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专题05 不等式与不等式组
一、单选题
1．（2025春·七年级课前预习）在二元一次方程12x＋y＝8中，当y＜0时，x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025春·安徽滁州·七年级校联考期末）把“a的3倍与2的和不小于6”用不等式表示得（ ）
A． B． C． D．
3．（2025春·重庆·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，点A（m，n）经过平移后得到的对应点A′（m+3，n﹣4）在第二象限，则点A所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025春·福建厦门·七年级厦门市莲花中学校考期中）已知a＞b，下列不等式中，不成立的是（　　）
A．a+6＞b+6 B．a﹣9＜b﹣9
C．3a＞3b D．1﹣a＜1﹣b
5．（2025春·七年级单元测试）若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜20，则这样的三角形有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2025·广西梧州·统考一模）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·上海·九年级专题练习）太原市出租车的收费标准是：白天起步价8元（即行驶距离不超过3km都需付8元车费），超过3km以后，每增加1km，加收1.6元（不足1km按1km计），某人从甲地到乙地经过的路程是xkm，出租车费为16元，那么x的最大值是（　　）
A．11 B．8 C．7 D．5
8．（2025·浙江衢州·统考中考真题）不等式3x+2≥5的解集是（　　）
A．x≥1 B．x≥ C．x≤1 D．x≤﹣1
9．（2025秋·重庆·九年级校联考期中）使得关于 x 的不等式组无解，且使分式方程的解小于 4 的所有整数a 的个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2025秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于的不等式组的解集为，则为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．-1
11．（2025春·广东深圳·八年级校考阶段练习）不等式组 的解集在数轴上可以表示为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025秋·七年级单元测试）定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a＜b时，a☆b=a﹣b．例如：3☆（﹣4）=3+（﹣4）=﹣1，（-6）☆，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）=2的解为x=（　　　）
A．1 B． C．6或 D．6
13．（2025春·安徽滁州·七年级校考期末）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．a-3＜b-3 B．3-a＞3-b C． D．-3a＞-3b
14．（2025春·江苏苏州·七年级阶段练习）下列四个判断：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，则a|c|＞b|c|；③若a＞b，则＜1；④若a＞0，则b-a＜b．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2025春·全国·八年级专题练习）已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则整数a的取值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题
16．（2008春·甘肃平凉·七年级统考期末）已知,且，那么ab________b2(填“>”“<”“=”).
17．（2025春·七年级课时练习）当x________时，式子－2(x－1)的值小于8.
18．（2025秋·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考阶段练习）若是关于的一元一次方程，则___________．
19．（2025春·云南·七年级昆明市第三中学校考期末）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则m的取值范围是_______．
20．（2025春·八年级课时练习）“a，b两数同号“，可用一个不等式表示为_____．
21．（2025春·吉林长春·七年级校考期末）若不等式组，恰有两个整数解，则的取值范围是__________．
22．（2025春·江苏·七年级专题练习）下面是一个运算程序图，若需要经过两次运算才能输出结果y，则输入的x的取值范围是_____．
23．（2025春·六年级单元测试）不等式组无解，则a的取值范围是_____．
24．（2025春·上海普陀·六年级统考期中）当的值不小于的值时，m的取值范围是_______________．
25．（2025春·山东临沂·七年级统考期末）若我们规定[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣1.2）=﹣1，则下列结论：①[0）=0；②[x）﹣x的最小值是0； ③[x）﹣x的最大值是0； ④存在实数x，使[x）﹣x=0.5成立．其中正确的是______________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
26．（2025秋·浙江金华·八年级统考期末）解不等式，并把解集表示在数轴上
27．（2025·北京·校考一模）解不等式组
28．（2025春·重庆铜梁·七年级统考期末）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
29．（2025春·八年级课时练习）将下列不等式化成“”或“”的形式：
（1）；（2）；（3）．
30．（2025秋·湖南永州·八年级统考期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
31．（2025·浙江宁波·统考中考真题）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．
32．（2025春·江苏·七年级专题练习）一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．
例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1＋9＝10，∴4819是“双十数”；
又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4＋4≠10，∴1496不是“双十数”．
(1)判断357，836是否是“双十数”，并说明理由；
(2)自然数N＝A×B为“双十数”，将两位数A放在两位数B的左边，构成一个新的四位数M．例如：4819＝61×79，M＝6179，若A与B的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有满足条件的自然数N．
33．（2025秋·湖北黄石·九年级统考期末）某校计划安排初三年级全体师生参观黄石矿博园．现有36座和48座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过了30人；已知36座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金480元．
（1）该校初三年级共有师生多少人参观黄石矿博园？
（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
34．（2025春·八年级课时练习）已知关于x，y的二元一次方程（m﹣1）x+ny＝0的一个解为，再从条件①条件②中选择一个作为已知，求m，n的值．
条件①：n是不等式3（z+2）＜12的最大整数解．
条件②点A（m，n）在第二象限的角平分线上．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
选择条件　 　．
解：
35．（2025春·广东东莞·七年级阶段练习）某校预备1200元为优秀团员奖励奖品.若1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，那么可以买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，那么可以买50份奖品.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格.
(2)如果用这笔钱恰好能买30份同样的奖品，那么可以选择几支钢笔和几本笔记本作为一份奖品？请你分析所有可能的情况供学校选择.
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专题05 不等式与不等式组
一、单选题
1．（2025春·七年级课前预习）在二元一次方程12x＋y＝8中，当y＜0时，x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
2．（2025春·安徽滁州·七年级校联考期末）把“a的3倍与2的和不小于6”用不等式表示得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】a的3倍即3a，不小于6即≥6，据此列不等式．
【详解】解：由题意得，3a+2≥6．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是解题的关键．
3．（2025春·重庆·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，点A（m，n）经过平移后得到的对应点A′（m+3，n﹣4）在第二象限，则点A所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】构建不等式求出m，n的范围可得结论．
【详解】解：由题意，，
解得：，
∴A（m，n）在第二象限，
故选：B．
【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移．解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题．
4．（2025春·福建厦门·七年级厦门市莲花中学校考期中）已知a＞b，下列不等式中，不成立的是（　　）
A．a+6＞b+6 B．a﹣9＜b﹣9
C．3a＞3b D．1﹣a＜1﹣b
【答案】B
【分析】不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变.不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的基本性质即可解题.
【详解】解：A、∵a＞b，
∴a+6＞b+6，故此选择正确，不符合题意；
B、a﹣9＞b﹣9，故此选项错误，符合题意；
C、3a>3b，故此选项正确，不符合题意；
D、∵a＞b，
∴
，故此选项正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,属于简单题,熟悉不等式的基本性质是解题关键.
5．（2025春·七年级单元测试）若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜20，则这样的三角形有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】首先根据连续自然数的关系可设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，根据题意可得10＜x﹣1+x+x+1＜20，再解不等式即可．
【详解】设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，由题意得：
　10＜x﹣1+x+x+1＜20
解得：3x＜6．
∵x为自然数，∴x=4，5，6．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
6．（2025·广西梧州·统考一模）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用不等式的性质，解不等式即可．
【详解】解：移项得，，
系数化为1得，，
故不等式的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了解不等式，正确运用不等式的性质进行计算是解题的关键．
7．（2025·上海·九年级专题练习）太原市出租车的收费标准是：白天起步价8元（即行驶距离不超过3km都需付8元车费），超过3km以后，每增加1km，加收1.6元（不足1km按1km计），某人从甲地到乙地经过的路程是xkm，出租车费为16元，那么x的最大值是（　　）
A．11 B．8 C．7 D．5
【答案】B
【分析】根据等量关系，即（经过的路程﹣3）×1.6+起步价8元≤16．列出不等式求解．
【详解】可设此人从甲地到乙地经过的路程为xkm，
根据题意可知：（x﹣3）×1.6+8≤16，
解得：x≤8．
即此人从甲地到乙地经过的路程最多为8km．
故选B．
【点睛】考查了一元一次方程的应用．关键是掌握正确理解题意，找出题目中的数量关系．
8．（2025·浙江衢州·统考中考真题）不等式3x+2≥5的解集是（　　）
A．x≥1 B．x≥ C．x≤1 D．x≤﹣1
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
【详解】解：3x+2≥5，
3x≥3，
∴x≥1，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，本题属于基础题型．
9．（2025秋·重庆·九年级校联考期中）使得关于 x 的不等式组无解，且使分式方程的解小于 4 的所有整数a 的个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程的解小于4，确定出满足条件a的值．
【详解】解不等式，得：x≤5a-6，
解不等式x-2a＞6，得：x＞2a+6，
∵不等式组无解，
∴2a+6≥5a-6，
解得：a≤4，
解方程，得：x=2-2a，
∵方程的解小于4，
∴2-2a＜4且2-2a≠±2，
解得：a＞-1且a≠0、a≠2，
则-1＜a≤4且a≠0、a≠2，
所以满足条件的所有整数a有1、3、4这3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
10．（2025秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于的不等式组的解集为，则为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．-1
【答案】A
【分析】先用字母a、b表示出不等式组的解集，然后根据已知不等式组的解集对应得到关于a、b的相等关系，求出a、b的值，代入代数式中求解即可．
【详解】由解得：，
∵不等式的解集为，
∴a+2=﹣1，，
解得：a=﹣3，b=2，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程、求代数式的值，会利用不等式组的解集得出对应的相等关系是解答本题的关键．
11．（2025春·广东深圳·八年级校考阶段练习）不等式组 的解集在数轴上可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不等式2x>-4，解得x>-2；
不等式，解得；
所以不等式组的解集为，
4取得到，所以在数轴上表示出来在4这点为实心，-2取不到，所以在数轴上表示出来在-2这点为空心，表示出来为选项中B中的图形，
故选B
【点睛】本题考查不等式组，解答本题需要考生掌握不等式组的解法，会求不等式的解集，掌握数轴的概念和性质
12．（2025秋·七年级单元测试）定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a＜b时，a☆b=a﹣b．例如：3☆（﹣4）=3+（﹣4）=﹣1，（-6）☆，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）=2的解为x=（　　　）
A．1 B． C．6或 D．6
【答案】D
【分析】分3x-7≥3-2x和3x-7＜3-2x两种情况，依据新定义列出方程求解可得．
【详解】解：当3x﹣7≥3﹣2x，即x≥2时，
由题意得：（3x﹣7）+（3﹣2x）=2，
解得：x=6；
当3x﹣7＜3﹣2x，即x＜2时，
由题意得：（3x﹣7）﹣（3﹣2x）=2，
解得：x=（不符合前提条件，舍去），
∴x的值为6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
13．（2025春·安徽滁州·七年级校考期末）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．a-3＜b-3 B．3-a＞3-b C． D．-3a＞-3b
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】A、不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故本选项错误；
B、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故本选项错误；
C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，故本选项正确；
D、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变．故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
14．（2025春·江苏苏州·七年级阶段练习）下列四个判断：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，则a|c|＞b|c|；③若a＞b，则＜1；④若a＞0，则b-a＜b．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】分析：
根据不等式的基本性质进行分析判断即可.
详解：
（1）∵ac2＞bc2，
∴c2>0，
∴a>b，故①中结论成立；
（2）∵a＞b，，
∴，故②中结论不成立；
（3）∵，
∴当时，，故③中结论不成立；
（4）∵，
∴，
∴，故④中结论成立.
综上所述，4个结论中成立的有2个.
故选B.
点睛：熟记“不等式的三条基本性质：（1）在不等式的两边加上（或减去）同一个数（或整式），不等号方向不变；（2）在不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变：（3）在不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.”是正确解答本题的关键.
15．（2025春·全国·八年级专题练习）已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则整数a的取值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】C
【详解】分析：先用a表示出不等式组的整数解，再根据不等式组的整数解有2个可得出a的取值范围．
解：，由①得，x≥a，由②得，x≤1，故不等式组的解集为：a≤x≤1，
∵不等式的整数解有2个，
∴其整数解为：0，1，
∵a为整数，
∴a=0．
故选C．
二、填空题
16．（2008春·甘肃平凉·七年级统考期末）已知,且，那么ab________b2(填“>”“<”“=”).
【答案】>
【分析】在的基础上两边同时乘以，根据不等式的性质解题即可
【详解】∵,且
∴不等式两边同时乘以得：

故答案为>
【点睛】本题考查不等式的性质，注意不等式两边同时乘以一个负数不等式要变号是解题的关键.
17．（2025春·七年级课时练习）当x________时，式子－2(x－1)的值小于8.
【答案】＞－3
【分析】先根据题意列出不等式，再解一元一次不等式即可．
【详解】由题意得：﹣2（x﹣1）＜8，整理得：﹣2x+2＜8，移项得：－2x＜8－2，合并同类项得：－2x＜6，系数化为1得：x＞﹣3．
故答案为＞－3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解答此题的关键．
18．（2025秋·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考阶段练习）若是关于的一元一次方程，则___________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程，即可解答．
【详解】解：由一元一次方程的定义得
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的概念，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0．
19．（2025春·云南·七年级昆明市第三中学校考期末）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则m的取值范围是_______．
【答案】-4＜m≤-3
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出m的取值范围是-4＜m≤-3．
【详解】解：解不等式x-m≥0，得：x≥m，
解不等式5-2x＞1，得：x＜2，
∵不等式组的整数解有5个，
∴-4＜m≤-3，
故答案为：-4＜m≤-3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式（组）的解集的应用，能求出不等式（或组）的解集是解此题的关键．
20．（2025春·八年级课时练习）“a，b两数同号“，可用一个不等式表示为_____．
【答案】ab＞0．
【分析】根据实数的运算法则可知，两数相乘，同号得正，异号得负表示即可.
【详解】根据两数相乘同号得正可得不等式．
解：由题意得：ab＞0，
故答案为：ab＞0.
【点睛】本题考查了实数的运算法则，解决本题的关键是熟练掌握实数运算时，同号得正，异号得负这一法则.
21．（2025春·吉林长春·七年级校考期末）若不等式组，恰有两个整数解，则的取值范围是__________．
【答案】-1＜m≤0．
【分析】根据不等式组恰有两个整数解，可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【详解】∵不等式组，
∴该不等式组的解集为m≤x＜2，
∵不等式组恰有两个整数解，
∴-1＜m≤0，
故答案为：-1＜m≤0．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出m的取值范围．
22．（2025春·江苏·七年级专题练习）下面是一个运算程序图，若需要经过两次运算才能输出结果y，则输入的x的取值范围是_____．
【答案】4≤x＜11　．
【分析】根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】根据题意得：
解得4≤x＜11　．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式组的应用.
23．（2025春·六年级单元测试）不等式组无解，则a的取值范围是_____．
【答案】a≤2
【分析】根据不等式组无解，可得出a≤2，即可得出答案．
【详解】∵不等式组无解，
∴a的取值范围是a≤2；
故答案为a≤2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
24．（2025春·上海普陀·六年级统考期中）当的值不小于的值时，m的取值范围是_______________．
【答案】
【详解】分析：根据题意列不等式，解不等式.
,
解得m.
点睛：不小于就是“”，不大于就是“”.
25．（2025春·山东临沂·七年级统考期末）若我们规定[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣1.2）=﹣1，则下列结论：①[0）=0；②[x）﹣x的最小值是0； ③[x）﹣x的最大值是0； ④存在实数x，使[x）﹣x=0.5成立．其中正确的是______________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】④
【详解】∵[x）表示大于x的最小整数，
∴①[0）=1，故①错误；
②若x为整数，则[x）-x=1，
若x不是整数，则[x）-x≠0，故[x）-x的最小值是0错误，故②错误；
③若x=1，则[x）-x=2-1=1，故③错误；
④当x=0.5时，[x）-x=1-0.5=0.5成立．故④正确，
故正确的个数为1，
故答案为④．
三、解答题
26．（2025秋·浙江金华·八年级统考期末）解不等式，并把解集表示在数轴上
【答案】
【分析】先移项，合并同类项，化系数为1求出不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可.
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
在数轴上表示如下:
【点睛】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集.熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤并能依据不等式的性质进行求解是解决此题的关键.注意小于等于是实心向左.
27．（2025·北京·校考一模）解不等式组
【答案】
【分析】按照解一元一次不等式的方法分别求出各不等式的解，进而得到不等式组的解集．
【详解】解：
由①式去括号，得：
移项、合并同类项，得：
由②式去分母，得：
移项、合并同类项，得：
所以不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识是解题的关键．
28．（2025春·重庆铜梁·七年级统考期末）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】（1）x≤-2；（2）-3＜x≤2，-2，-1，0，1，2
【分析】（1）先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【详解】解：（1），
去分母，得2（2x-1）≤3x-4，
去括号，得4x-2≤3x-4，
移项，得4x-3x≤-4+2，
合并同类项，得x≤-2，
在数轴上表示不等式的解集为：
（2），
解不等式①，得x＞-3，
解不等式②，得x≤2，
所以不等式组的解集是-3＜x≤2，
所以不等式组的整数解是-2，-1，0，1，2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能分别求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．
29．（2025春·八年级课时练习）将下列不等式化成“”或“”的形式：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】根据不等式的性质变形即可；
【详解】（1），
两边同时加上1得：；
（2），
两边同乘-1得：；
（3），
两边同时乘2得：；
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，准确分析变形是解题的关键．
30．（2025秋·湖南永州·八年级统考期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，并在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：，
原不等式组的解集在数轴上的表示如下图：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解本题的关键．
31．（2025·浙江宁波·统考中考真题）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．
【答案】﹣3＜x≤2，数轴表示见试题解析．
【详解】试题分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
试题解析：，由①得，x＞﹣3，由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示为：．
考点：1．解一元一次不等式组；2．在数轴上表示不等式的解集．
32．（2025春·江苏·七年级专题练习）一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．
例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1＋9＝10，∴4819是“双十数”；
又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4＋4≠10，∴1496不是“双十数”．
(1)判断357，836是否是“双十数”，并说明理由；
(2)自然数N＝A×B为“双十数”，将两位数A放在两位数B的左边，构成一个新的四位数M．例如：4819＝61×79，M＝6179，若A与B的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有满足条件的自然数N．
【答案】(1)357不是“双十数”， 是“双十数”
(2)
【分析】（1）根据定义求解即可；
（2）设，，根据定义求得，，根据若A与B的十位数字之和能被5整除，求得或，根据 是7的倍数，分类讨论求得的值，进而即可求得
【详解】（1）解：，比小1，，∴357不是“双十数”．
，比小1，， 是“双十数”
（2）设，，
自然数N＝A×B为“双十数”，
，
A与B的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，
，，为正整数
且为正整数
∴2a+1=5，a=2,
2a+1=10,a不是整数，舍去，
2a+1=15，a=7,
2a+1=20，a不是整数，舍去，
或，
或
是7的倍数
①当时，是7的倍数，则
即能被7整除
不存在使能被7整除的数，此情况不存在
②当时，
即能被7整除，
当时，能别7整除，则
当时，，则
综上所述，或
或
【点睛】本题考查了数的整除，二元一次方程组，一元一次不等式，理解新定义是解题的关键．
33．（2025秋·湖北黄石·九年级统考期末）某校计划安排初三年级全体师生参观黄石矿博园．现有36座和48座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过了30人；已知36座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金480元．
（1）该校初三年级共有师生多少人参观黄石矿博园？
（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
【答案】（1）180，（2）租36座车1辆，48座3辆最省钱．
【分析】（1）设租36座的车x辆，则租48座的客车（x﹣1）辆．根据不等关系：租48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，列不等式组即可．
（2）根据（1）中求得的人数，进一步计算不同方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可．
【详解】解：（1）设租36座的车x辆．
据题意得：，
解得：．
∴不等式组的解集为．
∵x是整数，
∴x＝5．
36×5＝180（人），
答：该校初三年级共有师生180人参观黄石矿博园．
（2）设租36座车m辆，租48座车n辆，
根据题意得，36m+48n≥180，
∵m、n为非负整数，
方案①：租36座车5辆，费用为：5×400＝2000元；
方案②：租36座车4辆，48座至少1辆，最低费用为：4×400+480＝2080元；
方案③：租36座车3辆，48座至少2辆，最低费用为：3×400+2×480＝2160元；
方案④：租36座车2辆，48座至少3辆，最低费用为：2×400+3×480＝2240元；
方案⑤：租36座车1辆，48座至少3辆，最低费用为：1×400+3×480＝1840元；
方案⑥：租48座车4辆，费用为：4×480＝1920元；
∴选择方案⑤：租36座车1辆，48座3辆最省钱．
【点睛】本题考查了不等式组的应用和方案选择问题，正确设未知数，准确把握不等关系，列出不等式或不等式组，是解决问题的关键．
34．（2025春·八年级课时练习）已知关于x，y的二元一次方程（m﹣1）x+ny＝0的一个解为，再从条件①条件②中选择一个作为已知，求m，n的值．
条件①：n是不等式3（z+2）＜12的最大整数解．
条件②点A（m，n）在第二象限的角平分线上．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
选择条件　 　．
解：
【答案】①或②，m＝﹣1，n＝1
【分析】选条件①，求得n的值，然后代入，即可求得m的值；选条件②，得到n＝﹣m，然后代入，即可求得m、n的值．
【详解】解：选条件①，由3（z+2）＜12解得，z＜2，
∵n是不等式3（z+2）＜12的最大整数解
∴n＝1，
∴关于x，y的二元一次方程为（m﹣1）x+y＝0，
将代入得，m﹣1+2＝0，解得m＝﹣1，
故m＝﹣1，n＝1；
选条件②∵A（m，n）在第二象限的角平分线上．
∴n＝﹣m，
∴关于x，y的二元一次方程（m﹣1）x﹣my＝0，
将代入得m﹣1﹣2m＝0，
解得m＝﹣1，
∴n＝﹣m＝1，
故m＝﹣1，n＝1；
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，象限平分线的性质，二元一次方程的解，根据题意得出n的值或n与m的关系是解题的关键．
35．（2025春·广东东莞·七年级阶段练习）某校预备1200元为优秀团员奖励奖品.若1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，那么可以买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，那么可以买50份奖品.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格.
(2)如果用这笔钱恰好能买30份同样的奖品，那么可以选择几支钢笔和几本笔记本作为一份奖品？请你分析所有可能的情况供学校选择.
【答案】（1）钢笔12元，笔记本4元;（2）钢笔 0支 ，笔记本10本；钢笔1支 ，笔记本7 本；钢笔 2支 ，笔记本 4本；钢笔3 支 ，笔记本 1本．
【详解】试题分析: （1）本题中的相等关系是“以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品”和“以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可以买50份奖品”，列方程组求解即可；
（2）设可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品．列方程30ax+30by=60x+120y，解出后分情况讨论．
试题解析:
(1)设1支钢笔为x元,一本笔记本为y元.
由题意可得：
解得
答：每支钢笔12元,每本笔记本4元.
(2)设可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品．
由题意可得：30ax+30by=60x+120y
把x=3y代入得：30a 3y+30by=60 3y+120y
化简得：3a+b=10
∵a、b必是自然数
∴当a=0时，b=10
当a=1时，b=7
当a=2时，b=4
当a=3时，b=1
即共有4种情况可以选择：
①以0支钢笔和10本笔记本作为一份奖品;
②以1支钢笔和7本笔记本作为一份奖品;
以2支钢笔和4本笔记本作为一份奖品;
以3支钢笔和1本笔记本作为一份奖品.
点睛:本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组得应用,解题关键是找出题目中的等量关系或者不等关系.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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