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专题08 三角形有关的角
新知预习
（一）三角形的分类
（1）按角分类:
三角形 直角三角形
斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
（2）按边分类:
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
（二）三角形相关的角
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
新知训练
考点1：三角形的分类
典例1：（2025秋·辽宁抚顺·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，则图中直角三角形有______个．
【答案】3
【分析】根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】解：由图得△ABD为直角三角形，△ADC为直角三角形，△ABC为直角三角形，
共有3个直角三角形．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查直角三角形的概念，掌握直角三角形的概念是解题的关键．
【变式1】（2025秋·山西朔州·八年级校考阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，且，若按边进行分类，则为______三角形．
【答案】等边
【分析】利用非负数的性质可得，，按边进行分类，即可得到答案．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
则，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查了非负数的性质以及三角形的分类，注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式2】（2025秋·八年级课时练习）三角形按边的关系可分为_________和___________，而等腰三角形又分
为___________________和_____________.三角形按内角大小可为___________、____________和_____________.
【答案】 三边不相等的三角形 和等腰三角形 .腰和底不相等的等腰三角形， 等边三角形， 锐角三角形， 直角三角形， 钝角三角形
【分析】根据三角形的边角分类即可求解.
【详解】三角形按边的关系可分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形又分
为腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形.三角形按内角大小可为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
.
【点睛】此题主要考查三角形的分类，解题的关键是熟知三角形的边角分类.
【变式3】（2025秋·八年级课时练习）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是_________，钝角三角形有______个．
【答案】 △ACE； 4.
【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角是钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边相等的三角形是等边三角形（是特殊的等腰三角形），根据三角形按角分类的方法进行逐项分类即可．
【详解】观察图形可知，△ACE是锐角三角形，；
△CED、△CDB、△CEB、△ACB是钝角三角形，共4个.
故答案为△ACE，4．
【点睛】本题是考查三角形的分类．
考点2：三角形的内角和定理
典例2：（2025春·七年级课时练习）如图，，，，则________．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
【变式1】（2025春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C．若，则__________．
【答案】110°/110度
【分析】利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示：
∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∵∠1=20°，
∴∠ADC=180°-90°-20°=70°，
∵，
∴∠3=∠ADC=70°，
∴∠2=180°-70°=110°，
故答案为：110°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角定理，垂直的定义，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
【变式2】（2025春·江苏扬州·七年级统考期末）如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平线，∠A=40 ，∠BPC=________．
【答案】110°/110度
【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质可得进而． 可求的度数，再次在中利用三角形内角和即可求解．
【详解】解：
又∵BP平分CP平分
故答案为：110°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解．
【变式3】（2025秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，，则___________．
【答案】100°/100度
【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴
故答案为：100°．
【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键．
考点3：与平行线有关的内角和问题
典例3：（2025秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，已知，，，则的度数为__________．
【答案】/度
【分析】根据平角的定义得出，根据三角形内角和得到，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【变式1】（2025秋·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，在中，，点在上，，若，则的度数为___________．
【答案】/70度
【分析】利用平角的定义可得，再根据平行线的性质知，再由内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
【变式2】（2025春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，直线，是直线上一点，是直线外一点，若，，则的度数为________．
【答案】/120度
【分析】直接利用平行线的性质并结合三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，求一个角的补角等知识．正确理解和运用平行线的性质是解题的关键．
【变式3】（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知，，点P是上一点，平分交直线于点N，若，则的度数为_______．
【答案】30
【分析】由得到，由平分得到，由知，△BMP中三个内角均相等，进而由内角和定理求出，最后在△MPN中，结合由内角和定理即可求出=30°．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又已知，
∴，
∵，
∴，
在△MPN中，由三角形内角和定理可知：，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，属于基础题，本题的关键是得到．
考点4：与角平分线有关的内角和问题
典例4：（2025春·江苏·七年级校联考期中）如图，在中，与的角平分线相交于点P．若，则_____．
【答案】80
【分析】根据三角形内角和可以求得的度数，再根据角平分线的定义，求出 ，最后利用三角形内角和定理解答即可.
【详解】解：在中，，
∴，
∵和 与的角平分线，
∴，
在中，,
故答案为：80.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.
【变式1】（2025秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在中，，于D，平分，，则___________度．
【答案】
【分析】由可得，由直角三角形两个锐角互余，得到，再由平分可得，根据．
【详解】，
，
，
，
，平分，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式2】（2025秋·宁夏中卫·八年级统考期末）如图，平分外角，平分外角，已知，则的度数为________．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义得出，，再根据三角形内角和与平角的定义得出，最后将代入即可得出答案．
【详解】解： 平分外角，平分外角
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和以及平角的定义，根据图中信息得出是解题的关键．
【变式3】（2025春·七年级课时练习）如图，在中，的平分线与的平分线交于P点，若 ，则_____．
【答案】/30度
【分析】利用角平分线定义可知．再利用外角性质，可得①，②，那么可利用，可得相等关系，从而可求．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题利用了角平分线定义、三角形外角性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
考点5：与折叠有关的内角和问题
典例5：（2025春·重庆沙坪坝·七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，点、分别在、上，将纸片沿折叠，点落在点处，，则是___________°．
【答案】
【分析】根据折叠可以得到，，再根据平角可得，因此可得，．
【详解】解：根据折叠可以得到，
，，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，熟知折叠的性质是解题的关键．
【变式1】（2025秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处， 若，，则_________．
【答案】/度
【分析】根据折叠的性质得出，，根据，得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理的应用，掌握折叠的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
【变式2】（2025春·浙江·七年级专题练习）在“妙折生平折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为________度．
【答案】35或75或125
【分析】分三种情况：①当时，②当时，根据折叠性质、平行线的性质得答案．
【详解】解：①当时，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
．
②当时，，
，
，
，
③当时，，
，
，
，
综上所述，或或．
故答案为：35或75或125．
【点睛】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
【变式3】（2025秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）如图，D，E分别为的边，上的点，，将沿折叠，使点A落在边上的点F处．若，则的度数为________°．
【答案】
【分析】首先根据平行线的性质，可得，再根据折叠的性质，可得，再根据平角的性质，即可求得答案．
【详解】解：，
，
根据折叠的性质，可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决此题的关键．
考点6：三角形内角和定理的应用
典例6：（2025春·河北保定·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，平分．
（1）当添加的度数为________时，可判定；
（2）若，则的度数为________．
（3）若，在直线上取点E，使，则的度数为_________．
【答案】 /80度 /40度 或
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行可得结果；
（2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，从而推出，最后结合可得结果；
（3）分两种情况：当点E在点C的左侧，当点E在点C的右侧，然后利用平行线的判定与性质，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）当时，
，
∴；
（2）若，
则，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）若，
则，
当点在点的左侧，
，
，
，
，
；
当点在点的右侧，
，
，，
，
，
综上所述，的度数为或，
故答案为：（1）；（2）；（3）或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，分两种情况讨论是解题的关键．
【变式1】（2025春·广东佛山·七年级校考阶段练习）高桩舞狮是岭南地区的传统文化之一，以其在梅花桩上的闪转腾挪最为精彩绝伦．如图，在地面垂直放置了三支高桩、、，运动员从点的方向运动，已知，，则的度数为________．
【答案】120
【分析】过点C作，交于点M，交于点N，易证，，即可求出，，即可求解．
【详解】解：过点C作，交于点M，交于点N，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
【变式2】（2025秋·山东枣庄·八年级统考期末）枣庄市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．当为______度时，AM与CB平行．
【答案】
【分析】根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【变式3】（2025秋·河南驻马店·八年级校考期中）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从C岛看A，B两岛的视角等于______度．
【答案】80
【分析】根据C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，得到，，作差即可得到，根据平行线的性质可得，由，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】解：∵C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵C岛在B岛的北偏西方向，
∴，
∴，
∴．
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查了方向角，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意找出方向角是解题的关键．
考点7：直角三角形的锐角互余
典例7：（2025春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分，若，，则_____．
【答案】/30度
【分析】由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形中利用两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．理解和掌握三角形的角平分线和高的定义是解题的关键．
【变式1】（2025春·七年级课时练习）如图，AD是的高，BE平分交AD于E，若，，则_____．
【答案】/66度
【分析】根据直角三角形两锐角互余，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：是的高，，
，
平分交于E，
，
，
．
故答案为∶
【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题时注意从已知条件得出所有结论是解题的关键．
【变式2】（2025秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则______度．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理可求出的度数，由是的角平分线，可知，根据对顶角相等可得，由，可知，即可求出的大小．
【详解】解：∵在中，，，
又∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的性质，根据三角形内角和定理求三角形内角的度数是解答本题的关键．
【变式3】（2025春·甘肃兰州·七年级校考期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是______．
【答案】110°/110度
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可求，根据平角的定义可求，根据直角三角形的性质可求，再根据两直线平行，同旁内角互补可求．
【详解】解：过点作，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
考点8：外角的定义
典例8：（2025秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．直角三角形或锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【分析】由三角形的一个外角和它相邻的内角互补，可得出该内角大于度，进而可得出该三角形为钝角三角形．
【详解】解：∵三角形的一个外角小于和它相邻的内角，
∴该外角小于度，与它相邻的内角大于度，
∴这个三角形为钝角三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及钝角三角形的定义，利用三角形的一个外角和它相邻的内角互补，找出该内角为钝角是解题的关键．
【变式1】（2025秋·广西南宁·八年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的一个外角等于它的两个内角和
C．三角形的外角和是180° D．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
【答案】D
【分析】根据三角形外角的有关知识依次判断即可．
【详解】选项A.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，选项A错误；
选项B.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，选项B错误；
选项C.三角形的外角和等于360°，选项C错误；
选项D. 三角形的一个内角小于和它不相邻的外角，选项D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外角，熟知三角形外角的性质是解决问题的关键．
【变式2】（2025春·江苏泰州·七年级校考期中）下列5种说法中正确的是______（请填写正确的说法序号）．
①一个三角形中至少有两个角为锐角
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段
③三角形的外角大于它的任何一个内角
④同旁内角互补
⑤若三条线段的长、、满足，则以、、为边一定能组成三角形
【答案】①②
【分析】利用三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的中线、高线、角平分线的定义，平行线的性质，三角形的三边关系分析即可．
【详解】解：①因为三角形的内角和是，所以三角形的所有内角中，至少有两个角是锐角，故正确；
②三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；
③三角形的外角大于和它不相邻的内角，故错误；
④两直线平行，同旁内角互补，故错误；
⑤若三条线段的长、、满足且满足， ，则以、、为边一定能组成三角形，故错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的中线、高线、角平分线的定义，平行线的性质，三角形的三边关系，掌握相关定义以及性质是解题的关键．
【变式3】（2025秋·湖南怀化·八年级校考期中）三角形的一个外角等于___________．
【答案】与它不相邻的两个内角的和
【分析】根据三角形外角的性质进行作答即可．
【详解】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
故答案为：与它不相邻的两个内角的和．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
考点9：外角的性质
典例9：（2025春·全国·七年级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则______．
【答案】/
【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
同理可得，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出和之间的规律，是解题的关键．
【变式1】（2025·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，则______°（点，，是网格线交点）．
【答案】
【分析】取格点Q，连接，根据网格特点，，根据三角形的外角性质得到即可求解．
【详解】解：取格点Q，连接，根据网格特点，，且A、P、Q共线，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质，找到格点Q得到是解答的关键．
【变式2】（2025春·江苏·七年级期中）如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为______．
【答案】/80度
【分析】延长交于点．根据三角形内角和定理可求出．由翻折的性质可知，即得出，从而可求出．由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出．
【详解】解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
由翻折可知，
∴，即，
∴．
∵，，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，翻折的性质．正确的作出辅助线是解题关键．
【变式3】（2025秋·贵州铜仁·八年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，则___________．
【答案】/度
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再根据三角形外角的性质得到，据此即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．
新知检测
一、单选题
1．（2025春·河北唐山·七年级统考期中）如图，，，若，则的度数为（）
A．34° B．56° C．44° D．124°
【答案】A
【分析】由垂直的定义得到∠DEC=90°，根据三角形的内角和得∠CDE的度数，最后根据平行线的性质得到∠CDE=∠1=34°，即可得到结论．
【详解】解：∵DE⊥CE，
∴∠CED=90°，
∵∠DCE=56°，
∴∠CDE=180°-90°-56°=34°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠CDE=34°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义和三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
2．（2025秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，经计算即可得到答案．
【详解】解：∵是延长线上一点，
∴，
∵，，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，从而完成求解．
3．（2025秋·山东泰安·七年级校考阶段练习）一个三角形的三个内角中 （ ）
A．至少有一个钝角 B．至少有一个直角
C．至多有一个锐角 D．至少有两个锐角
【答案】D
【详解】分析：
根据“锐角三角形、直角三角形和钝角三角形中锐角、直角和钝角存在的个数”进行分析判断即可.
详解：
A选项中，因为“锐角三角形和直角三角形中就没有钝角”，所以A中说法错误；
B选项中，因为“锐角三角形和钝角三角形中就没有直角”，所以B中说法错误；
C选项中，因为“直角三角形中就有两个锐角”，所以C中说法错误；
D选项中，因为“任何一个三角形中都至少有两个锐角”，所以D中说法正确.
故选D.
点睛：熟悉“锐角三角形、直角三角形和钝角三角形中锐角、直角和钝角存在的个数”是正确解答本题的关键.
4．（2025·河南·校联考模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．80° C．75° D．65°
【答案】C
【分析】直接利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可．
【详解】解：如图，由三角尺可知
所以，
所以，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查了学生对一副三角板的认识和对直角三角形两个锐角互余以及三角形外角的知识，解题的关键是牢记相关概念和公式并熟练应用．
5．（2025春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期中）如图①，一张四边形纸片ABCD，，，若将其按照图②所示方式折叠后，恰好，,则的度数为( )
A．75 B．70 C．85 D．80
【答案】D
【分析】先根据翻折变换的性质得出∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，再由平行线的性质求出∠1+∠D′MN及∠2+∠D′NM的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图2：
∵△MND′由△MND翻折而成，
∴∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，
∵MD′∥AB，ND′∥BC，∠A=50°，∠C=150°
∴∠1+∠D′MN=∠A=50°，∠2+∠D′NM=∠C=150°，
∴∠1=∠D′MN===25°，∠2=∠D′NM===75°，
∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-25°-75°=80°．
故选D．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质及平行线的性质，解答此类题目时往往隐含了三角形的内角和是180°这一知识点．
6．（2025春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图中，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形的内角和定理，本题属于基础题型．
7．（2025春·重庆开州·七年级统考期末）如图，,,，则的度数是( )
A．35° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【分析】根据平行的性质求出，然后根据三角形内角和定理求出即可.
【详解】 ，
，
，
，
.
故选.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用.注意：两直线平行，同位角相等.
8．（2025春·四川达州·九年级专题练习）如图，已知直线 ，∠1＝50°，∠2＝20°，则∠3的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】B
【分析】利用两直线平行，同位角相等和三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵ ，∠1＝50°，
∴∠4=∠1＝50°，
∵∠2＝20°，
∴∠3=∠2+∠4=70°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
9．（2025秋·八年级课时练习）如图，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依据∠1＝∠2＝65°得到，故C正确；根据，结合外角性质与平行线性质得到∠B＝∠C＝30°，故B正确；根据题意得到∠CGF＝114°，从而根据三角形外角性质得到∠CFE＝∠C＋∠CGF＝∠C＋114°，得到∠CFE＝∠C＋114°∠C＋66°＝∠C＋∠2，故A错误；根据，以及三角形外角性质得到，故D正确，综上所述即可得到答案．
【详解】解：∵∠1＝∠2＝66°，
∴ABCD，故C选项正确，不符合题意；
又∵∠3＝36°，
∴∠C＝66° 36°＝30°，
，
∴∠B＝∠C＝30°，故B选项正确，不符合题意；
∵∠3＝36°，
∴∠CFE＝144°，
∵∠2＝66°，
∴∠CGF＝114°，
∴∠C＋∠2＝∠C＋66°，∠CFE＝∠C＋∠CGF＝∠C＋114°，
∴∠C＋∠2＝∠C＋66°＜∠C＋114°＝∠EFC，故A选项错误，符合题意；
∵，
∴，故D选项正确，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质和三角形外角性质，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．
10．（2025春·河南·九年级校考期中）若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】作，则，根据平行线的性质首先求出，再根据即可解决问题．
【详解】解：作，则，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解决问题的关键，解题的关键是掌握基本图形，属于中考常考题型．
11．（2025春·全国·七年级专题练习）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BC，由ABCD可以推出∠ABO＋∠CBO＋∠BCO＋∠OCD＝180°，而∠CBO＋∠BCO＋∠＝180°，由此可以证明∠＝∠ABO＋∠DCO．
【详解】解：连接BC，如图所示：
∵ABCD，
∴∠ABO＋∠CBO＋∠BCO＋∠DCO＝180°，
而∠CBO＋∠BCO＋∠＝180°，
∴∠＝∠ABO＋∠DCO，
∵，，
∴∠＝，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的内角和为180°以及平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
12．（2025春·浙江·八年级专题练习）如图，若，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形内角和为，结合三角形外角性质，即可将转化为．
【详解】解：根据题意，
，，
又，，
=
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质，将转化为是解题关键．
13．（2025春·七年级课时练习）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134° B．124° C．114° D．104°
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；
【详解】∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE=34°
∵ED∥AC
∴∠CAE+∠DEA=180°
∴∠DEA=180°-34°=146°
∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°
∴∠BED=360°-146°-90°=124°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键．
14．（2025春·全国·七年级专题练习）如图，∠A＝∠B，∠C＝α，DE⊥AC，FD⊥AB，则∠EDF等于( )
A．α B．90°－α C．90°－α D．180°－2α
【答案】B
【详解】解：∵∠A=∠B，∠C=α，
∴∠A=∠B=(180°-α)，
∵DE⊥AC，FD⊥AB，
∴∠AED=∠FDB=90°，
∴∠ADE=90°-(180°-α)=α，
∴∠EDF =180°-90°-α=90°-α，
故选B．
15．（2025秋·八年级课时练习）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
【答案】D
【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得，即可求出答案．
【详解】解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地利用所学知识进行角度之间的转化．
二、填空题
16．（2025春·广西南宁·八年级南宁三中校考开学考试）的三个内角之比为，则此三角形是_________．
【答案】直角三角形
【分析】设三角分别为，利用三角形的内角和为180°，即可求解．
【详解】∵的三个内角之比为，
∴设三角分别为，
依题意得：，
解得：．
故三角分别为36°，54°，90°，所以该三角形是直角三角形；
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，解答此题的关键是根据题意设出三角形三个内角的度数，列出关于x的方程，利用方程的思想求解．
17．（2025秋·广东东莞·八年级统考期中）如图，已知∠ACB＝90°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝____°．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理可得，然后根据OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，可得出，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，
∴，
∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理的运用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理的运用，角平分线的定义．
18．（2025春·河北沧州·七年级统考期末）如图，，，垂足为点F，，则________．
【答案】130°/130度
【分析】根据平行线的性质求出∠D=，再利用三角形外角的性质求出∠CEF的度数．
【详解】解：∵，
∴∠D=，
∵，
∴∠EFD=90°，
∴∠D+∠EFD=130°，
故答案为：130°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质定理是解题的关键．
19．（2025春·四川成都·七年级校联考期末）如图所示，若，则______．
【答案】70°/70度
【分析】先根据∠1，∠2所在的三角形利用三角形内角和把∠B表示出来了，同理，把∠C表示出来，再根据∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝250°及△ABC的内角和求出∠5．
【详解】解：如图所示，
在△GBF中，
∠B＝180° （∠1＋∠2）．
同理，∠C＝180° （∠3＋∠4）
∴∠B＋∠C＝360° （∠1＋∠2＋∠3＋∠4）．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝250°．
∴∠B＋∠C＝110°．
在△ABC中，∠5＝180° （∠B＋∠C）＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，熟练运用三角形的内角和定理是解题的关键．
20．（2025春·天津红桥·七年级统考期中）如图，已知，平分，，则的度数是________．
【答案】55°．
【分析】根据平行的性质可求得，根据平分，可得，根据三角形内角和可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和，熟悉相关行政是解题的关键．
21．（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，中，平分，在上，连接，延长至，平分与的延长线交于，，，则______．
【答案】
【分析】设∠FCE=x，则∠DCE=2∠FCE=2x，∠ACD=180°-∠DCE=180°-2x，∠ACF=180°-∠FCE=180°-x，∠GCF=∠DCF-∠BCD=x-21°，∠FAE=180°-∠F-∠ACF=x-45°，由AF平分∠BAC，得到∠BAG=∠CAG，由∠B+∠BAG=∠F+∠FCG=∠AGC，可以得到∠B+x-45°=45°+x-21°，由此求解即可．
【详解】解：设∠FCE=x，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE=2∠FCE=2x，
∴∠ACD=180°-∠DCE=180°-2x，∠ACF=180°-∠FCE=180°-x，
∴∠GCF=∠DCF-∠BCD=x-21°，∠FAE=180°-∠F-∠ACF=x-45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∵∠B+∠BAG=∠F+∠FCG=∠AGC，
∴∠B+x-45°=45°+x-21°，
∴∠B=69°，
故答案为：69°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．（2025春·黑龙江·七年级统考期末）已知：分别是的高，角平分线，，则的度数为________________度.
【答案】20或50
【分析】分钝角三角形或锐角三角形两种情形分别求解即可．
【详解】解：如图，当△ABC是钝角三角形时，
∵AD⊥BD，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACD=60°，∠ACD=∠B+∠BAC，∠B=20°，
∴∠BAC=∠ACD -∠B =40°，∠CAD=90°-∠ACD=90°- 60°=30°
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=20°，
∴∠EAD=∠CAD+∠CAE=30°+20°=50°．
如图，当△ABC是锐角三角形时，
∵∠C=60°，∠B=20°，
∴∠BAC=100°，∠BAD= =90°-20°=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=50°，
∴∠EAD=∠DAB-∠BAE=70°-50°=20°.，
综上所述：∠EAD=50°或20°．
故答案为50或20．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
23．（2025秋·广东东莞·八年级校联考期末）在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为_________．
【答案】10°
【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE=∠BAC，而∠BAD=90°-∠B，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算即可．
【详解】解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是的角平分线
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为10°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，关键是利用三角形内角和定理求解．
24．（2025春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 _____．
【答案】42°或84°或92°．
【分析】分42°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据友好角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：①42°角是α，则友好角度数为42°；
②42°角是β，则α＝β＝42°，
所以，友好角α＝84°；
③42°角既不是α也不是β，
则α＋β＋42°＝180°，
所以，α＋α＋42°＝180°，
解得α＝92°，
综上所述，友好角度数为42°或84°或92°．
故答案为：42°或84°或92°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解友好角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
25．（2025春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE=β．下列各式：①α＋β；②α﹣β；③β α；④180°﹣α﹣β；⑤360°﹣α﹣β．以上结果可以作为∠AEC的度数的是___．（填序号）
【答案】①②③⑤
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，由平行线的性质和三角形外角性质进行计算即可．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD
∴∠AFC=∠DCE=β
∵∠AFC=∠BAE+∠AEC
∴∠AEC=∠AFC-∠BAE=β α
（2）如图2，过点E作EF∥AB
则∠AEF=∠BAE=α
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠CEF=∠DCE=β
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
（3）如图3，∵AB∥CD
∴∠AFC=∠BAE=α
∵∠AFC=∠DCE+∠AEC
∴∠AEC=∠AFC-∠DCE=α β
（4）如图4，∵AB∥CD
∴∠AFE=∠DCE=β
∵∠BAE=∠AFE+∠AEC
∴∠AEC=∠BAE-∠AFE=α β
（5）如图5，过点E作EF∥AB
则∠AEF=180゜ ∠BAE=180゜ α
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠CEF=180゜ ∠DCE=180゜ β
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=180゜ α+180゜ β=360゜ α β
（6）如图6，∵AB∥CD
∴∠DFE=∠BAE=α
∵∠DCE=∠DFE+∠AEC
∴∠AEC=∠DCE ∠DFE=β α
综上所述，正确的序号分别为：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，分别有同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，平行于同一直线的两条直线平行，此外，还用到了分类讨论思想．
三、解答题
26．（2025春·四川达州·七年级校考期中）如图，已知，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数．
【答案】∠A=20°．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：如图，
∵ABCD，
∴∠1=∠C=40°，
∴∠A=∠1-∠E=40°-20°=20°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
27．（2025秋·河南许昌·八年级校考阶段练习）在中，，，求的各内角的度数．
【答案】，，
【分析】根据题意，再由三角形内角和得出一个等式，结合条件将三个等式联立即可解出答案．
【详解】解：∵三角形内角和为，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴的各内角中，，，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，熟记三角形内角和为是解题关键．
28．（2025春·河南三门峡·七年级校考期中）如图，已知，且．
（1）求证：；
（2）若平分，且，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）40°
【分析】（1）先根据三角形内角和定理、邻补角性质得到，证得，然后根据平行线的性质即可证明结论；
（2）先说明∠B=50°，再说明，最后由角平分线的定义即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、邻补角性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
29．（2025秋·广西玉林·八年级统考期中）如图，直线，的直角顶点在直线上，顶点在直线上，交于点，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的性质，得，根据，，三角形内角和为，即可求出．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∵且
∴
∵在中，
∴
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形内角和为．
30．（2025秋·辽宁抚顺·八年级校考阶段练习）在中，已知比的3倍小15°，比大10°，求各内角的度数．
【答案】∠A=96°，∠B=37°，∠C=47°
【分析】设出∠B的度数为x°，则∠A的度数是3x°-15°，∠C的度数是x°+10°，根据三角形三个角的和是180°列方程解答即可．
【详解】解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数是3x°-15°，∠C的度数是x°+10°
由题意有：x°+3x°-15°+ x°+10°=180°
解的
∴∠A=96°，∠B=37°，∠C=47°
【点睛】此题主要考查三角形的内角和是180度的灵活运用．
31．（2025春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，点E是两条内角平分线的交点，点F是两条外角平分线，点A1是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点的交点．
（1）求∠A1EC的度数；
（2）求∠BFC的度数；
（3）探索∠A1与∠A的数量关系，并说明理由；
（4）若∠A=100°，在（3）的情况下，作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，以此类推，∠AnBC与∠AnCD的平分线交于点An，求∠An的度数．(直接写出结果)
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】试题分析：（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、三角形的外角定理求解；
（2）根据三角形的内角和定理、平角的性质及角平分线的性质求解；
（3）由结合角平分线的性质、三角形外角的性质即可得到结果；
（4）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、三角形的外角定理结合（3）的结论即可得到规律.
（1）∵
∴
∵点E是两条内角平分线的交点
∴
∴；
（2）∵
∴
∵点E是两条内角平分线的交点，点F是两条外角平分线
∴；
（3）∵
∴即；
（4）
考点：角的综合题
点评：此类问题知识点多，综合性强，难度较大，熟练掌握三角形中角的关系是解题关键.
32．（2025春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知：如图，△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE 是∠ABC 的平分线，若∠DAC=30°，∠BAC=80°，求：∠AOB 的度数．
【答案】AOB 110°．
【分析】由AD⊥BC利用三角形内角和定理结合∠DAC=30°即可得出∠C=60°、∠ABC=40°，再根据角平分线定义可得出∠ABE=20°，在△AOB中根据三角形内角和定理即可得出∠AOB的度数．
【详解】∵ AD BC，
∴ ADC 90，
∵∠DAC 30，
∴ C 60，
∵ BAC 80 ，∠DAC 30，
∴ BAD 50，
又∵在△ABC 中， C 60 °， BAC 80 °，
∴ ABC 180 C BAC =40°，
∵BE 是∠ABC 的平分线，
∴ ABO CBO 20 °，
又∵在△ABO 中， BAO 50 °， ABO 20°，
∴ AOB 180 ABO BAO =110°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，根据三角形内角和定理求出∠ABC=40°是解题的关键．
33．（2025秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝36°，∠C＝70°．求∠EAD的度数．
【答案】17°
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可．
【详解】解：，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟记定理并准确识图．
34．（2025春·七年级课时练习）如图，已知，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D．
(1)填空：∠APM的度数为______，∠BPD的度数为______；
(2)当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数；
(3)在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．
【答案】(1)140°，70°
(2)35°
(3)存在，且为∠PCA=2∠PDA，见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补计算，运用角的平分线的定义计算即可．
（2）根据三角形外角性质，运用角的平分线的定义计算即可．
（3）根据三角形外角性质，运用角的平分线的定义，平行线的性质证明即可．
【详解】（1）∵，且∠A＝40°，
∴∠APM+∠A=180°，
∴∠APM=140°，
故答案为：140°．
∵PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，
∴
∴∠BPD=
∵∠APM=140°，
∴∠BPD=70°，
故答案为：70°．
（2）如图，
∵∠PBA＝∠BPD+∠PDB，∠APD=∠BPD+∠APB，∠PBA＝∠APD，
∴∠PDB=∠APB，
∵PM∥AN，
∴∠MPD=∠PDB=∠CPD，
∴∠PDB=∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPM，
∴4∠APB=∠APM=140°，
∴∠APB=35°．
（3）存在，且∠PCA=2∠PDA．理由如下：
∵PM∥AN，PD平分∠MPC，
∴∠MPD=∠PDB=∠CPD，
∵∠PCA＝∠CPD+∠PDB，
∴∠PCA=2∠PDA．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的应用，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的应用是解题的关键．
35．（2025秋·湖北荆州·八年级校考期中）已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）
（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°；（3）∠D+∠ACD=∠A+∠ABD，证明见解析.
【详解】试题分析：（1）由∠BDC=∠2+∠CED，∠CED=∠A+∠1，可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180°，可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．
（3）根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AED=∠1+∠A，∠AED=∠D+∠2，所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．
试题解析：（1）证明：延长BD交AC于点E．
∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠2+∠CED，
∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED=∠A+∠1．
∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．
（3）证明：令BD、AC交于点E，
∵∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED=∠1+∠A，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠D+∠2．
∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．
点睛：本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
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专题08 三角形有关的角
新知预习
（一）三角形的分类
（1）按角分类:
三角形 直角三角形
斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
（2）按边分类:
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
（二）三角形相关的角
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
新知训练
考点1：三角形的分类
典例1：（2025秋·辽宁抚顺·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，则图中直角三角形有______个．
【变式1】（2025秋·山西朔州·八年级校考阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，且，若按边进行分类，则为______三角形．
【变式2】（2025秋·八年级课时练习）三角形按边的关系可分为_________和___________，而等腰三角形又分
为___________________和_____________.三角形按内角大小可为___________、____________和_____________.
【变式3】（2025秋·八年级课时练习）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是_________，钝角三角形有______个．
考点2：三角形的内角和定理
典例2：（2025春·七年级课时练习）如图，，，，则________．
【变式1】（2025春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C．若，则__________．
【变式2】（2025春·江苏扬州·七年级统考期末）如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平线，∠A=40 ，∠BPC=________．
【变式3】（2025秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，，则___________．
考点3：与平行线有关的内角和问题
典例3：（2025秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，已知，，，则的度数为__________．
【变式1】（2025秋·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，在中，，点在上，，若，则的度数为___________．
【变式2】（2025春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，直线，是直线上一点，是直线外一点，若，，则的度数为________．
【变式3】（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知，，点P是上一点，平分交直线于点N，若，则的度数为_______．
考点4：与角平分线有关的内角和问题
典例4：（2025春·江苏·七年级校联考期中）如图，在中，与的角平分线相交于点P．若，则_____．
【变式1】（2025秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在中，，于D，平分，，则___________度．
【变式2】（2025秋·宁夏中卫·八年级统考期末）如图，平分外角，平分外角，已知，则的度数为________．
【变式3】（2025春·七年级课时练习）如图，在中，的平分线与的平分线交于P点，若 ，则_____．
考点5：与折叠有关的内角和问题
典例5：（2025春·重庆沙坪坝·七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，点、分别在、上，将纸片沿折叠，点落在点处，，则是___________°．
【变式1】（2025秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处， 若，，则_________．
【变式2】（2025春·浙江·七年级专题练习）在“妙折生平折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为________度．
【变式3】（2025秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）如图，D，E分别为的边，上的点，，将沿折叠，使点A落在边上的点F处．若，则的度数为________°．
考点6：三角形内角和定理的应用
典例6：（2025春·河北保定·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，平分．
（1）当添加的度数为________时，可判定；
（2）若，则的度数为________．
（3）若，在直线上取点E，使，则的度数为_________．
【变式1】（2025春·广东佛山·七年级校考阶段练习）高桩舞狮是岭南地区的传统文化之一，以其在梅花桩上的闪转腾挪最为精彩绝伦．如图，在地面垂直放置了三支高桩、、，运动员从点的方向运动，已知，，则的度数为________．
【变式2】（2025秋·山东枣庄·八年级统考期末）枣庄市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．当为______度时，AM与CB平行．
方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从C岛看A，B两岛的视角等于______度．
考点7：直角三角形的锐角互余
典例7：（2025春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分，若，，则_____．
【变式1】（2025春·七年级课时练习）如图，AD是的高，BE平分交AD于E，若，，则_____．
【变式2】（2025秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则______度．
【变式3】（2025春·甘肃兰州·七年级校考期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是______．
考点8：外角的定义
典例8：（2025秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．直角三角形或锐角三角形 D．钝角三角形
【变式1】（2025秋·广西南宁·八年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的一个外角等于它的两个内角和
C．三角形的外角和是180° D．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
【变式2】（2025春·江苏泰州·七年级校考期中）下列5种说法中正确的是______（请填写正确的说法序号）．
①一个三角形中至少有两个角为锐角
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段
③三角形的外角大于它的任何一个内角
④同旁内角互补
⑤若三条线段的长、、满足，则以、、为边一定能组成三角形
【变式3】（2025秋·湖南怀化·八年级校考期中）三角形的一个外角等于___________．
考点9：外角的性质
典例9：（2025春·全国·七年级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则______．
【变式1】（2025·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，则______°（点，，是网格线交点）．
【变式2】（2025春·江苏·七年级期中）如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为______．
【变式3】（2025秋·贵州铜仁·八年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，则___________．
新知检测
一、单选题
1．（2025春·河北唐山·七年级统考期中）如图，，，若，则的度数为（）
A．34° B．56° C．44° D．124°
2．（2025秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋·山东泰安·七年级校考阶段练习）一个三角形的三个内角中 （ ）
A．至少有一个钝角 B．至少有一个直角
C．至多有一个锐角 D．至少有两个锐角
4．（2025·河南·校联考模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．80° C．75° D．65°
5．（2025春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期中）如图①，一张四边形纸片ABCD，，，若将其按照图②所示方式折叠后，恰好，,则的度数为( )
A．75 B．70 C．85 D．80
6．（2025春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图中，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春·重庆开州·七年级统考期末）如图，,,，则的度数是( )
A．35° B．50° C．55° D．60°
8．（2025春·四川达州·九年级专题练习）如图，已知直线 ，∠1＝50°，∠2＝20°，则∠3的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
9．（2025秋·八年级课时练习）如图，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025春·河南·九年级校考期中）若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．（2025春·全国·七年级专题练习）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025春·浙江·八年级专题练习）如图，若，那么（　　）
A． B． C． D．
13．（2025春·七年级课时练习）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134° B．124° C．114° D．104°
14．（2025春·全国·七年级专题练习）如图，∠A＝∠B，∠C＝α，DE⊥AC，FD⊥AB，则∠EDF等于( )
A．α B．90°－α C．90°－α D．180°－2α
15．（2025秋·八年级课时练习）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
二、填空题
16．（2025春·广西南宁·八年级南宁三中校考开学考试）的三个内角之比为，则此三角形是_________．
17．（2025秋·广东东莞·八年级统考期中）如图，已知∠ACB＝90°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝____°．
18．（2025春·河北沧州·七年级统考期末）如图，，，垂足为点F，，则________．
19．（2025春·四川成都·七年级校联考期末）如图所示，若，则______．
20．（2025春·天津红桥·七年级统考期中）如图，已知，平分，，则的度数是________．
21．（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，中，平分，在上，连接，延长至，平分与的延长线交于，，，则______．
22．（2025春·黑龙江·七年级统考期末）已知：分别是的高，角平分线，，则的度数为________________度.
23．（2025秋·广东东莞·八年级校联考期末）在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为_________．
24．（2025春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 _____．
25．（2025春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE=β．下列各式：①α＋β；②α﹣β；③β α；④180°﹣α﹣β；⑤360°﹣α﹣β．以上结果可以作为∠AEC的度数的是___．（填序号）
三、解答题
26．（2025春·四川达州·七年级校考期中）如图，已知，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数．
27．（2025秋·河南许昌·八年级校考阶段练习）在中，，，求的各内角的度数．
28．（2025春·河南三门峡·七年级校考期中）如图，已知，且．
（1）求证：；
（2）若平分，且，，求的度数．
29．（2025秋·广西玉林·八年级统考期中）如图，直线，的直角顶点在直线上，顶点在直线上，交于点，，，求的度数．
30．（2025秋·辽宁抚顺·八年级校考阶段练习）在中，已知比的3倍小15°，比大10°，求各内角的度数．
31．（2025春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，点E是两条内角平分线的交点，点F是两条外角平分线，点A1是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点的交点．
（1）求∠A1EC的度数；
（2）求∠BFC的度数；
（3）探索∠A1与∠A的数量关系，并说明理由；
（4）若∠A=100°，在（3）的情况下，作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，以此类推，∠AnBC与∠AnCD的平分线交于点An，求∠An的度数．(直接写出结果)
32．（2025春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知：如图，△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE 是∠ABC 的平分线，若∠DAC=30°，∠BAC=80°，求：∠AOB 的度数．
33．（2025秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝36°，∠C＝70°．求∠EAD的度数．
34．（2025春·七年级课时练习）如图，已知，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D．
(1)填空：∠APM的度数为______，∠BPD的度数为______；
(2)当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数；
(3)在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．
35．（2025秋·湖北荆州·八年级校考期中）已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）
（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．
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