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专题08 相反数与绝对值
新知预习
（一）相反数的概念
（1）几何定义：在数轴上，原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；如图所示1和-1
（2）代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数为0。
（二）绝对值的概念
（1）几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。数“a”的绝对值记作“|a|”，如|+2|=2，|-3|=3，|0|=0.
（2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即： a（a>0）, a（a0）
|a|= 0(a=0), 或|a|=
-a(a<0), -a（a<0）
注：a.绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
b.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
c.互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
新知训练
考点1：相反数的概念
典例1：（2025秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）的相反数是________；的相反数是_______．
【答案】 /
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：的相反数是，
的相反数是，
故答案为：①，②．
【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
【变式1】（2025秋·广东珠海·七年级统考期末）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数为________．
【答案】
【分析】根据相反数的定义进行求解即可：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
【详解】解：由题意得，点A表示的数为4，
∵4的相反数是，
∴点A表示的数的相反数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，相反数的定义，熟知相反数的定义是解题的关键．
【变式2】（2025秋·四川成都·七年级统考阶段练习）下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有__．
【答案】②④
【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：①a-b与-a-b=-（a+b），不是互为相反数，
②a+b与-a-b，是互为相反数，
③a+1与1-a，不是相反数，
④-a+b与a-b，是互为相反数．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了互为相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．
【变式3】（2025秋·山东滨州·七年级校联考期末）已知是有理数，有下列判断：①是正数；②是负数；③与必有一个是负数；④与互为相反数，其中正确的序号是______.
【答案】④
【分析】a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，同样-a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，当a=0时，a和-a都是0，不论a是正数、0负数，a与-a都互为相反数，根据以上内容判断即可．
【详解】解：∵a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，同样-a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，①错误；②错误；
∵当a=0时，a和-a都是0，都不是负数，∴③错误；
∵不论a是正数、0负数，a与-a都互为相反数，∴④正确.
故答案为：④.
【点睛】本题考查了对正数、0、负数，有理数，相反数等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
考点2：化简多重符号
典例2：（2025秋·青海海东·七年级统考期中）化简： =___________； =___________； =___________；
【答案】
【分析】根据同号得正，异号得负化简即可
【详解】解：
故答案为：，，
【点睛】本题考查了双重符号的化简，掌握同号为正，异号为负是解题关键．
【变式1】（2025秋·全国·七年级专题练习）的相反数是______；的相反数是______，数的相反数是______，数的相反数是_______；与______互为相反数．
【答案】 5 a
【分析】根据相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：，而的相反数是；
，而的相反数是5；
，而的相反数是a；
，而a的相反数是；
，而a+b的相反数是．
故答案为：；5；a；；．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
【变式2】（2025秋·七年级课时练习）在① +（+2）与﹣（﹣2）；② +（﹣2）与﹣（+2）；③ +（+2）与+（﹣2）；④ +（+2）与﹣（+2）；⑤ +（﹣2）与﹣（﹣2）；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）这六对数中，它们是互为相反数的有________组．
【答案】4
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①＋（＋2）与 （ 2），不是互为相反数；
②＋（ 2）与 （＋2），不是互为相反数；
③＋（＋2）与＋（ 2），是互为相反数；
④＋（＋2）与 （＋2），是互为相反数；
⑤＋（ 2）与 （ 2），是互为相反数；
⑥ （ 2）与 （＋2），是互为相反数．
是互为相反数的有4组．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
【变式3】（2025·全国·七年级假期作业）化简下列各数：
①－（－82） = ________
②－｜－5｜ = _______
③ = ________
④ = ___________．
【答案】 82 -5 100
【分析】分别根据相反数的定义进行化简即可．
【详解】解：①-（-82）=82，
②-｜-5｜=-5，
③=100，
④=．
故答案为：82，-5，100，．
【点睛】本题考查了利用相反数的定义化简，是基础题，熟记概念是解题的关键．
考点3：相反数的应用
典例3：（2025秋·全国·七年级专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【答案】(1)-1
(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．
（1）
由点A、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，
故点C表示的数是-1．
（2）
由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，
故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5．
【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴，解题的关键是根据题意找出原点的位置．
【变式1】（2025秋·山东聊城·七年级校考阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：
(1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______．
(2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______．
【答案】(1)-2，3，-0.5；
(2)b<-a【分析】（1）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答；
（2）根据各点之间的相对位置、原点位置及相反数的性质解答 ．
（1）
解：由题意可知：AB=2，AC=5，BC=3，
∴以为原点时，点表示的数是-2，点表示的数是3，
若，表示的两个数互为相反数，则AC的中点（如图，设为D）为原点，
∴AD=2.5，BD=0.5，且D在B的右边，
∴点表示的数是-0.5；
（2）
如图，可以把-a、-b在数轴上表示出来，
∴根据数轴的意义可得：
b<-a【点睛】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键．
【变式2】（2025秋·江苏·七年级专题练习）化简
(1)化简下列各数：
①﹣[﹣（+1）]；
②﹣[+（﹣8）]；
③﹣（﹣a）；
④﹣[﹣（﹣a）]．
(2)化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”的个数有什么关系？
【答案】(1)①1，②8，③a，④﹣a；
(2)当“﹣”的个数是奇数时，化简结果为负数；当“﹣”的个数是偶数时，化简结果为正数．
【分析】（1）根据相反数定义进行计算即可得出答案．
（2）根据规律发现结果与“﹣”的个数有着密切联系，即可得出答案．
(1)
解：①原式＝﹣（﹣1）＝1．
②原式＝﹣（﹣8）＝8．
③原式＝a．
④原式＝﹣a．
(2)
化简结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，当“﹣”的个数是奇数时，化简结果为负数；当“﹣”的个数是偶数时，化简结果为正数．
【点睛】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式3】（2025秋·河南鹤壁·七年级校考阶段练习）已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的值．
【答案】
【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果．
【详解】解：的相反数是，
，
的相反数是，
，
的相反数是，
，
．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），解决本题的关键是要熟练掌握相反数的概念．
考点4：绝对值的意义
典例4：（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知，，且，则的值为______．
【答案】12或2
【分析】根据绝对值的性质，得到或，或，由因为，确定或，代入求值即可得到答案．
【详解】解：，，
或，或，
，
，
或，，
或2，
故答案为：12或2
【点睛】本题考查了绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．
【变式1】（2025秋·山东烟台·六年级统考期末）若，则数轴上有理数a对应的点与对应的点的距离是______．
【答案】1或5/5或1
【分析】先根据绝对值的意义得到，再利用数轴上两点距离公式进行分类讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时，数轴上有理数a对应的点与对应的点的距离是；
当时，数轴上有理数a对应的点与对应的点的距离是；
∴数轴上有理数a对应的点与对应的点的距离是1或5，
故答案为：1或5．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，数轴上两点的距离，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式2】（2025秋·浙江金华·七年级统考期中）写出一个负无理数，使这个数的绝对值小于2.5：___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据绝对值的意义写出一个小于2.5，且小于的数即可求解．
【详解】解：是负数，且
则满足题意，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，负数的定义，理解题意是解题的关键．
【变式3】（2025秋·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）绝对值不大于5的整数有_____个．
【答案】11
【分析】根据题意写出绝对值不大于5的整数即可求解．
【详解】解：绝对值不大于5的整数有，共11个，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．
考点5：化简绝对值
典例5：（2025秋·四川达州·七年级统考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ___________．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，再利用绝对值的代数意义化简、去括号、合并同类项即可解答．
【详解】解：由数轴上点的位置得：，且，
，，，
则原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、去括号、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
【变式1】（2025秋·重庆永川·七年级统考期末）已知，，，如果，则_________．
【答案】0或2/2或0
【分析】首先根据绝对值确定，，的可能数值，然后根据，即可确定，，的值，从而求解．
【详解】解：由，，，知，，，
又因为，故，，则
①当时，；
②当时，．
故答案为0或2．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，若，则或．解题的关键是正确确定，，的值．
【变式2】（2025秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）有理数、、在数轴上的位置如图，化简：___________．
【答案】
【分析】根据数轴得到 ，，即可判断， ，，，根据绝对值性质求解即可得到答案．
【详解】解：由数轴可得，
，，
∴， ，，，
∴原式，
故答案为．
【点睛】本题考查根据数轴去绝对值，解题的关键是根据数轴判断式子与0的关系及正数绝对值等于它本身，负数绝对值是它的相反数．
【变式3】（2025秋·四川甘孜·七年级统考期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是__________．（填序号）
【答案】②③
【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置和绝对值的意义逐一进行判断即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
∴，，
∴，
故①不正确，②正确，
∵，，，
∴，
故③正确，
∵
∴，
∴，
故④不正确，
∵，，
∴，
故⑤不正确，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握绝对值的意义．
考点6：绝对值非负性的应用
典例6：（2025秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若与互为相反数，则的值为_____．
【答案】
【分析】根据相反数的性质，绝对值的非负性即可求解．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，解得，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相反数的性质，绝对值的性质，掌握两个数互为相反数，则这两个数的和为零，绝对值的性质是解题的关键．
【变式1】（2025秋·浙江·七年级专题练习）（1）若，则__；
（2）若，则__；
（3）若，则__，__；
（4）若，则__，__；
（5）若，则__，__；
（6）若，则__，__．
【答案】 0 1 0 0 1 0 0 3
【分析】根据绝对值的非负性分别计算即可．
【详解】（1）若，则；
故答案为：0；
（2）若，则，解得；
故答案为：1；
（3）若，则，；
故答案为：0，0；
（4）若，则，，解得，；
故答案为：1，0；
（5）若，则，，解得，；
故答案为：0，；
（6）若，则，，解得，．
故答案为：3，．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．
【变式2】（2025秋·全国·七年级期中）已知x，y满足，则的值是________．
【答案】1
【分析】根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出、的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得，，，
则，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和为0，则其中的每一项都为0．
【变式3】（2025秋·四川眉山·七年级校考阶段练习）
(1)已知 |a+2|+|b 1|=0，求 a+b 的值．
(2)当a= ______ 时，|1 a|+2 会有最小值，且最小值是 _______．
(3)当x= ______时，5 |2x 3| 有最大值．
【答案】(1)-1；
(2) 1 2
(3)
【分析】（1）根据绝对值的非负性即可求得答案；
（2）根据绝对值的非负性即可求得答案；
（3）根据绝对值的非负性即可求得答案．
【详解】（1）解：|a+2|+|b 1|=0，
∵|a+2|≥0，|b 1|≥0，
∴a+2=0，b 1=0，
∴a=-2，b=1，
∴a+b=-2+1=-1；
（2）解：∵|1 a|≥0，
∴|1 a|+2 会有最小值，
当a=1时，|1 a|+2 会有最小值，最小值为2，
故答案为：1，2；
（3）解：∵|2x 3|≥0，
∴5 |2x 3| 有最大值，
当x=时，5 |2x 3| 有最大值，
故答案为：；
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，绝对值一定会是大于等于零的，这就是绝对值的非负性．
考点7：有理数大小的比较（利用数轴、绝对值）
典例7：（2025秋·浙江·七年级专题练习）（1）试用“”“ ”或“”填空：
①　　；②　　；
③　　；
（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数、的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为　　；
（3）请问，当、满足什么条件时，？
【答案】（1）①；②；③＜；（2）≤；（3）①当，②，③，④，时．
【分析】（1）先计算，再比较大小即可；
（2）根据（1）的结果，进行比较即可；
（3）根据（1）的结果，可发现，当、同号时，．
【详解】解：（1）①，，
；
②，，
；
③，，
；
故答案为：；
（2）；
故答案为：；
（3）①当，②，③，④，时．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较及绝对值的知识，解题的关键是注意培养自己由特殊到一般的总结能力．
【变式1】（2025秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知 ，，，且 ．求 ，， 的值．
【答案】，， 或 ，，
【分析】根据绝对值的性质可得，再由，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，， 或 ，，．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
【变式2】（2025秋·陕西西安·七年级西安市西电中学统考期中）在数轴上描出表示下列各数的点，并用“<”连接起来．
．
【答案】数轴见解析，；
【分析】化简每个式子，在数轴上标记，即可求解．
【详解】解：，，，
数轴表示为：
由此可得：
【点睛】此题考查了绝对值、相反数、数轴以及有理数大小的比较，解题的关键是掌握绝对值、相反数，正确化简每个式子．
【变式3】（2025秋·江苏南京·七年级南京市宁海中学分校校考阶段练习）将下列各数按照从小到大的顺序用“<”号连接起来：
，，0，，
___________<___________<___________<___________<___________．
【答案】
【分析】根据相反数定义、绝对值定义先化简，再根据有理数比较大小的方法求解即可得到结论．
【详解】解： ，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数大小的比较，涉及到相反数定义，绝对值定义等知识，熟练掌握相关定义及有理数比较大小的方法是解决问题的关键．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）的相反数是( )
A． B．- C．4 D．-4
【答案】B
【分析】先求解绝对值，再求解相反数即可．
【详解】解：∵
∴的相反数是
故选B
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，相反数的含义，掌握“求解一个数的相反数，求解一个数的绝对值”是解本题的关键．
2．（2025·山东聊城·统考中考真题）实数a的绝对值是，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义直接进行解答
【详解】解：∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
3．（2025秋·河北邢台·七年级邢台三中校考期中）有理数a的相反数可以表示成（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据相反数的定义即可求解．只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】解：有理数a的相反数可以表示成．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
4．（2025秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，四个有理数a，b，c，d在数轴上对应的点为A，B，C，D，若b，d互为相反数，则a，b，c，d四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）
A．c B．d C．a D．b
【答案】C
【分析】先根据相反数确定原点的位置，再根据原点的位置确定绝对值最小的数即可．
【详解】解：∵b，d互为相反数，
∴原点的位置大约在线段的中点上，即原点靠近点A，
∴绝对值最小的数是a，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．
5．（2025秋·重庆綦江·七年级校联考期中）下列各数中最小的是（　　）
A．0.9 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据有理数的大小比较方法可得答案．
【详解】解：∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
6．（2025秋·江苏·七年级专题练习）设●、▲、■表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为 （　　）
A．■、●、▲ B．■、▲、● C．▲、●、■ D．▲、■、●
【答案】B
【分析】根据第一个天平所称的情况，得出2■＞■+▲，即■＞▲，再根据第二个天平称的情况，得出3●=▲+●，即▲=2●，那么■、▲、●这三种物体按质量从小到大的顺序排列即可解决．
【详解】∵ 2■＞■+▲，
∴ ■＞▲，
∵，3●=▲+●，
∴▲=2●，
即，●＜▲，
∴●＜▲＜■，
●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列是：■、▲、●．
故选B．
【点睛】解答此题的关键是，根据天平的两次称量情况，得出三种物体的质量之间的关系，即可做出选择．
7．（2025秋·湖北宜昌·七年级统考期中）某生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示．超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出各个数的绝对值，再比较大小，即可得到答案．
【详解】解：∵，且0.6＜0.7＜2.5＜3.5，
∴B选项的足球最接近标准质量．
故选B．
【点睛】本题主要考查正负数的实际应用，绝对值的的实际应用，有理数大小比较，掌握绝对值的意义是解题的关键．
8．（2025秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图数线上的、、、四点所表示的数分别为、、、，且为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值意义直接求解即可．
【详解】解：表示的点到原点的距离最近，
最小，
故选：．
【点睛】本题考查了绝对值，数轴，掌握绝对值的定义：数轴上一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．
9．（2025秋·七年级课时练习）﹣|﹣2025|＝（ ）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的定义解答即可．
【详解】解：﹣|﹣2025|＝﹣2025，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
10．（2025·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在、、、这四个数中，比小的数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的大小比较解答．
【详解】解： 2>-4，-3.33>-4，>-4，-|-4.3|=-4.3<-4.
故选D.
【点睛】本题考查了有理数的大小比较．正数大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的数反而小.
11．（2025春·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）-2的相反数是（ ）
A．2 B． C．- D．不存在
【答案】A
【详解】试题分析：根据只有符号不同的两数互为相反数，可知-2的相反数为2.
故选：A.
点睛：此题考查了相反数的意义，解题关键是明确相反数的概念，只有符号不同的两数互为相反数，可直接求解.
12．（2025秋·安徽宿州·七年级校考期中）已知实数，满足，则代数式的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2012 D．-2008
【答案】A
【分析】根据非负数的性质进行计算即可.
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴.
故选A.
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键.
13．（2025秋·安徽·七年级校联考期中）如图，数轴上的点A所表示的有理数为a ，化简|a|-|a+2|的结果为（ ）
A．-2a-2 B．-2 C．2a+ 2 D．2
【答案】A
【分析】根据数轴上的位置可确定a的取值范围，进而确定绝对值符号内式子的正负，再化简绝对值即可．
【详解】解：由数轴可知： ，
，
∴|a|-|a+2|=，
故选择：A
【点睛】本题考查了数轴上表示数和化简绝对值，解题关键是根据数轴确定绝对值符号内的式子的正负．
14．（2025秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是
A．最小的整数是
B．互为相反数的两个数的绝对值相等
C．有理数分为正数和负数
D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
【答案】B
【分析】根据整数、相反数、绝对值的概念以及有理数的分类对每个选项一一判断即可．
【详解】A．因为是整数，但，故A选项错误；
B．因为，所以互为相反数的两个数的绝对值相等，故B选项正确；
C．因为也是有理数，故C选项错误；
D．因为，但，故D选项错误．
故选：．
【点睛】本题主要考查整数、相反数、绝对值的概念以及有理数的分类，熟记相关概念是解题关键．
15．（2025·浙江温州·校考一模）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】D
【分析】根据题意求出a、b、c、d、e的值，再代入代数式求值即可.
【详解】a是最小的正整数，a=1；
b是绝对值最小的数，b=0；
c是相反数等于它本身的数，c=0；
d是到原点的距离等于2的负数，d=-2；
e是最大的负整数，e=-1；
a+b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2
故选D
【点睛】本题考查了有理数中一些特殊的数，熟练掌握这是特殊的数是解题的关键.
二、填空题
16．（2025秋·山西·八年级统考期末）的绝对值是________．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，即可得到答案.
【详解】解：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟记绝对值的意义.
17．（2025秋·河南郑州·七年级校联考期中）请写出一个比大的负整数是_________．（写出一个即可）
【答案】或或或
【分析】根据负有理数比较大小的规则，绝对值大的反而小写一个数即可．
【详解】解：∵，
∴比大的负整数有：；
故答案为：或或或．
【点睛】本题主要考查了负有理数大小比较，熟知负有理数比较大小的方法是解题的关键．
18．（2025秋·江苏·七年级专题练习）的相反数是______．
【答案】
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：的相反数是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是正确掌握相关定义即：指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．
19．（2025秋·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）若，则______.
【答案】5
【分析】根据绝对值的非负性，可得结果.
【详解】∵，，，
∴，
解得，，
∴
【点睛】本题考查绝对的非负性，掌握几个非负数之和为0，则每一个非负数都等于0是解题的关键.
20．（2025秋·七年级课时练习）在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8.2，则两点所表示的数分别是________、_________．
【答案】 4.1 -4.1
【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．
【详解】解：∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数，
∴原点到点A与原点到点B的距离相等，且两个数一正、一负
∵两点间的距离是8.2，
∴原点到点A和点B的距离都等于，
∴这两点所表示的数分别是，．
故答案为：4.1，4.1．
【点睛】本题考查了相反数的定义和用数轴表示两点之间的距离，正确把握相反数的定义是解题的关键．
21．（2025秋·湖北武汉·七年级校考期末）点A、B在数轴上对应的数分别为，满足，点P在数轴上对应的数为，当=_________时，．
【答案】或
【分析】由绝对值和完全平方的非负性可得 ，则可计算出A、B对应的数，然后分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：， ， ，
则可得：，
解得： ，
，
①当P在A点左侧时，
，
，
则可得： ，
解得：
②当P在B点右侧时，
，
，
则可得： ，
解得： ，
③当P在A、B中间时，
则有 ，
∴P点不存在．
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，数轴上两点间的距离：a，b是数轴上任意不同的两点，则这两点间的距离=右边的数-左边的数，掌握数轴上两点距离和分情况讨论是本题的关键．
22．（2025秋·陕西西安·七年级西安一中校考阶段练习）若与互为相反数，则=_______
【答案】5
【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵ 与互为相反数，
∴，
∴且，
解得且，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
23．（2025秋·浙江杭州·七年级杭州市公益中学校考阶段练习）已知a，m，n均为有理数，且满足，那么的值为 ______________.
【答案】2或8.
【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值符号，分类讨论解题即可
【详解】∵|a-m|=5,|n-a|=3
∴a m=5或者a m=-5；n a=3或者n a=-3
当a m=5，n a=3时，|m-n|=8；
当a m=5， n a=-3时，|m-n|=2；
当a m=-5，n a=3时，|m-n|=2；
当a m=-5，n a=-3时，|m-n|=8
故本题答案应为：2或8
【点睛】绝对值的性质是本题的考点，熟练掌握其性质、分类讨论是解题的关键
24．（2025秋·四川乐山·八年级校联考期中）的绝对值的相反数是_____．
【答案】
【分析】根据a的相反数就是﹣a，以及绝对值的性质，正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可求解．
【详解】﹣||＝﹣（）＝．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了相反数与绝对值的性质，是一个基础的题目，需要熟练掌握．
25．（2025秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a，b，c满足，且．若，则的最大值为_____．
【答案】34
【分析】根据，，可得，，，则，再由，a，b，c都是整数，得到则，根据，，即可得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，a，b，c都是整数，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴的值最大为9+8+17=34，
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键在于能够根据题意得到，，．
三、解答题
26．（2025秋·七年级课时练习）在数轴上分别画出表示下列各数的点，并写出它们的绝对值：．
【答案】图见解析，
【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上分别画出表示下列各数的点；然后根据绝对值的含义和求法，求出它们的绝对值是多少即可．
【详解】解：如图，
观察各点在数轴上的位置及其到原点的距离，得：
【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及绝对值的含义和求法，熟练掌握在数轴上表示数的方法，以及绝对值的含义和求法是解题的关键．
27．（2025秋·全国·七年级专题练习）判断下列说法是否正确：
（1）是相反数； （2）是相反数；
（3）3是的相反数； （4）与互为相反数．
【答案】（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可判断．
【详解】解：相反数是针对两个数来定义的，故(1)、(2)均错误；
3是-3的相反数，(3)正确；
-3与+3互为相反数，(4)正确；
故答案为：(1)不正确；(2)不正确；(3)正确；(4)正确．
【点睛】本题考查相反数的定义，属于基本概念题，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．
28．（2025秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）已知有理数 ，， 在数轴上对应位置如图所示：
(1)用“”把 ，，，，，， 连接起来．
(2)化简 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数轴比较大小；
（2）根据绝对值的代数意义去绝对值，化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，绝对值的意义，掌握负数的绝对值是其相反数是解题的关键．
29．（2025秋·广东东莞·七年级校考阶段练习）已知一组数：0，|+4|，，，，6
(1)画数轴，并把它们表示出来；
(2)用“＜”将它们连接起来；
(3)用“＞”将它们的绝对值连接起来．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，然后在数轴上表示出各数即可；
（2）根据（1）所画数轴结合数轴上左边的数小于右边的数求解即可；
（3）先求出和的绝对值，并在数轴上表示出来，再结合数轴上左边的数小于右边的数求解即可．
（1）
解：，
数轴表示如下所示：
（2）
解：由（1）得
（3）
解：，
数轴表示如下：
∴；
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，求一个数的绝对值，正确在数轴上表示出各数是解题的关键．
30．（2025秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）化简：
（1）-
（2）-（-3.4）
（3）+（-4）
【答案】（1）；（2）3.4；（3）-4.
【分析】（1）根据绝对值的意义求解；
（2）根据相反数的意义求解；
（3）根据正负数的意义求解.
【详解】解：（1）；
（2）-（-3.4）=3.4；
（3）+（-4）=-4.
【点睛】本题考查了绝对值、相反数和正负数，正确把握定义是解题关键.
31．（2025秋·江苏·七年级专题练习）已知与互为相反数，求的值．
【答案】15
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，可求得a的值，然后代入到可得答案．
【详解】∵与互为相反数，
∴，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了互为相反数的两个数的特点：互为相反数的两个数的和为0是解决本题的关键；
32．（2025秋·全国·七年级专题练习）如图，在一条不完整的数轴上一动点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点．
（1）①若点表示的数为0，则点、点表示的数分别为： 、 ；
②若点表示的数为1，则点、点表示的数分别为： 、 ；
（2）如果点、表示的数互为相反数，求点表示的数．
【答案】（1）①-5,4；②-3，-8；（2）点B表示的数为-7
【分析】（1）①根据题意分别列出算式0 5和0 5+9，求得的值分别是点B、点C表示的数；②根据题意分别列出算式1 9+5和1 9，求得的值分别是点B、点A表示的数；
（2）可设点A表示的数为x，则点B、点C表示的数分别为x 5和x+4，根据题意可列出方程x+ x+4=0，求出x，从而可求出x 5，即点B表示的数．
【详解】解：（1）①因为点表示的数为0，点向左移动5个单位长度到达点，
则有：0 5= 5，
所以点B表示的数为 5，
因为点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点，
则有：0 5+9=4，
所以点C表示的数为4；
②因为点表示的数为1，点B向右移动9个单位长度到达点，
所以点C向左移动9个单位长度到达点，
则有：1 9= 8，
所以点B表示的数为 8，
同理可得： 8+5= 3，
所以点A表示的数为 3；
（2）解：设点A表示的数为x，则点B表示的数为x 5，点C表示的数为x+4，
由题意得：x+x+4=0，
解得：x= 2，
则x 5= 7，
所以点B表示的数为 7．
【点睛】本题考查了数轴、相反数的定义和有理数的运算，解题的关键是根据题意列出算式和方程，题目属于基础题，但容易出错，需要注意数轴上动点的移动方向．
33．（2025秋·浙江·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是　　，数轴上表示2和的两点之间的距离是　　．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　．
(3)若x表示一个有理数，且，则　　．
(4)若，利用数轴求出x的整数值．
【答案】(1)3；5；
(2)；
(3)6；
(4)，，，0，1，2，3，4，5
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式列式计算即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式列式即可；
（3）根据绝对值的意义去绝对值符号，化简即可；
（4）由题意得，表示x到的距离与x到5的距离之和是8，结合数轴，找出符合题意的x的范围即可．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2和的两点之间的距离是，
故答案为：3，5；
（2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
故答案为：6；
（4）解：∵表示x和两点之间的距离，表示x和5两点之间的距离，
∴表示x到的距离与x到5的距离之和是8，
如图，由数轴得，当x在和5之间时（包括和5），符合题意，
∴x的整数值为：，，，0，1，2，3，4，5．
【点睛】本题考查数轴，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．
34．（2025秋·北京·七年级统考期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、3在数轴而对应的两点之间的距离：|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到距点的距离．
一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴探究：
①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是 ．
②|x﹣3|+|x+1|的最小值是 ．
（3）求|x﹣3|+|x+1|+|x﹣2|的最小值以及取最小值时x的值．
【答案】（1）|x+2|+|x﹣1|；（2）①﹣2，4；②4．（3）x=2时，原式=4．
【详解】试题分析：（1）根据两点间的距离公式，可得答案；
（2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，即可解答；
②为x为有理数，所以要分类讨论x﹣1与x+3的正负，再去掉绝对值符号再计算；
（3）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可．
解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|，故答案为|x+2|+|x﹣1|；
（2）①根据数轴可得，满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2，4，故答案为﹣2，4；
②：因为x为有理数，就是说x可以为正数，也可以为负数，也可以为0，所以要分情况讨论．
当x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣3＜0，所以|x+1|+|x﹣3|=﹣（x+1）﹣（x﹣3）=﹣2x+2＞4；
当﹣1≤x＜3时，x+1≥0，x﹣3＜0，所以|x+1|+|x﹣3|=（x+1）﹣（x﹣3）=4；
当x≥3时，x+1＞0，x+3≥0，所以|x﹣3|+|x+1|=（x﹣3）+（x+1）=2x+2≥4；
综上所述，所以|x﹣1|+|x+3|的最小值是4．
故答案为4．
（3）由分析可知，
当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4．
考点：绝对值；数轴．
35．（2025秋·全国·七年级专题练习）（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，
①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是 　 　，如果|AB|＝2，那么x＝　 　．
②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝　 　；
当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 　 　；
当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 　 　．
③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．
【答案】①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90
【分析】①根据两点间的距离公式可求数轴上表示2和-5的两点之间的距离，同理也求数轴上表示x和-1的两点之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x；
②求|x+1|+|x﹣2|的取最小值时，意思是x到-1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上，x取0，因此T最大为1，当|x+1|+|x﹣2|取最大值以及|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x<-1，-1≤x≤ 2，x> 2三类情况列式进行讨论；
③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，代入计算即可得出结果．
【详解】解：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是|2﹣（﹣5）|＝7，
数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|＝2，那么x+1＝±2，x＝﹣3或1．
②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2，
T＝|x2﹣3|﹣2，
当T要取最大值时，|x2﹣3|取最大值，
，
，
|x2﹣3|最大值为3，因此T的最大值是1．
当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论，
当x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3．
当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．
当x＞2时，原式＝x+1﹣x+2＝3．
∴当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为x2．
当|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论，
当x＜﹣1时，方程可化为﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2．
当﹣1≤x≤2时，方程可化为x+1+2﹣x＝3．
当x＞2时，方程可化为x+1+x﹣2＝5，解得x＝3．
综上x的值为﹣2或3．
③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，可知x＝10时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，
最小值为9+8+7+．．．+1+0+1+2+3+．．．+9，
＝（1+2+3+．．．+9）×2，
＝×2，
＝90．
故答案为：①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值等，比较综合，涉及的核心知识点为：数轴上两点间的距离＝两个数之差的绝对值．
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专题08 相反数与绝对值
新知预习
（一）相反数的概念
（1）几何定义：在数轴上，原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；如图所示1和-1
（2）代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数为0。
（二）绝对值的概念
（1）几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。数“a”的绝对值记作“|a|”，如|+2|=2，|-3|=3，|0|=0.
（2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即： a（a>0）, a（a0）
|a|= 0(a=0), 或|a|=
-a(a<0), -a（a<0）
注：a.绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
b.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
c.互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
新知训练
考点1：相反数的概念
典例1：（2025秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）的相反数是________；的相反数是_______．
【变式1】（2025秋·广东珠海·七年级统考期末）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数为________．
【变式2】（2025秋·四川成都·七年级统考阶段练习）下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有__．
【变式3】（2025秋·山东滨州·七年级校联考期末）已知是有理数，有下列判断：①是正数；②是负数；③与必有一个是负数；④与互为相反数，其中正确的序号是______.
考点2：化简多重符号
典例2：（2025秋·青海海东·七年级统考期中）化简： =___________； =___________； =___________；
【变式1】（2025秋·全国·七年级专题练习）的相反数是______；的相反数是______，数的相反数是______，数的相反数是_______；与______互为相反数．
【变式2】（2025秋·七年级课时练习）在① +（+2）与﹣（﹣2）；② +（﹣2）与﹣（+2）；③ +（+2）与+（﹣2）；④ +（+2）与﹣（+2）；⑤ +（﹣2）与﹣（﹣2）；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）这六对数中，它们是互为相反数的有________组．
【变式3】（2025·全国·七年级假期作业）化简下列各数：
①－（－82） = ________ ②－｜－5｜ = _______
③ = ________
④ = ___________．
考点3：相反数的应用
典例3：（2025秋·全国·七年级专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【变式1】（2025秋·山东聊城·七年级校考阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：
(1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______．
(2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______．
【变式2】（2025秋·江苏·七年级专题练习）化简
(1)化简下列各数：
①﹣[﹣（+1）]；
②﹣[+（﹣8）]；
③﹣（﹣a）；
④﹣[﹣（﹣a）]．
(2)化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”的个数有什么关系？
【变式3】（2025秋·河南鹤壁·七年级校考阶段练习）已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的值．
考点4：绝对值的意义
典例4：（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知，，且，则的值为______．
【变式1】（2025秋·山东烟台·六年级统考期末）若，则数轴上有理数a对应的点与对应的点的距离是______．
【变式2】（2025秋·浙江金华·七年级统考期中）写出一个负无理数，使这个数的绝对值小于2.5：___________．
【变式3】（2025秋·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）绝对值不大于5的整数有_____个．
考点5：化简绝对值
典例5：（2025秋·四川达州·七年级统考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ___________．
【变式1】（2025秋·重庆永川·七年级统考期末）已知，，，如果，则_________．
【变式2】（2025秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）有理数、、在数轴上的位置如图，化简：___________．
【变式3】（2025秋·四川甘孜·七年级统考期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是__________．（填序号）
考点6：绝对值非负性的应用
典例6：（2025秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若与互为相反数，则的值为_____．
【变式1】（2025秋·浙江·七年级专题练习）（1）若，则__；
（2）若，则__；
（3）若，则__，__；
（4）若，则__，__；
（5）若，则__，__；
（6）若，则__，__．
【变式2】（2025秋·全国·七年级期中）已知x，y满足，则的值是________．
【变式3】（2025秋·四川眉山·七年级校考阶段练习）
(1)已知 |a+2|+|b 1|=0，求 a+b 的值．
(2)当a= ______ 时，|1 a|+2 会有最小值，且最小值是 _______．
(3)当x= ______时，5 |2x 3| 有最大值．
考点7：有理数大小的比较（利用数轴、绝对值）
典例7：（2025秋·浙江·七年级专题练习）（1）试用“”“ ”或“”填空：
①　　；②　　；
③　　；
（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数、的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为　　；
（3）请问，当、满足什么条件时，？
【变式1】（2025秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知 ，，，且 ．求 ，， 的值．
【变式2】（2025秋·陕西西安·七年级西安市西电中学统考期中）在数轴上描出表示下列各数的点，并用“<”连接起来．
．
【变式3】（2025秋·江苏南京·七年级南京市宁海中学分校校考阶段练习）将下列各数按照从小到大的顺序用“<”号连接起来：
，，0，，
___________<___________<___________<___________<___________．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）的相反数是( )
A． B．- C．4 D．-4
2．（2025·山东聊城·统考中考真题）实数a的绝对值是，的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋·河北邢台·七年级邢台三中校考期中）有理数a的相反数可以表示成（　　）
A． B． C． D．0
4．（2025秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，四个有理数a，b，c，d在数轴上对应的点为A，B，C，D，若b，d互为相反数，则a，b，c，d四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）
A．c B．d C．a D．b
5．（2025秋·重庆綦江·七年级校联考期中）下列各数中最小的是（　　）
A．0.9 B． C．0 D．
6．（2025秋·江苏·七年级专题练习）设●、▲、■表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为 （　　）
A．■、●、▲ B．■、▲、● C．▲、●、■ D．▲、■、●
7．（2025秋·湖北宜昌·七年级统考期中）某生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示．超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图数线上的、、、四点所表示的数分别为、、、，且为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（ ）
A． B． C． D．
9．（2025秋·七年级课时练习）﹣|﹣2020|＝（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
10．（2025·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在、、、这四个数中，比小的数是（ ）．
A． B． C． D．
11．（2025春·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）-2的相反数是（ ）
A．2 B． C．- D．不存在
12．（2025秋·安徽宿州·七年级校考期中）已知实数，满足，则代数式的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2012 D．-2008
13．（2025秋·安徽·七年级校联考期中）如图，数轴上的点A所表示的有理数为a ，化简|a|-|a+2|的结果为（ ）
A．-2a-2 B．-2 C．2a+ 2 D．2
14．（2025秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是
A．最小的整数是
B．互为相反数的两个数的绝对值相等
C．有理数分为正数和负数
D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
15．（2025·浙江温州·校考一模）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
二、填空题
16．（2025秋·山西·八年级统考期末）的绝对值是________．
17．（2025秋·河南郑州·七年级校联考期中）请写出一个比大的负整数是_________．（写出一个即可）
18．（2025秋·江苏·七年级专题练习）的相反数是______．
19．（2025秋·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）若，则______.
20．（2025秋·七年级课时练习）在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8.2，则两点所表示的数分别是________、_________．
21．（2025秋·湖北武汉·七年级校考期末）点A、B在数轴上对应的数分别为，满足，点P在数轴上对应的数为，当=_________时，．
22．（2025秋·陕西西安·七年级西安一中校考阶段练习）若与互为相反数，则=_______
23．（2025秋·浙江杭州·七年级杭州市公益中学校考阶段练习）已知a，m，n均为有理数，且满足，那么的值为 ______________.
24．（2025秋·四川乐山·八年级校联考期中）的绝对值的相反数是_____．
25．（2025秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a，b，c满足，且．若，则的最大值为_____．
三、解答题
26．（2025秋·七年级课时练习）在数轴上分别画出表示下列各数的点，并写出它们的绝对值：．
27．（2025秋·全国·七年级专题练习）判断下列说法是否正确：
（1）是相反数； （2）是相反数；
（3）3是的相反数； （4）与互为相反数．
28．（2025秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）已知有理数 ，， 在数轴上对应位置如图所示：
(1)用“”把 ，，，，，， 连接起来．
(2)化简 ．
29．（2025秋·广东东莞·七年级校考阶段练习）已知一组数：0，|+4|，，，，6
(1)画数轴，并把它们表示出来；
(2)用“＜”将它们连接起来；
(3)用“＞”将它们的绝对值连接起来．
30．（2025秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）化简：
（1）-
（2）-（-3.4）
（3）+（-4）
31．（2025秋·江苏·七年级专题练习）已知与互为相反数，求的值．
32．（2025秋·全国·七年级专题练习）如图，在一条不完整的数轴上一动点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点．
（1）①若点表示的数为0，则点、点表示的数分别为： 、 ；
②若点表示的数为1，则点、点表示的数分别为： 、 ；
（2）如果点、表示的数互为相反数，求点表示的数．
33．（2025秋·浙江·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是　　，数轴上表示2和的两点之间的距离是　　．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　．
(3)若x表示一个有理数，且，则　　．
(4)若，利用数轴求出x的整数值．
34．（2025秋·北京·七年级统考期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、3在数轴而对应的两点之间的距离：|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到距点的距离．
一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴探究：
①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是 ．
②|x﹣3|+|x+1|的最小值是 ．
（3）求|x﹣3|+|x+1|+|x﹣2|的最小值以及取最小值时x的值．
35．（2025秋·全国·七年级专题练习）（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，
①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是 　 　，如果|AB|＝2，那么x＝　 　．
②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝　 　；
当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 　 　；
当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 　 　．
③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．
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