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专题16 全等三角形的辅助线问题
1．【截长补短】（2025·全国·八年级假期作业）如图所示，在三角形ABC中，，，作的平分线与AC交于点E，求证：.
2．【倍长中线】（2025·湖北襄阳·模拟预测）【问题提出】
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围.
（1）【问题解决】
解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线的取值范围.
（2）【应用】
如图②，在中，为的中点，已知，，，求的长.
（3）【拓展】
如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连接．已知，，求的长.
3．【截长补短】（2025秋·山西朔州·八年级校考期末）（1）问题背景：如图①：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；
（2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
4．【作垂线】（2025秋·重庆江津·八年级统考期末）（1）问题：如图①，在四边形中，，是上一点，，．求证：；
（2）问题：如图②，在三角形中，，是上一点，，且．求的值．
5．【作平行线】（2025秋·八年级课时练习）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
6．【作垂线】（2025秋·浙江·八年级专题练习）如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！
【探究一】如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．
【探究二】阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高，那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．
【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由．
7．（2025春·全国·八年级专题练习）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．
（2）设，．
①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
8．【截长补短】（2025秋·上海浦东新·八年级校考期中）在中，，，点在直线上（，除外），的垂线与的垂线交于点，研究和的数量关系.
（1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取边的中点（如图），通过推理证明就可以得到的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_____________________
（2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；
（3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论.
9．【截长补短】（2025春·全国·七年级专题练习）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝　 　度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　．
10．【截长补短】（2025秋·八年级课时练习）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；
（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；
（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
11．【作平行线】（2025秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
12．【作平行线】（2025秋·八年级课时练习）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．
13．【倍长中线】（2025春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
14．【倍长中线】（2025秋·江苏镇江·八年级阶段练习）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
15．【截长补短】（2025春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）如图，已知 ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．
(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
(2)求证：AB＝DG+FC．
16．【截长补短】（2025秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
17．【角平分线】（2025春·全国·七年级专题练习）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
18．【作垂线】（2025春·全国·七年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．
19．【作垂线】（2025秋·新疆克孜勒苏·八年级校考阶段练习）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．
(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
20．【补全图形】（2025春·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论
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专题16 全等三角形的辅助线问题
1．【截长补短】（2025·全国·八年级假期作业）如图所示，在三角形ABC中，，，作的平分线与AC交于点E，求证：.
【答案】见解析
【分析】由于BC，AE和BE没在一条线上，不能进行比较；故在BC上截取AE和BE，然后根据等腰三角形、角平分线的知识即可发现全等三角形，证明边的相等关系，最后运用线段的和差关系，即可完成证明.
【详解】证明：如图
在上截取，连结.
在上截取，连结.
，，平分，
，，
，
，，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在进行线段比较的题目中，可以采用截取法，让它们位于一条直线上，以方便比较.
2．【倍长中线】（2025·湖北襄阳·模拟预测）【问题提出】
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围.
（1）【问题解决】
解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线的取值范围.
（2）【应用】
如图②，在中，为的中点，已知，，，求的长.
（3）【拓展】
如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连接．已知，，求的长.
【答案】（1）；（2） ；（3）.
【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可；
（2）同（1）可证△ADC≌△EDB，可得△ABE的三边长，利用勾股定理的逆定理得出△ABE为直角三角形，然后在Rt△BED中利用勾股定理求出BD的长，进而得出BC的长；
（3）延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG．由△EBD≌△GCD可得∠B=∠GCD、BE=CG=4，根据∠A=90°知∠GCF=90°，利用勾股定理求得FG的长，最后由中垂线性质即可得EF=FG．
【详解】（1）解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系得：AB-AC＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∵AE=2AD，
∴,1＜AD＜5，
即：BC边上的中线AD的取值范围1＜AD＜5；
（2）
延长AD至E，使DE=AD，连接BE．
∵点D为边BC的中点，
∴BD=CD.
∵∠BDE=∠ADC,
∴△ADC≌△EDB.
∴BE=AC=3,DE=AD=2.
∴AE=4.
∵AB=5，且,
∴.
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°.
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴BD=，
∴BC=2BD=；
（3）
延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG．
同前法可得△EBD≌△GCD，
∴∠B=∠GCD，BE=CG=4，
又∵∠A=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠GCD+∠BCA=90°，即∠GCF=90°，
∵CG=4，CF=5，
∴FG===．
∴EF= FG =.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、中垂线性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等是解题基础，作出辅助线将待求线段转化成求等长线段是解题的关键．
3．【截长补短】（2025秋·山西朔州·八年级校考期末）（1）问题背景：如图①：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；
（2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）问题背景：，理由见详解；（2）探索延伸：成立，理由见详解；（3）实际应用：两舰艇之间的距离为海里
【分析】（1）问题背景：，，，可证，由，，为公共边，可证，由此即可求解；
（2）探索延伸：根据“问题背景”的提示，延长到点，使，由此即可求解；
（3）实际应用：如图所示（见详解），延长，使得，连接，证明，，可知，由此即可求解．
【详解】解：（1）问题背景：根据题意，在，中，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴在，中，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）探索延伸：如图所示，延长到点，使，
∵，，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在，中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴成立；
（3）实际应用：如图所示，延长，使得，连接，
∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，舰艇乙沿北偏东的方向行驶，
∴，，，
∴在，中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
在，中，
，
∴，
∴，
∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时，
∴，，
∴（海里），
∴两舰艇之间的距离为海里．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质及实际应用，掌握作辅助线求证三角形全等，再根据三角形全等的性质是解题的关键．
4．【作垂线】（2025秋·重庆江津·八年级统考期末）（1）问题：如图①，在四边形中，，是上一点，，．求证：；
（2）问题：如图②，在三角形中，，是上一点，，且．求的值．
【答案】（1）见解析；（2）1
【分析】（1）先证明，从而得，进而即可得到结论；
（2）过点做于点，易证，是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
在与中
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（2）过点做于点，
在中，，
∴，
∵ ，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
5．【作平行线】（2025秋·八年级课时练习）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN；
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
6．【作垂线】（2025秋·浙江·八年级专题练习）如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！
【探究一】如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．
【探究二】阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高，那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．
【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）理由见解析；（3）BF=AF+CF
【分析】探究一：设与交于点,先证明，得出，又根据对顶角相等，得出，最后得出，得出.
探究二：过点C作，，垂足分别为M、N，可证，根据，，可得CF平分∠BFE.
探究三：在AB上取一点H，使得，先证，得到，根据探究一、二，得：，为等边三角形，得到BF=BH+HF=AF+CF，即BF=AF+CF.
【详解】探究一：如图，设与交于点,
∵△ABC和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∴
∴
又∵
∴
∴
探究二，如图，过点C作，，垂足分别为M、N，
由探究一得：
∴
又∵，
∴CF平分∠BFE.
探究三：如图，在AB上取一点H，使得，
由得：
∠CAE=∠CBD
在△BCH和△ACF中，
∴
∴
由探究一、二，得：
∴为等边三角形
∴CF=CH=HF
∴BF=BH+HF=AF+CF
即BF=AF+CF.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，角平分线的性质定理，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键．
7．（2025春·全国·八年级专题练习）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．
（2）设，．
①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“SAS”可证△ADB≌△AEC得出∠ABD=∠ACE，再用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）①．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
② 当点在射线的反向延长线上时，．
理由如下：
∵，
∴，
在△ABD与△ACE中，
，
∴ ，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD≌△ACE是解本题的关键．
8．【截长补短】（2025秋·上海浦东新·八年级校考期中）在中，，，点在直线上（，除外），的垂线与的垂线交于点，研究和的数量关系.
（1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取边的中点（如图），通过推理证明就可以得到的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_____________________
（2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；
（3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论.
【答案】（1）AE=EF；（2）成立，证明见详解；（3）成立，画图、证明见详解.
【分析】（1）证△AGE≌△EBF即可；
（2）在AC上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可；
（3）在AC延长线上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可.
【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠C=90°，G、E分别是AC、BC的中点
∴AG=BE，CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°
∠AGE=180°－∠CGE=135°
∴∠EBF =∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
（2）成立；在AC上截取点G使AG=EB，
∵AB=AC，∠C=90°AG=BE
∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°
∠AGE=180°－∠CGE=135°
∴∠EBF =∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
（3）成立，如下图：在AC延长线上截取点G使AG=EB
∵AB=AC，∠C=90°AG=BE
∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=90°－∠CBA=45°
∴∠CGE =∠EBF
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，读懂材料构造全等三角形是解决此题的关键.
9．【截长补短】（2025春·全国·七年级专题练习）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝　 　度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　．
【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4）
【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；
（2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC；
归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN；
拓展应用：
（3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC；
（4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论．
【详解】特例探究：
解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
归纳证明
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
拓展应用
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
10．【截长补短】（2025秋·八年级课时练习）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；
（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；
（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE FD．理由见详解．
【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；
（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；
（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE BG＝BE DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【详解】（1）解：，理由如下：
延长CD，使DM=BE，连接AM，
∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，
∴，
∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，
∵，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠MAF=45°，
又∵AF=AF，AE=AM，
∴，
∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；
（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，
∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ADG＝90°，
∵BE＝DG，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，
∵，
∴∠EAF＝∠FAG，
又∵AF＝AF，AE＝AG，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；
（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE FD．理由如下：
如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF．
∵AE＝AE，AG＝AF．
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF，
∵EG＝BE BG
∴EF＝BE FD．
【点睛】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．
11．【作平行线】（2025秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【答案】见详解
【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明 EMD CME，进而即可得到结论．
【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，
∴是等边三角形，
∴BD=DE，
∵，
∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，
∴ EMD CME，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
12．【作平行线】（2025秋·八年级课时练习）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．
【答案】(1)详见解析
(2)ED＝2
【分析】（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q，
∵△ABC为等边三角形，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
又∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△DPF和△DQC中，，
∴△DPF≌△DQC（AAS），
∴DP=DQ；
（2）∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC，
可得AE＝EF，
由（1）知，△DPF≌△DQC
∴FD＝CD，
∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD，
∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED，
∵AC＝BC＝4，
∴2ED＝4，
∴ED＝2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
13．【倍长中线】（2025春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析
【分析】（1）证明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可．
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．
【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，
∴(SAS)，
∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，
∴(SAS)，
∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，
∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCH+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，
∴(SAS)，
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，
∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF= ∠ADC，
∴∠EDF=∠FDH，
∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，
∴(SAS)，
∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，
∴EF=AF+EC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．【倍长中线】（2025秋·江苏镇江·八年级阶段练习）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析
【分析】（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可；
（2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可；
（3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证．
【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）
②1＜x＜4， 理由如下：
∵△ABD≌△ECD，AB＝5，
∴AB＝EC=5，
∵ED=AD，AD＝x，
∴AE=2x．
由△ACE三边关系得：，
又∵AC＝3，
∴，
解得：1＜x＜4．
故答案是：1＜x＜4．
（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵D是BC边上的中点，
∴CD＝DB．
在△CDF与△BDG中，
，
∴△CDF≌△BDG（SAS）．
∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，
∴．
在△EDF与△EDG中，
，
∴△EDF≌△EDG．
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键．
15．【截长补短】（2025春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）如图，已知 ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．
(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
(2)求证：AB＝DG+FC．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】（1）先由，在中，求得，由平分，则，由，则，从而有，得出，再根据即可求得；
（2）延长至，使，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，，，结合（1）中结论及利用外角的性质得出，根据等角对等边得出，由此即可证明．
（1）
解：在中，，，，
∴，
∴，
在中，
，
．
，
∵，平分，
，，
，
；
（2）
证明：如图所示：延长至，连接，使，
在和中，
，
，，
由（1）可得：
，
，即，
，
即．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质等，理解题意，作出辅助线，由补短法构造全等三角形是解题关键．
16．【截长补短】（2025秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到；
（2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图；
是正方形，
；
，
，
，
∴，
又∵，
，
在和中
，
，
；
（2）解：成立．
在上取，连接，如图，
为正方形，
，
，
，，
又∵，
∴，
在和中
，
，
．
【点睛】此题考查了学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解题关键是构造．
17．【角平分线】（2025春·全国·七年级专题练习）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
【答案】AC+BD=AB，理由见见解析
【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得，可得AF=AC，即可求解．
【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：
在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：
∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，
，
∴（SAS），
∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE+∠D=180°，
∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，
，
∴（AAS），
∴AF=AC，
∵AF+BF=AB，
∴AC+BD=AB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18．【作垂线】（2025春·全国·七年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．
【答案】见解析
【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；
方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；
方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．
【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，
连接DE，
因为BD是的平分线，
所以．
在和中，
因为
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法2 补短
如图，延长BA到点E，使．
因为BD是的平分线，
所以
在和中，
因为，
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法3 构造直角三角形全等
作于点E．交BA的延长线于点F
因为BD是的平分线，
所以．
因为，，
所以，
在和中，
因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
19．【作垂线】（2025秋·新疆克孜勒苏·八年级校考阶段练习）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．
(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证；
（2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案；
（3）作于点于点，证明，由，即可得到结论．
【详解】（1）证明：、是等边三角形，
，
，
即，
≌；
（2）解：≌，
，
，
；
（3）证明：如图，作于点于点，
，
，
，，
，
，
，
平分．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．【补全图形】（2025春·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明 ，得E为中点，通过中位线证明DEAB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形
（2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=BG，再根据 ，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证
【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G
∵AECE
∴
在和
∴
∴GE=EC
∵BD=CD
∴DE为的中位线
∴DEAB
∵DE=BF
∴四边形BDEF是平行四边形
（2）
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形
∴BF=DE
∵D，E分别是BC，GC的中点
∴BF=DE=BG
∵
∴AG=AC
BF=（AB-AG）=（AB-AC）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．
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