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专题01 相交线与平行线
一、单选题
1．（2025·湖北随州·统考中考真题）如图，将一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，直线，是截线，，则的度数是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
3．（2025·江苏盐城·统考二模）如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．45°
4．（2025春·安徽淮南·八年级校考期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．任何数的平方都是正数
C．直角都相等 D．同位旁内角互补
5．（2025春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，AB∥CD，∠A=65，∠C=21°,则∠E的度数为（ ）
A．21° B．65° C．86° D．44°
6．（2025春·全国·七年级期中）如图，在平面内，，点，分别在直线， 上，为等腰直角三角形，为直角，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·贵州铜仁·统考一模）如图，一块含角的直角三角板的两个顶点恰好落在一把标准直尺的对边上．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
9．（2025春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市实验学校校考阶段练习）如图，下列条件：①∠B+∠BFE=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．能判定AB∥EF的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025·浙江·模拟预测）能说明命题“若a＞b，则3a＞2b“为假命题的反例为（　　）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝﹣2
11．（2025春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，D为AG上一点，，点E是边AB上一点，连接ED，，DF平分，若，则的度数为（ ）
A．50° B．40° C．45° D．35°
12．（2013秋·宁夏银川·八年级统考期末）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是 ( )
A． B． C． D．
13．（2025春·北京·七年级北京市第十三中学分校校考期中）下列命题是真命题的是（　　　）
A．和为180°的两个角是邻补角； B．一条直线的垂线有且只有一条；
C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等．
14．（2025春·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考阶段练习）如图：AB∥DE，∠B=50°，∠D=110°，∠C的度数为( )
A．120° B．115° C．110° D．100°
15．（2025·陕西·七年级阶段练习）下列说法中正确的是（　　）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类
C．射线就是直线
D．两点之间的所有连线中，线段最短
二、填空题
16．（2025·北京海淀·统考二模）用一个a的值说明“若a是实数，则2a一定比a大”是错误的，这个值可以是__________．
17．（2025春·广东韶关·七年级校考期中）完成下面推理过程：
如图，已知，，可推得．理由如下：
∵（ ），且（___________），
∴（等量代换），
∴（__________），
又∵（已知），
∴__________（__________），
∴（__________）．
18．（2025·辽宁本溪·统考中考真题）如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B、C两点．若∠1=42°，则∠2的度数是_____．
19．（2025秋·八年级单元测试）如图，在RtABC中，∠A=90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且 MN平分∠AMC，若AN=2，则 BC的长为_____
20．（2025春·河南周口·七年级统考期中）如图，，，若，则的度数是______．
21．（2025春·七年级课时练习）如图所示，若∠1＝50°，当∠2＝_________时，AB∥CD．
22．（2025春·广东河源·七年级校考阶段练习）如图，已知AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；
23．（2025春·七年级单元测试）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了_______局比赛，其中最后一局比赛的裁判是_______．
24．（2025春·广西贺州·七年级统考期末）如图，沿射线方向平移5cm得到，若，则__________cm．
25．（2025春·河南平顶山·七年级统考期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为，
第二次操作，分别作和的平分线，交点为，
第三次操作，分别作和的平分线，交点为，
…，
第次操作，分别作和的平分线，交点为．
若，则的度数是__________．
三、解答题
26．（2025春·广东惠州·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，，垂足为．若，求的度数．
27．（2025春·上海·七年级专题练习）已知，如图，．
求证：
证明：如图，作延长线，过点作．
因为（已作）
所以 （ ）
（ ）
因为（ ）
所以（ ）．
28．（2025春·广东汕头·七年级统考期末）如图，AH与BC交于点F，∠1＝∠2，
(1)求证：；
(2)若∠B＋∠CDE＝180°，求证：．
29．（2025春·全国·七年级期中）如图，已知：，求证：．
30．（2025春·河南·七年级校联考期中）如图，，，．
（1）试说明；
（2）AF与DC的位置关系如何？ 为什么？
下面是本题的解答过程，请补充完整。
解：（1），（已知）
DEC （_____________________）
又，（已知）
_______，（_____________________）
AB DE （_____________________）
（2）与DC的位置关系是：_______________理由如下：
，（已知）
AGD （_____________________）
又，（已知）
AGD 等量代换
_____ ____ （_____________________）
31．（2025春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，∠1=∠2.
求证：DE∥BC.
32．（2025春·北京西城·七年级校考期中）如图，∠A＝∠CEF，∠1＝∠B，求证：DEBC．
33．（2025春·广东河源·七年级阶段练习）如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，求证EB∥CF.
34．（2025春·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知，．
（1）求的度数：
（2）若，问：吗？请说明理由；
（3）若，且，求的度数．
35．（2025春·河北邯郸·七年级统考期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．
（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝　 　
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由；
（3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由；
②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代数式表示）
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专题01 相交线与平行线
一、单选题
1．（2025·湖北随州·统考中考真题）如图，将一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过60°角顶点作直线平行于已知直线，然后根据平行线的性质推出∠1+∠2=60°，从而求出∠2即可．
【详解】如图，已知，作直线，则，
则∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∴∠2=60°-∠1=15°，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的基本性质，理解平行线的性质定理是解题关键．
2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，直线，是截线，，则的度数是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，∠1=70°，
∴∠2=∠1=70°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握该知识点是解题关键．
3．（2025·江苏盐城·统考二模）如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．45°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，根据，根据平角的定义即可求得．
【详解】解：如图，
，
故选B
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2025春·安徽淮南·八年级校考期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．任何数的平方都是正数
C．直角都相等 D．同位旁内角互补
【答案】C
【分析】根据对顶角、平方的性质、直角、同旁内角逐项判断即可得．
【详解】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，则此项命题错误，不符合题意；
B、0的平方等于0，但0不是正数，则此项命题错误，不符合题意；
C、直角都相等，则此项命题正确，符合题意；
D、同旁内角不一定互补，则此项命题错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角、平方的性质、直角、同旁内角、命题，熟练掌握各定义和性质是解题关键．
5．（2025春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，AB∥CD，∠A=65，∠C=21°,则∠E的度数为（ ）
A．21° B．65° C．86° D．44°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质求出∠AOC的度数，根据三角形外角性质得出∠E=∠AOC-∠C，代入求即可．
【详解】解： 如图，AE与CD相交于点O，
∵AB∥CD，∠A=65°，
∴∠AOC=∠A=65°，
∵∠C=21°，
∴∠E=∠AOC-∠C=65°-21°=44°，
故答案为44°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
6．（2025春·全国·七年级期中）如图，在平面内，，点，分别在直线， 上，为等腰直角三角形，为直角，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用平行线的性质作出平行线，进而得出的度数．
【详解】解：如图所示：过点作，
则，
故，．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
7．（2025·贵州铜仁·统考一模）如图，一块含角的直角三角板的两个顶点恰好落在一把标准直尺的对边上．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用平行线的性质，求得的度数，进而结合等腰直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
8．（2025·全国·九年级专题练习）（2016内蒙古呼伦贝尔市，第7题，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
【答案】A
【详解】试题解析：∵AD∥BC，∴∠C=∠1=70°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=40°．
故选A．
9．（2025春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市实验学校校考阶段练习）如图，下列条件：①∠B+∠BFE=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．能判定AB∥EF的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：①∵∠B+∠BFE=180°，∴AB∥EF，故本小题正确；
②∵∠1=∠2，∴DE∥BC，故本小题错误；
③∵∠3=∠4，∴AB∥EF，故本小题正确；
④∵∠B=∠5，∴AB∥EF，故本小题正确．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
10．（2025·浙江·模拟预测）能说明命题“若a＞b，则3a＞2b“为假命题的反例为（　　）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝﹣2
【答案】B
【分析】本题每一项代入题干命题中，不满足题意即为反例．
【详解】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），
即a＞b时，3a＝2b，
∴命题“若a＞b，则3a＞2b”为假命题，
故选：B．
【点睛】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．（2025春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，D为AG上一点，，点E是边AB上一点，连接ED，，DF平分，若，则的度数为（ ）
A．50° B．40° C．45° D．35°
【答案】D
【分析】设，，根据题目中的已知条件，∠EDF=∠EDB+∠BDC+∠CDF=，进而得出∠GDC=，即可得出结果．
【详解】解：设，，
∵，
，
∵∠EBD=∠EDB，
∴∠BDC=∠EBD=∠EDB，
∴∠EDF=∠EDB+∠BDC+∠CDF=，
∵DF平分∠EDG，
∴∠GDF=∠EDF=，
∴∠GDC=∠GDF+∠CDF=，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，设，，用，表示出∠GDC，是解题的关键
12．（2013秋·宁夏银川·八年级统考期末）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，对四个选项逐步分析．
【详解】A、能通过其中一个菱形平移得到，故此选项不能选；
B、能通过其中2个正方形平移得到，故此选项错误；
C、能通过其中一个三角形平移得到，故此选项错误；
D、不能通过平移得到，故此选项可选．
故选D．
【点睛】此题考查了平移的应用，注意图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
13．（2025春·北京·七年级北京市第十三中学分校校考期中）下列命题是真命题的是（　　　）
A．和为180°的两个角是邻补角； B．一条直线的垂线有且只有一条；
C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等．
【答案】D
【详解】利用邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质分别判断：
A、和为180°的两个角不一定是邻补角，故错误，为假命题；
B、一条直线有无数条垂线，故错误，为假命题；
C、点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，故错误，为假命题；
D、两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等，正确，为真命题，
故选：D．
点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质，难度不大．
14．（2025春·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考阶段练习）如图：AB∥DE，∠B=50°，∠D=110°，∠C的度数为( )
A．120° B．115° C．110° D．100°
【答案】A
【分析】过点C作CF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】过点C作CF∥AB．
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF．
∵∠B＝50°，
∴∠1＝50°．
∵∠D＝110°，
∴∠2＝70°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝50°+70°＝120°．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
15．（2025·陕西·七年级阶段练习）下列说法中正确的是（　　）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类
C．射线就是直线
D．两点之间的所有连线中，线段最短
【答案】D
【详解】根据真假命题的概念，可知：
A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；
B、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误．
C、射线是直线的一部分，选项错误；
D、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；
故选D．
二、填空题
16．（2025·北京海淀·统考二模）用一个a的值说明“若a是实数，则2a一定比a大”是错误的，这个值可以是__________．
【答案】a=0（答案不唯一）
【分析】举出一个反例：a＝0，说明命题“若a为实数，则2a一定比a大”是错误的即可．
【详解】当a＝0时，2a=0，
此时a=2a，
∴命题“若a为实数，则2a一定比a大”是错误的，
故答案为：0．（答案不唯一，满足即可）
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
17．（2025春·广东韶关·七年级校考期中）完成下面推理过程：
如图，已知，，可推得．理由如下：
∵（ ），且（___________），
∴（等量代换），
∴（__________），
又∵（已知），
∴__________（__________），
∴（__________）．
【答案】已知，对顶角相等，同位角相等两直线平行，，等量代换，两直线平行内错角相等．
【分析】利用两直线平行，同位角相等，对顶角相等，内错角相等两直线平行等进行等量代换和判定．
【详解】解：∵（已知），且（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行内错角相等）
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，对顶角相等，同位角相等两直线平行，，等量代换，两直线平行内错角相等．
【点睛】．本题考查了平行线的性质和判定，解题关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理并灵活运用．
18．（2015·辽宁本溪·统考中考真题）如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B、C两点．若∠1=42°，则∠2的度数是_____．
【答案】48°．
【详解】试题分析：已知∠BAC=90°，∠1=42°，根据平角的定义可得∠3=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣42°=48°．再由平行线的性质即可得∠2=∠3=48°．
考点：平行线的性质．
19．（2025秋·八年级单元测试）如图，在RtABC中，∠A=90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且 MN平分∠AMC，若AN=2，则 BC的长为_____
【答案】12
【分析】由角平分线的性质得到，结合，得到，继而证明是等腰三角形，再由含30°角直角三角形的性质解得，据此解答．
【详解】解：平分∠ACB，MN平分∠AMC，
是等腰三角形，
故答案为：12．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
20．（2025春·河南周口·七年级统考期中）如图，，，若，则的度数是______．
【答案】
【分析】根据平行线的性质 （两直线平行，内错角相等）得出，再结合垂直定义求出，然后由根据平行线性质（两直线平行，同旁内角互补）即可求解．
【详解】解：∵，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，垂直的定义等知识点，根据平行线性质得出角之间的关系是解此题的关键．
21．（2025春·七年级课时练习）如图所示，若∠1＝50°，当∠2＝_________时，AB∥CD．
【答案】50°
【分析】根据两直线平行的判定定理进行作答.
【详解】若要AB∥CD，则需要∠1＝∠2. 由题知，∠1＝50，所以∠2＝50时，AB∥CD.
【点睛】本题考查了两直线平行的判定定理，熟练掌握两直线平行的判定定理是本题解题关键.
22．（2025春·广东河源·七年级校考阶段练习）如图，已知AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；
【答案】62
【详解】解：∵，，
∴∠BOC=90°-28°=62°，
∵∠BOC=∠AOD，
∴∠AOD=62°.
故答案为：62.
23．（2025春·七年级单元测试）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了_______局比赛，其中最后一局比赛的裁判是_______．
【答案】 17 甲
【分析】先确定了乙与丙打了9局，甲与丙打了3局，乙与甲打了5局，进而确定三人一共打的局数，可推导出甲当裁判9局，乙当裁判3局，丙当裁判5局，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出结果，即可得到答案．
【详解】解：∵甲当了9局裁判，
∴乙、丙之间打了9局，
又∵乙、丙分别共打了14局、12局，
∴乙与甲打了局，丙与甲打了局，
∴甲、乙、丙三人共打了局，
又∵甲当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数，
∴甲当裁判的局为奇数局，
∴最后一局比赛的裁判是：甲，
故答案为：17，甲．
【点睛】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题．
24．（2025春·广西贺州·七年级统考期末）如图，沿射线方向平移5cm得到，若，则__________cm．
【答案】7
【分析】根据平移的性质得到，然后计算即可．
【详解】解：沿射线方向平移得到△，
，
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
25．（2025春·河南平顶山·七年级统考期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为，
第二次操作，分别作和的平分线，交点为，
第三次操作，分别作和的平分线，交点为，
…，
第次操作，分别作和的平分线，交点为．
若，则的度数是__________．
【答案】
【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠En=∠BEC，最后求得度数．
【详解】如图1，
过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图2：
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC，
∵，
∴的度数是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
三、解答题
26．（2025春·广东惠州·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，，垂足为．若，求的度数．
【答案】150°
【分析】由EO⊥AB可得∠BOE=90°，由，，可得∠AOC，从而可得∠BOD，这样由∠DOE=∠BOE+∠BOD即可求得∠DOE的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
答：的度数为．
【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角，求出∠AOC的度数是解题的关键．
27．（2025春·上海·七年级专题练习）已知，如图，．
求证：
证明：如图，作延长线，过点作．
因为（已作）
所以 （ ）
（ ）
因为（ ）
所以（ ）．
【答案】；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；平角的意义；等量代换．
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据平角的意义得出，然后根据等量代换即可得证．
【详解】证明：如图，作延长线，过点作
因为（已作）
所以（两直线平行，同位角相等）
（两直线平行，内错角相等）
因为（平角的意义）
所以（等量代换）
即所求证的
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；平角的意义；等量代换．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
28．（2025春·广东汕头·七年级统考期末）如图，AH与BC交于点F，∠1＝∠2，
(1)求证：；
(2)若∠B＋∠CDE＝180°，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据对顶角相等及题意可知∠BFD＝∠2，进而问题可求证；
（2）由（1）得BC∥DE，则有∠C＋∠CDE＝180°，然后问题可求证．
（1）
证明：∵∠1＝∠BFD，∠1＝∠2，
∴∠BFD＝∠2，
∴BC∥DE；
（2）
证明：由（1）得BC∥DE，
∴∠C＋∠CDE＝180°，
又∵∠B＋∠CDE＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
29．（2025春·全国·七年级期中）如图，已知：，求证：．
【答案】见解析
【分析】过点P作，根据同旁内角互补，可得出结论．
【详解】解：过点P作，如图，
∵
∴
∴
∴，即
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．
30．（2025春·河南·七年级校联考期中）如图，，，．
（1）试说明；
（2）AF与DC的位置关系如何？ 为什么？
下面是本题的解答过程，请补充完整。
解：（1），（已知）
DEC （_____________________）
又，（已知）
_______，（_____________________）
AB DE （_____________________）
（2）与DC的位置关系是：_______________理由如下：
，（已知）
AGD （_____________________）
又，（已知）
AGD 等量代换
_____ ____ （_____________________）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）根据平行线的性质等量代换得到DEC，根据平行线的判定可得结论；
（2）根据平行线的性质等量代换得到 ，根据平行线的判定可得结论．
【详解】解：，已知 ，
DEC， 两直线平行，内错角相等 ，
又，已知 ，
DEC，等量代换，
DE，同位角相等，两直线平行；
与DC的位置关系是：；
理由如下：
，已知，
AGD，两直线平行，内错角相等，
又，已知，
，等量代换，
DC ，内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
31．（2025春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，∠1=∠2.
求证：DE∥BC.
【答案】证明见解析
【详解】试题分析：根据垂直推出EF∥BD，推出∠1=∠EDB=∠2，根据平行线判定推出即可．
试题解析：证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠AFE=∠ADB=90°，
∴EF∥BD，
∴∠1=∠EDB，
∵∠1=∠2，
∴∠EDB=∠2，
∴DE∥BC．
32．（2025春·北京西城·七年级校考期中）如图，∠A＝∠CEF，∠1＝∠B，求证：DEBC．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的判定定理可得EF∥AB，根据平行线的性质可得∠EFC＝∠B，根据等量关系可得∠EFC＝∠1，即可证得DE∥BC．
【详解】证明：∵∠A＝∠CEF，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠B，
∵∠1＝∠B，
∴∠EFC＝∠1，
∴DE∥BC．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
33．（2025春·广东河源·七年级阶段练习）如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，求证EB∥CF.
【答案】证明见解析.
【详解】试题分析：根据垂直的定义可得∠ABC=∠BCD=90°，再由∠1=∠2可得∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行即可判定EB∥CF.
试题解析：
34．（2025春·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知，．
（1）求的度数：
（2）若，问：吗？请说明理由；
（3）若，且，求的度数．
【答案】（1）50°；（2）平行，理由见解析；（3）110°
【分析】（1）根据AD∥EF，可得同位角相等即可得∠3的度数；
（2）根据平行线的性质和∠1=∠2，即可证明DG∥BA；
（3）根据平行线的性质和∠1=∠2，∠DAG=20°，即可求∠AGD的度数．
【详解】解：（1）∵AD∥EF，
∴∠3=∠2=50°；
（2）DG∥BA，理由如下：
∵∠1=∠2，∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴DG∥BA；
（3）∵∠1=∠2=50°，∠GAD=20°，
∴∠AGD=180°-∠GAD-∠1=110°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
35．（2025春·河北邯郸·七年级统考期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．
（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝　 　
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由；
（3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由；
②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代数式表示）
【答案】（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=．
【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答； ②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【详解】（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质） 即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
理由：见（1）中证明．
（3）①结论：∠P=2∠P1；
理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，
∴∠P=2∠P1．
②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2=∠CAP，∠EBP2=∠EBP，
∴∠AP2B=∠CAP+∠EBP，
= （180°-∠DAP）+ （180°-∠FBP），
=180°- （∠DAP+∠FBP），
=180°- ∠APB，
=180°- β．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．
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