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湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试
数学模拟试卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为直线，为平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某单位有员工500人，青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为300人， 150人和50人，在一项调查中需要按照年龄层次进行分层抽样，若抽出的青年职工为30人，则抽出的老年职工的人数为（ ）
A．5 B．15 C．30 D．50
5．函数的图象如图所示，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A． B． C． D．
7．遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（ ）（参考数据：）
A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时
8．如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是( ).
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若，则与相互独立
D．若与相互独立，则
10．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角等于
B．四棱锥的体积为
C．两条异面直线和所成的角为
D．二面角的平面角的余弦值为
11．函数，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．为增函数 D．为非奇非偶函数
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知函数，的图象的对称中心是 ．
13．某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为 .
14．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ．
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15．(13分)如图，已知矩形中，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
16．(15分)黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；
(2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
17．(15分)已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点在边上，且，求的周长．
18．(17分)已知函数.
（1）指出函数的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数的图象；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程恰有个不同的实数解，求实数的取值范围.
19．(17分)在四棱锥中，，，，，．
(1)证明：与不垂直．
(2)已知内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等．
（ⅰ）求长的最小值．
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下求三棱锥体积的最大值．
《湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A C C C C BC ABC
题号 11
答案 ABD
12．
13．0.76/
14．
15．（1）由于在平面上的射影O在上，
平面，又平面，，
又，，
平面，平面
平面，又平面，，
（2）由于为矩形，
由1知，，
平面，平面
平面，平面，
，
，，
，
．
16．（1）由频率分布直方图，得，则；
平均数为.
（2）评分在的频率分别为，
则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为，
从这6人中随机抽取2人，样本空间：
，共有15个结果，
设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，
则，共有8个结果，
所以.
17．（1）由及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
18．（1），，函数是偶函数，
在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，
函数的最大值是，无最小值，值域为.
作图如下：
（2）因为关于的不等式恒成立，
令，则，即不等式在恒成立.
当时，因为，所以.
又，所以；
（3）关于的方程恰有个不同的实数解即有个不同的解，如下图所示：
当时，方程有四个根；当时，方程有两个根；
当或时， 方程无解.
设方程的两根分别为、，则，.
令，则.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数基本性质的求得、函数不等式恒成立以及复合型二次函数的零点个数问题，一般利用换元法转化为内层函数和外层函数的零点问题，同时也考查了二次函数的零点分布问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
19．（1）作出四棱锥，如图1，
在中，，所以．
下面用反证法证明与不垂直：
假设，则由，平面，得平面，
又平面，所以．
作出平面四边形，如图2，连接，设与交于点，
易知，且为的中点，则由，，
得．
在中，，
在中，，这不可能，故假设错误.
所以与不垂直．
（2）（ⅰ）在平面四边形中，易得，，，
如图1，设平面与平面的交线为，
由，得，得，
所以到平面的距离是到平面的距离的2倍，所以．
由，得，得，
所以到平面的距离是到平面的距离的3倍，所以．
所以的轨迹是线段，其中为的三等分点，为的四等分点，则，．
如图3，当时，最短，
由（1）知为直角三角形，，则由等面积法得，，
所以长的最小值为．
（ⅱ）过点作于，过点作平面于，
则．
如图3，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，
直线的方程为，即，
则点到直线的距离，所以．
在平面四边形中，，所以，
则．
所以三棱锥体积的最大值为．

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