)(ⅰ)在平面四边形中,易得,,,如图1,设平面与平面的交线为,由,得,得,所以到平面的距离是到平面的距离的2倍,所以.由,得,得,所以到平面的距离是到平面的距离的3倍,所以.所以的轨迹是线段,其中为的三等分点,为的四等分点,则,.如图3,当时,最短,由(1)知为直角三角形,,则由等面积法得,,所以长的最小值为.(ⅱ)过点作于,过点作平面于,则.如图3,以为坐标原点,直线分别为轴,轴建立平面直角坐标系,则,直线的方程为,即,则点到直线的距离,所以.在平面四边形中,,所以,则.所以三棱锥体积的最大值为. 展开更多...... 收起↑ 资源预览