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专题12 整式
新知预习
（一）代数式的相关概念
（1）代数式概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数.的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
（2）列代数式方法：列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.
（3）列代数式时应该注意的问题
①数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.
②数字通常写在字母前面.
③带分数与字母相乘时要化成假分数.
④除法常写成分数的形式.
（4）代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值；常用解题思想：整体思想。
（二）单项式
（1）单项式的概念
①概念：数字或字母的乘积组成的代数式。
②概念定位：单项式包括了“两单”（单独的一个数字、单独的一个字母）和“两积”（数字与字母的乘积、字母与字母的乘积）。
（2）单项式的系数
①概念：单项式中的数字因数称为系数。
②单项式系数中的注意事项：
如果一个单项式是一个数字，那么这个单项式不含系数。
如果一个单项式中含有，不是字母，应该作为系数的组成部分。
当一个单项式的系数是“”或者“”时，“”可以省略不写，但是“-”号不能不写。
当一个单项式的系数是假分数时，一般都化成假分数
（3）单项式的次数
①概念：单项式中的所有字母的指数之和。
②注意事项：
单项式的次数必须是每一个字母的指数相加，不能计算成积。
单项式的次数只能是字母的指数之和，（若系数也有指数）千万不能加上系数的指数。例如：在单项式32abc3中，次数应该是（1+1+3=）5次，而不是7次。
（三）多项式
（1）多项式的概念
①概念：几个单项式的和。
②概念定位：
多项式是和的形式，加法是其唯一的一种运算，若多项式中出现“-”号，应看做负号。例如：在多项式中，应看做。
单项式是构成一个多项式的最基本单位，每一个单项式都是多项式的一个项，在多项式找某个项时，应该带上这个项的符号。例如：在多项式中，每个项分别为、、、.
多项式中有时会出现单独的一个数字，这样的单项式（单独的一个数字）被称之为常数项。例如：在多项式中的就属于常数项。
（2）多项式的项（数）
①概念：构成多项式的单项式的个数。（可以参考小学数学中数列中的项数）
②注意事项：任何一个多项式的项数都不低于2.例如：在多项式中，共有两个项、，所以项数为2.
（3）多项式的次数
①概念：多项式中次数最高的单项式的次数。
②注意事项：
一定不能把所有项的次数之和作为多项式的次数。
首先应找到每一个项的次数，再取其中的最高次。例如：在多项式中最高次项为，所以这个多项式的次数为4次。
（4）多项式的名称
多项式中有几个项就被称之为几项式；多项式的次数是几，就被称之为几次式；二者综合就形成了多项式的名称：几次几项式。例如：多项式就应该称为4次4项式。
新知训练
考点1：列代数式
典例1：（2025秋·浙江温州·七年级统考期末）“的倍与的的差”用代数式表示为 ______ ．
【答案】
【分析】根据题意直接列代数式即可．
【详解】解：“的倍与的的差”用代数式表示为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，结合题意正确列出代数式．
【变式1】（2025秋·海南海口·七年级校考期中）小红在段考前到文具店买了2支笔和一副三角板，笔每支，三角板每副3元，小红共花了____元．
【答案】/
【分析】根据总价单价数量代代数式，即可得到答案．
【详解】解：由题意得，小红买2支笔花了元，买一副三角板花了3元，
所以小红共花了元，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意找出数量关系是解题关键．
【变式2】（2025·河北沧州·校考一模）图1是边长分别为a和的矩形纸片，将4张相同的纸片紧密拼接，能得到三个正方形图案（如图2），设正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为．
（1）_________（用含a的代数式表示）；
（2）与的关系是_________．
【答案】
【分析】（1）根据题意和图形，可知，然后代入数据计算即可；
（2）根据题意和图形，可以分别计算出与，然后即可得到它们的关系．
【详解】解：（1）由图可得，
，
故答案为：；
（2）解：由图可得，
，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，利用数形结合的思想解答．
【变式3】（2025秋·山西临汾·九年级统考期末）某市在2025年10月28日至12月15日期间举办了第二期购物节，定向发放政府消费券，某商场的促销方案是：所有啇品一律打9折：若所购商品原价超过388元，在享受9折基础上还可以使用“满388减50”的政府消费券．小珊所购商品原价为元，则购买该商品实际付款的金额为______元．
【答案】/
【分析】根据题意先计算打折后的付款数再减去“满388减50”的政府消费券即可得到结论．
【详解】解：∵小珊所购商品原价为元，
∵所有商品一律打9折的基础上再使用“满388减50”的政府消费券，
∴购买该商品实际付款的金额为元，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解答本题的关键．
考点2：代数式的书写方法
典例2：（2025秋·四川达州·七年级统考期末）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有 ________个．
，，，，，
【答案】1
【分析】根据代数式的书写要求分别进行判断即可．
【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，共有1个．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了列代数式，用到的知识点是代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
【变式1】（2025秋·全国·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：
（1）a×5，应写成_______ ；
（2）S÷t应写成_________；
（3），应写成______；
（4）, 应写成______.
【答案】 5a
【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果．
（2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果．
（3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果．
（4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果．
【详解】解：（1）a×5=5a，
故答案为∶5a；
（2）S÷t=，
故答案为∶；
（3），
故答案为∶；
（4）
故答案为∶．
【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键．
【变式2】（2025秋·安徽合肥·七年级校联考期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式，下列四个代数式：①a﹣b﹣c；②﹣a﹣b﹣c+2；③ab+bc+ca；④a2b+b2c+c2a，其中是完全对称式的是_____．
【答案】②③
【分析】若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，据此逐项判断即可．
【详解】解：∵把a、b两个字母交换，b﹣a﹣c不一定等于a﹣b﹣c，a2b+b2c+c2a不一定等于b2b+a2c+c2a，
∴①④不符合题意．
∵若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，
∴②③符合题意．
故答案为：②③．
【点睛】此题主要考查了完全对称式的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．
【变式3】（2025秋·七年级课时练习）下列代数式中，符合代数式书写要求的有______________．
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．
【答案】（2）（5）．
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【详解】解：（1）的书写格式是，故错误；
（2）、（5）的书写格式正确，故正确；
（3）的正确书写格式是，故错误；
（4）的正确书写格式是3（m＋n），故错误；
（6）的正确书写格式是3ab，故错误；
故答案是：（2）（5）．
【点睛】本题考查了代数式．代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
考点3：单项式的判断
典例3：（2025秋·广东肇庆·七年级校考期中）下列代数式：①；②m；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是单项式的是______（只填序号）．
【答案】①②③⑦
【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案．
【详解】解：单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式
则是单项式的是①；②m；③；⑦，
故答案为：①②③⑦．
【点睛】本题考查了单项式的定义，熟记定义是解题关键．
【变式1】（2025秋·河北张家口·七年级校考期末）在式子：①，②，③，④中，单项式有__________，多项式有__________，整式有__________．（填序号）
【答案】 ②④ ① ①②④．
【分析】根据单项式，单项式，整式的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①是多项式，是整式，②是单项式，是整式，③，不是整式，④，是单项式，是整式，
∴单项式有②④；多项式有①；整式有①②④．
故答案为：②④；①；①②④．
【点睛】本题考查了单项式，单项式，整式的定义，掌握以上定义是解题的关键．数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式），几个单项式的和叫做多项式，整式：单项式与多项式统称为整式．
【变式2】（2025秋·北京·七年级北京师大附中校考期中）下列说法正确的是_____________（填写序号）
①0是单项式； ②若的次数是5，则；
③是单项式，它的系数是2，次数是7；
④单项式的系数是； ⑤单项式的次数是2；
⑥多项式的一次项是x；
⑦多项式按y升幂排列是．
【答案】①②⑦
【分析】根据单项式的定义，单项式的系数，次数概念可判断①②③④⑤是否正确，根据多项式的定义，多项式的项，次数，系数的概念可以判断⑥⑦是否正确，最后写出正确的答案．
【详解】解：一个数也是单项式，所以①正确；
单项式的次数是未知数的次数和，所以，，②正确；
是单项式，它的系数是，次数是4，所以③错误；
单项式的系数是，所以④错误；
单项式的次数是3，所以⑤错误；
多项式的一次项是，所以⑥错误；
多项式按y升幂排列是，所以⑦正确．
故答案为：①②⑦
【点睛】本题考查了单项式和多项式的概念，熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．
【变式3】（2025秋·全国·七年级专题练习）把下列代数式的序号填入相应的横线上
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦
(1)单项式________；(2)多项式________；(3)整式________．
【答案】 ③⑤⑦ ①② ①②③⑤⑦
【详解】根据单项式，多项式，整式的定义即可求解．
【分析】(1)解：单项式 ③⑤⑦；
故答案为：③⑤⑦；
(2)多项式 ①②；
故答案为：①②；
(3)整式 ①②③⑤⑦．
故答案为：①②③⑤⑦．
【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式．
考点4：单项式的系数与次数
典例4：（2025秋·湖北襄阳·七年级襄阳四中校考期末）单项式的次数8，则________．
【答案】5
【分析】根据单项式的次数的定义，可得，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数的定义，熟练掌握所有字母的次数之和是单项式的次数是解题的关键．
【变式1】（2025秋·云南曲靖·七年级校考期末）如果单项式和的次数相同，则的值为_______．
【答案】1
【分析】根据和的次数相同求出n的值，代入计算即可．
【详解】∵和的次数相同，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．
【变式2】（2025秋·江苏扬州·七年级统考期末）单项式的系数是______.
【答案】
【分析】根据单项式系数的定义即可解答．
【详解】单项式的系数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查单项式系数的定义．掌握单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数是解题关键．
【变式3】（2025秋·广东云浮·七年级统考期末）若是一个六次单项式，那么这单项式的系数为__________，m的值是__________．
【答案】 2
【分析】根据单项式次数、系数的定义计算即可．
【详解】∵是一个六次单项式，
∴单项式的系数为，，
∴单项式的系数为，，
故答案为：；2．
【点睛】本题考查了单项式的次数即单项式中所有字母的指数和，单项式的系数即单项式的数字因数，熟练掌握定义是解题的关键．
考点5：多项式的判断
典例5：（2025秋·上海长宁·七年级上海市娄山中学校考阶段练习）在①3；②；③；④；⑤；⑥中，单项式有__________，多项式有__________，代数式有__________．（填序号）
【答案】 ①③ ②④ ①②③④⑥
【分析】根据单项式、多项式、代数式的定义进行判断即可．
【详解】由数字或字母的积构成的代数式叫做单项式，单独一个数字或字母也是单项式，所以①③是单项式；
几个单项式的和叫做多项式，所以②④是多项式；
整式和分式统称为代数式，所以①②③④⑥是代数式；
故答案为：①③；②④；①②③④⑥．
【点睛】本题考查单项式、多项式、代数式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
【变式1】（2025秋·全国·七年级专题练习）下列代数式中的哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？
，4xy，，，x2＋x＋，0，，m，﹣2.01×105
整式集合：{_______________ …}
单项式集合：{__________ …}
多项式集合：{_______________…}．
【答案】 ，4xy，，0，m，﹣2.01×105… 4xy，，0，m，﹣2.01×105 …
【分析】根据整式、单项式、多项式的定义判断后选出即可．
【详解】解：整式集合：{，4xy，，0，m，﹣2.01×105 …}；
单项式集合：{ 4xy，，0，m，﹣2.01×105 …}；
多项式集合：{ …}．
故答案为：，4xy，，0，m，﹣2.01×105…；4xy，，0，m，﹣2.01×105 …；
【点睛】本题考查了对单项式，多项式，整式的定义的理解和运用，注意：整式包括多项式和单项式，数与字母的积是单项式，单个的数与单个的字母也是单项式，若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式．
【变式2】（2025秋·七年级单元测试）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）
①x－7；②；③4ab；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩； ； ； －1.
单项式集合_______________；
多项式集合_______________；
整式集合_______________
【答案】 ②③⑥ ①⑧⑨⑩ ①②③⑥⑧⑨⑩
【分析】根据单项式、多项式、整式的定义解答即可．
【详解】解：单项式有：②，③，⑥， ， ；
多项式有：①，⑧，⑨，⑩；
整式有：①；②；③；⑥；⑧；⑨；⑩； ； ；
故答案为：②③⑥ ；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩ ．
【点睛】本题主要考查的是整式，熟练掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键．
【变式3】（2025秋·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期中）对于式子：，其中有______个多项式．
【答案】2
【分析】利用多项式的定义分析得出答案．
【详解】解：在中，
多项式为：，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．
考点6：多项式的项、项数、次数
典例6：（2025秋·吉林·七年级统考期末）若多项式中不含项，则k的值为________．
【答案】5
【分析】根据不含某项即该项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：∵中不含项，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了多项式项中的系数求值，熟知不含某项即该项的系数为0是解题的关键．
【变式1】（2025秋·吉林松原·七年级校联考阶段练习）若多项式是关于x的二次二项式，则m＝______．
【答案】
【分析】根据多项式的意义可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵多项式是关于x的二次二项式，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键．
【变式2】（2025秋·浙江宁波·七年级校考期中）单项式的系数是___________，次数是_________，多项式的次数是___________．
【答案】 5 3
【分析】根据单项式的系数与次数的定义、多项式的次数的定义即可得．
【详解】单项式的系数是，次数是5；
多项式的次数是3；
故答案为：，5，3
【点睛】本题考查单项式的系数与次数的定义、多项式的次数的定义，解题的关键是掌握定义，正确求解．
【变式3】（2025秋·河南许昌·七年级校考阶段练习）一个只含有字母a的二次三项式，它的二次项系数为、一次项系数为，常数项为，则这个多项式为______．
【答案】
【分析】根据题意写出对应的多项式即可．
【详解】解：由题意得，这个多项式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的次数和项以及对应项的系数，正确理解题意是解题的关键．
考点7：由多项式的名称求解字母的值
典例7：（2025秋·广西防城港·七年级统考期末）若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为____________．
【答案】2
【分析】根据多项式的次数和项数的定义，即可求解．
【详解】解：∵多项式是一个关于，的四次四项式，
∴且，
解得：，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键．
【变式1】（2025秋·山东滨州·七年级统考期末）当_____时，多项式不含项．
【答案】1
【分析】多项式的同类项合并已完成，不含项就是使为0，即可得出k值．
【详解】解：由题意可得：，即，
解得．
故答案为：1
【点睛】此题主要考查了多项式内容，关键是理解不含项的含义．即合并后的项的系数为0 ．
【变式2】（2025秋·江西抚州·七年级校考阶段练习）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，求___________．
【答案】
【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出m，n，相加可得答案．
【详解】解：∵多项式的次数是5，
∴，
∴，
∵单项式与该多项式的次数相同，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
【变式3】（2025秋·上海·七年级专题练习） 是关于与的五次三项式，则_____．
【答案】1
【分析】先根据原多项式是一个五次三项式得出的值，代入原式后，根据原式为三项式，得出的值，最后把代入求解即可．
【详解】解：原多项式是一个五次三项式，最高项是
原式
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了多项式的项数和次数，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
考点8：规律探究
典例8：（2025·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考一模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示．当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是______．
【答案】16
【分析】观察题干中分子结构式发现规律，第n个分子结构式中“H”的个数是，据此即可得到答案．
【详解】解：观察分子结构式可知，
第1个甲烷分子结构式中“H”的个数是4；
第2个乙烷分子结构式中“H”的个数是6；
第3个丙烷分子结构式中“H”的个数是8；
……
第n个分子结构式中“H”的个数是，
第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，通过观察归纳出规律是解题关键．
【变式1】（2025·湖南娄底·统考一模）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是_____个．（用含有n的式子表示）

【答案】
【分析】通过分析图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系即可得出结论．
【详解】解：由图形可知：
第1个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5，
第2个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
第3个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
…，
∴第n个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形与数字的变化规律，列代数式，通过分析找到图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系是解题的关键．
【变式2】（2025秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第个图案中白色瓷砖块数为______．
【答案】
【分析】观察图形，分别数出第1、2、3个图案中白色瓷砖的数量，从中找出规律，由此推算第n个图案中白色瓷砖的数量，于是可计算出第个图案中白色瓷砖块数．
【详解】解：观察图形发现：第1个图案中有白色瓷砖5块，
第2个图案中白色瓷砖有块，
第3个图案中白色瓷砖有块，
依此类推，第n个图案中，白色瓷砖是．
∴第个图案中白色瓷砖块数．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，关键是观察图形进行分析，注意前后两个图形之间的联系．
【变式3】（2025秋·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）下列是一组按照一定规律摆放的图案，第个图案中五角星有______个．
【答案】
【分析】观察图形中五角星的数量，抽象概括出数字规律，进行求解即可．
【详解】解：第一个图形中五角星的数量为：个；
第二个图形中五角星的数量为：个；
第三个图形中五角星的数量为：个；
第四个图形中五角星的数量为：个；
∴第个图形中五角星的数量为：，
∴第个图形中的五角星的数量为：个；
故答案为：．
【点睛】本题考查图形中的数字规律探究．通过图形抽象概括出数字规律是解题的规律．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·广东茂名·七年级广东高州中学校考阶段练习）下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据利用代数式的书写要求分别判断得出答案．
【详解】解：A．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意；
B．符合代数式的书写要求，故此选项符合题意；
C．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意；
D．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“ ”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
2．（2025秋·全国·七年级专题练习）一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（　　）
A．ab B．10a+b C．10b+a D．ba
【答案】C
【分析】根据数的表示，两位数=10×十位数字+个位数字，将对应字母或数值代入即可求解．
【详解】解：由题意可知，该两位数可表示为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是列代数式，重点在于掌握多位数用字母表示．
3．（2025秋·重庆·七年级期中）多项式6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1是（　　）
A．四次三项式 B．三次四项式 C．四次五项式 D．五次四项式
【答案】D
【分析】组成多项式的单项式叫作多项式的项，多项式中最高次项的次数是多项式的次数，根据概念可得答案.
【详解】解：6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1的最高次项是2x2y3，这一项的次数是5，
6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1的项有：
所以6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1是五次四项式，
故选D
【点睛】本题考查的是多项式的项与次数，掌握多项式的项与次数的概念是解题的关键.
4．（2025秋·黑龙江七台河·七年级统考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是2
B．单项式的次数是1，没有系数
C．单项式的系数是，次数是4
D．多项式是三次三项式
【答案】C
【分析】根据单项式的系数是数字因数，次数是字母指数和，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．
【详解】解：A. 单项式的系数是，次数是3，故A选项错误；
B. 单项式的次数是2，系数是1，故B选项错误；
C. 单项式的系数是，次数是4，故C选项正确；
D. 多项式是二次三项式，故D选项错误;
故选C．
【点睛】本题考查了单项式和多项式的概念，单项式的系数是数字因数，次数是字母指数和；多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数．
5．（2025秋·七年级课时练习）下列各式中，不是单项式的是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】直接利用单项式的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、中的是分母含有字母x，故不是单项式．
B、是单项式，不符合题意；
C、是单项式，不符合题意；
D、0是单项式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题关键．
6．（2025秋·山东德州·七年级阶段练习）用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干个实圆与空心圆按一定规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……问：前2011个圆中，有________个空心圆．
A．670 B．668 C．669 D．671
【答案】A
【详解】试题分析：观察图形可得，一个循环是●○●●○●●●○，共有9个圆，其中有3个空心圆，2011÷9，商223，余4，所以前2011个圆中，空心圆的个数为223×3+1=670．
故选A．
考点：图形的变化规律类问题．
7．（2025秋·广东深圳·七年级统考期中）下列说法中，正确的有（ ）
①的系数是；
②﹣22a2的次数是5；
③a﹣b和都是整式；
④多项式﹣a2b＋2ab﹣a＋2是三次四项式；
⑤一个三位数百位数字为c，十位数字为b，个位数字为a；则这个三位数可以表示为cba．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据单项式，多项式的相关定义，整式的定义，再根据三位数百位上的数字 十位上的数字 个位上的数字，即可判断
【详解】解：①的系数是，说法正确；
②﹣22a2的次数是2，说法不正确；
③a﹣b和都是整式，说法正确；
④多项式﹣a2b+2ab﹣a+2是三次四项式，说法正确；
⑤一个三位数百位数字为c，十位数字为b，个位数字为a；则这个三位数可以表示为100c+10b+a，说法不正确．
综上所述，正确的说法有3个．
故选：C
【点睛】本题考查了单项式的系数和次数（单项式中的所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数，数字因式叫做这个单项式的系数），以及多项式的项数和次数的判断（若干个单项式的和组成的式叫做多项式 多项式中每个单项式叫做多项式的项, 这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数），整式的定义（单项式和多项式统称为整式），列代数式等知识，熟练掌握定义以及三位数的表示方法是解题关键．
8．（2025秋·重庆綦江·七年级校考阶段练习）小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
那么，当输入数据8时，输出的数据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加1，直接将输入数据代入即可求解．
【详解】解：根据表中数据可得：输出数据的规律为，
当输入数据为8时,输出的数据为=.
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是有理数的混合运算及列代数式，解题的关键是找到规律列出相应代数式．
9．（2025秋·湖南岳阳·七年级校联考期中）单项式的系数和次数分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】单项式的系数和次数分别是 ,5.
故选D.
【点睛】本题主要考查单项式与多项式的基本概念.根据定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
10．（2025秋·安徽阜阳·七年级统考期中）小邱与同学在某早餐店—起吃早点，如图为此早餐店的三种套餐(注；只能按套餐购买早点)．若他们所点的套餐中共有份三鲜面，个鸡蛋，杯豆浆，则他们点了几份套餐 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点的鸡蛋能确定在B和C餐中点了x份鲜面，根据题意可得点A餐10-x．
【详解】解：x个鸡蛋则在B和C餐中点了x份鲜面，
y份豆浆则在C餐中点了y份鲜面，
∴点A餐为10-x；
故选：D．
【点睛】本题考查列代数式；能够根据题意，以鲜面为依据，准确列出代数式是解题的关键．
11．（2025秋·全国·七年级专题练习）如图，一个大长方形恰好被分割成四个正方形，则涂色的小正方形面积是整个长方形面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出涂色正方形的边长为x，表示其面积；再根据各个正方形之间的关系，表示出大长方形的长、宽，求出面积即可得出答案．
【详解】解：设阴影正方形的边长为x，
则正方形①的边长为x，正方形②的边长为，正方形③的边长为，
所以，这个大长方形的宽为，长为，其面积为，
又涂色正方形的面积为，
因此涂色的小正方形面积是整个长方形面积的，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，列代数式，通过图形直观得出边长之间的关系是解决问题的关键．
12．（2025秋·江苏连云港·七年级统考阶段练习）将正整数依次按下表规律排列，则数208应排的位置是（　　）
第1列 第2列 第3列 第4列
第一行 1 2 3
第二行 6 5 4
第三行 7 8 9
第四行 12 11 10
A．第69行第2列 B．第69行第3列
C．第70行第1列 D．第70行第4列
【答案】D
【分析】由于每行3个数，而208＝3×69+1，则可判断数208在第70行，然后利用行数为偶数的3个数的排列顺序从第4列开始从右到左，从而得到数208的位置．
【详解】∵208＝3×69+1，
∴数208在第70行，
而行数为偶数的3个数的排列顺序从第4列开始从右到左，
∴数208在第70行第4列．
故选D．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
13．（2025·广东广州·统考中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2025根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．
【详解】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2025，得：n=253，
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．
14．（2025秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可.
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为所求.
最后一个小长方形的面积=
故
即
故选B.
【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，通过数形结合看出前面所有小长方形的面积等于总面积减去最后一个空白的小长方形的面积是解答此题的关键.
15．（2025秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72 016的末位数字是(　 　)
A．9 B．7 C．6 D．0
【答案】D
【分析】分析题意，可得7的正整数次幂的结果的个位数字依次为7、9、3、1、7、9、3、1……，得到规律为：每4个数字为一个循环；用2025除以4，判断有几个循环周期，再求出一个循环所得和的末尾数字，即可解答.
【详解】∵71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…，
∴个位数字以7、9、3、1每4个为一个循环
∵
∴共有504个循环
∵7+9+3+1=20
∴经过一个循环周期所得和的末尾数字是0
∴经过504个循环周期所得和的末尾数字是0
故选D
【点睛】本题以有理数乘方为背景，考查规律探究类题目的解法，解答本题的关键是从7n的结果中找出末尾数字的规律.
二、填空题
16．（2025秋·福建泉州·七年级统考期末）买一个篮球需要α元，买一个足球需要b元，则买5个篮球和7个足球共需_________元．（用含a，b的式子表示）
【答案】
【分析】由单价乘以数量分别求解篮球与足球的费用，再求和即可．
【详解】解：买一个篮球需要α元，买一个足球需要b元，则买5个篮球和7个足球共需
元；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是列代数式，理解语句的含义，列出正确的代数式是解本题的关键．
17．（2025秋·广西百色·七年级统考期末）m与n的和的3倍可以表示为__________．
【答案】3（m+n）
【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m与n的和，再表示出和的3倍即可．
【详解】解：“m与n和的3倍”用代数式可以表示为：3（m+n）．
故答案为：3（m+n）．
【点睛】此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“平方”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
18．（2025秋·全国·七年级专题练习）对于多项式（n﹣1）xm+2﹣3x2+2x（其中m是大于﹣2的整数）．若n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，则m的值为__．
【答案】1
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数解答．
【详解】解：∵n=2时，多项式是关于x的三次三项式，
∴m+2=3，
解得，m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是多项式的概念，掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键．
19．（2025秋·陕西西安·七年级西安市第六中学校考阶段练习）多项式为_________次四项式．
【答案】五
【分析】根据多项式次数的定义求解．
【详解】依题意得：是五次四项式．
故答案为五．
【点睛】考查了多项式的定义
20．（2025秋·广东东莞·七年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）单项式 的系数是________，次数是________．
【答案】 ； 3
【分析】根据单项式次数与系数定义可求解.
【详解】解：根据单项式次数和系数的定义，可得出的系数为， 次数为3.
故答案为；3.
【点睛】考查单项式的系数以及次数，单项式中的数字因数就是单项式的系数，单项式中所有字母指数的和就是单项式的次数.
21．（2025秋·七年级课时练习）下列各式：，，﹣25，，，a2﹣2ab+b2中属于单项式的有_____．
【答案】，﹣25
【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．
【详解】根据单项式的定义知，单项式有：，﹣25．
【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，这是判断是否是单项式的关键．
22．（2025秋·山西晋中·七年级统考期中）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：
假设嘉嘉抽到牌的点数为，淇淇猜中的结果为，则__________．
【答案】3
【详解】由题意可知．所以．
23．（2025秋·全国·七年级专题练习）关于x、y的多项式是四次二项式，则________．
【答案】2或
【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
【详解】解：∵关于x、y的多项式是四次二项式，
∴当，|m+1|=3时，
∴m=2；
当m+3=0时，m=-3，原多项式为，
综上所述，m的值为2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确分类讨论得出m的值是解题关键．
24．（2012·黑龙江大庆·中考真题）已知l2=1，l12=121，l112=12321，…，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是_____
【答案】4．
【详解】根据平方后的结果的规律，从左向右依次是从1开始的连续的自然数再逐渐减小至1，且中间的自然数与底数的1的个数相同，根据此规律写出即可得解：
12=1，112=121，1112=12321，…=123456787654321，所以的第12个数字是4．
25．（2025秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是__________，依次继续下去……第2 016次输出的结果是___________.
【答案】 3 2
【详解】根据题意得：开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是7+5=12；
第2次输出的结果是×12=6；
第3次输出的结果是×6=3；
第4次输出的结果为3+5=8；
第5次输出的结果为×8=4；
第6次输出的结果为×4=2；
第7次输出的结果为×2=1；
第8次输出的结果为1+5=6；
归纳总结得到输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2，1循环，
∵（2025﹣1）÷6=335…5，则第2025次输出的结果为2．故答案为2.
【点睛】本题考查了列代数式表示规律及分类讨论的思想，解答本题一是要看明白输入的数用那个代数式求值，二是要把开始几个数算出来，寻找规律，有时算得个数比较多，像本题就要计算出钱八个数的结果，才能找出其中的规律.
三、解答题
26．（2025秋·全国·七年级专题练习）已知单项式与的次数相同，求的值．
【答案】7
【分析】根据单项式次数的定义：单项式中，所有变数字母的指数之和，从而得出m的值，代入中，即可得出答案．
【详解】的次数为：，
的次数为：，
单项式与的次数相同，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查单项式的次数，理解单项式次数的定义是解题的关键．
27．（2025秋·吉林松原·七年级校考阶段练习）已知是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是＝-1.
（1）求－3的差倒数；
（2）－的差倒数是，的差倒数是 ，4的差倒数是 ；
（3）已知＝－，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则＝ .
【答案】（1） （2），，（3）
【分析】（1）根据称为的差倒数，把a=-3代入即可.
（2）根据称为的差倒数,把a=－，，4分别代入求值即可.
（3）根据（2）所得规律，三次倒差数为一循环，则考虑2025除以3的余数即可.
【详解】（1）根据称为的差倒数可知：－3的差倒数为
（2）－的差倒数是，的差倒数是，4的差倒数是
（3）由（2）知，倒差数三次一循环，则2025÷3=，则=.
【点睛】本题考查了代数式求值以及有理数的找规律，解题关键在于理解题干的含义，本质为代入求值.而第三小问的关键在于，找准循环次数为多少，才能化繁为简.
28．（2025秋·全国·七年级专题练习）已知|a|＝﹣a，试确定六次单项式x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
【答案】-1，-1
【分析】根据|a|＝﹣a，可得a≤0，再由x5y|a|是六次单项式，可得5﹣a＝6，即可求解．
【详解】解：由|a|＝﹣a，得a≤0，
∵x5y|a|是六次单项式，
∴5﹣a＝6，
解得：a＝﹣1，
∴a2003﹣a2002+1＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数，有理数的乘方运算，熟练掌握单项式中所有字母的指数之和就是该单项式的次数是解题的关键．
29．（2025秋·贵州贵阳·七年级统考期末）已知：A＝ax2+x﹣1，B＝3x2﹣2x+2（a为常数）
（1）若A与B的二次项系数互为相反数，则a＝　 ；
（2）在（1）的基础上化简：B+2A．
【答案】（1）﹣3；（2）﹣3x2．
【分析】（1）根据相反数的意义，找到二次项系数，两者之和为0，计算解决即可.
（2）将a＝﹣3代入A和B，然后用B+2A进行运算化简即可.
【详解】（1）∵A＝ax2+x﹣1，B＝3x2﹣2x+2，A与B的二次项系数互为相反数，
∴a＝﹣3；
故答案为：﹣3；
（2）原式＝3x2﹣2x+2+2（﹣3x2+x﹣1）
＝3x2﹣2x+2﹣6x2+2x﹣2
＝﹣3x2．
【点睛】本题考查了多项式的认识，相反数的意义和整式的化简，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握多项式和相反数的意义，在整式化简中注意去括号时符号是否发生改变.
30．（2025春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考开学考试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的．该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算）：
每月用水量 单价
不超过6 m3的部分 2元/ m3
超出6 m3不超出10m3的部分 4元/ m3
超出10 m3的部分 8元/ m3
设李老师家某月用水量为x（m3）．
(1)若x＝7，则李老师当月应交水费多少元？
(2)若0＜x＜15，则李老师当月应交水费多少元？（（用含x的代数式表示，并化简）
【答案】(1)16元
(2)李老师当月应交水费2x（0＜x≤6）元或（4x﹣12）元（6＜x≤10）或（8x﹣10）元（10＜x＜15）
【分析】对于（1），利用市自来水收费的价目表分别计算每段所付费用，再相加即可；
对于（2），利用分类讨论的思想方法，利用市自来水收费的价目表分别计算每段所付费用，再相加即可得出结论．
【详解】（1）若李老师家某月用水量为7（m3），
则李老师当月应交水费：6×2+1×4＝16（元）；
（2）当0＜x≤6时，则李老师当月应交水费2x元；
当6＜x≤10时，李老师当月应交水费：6×2+（x﹣6）×4＝（4x﹣12）元，
当10＜x＜15时，李老师当月应交水费：6×2+4×4+（x﹣10）×8＝（8x﹣52）元．
综上，若0＜x＜15，则李老师当月应交水费2x（0＜x≤6）元或（4x﹣12）元（6＜x≤10）或（8x﹣10）元（10＜x＜15）．
【点睛】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
31．（2025秋·河南商丘·七年级统考期中）淮阳太昊陵是中国十八大名陵之首，AAAA级景区，是海内外华夏子孙寻根谒祖，祈福纳祥，旅游观光的圣地，门票价格是成人每人40元，学生每人20元，满30人可以购买团体票（成人门票和学生门票的票价都打8折），设一个旅游团共有人，其中学生y人
（1）用代数式表示该旅游团应付的门票费．
（2）如果旅游团有20个成人，15个学生，那么他们应付多少门票费？
【答案】（1）（元）；（2）400元．
【分析】（1）直接利用人数×票价×80%得出总得票价即可；
（2）直接利用（1）中关系式得出答案．
【详解】解：（1）成人门票费为40（x-y）元，学生门票费为20y元，
所以旅游团应付的总费用为[40（x-y）+20y]×80%=（32x-16y）元．
（2）旅游团有20个成人，15个学生，
所以元．
答：他们应付门票费400元．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确理解题意得出关系式是解题关键．
32．（2025秋·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图，是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 第n行有n个点 ．容易发现前4行的点数和为10．
（1）请问前几行的点数和为36？
（2）这个三角点阵的前n行的点数和能为200吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
【答案】（1）前8行的点数和为36；（2）这个三角点阵的前n行的点数和不能为200．说理见解析．
【分析】（1）设前x行的点数和为36，列出一元二次方程计算即可；
（2）根据题意列出方程求解即可；
【详解】（1）设前x行的点数和为36，
x（x+1）=36，
解得x1=8，x2=-9（舍去），
答：前8行的点数和为36.
（2）列方程为：n（n+1）=200，
∵ b2-4ac=401，401不是某一个整数的平方，
∴方程没有整数解，
∴这个三角点阵的前n行的点数和不能为200．
【点睛】本题主要考查了图形变化规律型和一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．
33．（2025秋·四川广元·七年级统考期末）观察下列各式，回答问题．
，，，…．
按上述规律填空：
(1)______×______；
(2)计算：．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）首先可以看出等号的左边是1减去几的平方分之一，计算的结果是1减去几分之一乘1加上几分之一，由此规律直接得出答案即可；
（2）根据（1）中的规律计算即可．
（1）
解：由题中前几个式子的规律得：；
故答案为：；
（2）
解：由题意，
．
【点睛】此题考查数字变化类和有理数的混合运算，从最简单的情形入手，找出规律，利用规律简化计算的方法．
34．（2025秋·江苏·七年级专题练习）已知关于的多项式，．
(1)若整式不含项和不含项，求、的值；
(2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据多相似不含项、项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出、的值．
（2）根据是一个五次四项式（该多项式中，的最高次幂是五次，即，一共有四项），分类讨论得出结论．
【详解】（1）因为，
当不含项和不含项时有和，
因为，，
所以．
因为，，
所以或（不符合题意）．
所以．
（2）①∵|a|+4≥4，
∴a=0，b+3=0时，
即a=0，b=-3，
②当|a|+4=5（a-1）x5+（b+3）x3是一项，
∴a-1≠0，b+3=0，
∴a=-1，b=3，
∴
【点睛】本题考查多项式的理解和运用能力．几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中，如果不含某一项就是这一项的系数为0．明确多项式的定义，恰当使用分类思想进行分析是解本题的关键．
35．（2025秋·湖南永州·七年级统考期末）【阅读】求值1＋2＋22＋23＋24＋…＋210
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋211②
由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1
即：S＝1＋2＝22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1
【运用】仿照此法计算：
(1)1＋3＋32＋33＋34＋…＋350；
(2)
(3)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2025次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2025
完成下列问题：
①小正方形S2025的面积等于 ；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2025的面积和．
【答案】(1)
(2)2﹣
(3)①；②
【分析】（1）设S=1+3+32+33+34+…+350，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+351，两等式相减得到2S=351﹣1，得到S=，即得；
（2）设S=1++++…+，两边都乘以得：S=++++…+，两等式相减得到﹣S=﹣1，推出S=2（1﹣）=2﹣，即得；
（3）①根据，，，…，可得；
②设S=S1+S2+S3+…+S2025=+++…+，两边都乘以得到S=++ +…+，两等式相减得到S=﹣，推出S=（﹣）= ，即得．
【详解】（1）设S=1+3+32+33+34+…+350 ①，
①×3，得：3S=3+32+33+34+35+…+351 ②，
②﹣①，得：2S=351﹣1，
则S=，
即1+3+32+33+34+…+350=；
（2）设S=1++++…+①，
①×，得：S=++++…+②，
②﹣①，得：﹣S=﹣1，
∴S=2（1﹣）=2﹣，
即1++++…+=2﹣；
（3）∵S1=（）2=，S2=S1=，S3=S2=，…，
∴S2025=，
故答案为：；
②设S=S1+S2+S3+…+S2025=+++…+①，
①×，得：S=+++…+②，
①﹣②，得：S=﹣，
∴S=（﹣）= ，
即S1+S2+S3+…+S2025= ．
【点睛】本题考查数字类规律的探索，解决问题的关键是明确题意，探究数字的变化规律，运用探究得到的规律解答．
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专题12 整式
新知预习
（一）代数式的相关概念
（1）代数式概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数.的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
（2）列代数式方法：列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.
（3）列代数式时应该注意的问题
①数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.
②数字通常写在字母前面.
③带分数与字母相乘时要化成假分数.
④除法常写成分数的形式.
（4）代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值；常用解题思想：整体思想。
（二）单项式
（1）单项式的概念
①概念：数字或字母的乘积组成的代数式。
②概念定位：单项式包括了“两单”（单独的一个数字、单独的一个字母）和“两积”（数字与字母的乘积、字母与字母的乘积）。
（2）单项式的系数
①概念：单项式中的数字因数称为系数。
②单项式系数中的注意事项：
如果一个单项式是一个数字，那么这个单项式不含系数。
如果一个单项式中含有，不是字母，应该作为系数的组成部分。
当一个单项式的系数是“”或者“”时，“”可以省略不写，但是“-”号不能不写。
当一个单项式的系数是假分数时，一般都化成假分数
（3）单项式的次数
①概念：单项式中的所有字母的指数之和。
②注意事项：
单项式的次数必须是每一个字母的指数相加，不能计算成积。
单项式的次数只能是字母的指数之和，（若系数也有指数）千万不能加上系数的指数。例如：在单项式32abc3中，次数应该是（1+1+3=）5次，而不是7次。
（三）多项式
（1）多项式的概念
①概念：几个单项式的和。
②概念定位：
多项式是和的形式，加法是其唯一的一种运算，若多项式中出现“-”号，应看做负号。例如：在多项式中，应看做。
单项式是构成一个多项式的最基本单位，每一个单项式都是多项式的一个项，在多项式找某个项时，应该带上这个项的符号。例如：在多项式中，每个项分别为、、、.
多项式中有时会出现单独的一个数字，这样的单项式（单独的一个数字）被称之为常数项。例如：在多项式中的就属于常数项。
（2）多项式的项（数）
①概念：构成多项式的单项式的个数。（可以参考小学数学中数列中的项数）
②注意事项：任何一个多项式的项数都不低于2.例如：在多项式中，共有两个项、，所以项数为2.
（3）多项式的次数
①概念：多项式中次数最高的单项式的次数。
②注意事项：
一定不能把所有项的次数之和作为多项式的次数。
首先应找到每一个项的次数，再取其中的最高次。例如：在多项式中最高次项为，所以这个多项式的次数为4次。
（4）多项式的名称
多项式中有几个项就被称之为几项式；多项式的次数是几，就被称之为几次式；二者综合就形成了多项式的名称：几次几项式。例如：多项式就应该称为4次4项式。
新知训练
考点1：列代数式
典例1：（2025秋·浙江温州·七年级统考期末）“的倍与的的差”用代数式表示为 ______ ．
【变式1】（2025秋·海南海口·七年级校考期中）小红在段考前到文具店买了2支笔和一副三角板，笔每支，三角板每副3元，小红共花了____元．
【变式2】（2025·河北沧州·校考一模）图1是边长分别为a和的矩形纸片，将4张相同的纸片紧密拼接，能得到三个正方形图案（如图2），设正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为．
（1）_________（用含a的代数式表示）；
（2）与的关系是_________．
【变式3】（2025秋·山西临汾·九年级统考期末）某市在2025年10月28日至12月15日期间举办了第二期购物节，定向发放政府消费券，某商场的促销方案是：所有啇品一律打9折：若所购商品原价超过388元，在享受9折基础上还可以使用“满388减50”的政府消费券．小珊所购商品原价为元，则购买该商品实际付款的金额为______元．
考点2：代数式的书写方法
典例2：（2025秋·四川达州·七年级统考期末）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有 ________个．
，，，，，
【变式1】（2025秋·全国·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：
（1）a×5，应写成_______ ；
（2）S÷t应写成_________；
（3），应写成______；
（4）, 应写成______.
【变式2】（2025秋·安徽合肥·七年级校联考期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式，下列四个代数式：①a﹣b﹣c；②﹣a﹣b﹣c+2；③ab+bc+ca；④a2b+b2c+c2a，其中是完全对称式的是_____．
【变式3】（2025秋·七年级课时练习）下列代数式中，符合代数式书写要求的有______________．
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．
考点3：单项式的判断
典例3：（2025秋·广东肇庆·七年级校考期中）下列代数式：①；②m；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是单项式的是______（只填序号）．
【变式1】（2025秋·河北张家口·七年级校考期末）在式子：①，②，③，④中，单项式有__________，多项式有__________，整式有__________．（填序号）
【变式2】（2025秋·北京·七年级北京师大附中校考期中）下列说法正确的是_____________（填写序号）
①0是单项式； ②若的次数是5，则；
③是单项式，它的系数是2，次数是7；
④单项式的系数是； ⑤单项式的次数是2；
⑥多项式的一次项是x；
⑦多项式按y升幂排列是．
【变式3】（2025秋·全国·七年级专题练习）把下列代数式的序号填入相应的横线上
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦
(1)单项式________；(2)多项式________；(3)整式________．
考点4：单项式的系数与次数
典例4：（2025秋·湖北襄阳·七年级襄阳四中校考期末）单项式的次数8，则________．
【变式1】（2025秋·云南曲靖·七年级校考期末）如果单项式和的次数相同，则的值为_______．
【变式2】（2025秋·江苏扬州·七年级统考期末）单项式的系数是______.
【变式3】（2025秋·广东云浮·七年级统考期末）若是一个六次单项式，那么这单项式的系数为__________，m的值是__________．
考点5：多项式的判断
典例5：（2025秋·上海长宁·七年级上海市娄山中学校考阶段练习）在①3；②；③；④；⑤；⑥中，单项式有__________，多项式有__________，代数式有__________．（填序号）
【变式1】（2025秋·全国·七年级专题练习）下列代数式中的哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？
，4xy，，，x2＋x＋，0，，m，﹣2.01×105
整式集合：{_______________ …}
单项式集合：{__________ …}
多项式集合：{_______________…}．
【变式2】（2025秋·七年级单元测试）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）
①x－7；②；③4ab；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩； ； ； －1.
单项式集合_______________；
多项式集合_______________；
整式集合_______________
【变式3】（2025秋·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期中）对于式子：，其中有______个多项式．
考点6：多项式的项、项数、次数
典例6：（2025秋·吉林·七年级统考期末）若多项式中不含项，则k的值为________．
【变式1】（2025秋·吉林松原·七年级校联考阶段练习）若多项式是关于x的二次二项式，则m＝______．
【变式2】（2025秋·浙江宁波·七年级校考期中）单项式的系数是___________，次数是_________，多项式的次数是___________．
【变式3】（2025秋·河南许昌·七年级校考阶段练习）一个只含有字母a的二次三项式，它的二次项系数为、一次项系数为，常数项为，则这个多项式为______．
考点7：由多项式的名称求解字母的值
典例7：（2025秋·广西防城港·七年级统考期末）若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为____________．
【变式1】（2025秋·山东滨州·七年级统考期末）当_____时，多项式不含项．
【变式2】（2025秋·江西抚州·七年级校考阶段练习）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，求___________．
【变式3】（2025秋·上海·七年级专题练习） 是关于与的五次三项式，则_____．
考点8：规律探究
典例8：（2025·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考一模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示．当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是______．
【变式1】（2025·湖南娄底·统考一模）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是_____个．（用含有n的式子表示）

【变式2】（2025秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第个图案中白色瓷砖块数为______．
【变式3】（2025秋·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）下列是一组按照一定规律摆放的图案，第个图案中五角星有______个．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·广东茂名·七年级广东高州中学校考阶段练习）下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋·全国·七年级专题练习）一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（　　）
A．ab B．10a+b C．10b+a D．ba
3．（2025秋·重庆·七年级期中）多项式6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1是（　　）
A．四次三项式 B．三次四项式 C．四次五项式 D．五次四项式
4．（2025秋·黑龙江七台河·七年级统考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是2
B．单项式的次数是1，没有系数
C．单项式的系数是，次数是4
D．多项式是三次三项式
5．（2025秋·七年级课时练习）下列各式中，不是单项式的是（ ）
A． B． C． D．0
6．（2025秋·山东德州·七年级阶段练习）用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干个实圆与空心圆按一定规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……问：前2011个圆中，有________个空心圆．
A．670 B．668 C．669 D．671
7．（2025秋·广东深圳·七年级统考期中）下列说法中，正确的有（ ）
①的系数是；
②﹣22a2的次数是5；
③a﹣b和都是整式；
④多项式﹣a2b＋2ab﹣a＋2是三次四项式；
⑤一个三位数百位数字为c，十位数字为b，个位数字为a；则这个三位数可以表示为cba．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025秋·重庆綦江·七年级校考阶段练习）小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
那么，当输入数据8时，输出的数据是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025秋·湖南岳阳·七年级校联考期中）单项式的系数和次数分别是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025秋·安徽阜阳·七年级统考期中）小邱与同学在某早餐店—起吃早点，如图为此早餐店的三种套餐(注；只能按套餐购买早点)．若他们所点的套餐中共有份三鲜面，个鸡蛋，杯豆浆，则他们点了几份套餐 （ ）
A． B． C． D．
11．（2025秋·全国·七年级专题练习）如图，一个大长方形恰好被分割成四个正方形，则涂色的小正方形面积是整个长方形面积的（ ）
A． B． C． D．
12．（2025秋·江苏连云港·七年级统考阶段练习）将正整数依次按下表规律排列，则数208应排的位置是（　　）
第1列 第2列 第3列 第4列
第一行 1 2 3
第二行 6 5 4
第三行 7 8 9
第四行 12 11 10
A．第69行第2列 B．第69行第3列
C．第70行第1列 D．第70行第4列
13．（2025·广东广州·统考中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2025根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
14．（2025秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2025秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72 016的末位数字是(　 　)
A．9 B．7 C．6 D．0
二、填空题
16．（2025秋·福建泉州·七年级统考期末）买一个篮球需要α元，买一个足球需要b元，则买5个篮球和7个足球共需_________元．（用含a，b的式子表示）
17．（2025秋·广西百色·七年级统考期末）m与n的和的3倍可以表示为__________．
18．（2025秋·全国·七年级专题练习）对于多项式（n﹣1）xm+2﹣3x2+2x（其中m是大于﹣2的整数）．若n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，则m的值为__．
19．（2025秋·陕西西安·七年级西安市第六中学校考阶段练习）多项式为_________次四项式．
20．（2025秋·广东东莞·七年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）单项式 的系数是________，次数是________．
21．（2025秋·七年级课时练习）下列各式：，，﹣25，，，a2﹣2ab+b2中属于单项式的有_____．
22．（2025秋·山西晋中·七年级统考期中）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：
假设嘉嘉抽到牌的点数为，淇淇猜中的结果为，则__________．
23．（2025秋·全国·七年级专题练习）关于x、y的多项式是四次二项式，则________．
24．（2012·黑龙江大庆·中考真题）已知l2=1，l12=121，l112=12321，…，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是_____
25．（2025秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是__________，依次继续下去……第2 016次输出的结果是___________.
三、解答题
26．（2025秋·全国·七年级专题练习）已知单项式与的次数相同，求的值．
27．（2025秋·吉林松原·七年级校考阶段练习）已知是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是＝-1.
（1）求－3的差倒数；
（2）－的差倒数是，的差倒数是 ，4的差倒数是 ；
（3）已知＝－，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则＝ .
28．（2025秋·全国·七年级专题练习）已知|a|＝﹣a，试确定六次单项式x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
29．（2025秋·贵州贵阳·七年级统考期末）已知：A＝ax2+x﹣1，B＝3x2﹣2x+2（a为常数）
（1）若A与B的二次项系数互为相反数，则a＝　 ；
（2）在（1）的基础上化简：B+2A．
30．（2025春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考开学考试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的．该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算）：
每月用水量 单价
不超过6 m3的部分 2元/ m3
超出6 m3不超出10m3的部分 4元/ m3
超出10 m3的部分 8元/ m3
设李老师家某月用水量为x（m3）．
(1)若x＝7，则李老师当月应交水费多少元？
(2)若0＜x＜15，则李老师当月应交水费多少元？（（用含x的代数式表示，并化简）
31．（2025秋·河南商丘·七年级统考期中）淮阳太昊陵是中国十八大名陵之首，AAAA级景区，是海内外华夏子孙寻根谒祖，祈福纳祥，旅游观光的圣地，门票价格是成人每人40元，学生每人20元，满30人可以购买团体票（成人门票和学生门票的票价都打8折），设一个旅游团共有人，其中学生y人
（1）用代数式表示该旅游团应付的门票费．
（2）如果旅游团有20个成人，15个学生，那么他们应付多少门票费？
32．（2025秋·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图，是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 第n行有n个点 ．容易发现前4行的点数和为10．
（1）请问前几行的点数和为36？
（2）这个三角点阵的前n行的点数和能为200吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
33．（2025秋·四川广元·七年级统考期末）观察下列各式，回答问题．
，，，…．
按上述规律填空：
(1)______×______；
(2)计算：．
34．（2025秋·江苏·七年级专题练习）已知关于的多项式，．
(1)若整式不含项和不含项，求、的值；
(2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件．
35．（2025秋·湖南永州·七年级统考期末）【阅读】求值1＋2＋22＋23＋24＋…＋210
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋211②
由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1
即：S＝1＋2＝22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1
【运用】仿照此法计算：
(1)1＋3＋32＋33＋34＋…＋350；
(2)
(3)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2025次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2025
完成下列问题：
①小正方形S2025的面积等于 ；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2025的面积和．
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