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专题17 三角形单元过关检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2025秋·福建龙岩·八年级统考期末）若一个三角形两边的长分别为2和6，则这个三角形第三边的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
2．（2025秋·福建福州·八年级统考期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠E＝70°，那么∠C等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（2025秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，，且与相交于点A，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025秋·福建厦门·八年级厦门双十中学校考阶段练习）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架
C．拉闸门 D．木门上钉一根木条
5．（2025秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
6．（2025秋·福建莆田·八年级莆田八中校考期中）在△ABC中，AD是中线，AB＝12 cm，AC＝10 cm，则△ABD和△ACD的周长差为(　 　)
A．7 cm B．6 cm C．2 cm D．14 cm
7．（2025春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线都在三角形内
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
8．（2025·福建福州·福建省福州外国语学校校考三模）如图，的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025秋·福建福州·八年级统考期末）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025春·福建泉州·七年级校联考期末）如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C．其中正确个数是(　 　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2025秋·福建福州·八年级统考期末）本工师傅做完房门后，为防止变形，会钉上两条斜拉的木条，这样做的依据是利用三角形具有_．
12．（2025秋·福建莆田·八年级莆田二中校考期中）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作于点F.若∠BCE=65°，则∠CAF的大小为_______度．
13．（2025春·福建漳州·七年级统考期中）已知，，则______．
14．（2025秋·福建厦门·八年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，，点P在射线ON上，以P为圆心，PO为半径画圆弧，交OM于点Q，连接PQ，则______．
15．（2025秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，，则的值为________．
16．（2025秋·福建三明·八年级三明一中校考开学考试）若、、是三角形的三边长，化简的结果为_________
三、解答题
17．（2025秋·福建莆田·八年级莆田八中校考期中）一个等腰三角形的周长为18，其中一边长是8，求出其他两边的长．
18．（2025秋·福建福州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°．
（1）过顶点B，画出AC边上的高，垂足为D点；
（2）求∠ABD的度数．
19．（2025春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 上的中线，点 E 在线段 AC 上且 AE=2CE，线段 AD与线段 BE 交于点 F，已知△ABC 的面积为 12．
(1)求△ABD 和△ABE 的面积；
(2)求四边形 EFDC 的面积．
20．（2025秋·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期中）在中，是边上的一点，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，平分，分别交、于点、；求证：．
21．（2025秋·福建龙岩·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°
(1)求∠ABD；
(2)CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝118°，求∠ABC．
22．（2025春·福建福州·七年级校考期末）如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上．，，．
(1)若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标；
(2)求出的面积；
(3)点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标．
23．（2025春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，，，．
（1）请说明平分；
（2）过点作， 垂足为， 求的度数．
24．（2025春·福建漳州·七年级统考期末）在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．
(1)如图1，当点在边上时，
①若时，则____________°；
②若时，则____________°；
③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．
25．（2025秋·福建泉州·七年级校考期末）直线与直线垂直相交于点O，点A在直线上运动，点B在直线上运动．
（1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．
（2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的度数．
（3）如图3，延长至G，已知的角平分线与的角平分线及反向延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，则的度数为____（直接写答案）
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专题17 三角形单元过关检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2025秋·福建龙岩·八年级统考期末）若一个三角形两边的长分别为2和6，则这个三角形第三边的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】三角形第三边的长度大于两边差，且小于两边和．根据已知边长求第三边长度的取值范围，即可获得答案．
【详解】解：设第三边的长为，
则，
故．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是理解并掌握三角形的三边关系．
2．（2025秋·福建福州·八年级统考期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠E＝70°，那么∠C等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【分析】根据全等三角形对应角相等，可得，再根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF
∴
∴
故选B
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
3．（2025秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，，且与相交于点A，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的对应角（边）相等的性质及等角对等边进行推理论证．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴．
可知不一定成立，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边，还考查了等角对等边．
4．（2025秋·福建厦门·八年级厦门双十中学校考阶段练习）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架
C．拉闸门 D．木门上钉一根木条
【答案】C
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【详解】伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
5．（2025秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
【答案】D
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．
【详解】解：当高在三角形内部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=30°；
∴顶角是30°；
当高在三角形外部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°
∴顶角是150°．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
6．（2025秋·福建莆田·八年级莆田八中校考期中）在△ABC中，AD是中线，AB＝12 cm，AC＝10 cm，则△ABD和△ACD的周长差为(　 　)
A．7 cm B．6 cm C．2 cm D．14 cm
【答案】C
【详解】分析：由三角形中线的定义推知BD=DC；然后根据三角形的周长的定义知△ABD与△ADC的周长之差为（AB-AC）．
详解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
∵△ABD的周长=AB+AD+BD，△ADC的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD，
∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB-AC=12-10=2．
故选C.
点睛：本题考查了三角形的中线的定义，三角形周长的计算．解题时，根据三角形的周长的计算方法得到：△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差是解答本题的关键．
7．（2025春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线都在三角形内
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
【答案】B
【分析】据三角形的角平分线、中线和高的定义即可判断．
【详解】解： A、锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误；
B、三角形三条中线都在三角形内，故本选项正确；
C、三角形的三条角平分线都在三角形内，故本选项错误；
D、三角形的角平分线是线段，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义．从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
8．（2025·福建福州·福建省福州外国语学校校考三模）如图，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
【详解】解：如图，、与分别相交于点、，
在四边形中，，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理．
9．（2025秋·福建福州·八年级统考期末）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，设，则，结合得到，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】设，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线性质，等腰三角形性质是解题的关键．
10．（2025春·福建泉州·七年级校联考期末）如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C．其中正确个数是(　 　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确，符合题意；
②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确，符合题意；
③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误，不符合题意；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2025秋·福建福州·八年级统考期末）本工师傅做完房门后，为防止变形，会钉上两条斜拉的木条，这样做的依据是利用三角形具有_．
【答案】稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可.
【详解】解：本工师傅做完房门后，为防止变形，会钉上两条斜拉的木条，这样做的依据是利用三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性.
【点睛】本题考查三角形的稳定性，熟知生活中常利用三角形的稳定性解决实际问题是关键.
12．（2025秋·福建莆田·八年级莆田二中校考期中）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作于点F.若∠BCE=65°，则∠CAF的大小为_______度．
【答案】25
【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
13．（2025春·福建漳州·七年级统考期中）已知，，则______．
【答案】
【分析】，，由得，计算即可求出的度数．
【详解】解： ，，
得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和及其应用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
14．（2025秋·福建厦门·八年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，，点P在射线ON上，以P为圆心，PO为半径画圆弧，交OM于点Q，连接PQ，则______．
【答案】/64度
【分析】根据等边对等角可得，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等边对等角的性质是解题的关键．
15．（2025秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，，则的值为________．
【答案】6
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AG的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵点E是BD的中点，
∴，
∵点F是CE的中点，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形面积相等．
16．（2025秋·福建三明·八年级三明一中校考开学考试）若、、是三角形的三边长，化简的结果为_________
【答案】
【分析】根据三角形三边关系定理，判断出每一个绝对值内多项式的符号，脱去绝对值，去括号合并同类项即可．
【详解】解：∵a-b＜c，b-a﹤c，c-b﹤a，
∴a-b-c＜0，b-a-c＜0， c-b-a＜0，
∴原式=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值，去括号，合并同类项等知识，其中根据绝对值内的数的符号正确脱去绝对值是解决本题关键．
三、解答题
17．（2025秋·福建莆田·八年级莆田八中校考期中）一个等腰三角形的周长为18，其中一边长是8，求出其他两边的长．
【答案】8，2或5，5
【分析】依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰为8时，三边为8，8，2能构成三角形；
当底为8时，腰为5，5，也能构成三角形，
所以这个等腰三角形的其它两条边的长分别为：8，2或5，5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
18．（2025秋·福建福州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°．
（1）过顶点B，画出AC边上的高，垂足为D点；
（2）求∠ABD的度数．
【答案】（1）见解析（2）70°
【分析】（1）利用三角形高的定义，作BD⊥AC于D；
（2）利用互余计算∠ABD的度数．
【详解】（1）如图，BD为所作；
（2）∵BD为高，
∴BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义和画法，以及互余的定义，熟练掌握有关概念是解题的关键．
19．（2025春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 上的中线，点 E 在线段 AC 上且 AE=2CE，线段 AD与线段 BE 交于点 F，已知△ABC 的面积为 12．
(1)求△ABD 和△ABE 的面积；
(2)求四边形 EFDC 的面积．
【答案】(1)S△ABD=6；S△ABE=8；
(2)四边形EFDC的面积=．
【分析】（1）根据同高的两个三角形面积比就是它们的底之比求得结果便可；
（2）连接CF，设S△BDF=x，用x表示△CDF与△AEF的面积，进而表示出△CEF的面积，再根据△BCE的面积列出方程进行解答便可．
（1）
解：∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD=S△ABC=×12=6；
∵AE=2CE，
∴S△ABE=S△ABC=×12=8；
（2）
解：连接CF，
设S△BDF=x，则S△CDF=S△BDF=x，
S△ABF=S△ABD-S△BDF=6-x，
S△AEF=S△ABE-S△ABF=8-（6-x）=x+2，
∵AE=2CE，
∴S△CEF=S△AEF=x+1，
∴S△BCE=S△BDF+S△CDF+S△CEF=x+1，
∵S△BCE=S△ABC=4，
∴x+1=4，
解得x=，
四边形EFDC的面积=x+x+1=．
【点睛】本题考查的是三角形面积，同底的两个三角形面积比就是它们高之比；同高的两个三角形面积比就是它们的底之比．本题做出正确的辅助线是解题突破口．
20．（2025秋·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期中）在中，是边上的一点，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，平分，分别交、于点、；求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用三角形内角和定理可得出，，结合，可证出；
（2）利用角平分线的定义可得出，结合三角形的外角性质，可证出，即可得证．
【详解】（1）证明：，，
，，
又，
，
；
（2）证明：平分，
．
，，
∵
，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质，以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质是解题的关键．
21．（2025秋·福建龙岩·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°
(1)求∠ABD；
(2)CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝118°，求∠ABC．
【答案】(1)20°
(2)54°
【分析】（1）根据高的定义求得为直角，结合即可求出的度数；
（2）首先根据外角的性质求出的度数，再结合角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数．
（1）
解：在中，
是边上的高，
，
，
；
（2）
解：在中，
，且，，
，
平分，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为，此题难度不大．
22．（2025春·福建福州·七年级校考期末）如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上．，，．
(1)若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标；
(2)求出的面积；
(3)点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标．
【答案】(1)见解析，，，；
(2)6
(3)或
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）利用三角形面积公式求解；
（3）设P（m，0），构建方程求出m即可．
（1）
解：如图，即为所求，
∵把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，，，
∴，，；
（2）
解：的面积；
（3）
解：设点，则有，
∵的面积是面积的一半，
∴，
解得或，
点坐标或．
【点睛】本题考查作图一平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．（2025春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，，，．
（1）请说明平分；
（2）过点作， 垂足为， 求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据角平分线的定义即可得证；
（2）先根据垂直的定义可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】（1）如图，∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
24．（2025春·福建漳州·七年级统考期末）在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．
(1)如图1，当点在边上时，
①若时，则____________°；
②若时，则____________°；
③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①140；②100；③，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）证，推出，代入求出即可求出即可；
（2）由已知条件可得证出，，推出，根据三角形外角性质即可得证．
【详解】（1）①∵，
∴，即．
在和中，
∴．
∴，
∴，
∴，
当时，．
故答案为：140．
②由①可得：，
当时，．
故答案为：100．
③．
方法一：
∵，
∴，即．
在和中，，
∴，
∴，
∴．
方法二：
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
即．
（2）．
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2025秋·福建泉州·七年级校考期末）直线与直线垂直相交于点O，点A在直线上运动，点B在直线上运动．
（1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．
（2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的度数．
（3）如图3，延长至G，已知的角平分线与的角平分线及反向延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，则的度数为____（直接写答案）
【答案】（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°
【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；
（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠CED =67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．
∴∠ABO为60°或45°．
故答案为：60°或45°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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