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1.3.1不等式的性质
北师大版（2019）必修第一册
目录
课堂小结
探索新知
典型例题
学习目标
课后作业
学习目标
01
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
1、理解不等关系与不等式的概念
2、掌握两个实数大小比较的基本事实
3、掌握不等式的性质（重点）
4、运用不等式的性质解决问题（难点）
探索新知
02
北师大版（2019）必修第一册
导入:
采光是民用住宅一个非常重要的指标，用值表示采光条件，一般来讲，窗户面积小于地板面积，所以越大采光越好，值越小，采光越差。
设l表示增加的面积，式子表示的含义为：同时增加等量的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会地到改善.
实例中的 关系该如何证明呢？
1.3.1不等式的性质
探索新知
02
北师大版（2019）必修第一册
生活中的不等关系
身高不相等
质量不相等
我们常用等式表示相等关系，对于生活中的不等关系，我们又该如何表示？
数学中，用不等式表示不等关系！
1.3.1不等式的性质
探索新知
02
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
不等式的含义
用不等号（<，>，≥，≤）表示不等关系的式子叫作不等式。如：a>b，a+1<0等.
用“>”或“<”连接的不等式叫作严格不等式
用“≥”或“≤”连接的不等式叫作非严格不等式.
探索新知
02
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1.3.1不等式的性质
不等式的文字语言与数学符号
文字语言 数学符号
大于 >
小于 <
大于等于 ≥
小于等于 ≤
文字语言 数学符号
至多 ≤
至少 ≥
不多于 ≤
不少于 ≥
探索新知
02
北师大版（2019）必修第一册
不等关系的适用
从数学意义上看，不等关系主要体现在以下几个方面：
1、常量与常量之间的不等关系：如“一颗西瓜的质量”大于“一粒芝麻的质量”
2、常量与变量之间的不等关系：儿童的身高h≥1.4米
3、变量与变量之间的关系：2a 14、一组变量之间的不等关系：购置笔记本的费用20x与购置水杯的费用25y和不超过1500元.
1.3.1不等式的性质
探索新知
02
北师大版（2019）必修第一册
比较两个实数的大小
实数的特征：
（1）实数的平方不小于0
（2）任意两个实数都可以比较大小，反之亦然
1.3.1不等式的性质
在初中数学中，根据数轴右边的点表示的数比数轴左边的点表示的数大的特点，比较任意两个实数a，b的大小，并有以下基本事实：
探索新知
02
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比较两个实数的大小
1.3.1不等式的性质
如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反之亦成立.
这个基本事实可以表示为：a＞b a－b＞0；
a＝b a－b＝0；
a＜b a－b＜0.
根据以上式子可以知道，判断两个数（式）的大小关系，可以判断a-b差的符号即可.作差时应对差式进行恒等变形(常采用配方法，因式分解，有理化，通分等方法)，直到能明显判断正负为止.
作差法
探索新知
02
北师大版（2019）必修第一册
回顾等式的性质
性质1：如果a＝b，那么b＝a；(对称性)
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；(同加减性)
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；(同乘性)
性质5：如果a＝b，c≠0那么 (同除性)
性质2：如果a＝b，b＝c那么a＝c；(传递性)
1.3.1不等式的性质
探索新知
02
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1.3.1不等式的性质
不等式的性质
性质1（传递性）：如果a＞b，且b＞c，那么a＞c.
分析：要证a＞c，只需证a－c>0.
证明：因为a＞b，且b＞c，
所以a－b>0，b－c>0，
从而a－c＝(a－b)+(b－c)>0，即a＞c.
特别注意：
该性质说明不等式具备传递性；传递关系同样适用于多个式子；若a探索新知
02
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1.3.1不等式的性质
不等式的性质
性质2（可加性）：如果a＞b，那么a+c＞b+c.
分析：要证a+c＞b+c，只需证(a+c)－(b+c)>0.
证明：因为a＞b，所以a－b＞0，
所以(a+c)－(b+c)＝a－b>0，即a+c＞b+c.
特别注意：
该性质可表示为，不等式的两边同时加上一个实数（正数/负数/0），不等式的符号不发生变化；也可表示为如果a探索新知
02
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1.3.1不等式的性质
不等式的性质
性质3（可乘性）：(1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc.
(2)如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
分析：(1)要证ac＞bc，只需证ac－bc>0.
证明：(1)因为a＞b，所以a－b＞0，
又因为c＞0，所以(a－b)c＞0，ac－bc>0，即ac＞bc.
试用(1)的方法完成(2)的证明.
特别注意：
注意“c”的正负，“c＞0”时不等号不变，“c＜0”时，不等号要发生改变.
探索新知
02
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1.3.1不等式的性质
不等式的性质
练一练：
例1 ：试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.
解 因为
所以
比较两个数（式）的大小：一般用作差法
步骤：①作差；②化简、变形（配方法、因式分解等恒等变形手段）；③判断符号；④得出结论
探索新知
02
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1.3.1不等式的性质
不等式的性质
例2
证明：.
因为，所以.
又，，故.
因此.
化简结果是分式的，通过判断分子分母的正负号，从而判断出整个式子的符号
探索新知
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1.3.1不等式的性质
不等式的性质
性质4（同向可加性）：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.
证明：因为a＞b，所以a+c＞b+c，
又因为c＞d，所以b+c＞b+d，
由不等式的性质1，得a+c＞b+d.
探索新知
02
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1.3.1不等式的性质
不等式的性质
性质5：(1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
(2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd.
证明：
(1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，又因为c＞d，b＞0，所以bc＞bd，
由不等式的性质1，得ac＞bd.
试用(1)的方法完成(2)的证明.
探索新知
02
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1.3.1不等式的性质
不等式的性质
证明：
(2)因为a＞b，c＜0，所以ac＜bc，又因为c＜d，b＞0，所以bc＜bd，
由不等式的性质1，得ac＜bd.
特殊地，当时，，其中.
(2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd.
探索新知
02
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
不等式的性质
性质6：当a＞b＞0时，，其中.
证明：假设，当时，可得，
即.与已知条件矛盾.
当时，可得，即.与已知条件矛盾.
所以不成立，即.
像这样，先提出一个与命题相反的假设，从这个假设出发推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，实现证明原命题的目标，这种方法就是数学上的“反证法”
探索新知
02
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
不等式的性质
反证法的一般步骤：
1、找出题目中问题的条件和结论
2、设与命题相反的结论为真
3、推出矛盾
4、得出结论
探索新知
02
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1.3.1不等式的性质
不等式的性质
性质1（传递性）：如果a＞b，且b＞c，那么a＞c.
性质2（可加性）：如果a＞b，那么a+c＞b+c.
性质3（可乘性）：(1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc.
(2)如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
性质4（同向可加性）：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.
性质5：(1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
(2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd.
性质6：当a＞b＞0时，，其中.
性质3、5注意符号；
运用不等式的性质解决问题时，要注意不等式成立的条件；
注意每条性质是否有可逆性；
典型例题
03
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
题型1：根据不等式性质判定不等式是否成立
D
典型例题
03
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
题型1：根据不等式性质判定不等式是否成立
D
典型例题
03
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
题型2：根据不等式性质比较大小
典型例题
03
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
题型2：根据不等式性质比较大小
介值比较法：
（1）理论依据：若a>b,b>c则a>c,其中b是a、c的中介值;
（2）其关键是通过对不等式恰当的放缩，找到合适的中介值，帮助我们判断不等式的关系.
平方法比较：如果比较两个数或代数式（2个均大于0）不如比较它们的平方容易，可直接比较他们的平方.
典型例题
03
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1.3.1不等式的性质
题型2：根据不等式性质比较大小
典型例题
03
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1.3.1不等式的性质
题型2：根据不等式性质比较大小
A
典型例题
03
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1.3.1不等式的性质
题型3：根据不等式性质证明不等式
典型例题
03
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
题型3：根据不等式性质证明不等式
解题通法：
（1）对于简单的题目，可以由已知条件，根据不等式的性质，对式子加以变形证得；
（2）比较复杂的式子，可对不等式两边进行作差，然后变形（因式分解、配方等恒等变形），根据条件确定每一个不等式的符号.
典型例题
03
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
题型4：根据不等式性质求值或取值范围
典型例题
03
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
题型4：根据不等式性质求值或取值范围
取值范围解题通法：
（1）将待求量用已知量表示；
（2）根据不等式性质求待求量的范围或数值；
（3）得出结论
求值解题通法：
（1）根据已知条件分情况讨论；
（2）结果取并集；
（3）得出结论
课堂小结
掌握
summary
04
北师大版（2019）必修第一册
1.3.1不等式的性质
1、不等关系与不等式的概念
2、实数a、b比较大小的基本事实
3、不等式的性质及证明
4、运用不等式的性质解决问题
课后练习
05
作业：
完成教材p26练习题1-6
前路漫漫亦灿灿
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