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专题10 有理数乘法、除法
新知预习
（一）有理数乘法
（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
步骤：①符号法则-----确定符号；②算数乘法-----确定绝对值。
（2）乘法法则推广：①几个不等于0的数相乘，记得符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
②几个数相乘，有一个因数为0，积为0.反之，如果积为0，那么，至少有一个因数为0.
③当因数是带分数时，应先化成假分数，便于约分。
说明：①在有理数乘法中，每一个乘数都叫做一个因数；
②几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定符号，然后把绝对值相乘。
（3）乘法运算定律：①乘法交换律：ab=ba②乘法结合律：（ab）c=a(bc)③分配律：a(b+c)=ab+ac
（二）有理数除法
（1）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。一般地，=1（），也就是说，如果是不等于0的有理数，那么，的倒数是。
说明：①0没有倒数；②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；③负倒数的定义：乘积为-1的两个数互为负倒数。
（2）除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即（）
新知训练
考点1：两个有理数的乘法运算
典例1：（2025秋·浙江温州·七年级统考期末）计算：______．
【答案】
【分析】先确定符号，再计算，即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
【变式1】（2025秋·广东广州·七年级校考阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_________．
【答案】①④
【分析】根据图示，可得：，，，据此逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，可得：，，，，
则，故①正确；
，故②错误；
，故③错误；
，故④正确；
∴正确的有①④，
故答案为：①④．
【点睛】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
【变式2】（2025·福建龙岩·统考模拟预测）在实数中任取两个数相乘，积的值最大为 _____．
【答案】8
【分析】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，由此即可得到答案．
【详解】实数中任取两个数相乘，符号相反的排除，
符号相同，积的值最大为．
故答案为：8．
【点睛】本题考查有理数的乘法，关键是掌握：有理数乘法法则．
【变式3】（2025秋·浙江·七年级校考期中）定义新运算“*”为： ，则当时，计算的结果为_____．
【答案】8
【分析】利用定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，能够读懂新定义并按照定义进行计算是解题关键．
考点2：多个有理数的乘法运算
典例2：（2025·全国·九年级专题练习）________．
【答案】
【分析】依据有理数的乘法法则，先确定结果的符号，把小数化成分数，然后利用乘法交换率和结合律进行简便计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了多个有理数的连乘运算；熟练掌握有理数的乘法运算法则、正确计算是解题的关键．
【变式1】（2025秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）若是有理数，定义新运算：．例如：．试计算___________．
【答案】
【分析】根据新定义列出算式计算即可．
【详解】解：根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式是解题的关键．
【变式2】（2025秋·上海·六年级校考阶段练习）若，则的值为__________
【答案】48
【分析】先根据绝对值的非负性求出a、b、c的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
则，
故答案为：48．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、有理数的乘法运算，能够根据绝对值的非负性求出a、b、c的值是解题的关键．
【变式3】（2025秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）计算：
（） ____；
（） ____．
【答案】 5 2600
【分析】（1）按照乘法分配律展开计算即可；
（2）利用多个有理数相乘的法则和乘法交换律进行计算即可．
【详解】解：（1）
故答案为：5
（2）
故答案为：
【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
考点3：有理数乘法运算的实际应用
典例3：（2025秋·七年级课时练习）每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则袋小麦对应的数分别为，，，，，0，，，，．则这袋小麦的总质量是_______．
【答案】904kg
【分析】根据有理数的加法运算，可得答案．
【详解】解： ，
，
（kg），
故答案为：904kg
【点睛】本题考查了正数和负数，关键是利用有理数的混合运算解题．
【变式1】（2025秋·湖北襄阳·七年级统考期末）已知甲、乙两个水库开始时水位一样高，甲水库的水位每天升高1cm，乙水库的水位每天降2cm，四天后甲、乙水库的水位相差__________cm．
【答案】12
【分析】根据题意列出相应的算式，根据运算顺序先算乘法运算，利用两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘计算后，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数把减法运算化为加法运算，相加即可得到结果，即为两水库的水位之差．
【详解】解：根据题意得：1×4-（-2）×4
=4-（-8）
=4+8
=12（cm）．
故答案为：12．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，在进行有理数混合运算时首先弄清运算顺序，然后利用运算法则进行计算．根据题意得出相应的算式是解本题的关键．
【变式2】（2025秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）观察下列算式：，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：_______×_______+_______=502．
【答案】 48 52 4
【分析】根据数字变化规律得出第n个算式为：，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴第n个算式为：，
∴，
故答案为：48；52；4．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，根据数字变化得出数字规律是解题关键．
【变式3】（2025·全国·七年级假期作业）某班级课后延时活动，组织全班50名同学进行报数游戏，规则如下：从第1位同学开始，序号为奇数的同学报自己序号的倒数加1，序号为偶数的同学报自己序号的倒数加1的和的相反数．如第1位同学报（），第2位同学报，第3位同学报……这样得到的50个数的乘积为_______．
【答案】-51
【分析】先确定每位同学所报之数，再列算式，确定积的符号为负，再算积即可．
【详解】解：第1位同学报（），第2位同学报，第3位同学报，第4位同学报，…，第49位同学报，第50位同学报，
列式得（） ，
= ，
=．
故答案为：-51．
【点睛】本题考查有理数乘法与加法混合运算，掌握有理数混合运算法则，特别是负号的确定，多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时，积为负，负因数有偶数个时，积为正是解题关键．
考点4：倒数
典例4：（2025秋·山东枣庄·七年级统考期末）的相反数是_______，倒数是_______．
【答案】
【分析】先根据绝对值的意义求出，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】，
的相反数是，倒数是，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了化简绝对值，相反数和倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式1】（2025秋·上海青浦·六年级校考期末）倒数等于本身的数有______，的差的相反数是______．
【答案】 1和
【分析】根据倒数的定义得出倒数等于本身的数；再由分数的减法计算出结果，然后求相反数即可．
【详解】解：倒数等于本身的数有1和；
，
∴的差的相反数是；
故答案为：①1和；②．
【点睛】题目主要考查倒数及相反数的定义，分数的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式2】（2025秋·海南海口·七年级海口市第九中学校考期中）若互为相反数，互为倒数，则______．
【答案】
【分析】直接利用互为相反数以及倒数分别化简得出答案．
【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，
∴，
则
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考有理数混合运算，解题的关键是掌握相反数、倒数的定义．
【变式3】（2025秋·上海·六年级校考阶段练习）已知，请按“从小到大”的顺序排列a，，b，为__________
【答案】
【分析】根据倒数的性质，可得，再根据有理数的大小比较，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，倒数，根据题意得到是解题的关键．
考点5：有理数乘法运算定律
典例5：（2025秋·四川遂宁·七年级统考期末）计算：________．
【答案】25
【分析】根据乘法分配律将25提出来之后，再根据有理数的加减运算法则即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：25．
【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意计算过程中的符号，正确运用乘法分配律是解题的关键．
【变式1】（2025秋·天津西青·八年级统考期末）计算：___________．
【答案】
【分析】逆用乘法的分配律计算即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法、加法、减法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．
【变式2】（2025秋·湖北襄阳·七年级统考期末）化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整：
原式 ________
________．
【答案】 1
【分析】根据所给式子，提公因式得到，故第一个空填；从而根据同分母分数加减运算计算括号里的式子得到，故第二个空填，从而得到答案．
【详解】解：由题意知
，
故答案为：；．
【点睛】本题考查利用乘法分配律对题目恒等变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，读懂题意，掌握同分母分数加减运算法则及分数乘法运算法则是解决问题的关键．
【变式3】（2025秋·山西临汾·七年级统考期末）计算：_______．
【答案】7
【分析】根据有理数的法则运算即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键．
考点6：有理数除法运算
典例6：（2025秋·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）计算：_______：______
【答案】 0
【分析】根据有理数除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握运算法则是解题的关键．
【变式1】（2025秋·福建福州·七年级校考期中）若，则计算的结果有______种不同的值．
【答案】4
【分析】根据，可以知道，a、b、c一定不可能是0，可以分三个都是正数，只有一个负数，有2个负数，3个都是负数，4种情况进行讨论即可．
【详解】解：当a、b、c中都是正数时，原式；
当a、b、c中有一个负数时，不妨设a是负数，则原式；
当a、b、c中有2个负数时，不妨设a，b是负数，则原式；
当a、b、c都是负数时，原式；
故有4种不同结果．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了化简绝对值值，正确对三个字母的符号进行讨论是解决本题的关键．
【变式2】（2025秋·吉林长春·七年级统考期中）计算：_____．
【答案】
【分析】先运用乘法分配律求该算式的倒数，再求解该题结果．
【详解】解：∵
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算，准确的计算是解决本题的关键．
【变式3】（2025秋·浙江·七年级专题练习）填空：①﹣40÷（﹣5）＝__；②﹣（36）÷6＝__；③8÷（﹣0.125）＝__；④__÷32＝0．
【答案】 8 -6 -64 0
【分析】根据有理数的除法，同号两数相除，得正；异号两数相除，得负，并把它们的绝对值相除．
【详解】解：①；
②；
③；
④．
故答案为8，，，0．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是要熟练掌握结果的符号．
考点7：有理数除法运算的实际应用
典例7：（2025·全国·九年级专题练习）汽车公司推出了一款新型纯电动汽车，经试验，该车型行1km用汽油L，这辆汽车平均每行一百千米耗油 ___L．
【答案】10
【分析】根据“总油耗÷行程=每千米油耗”，再用每千米油耗乘以100公里，列式计算即可．
【详解】∵，
故答案为10．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算，将带分数转化为假分数进行计算是解决本题的关键．
【变式1】（2025·全国·七年级专题练习）有时两数的和恰等于这两数的商，如，等．试写出另外1个这样的等式______．
【答案】．
【分析】根据两数的和恰等于这两数的商的要求，举出实例即可．
【详解】解：，．
故答案为：．
【点睛】本题考查生活经验的积累问题，掌握两数的和恰等于这两数的商是解题关键．
【变式2】（2025春·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）在今年春天流感体温检查中，检查人员将高于的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是记作“0”，一位同学在一周内的体温检测结果如下：，那么该同学一周中测量体温的平均值为_____℃．
【答案】
【分析】根据题意将这位同学一周内的体温写出来相加再除以七，得出其体温的平均值．
【详解】解：根据题意检查人员将高出的部分记作正数，将低于的部分记作负数，体温正好是时记作“0”得这位同学在一周内的体温分别是将；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解题的关键．
【变式3】（2025秋·山东菏泽·七年级统考期末）李叔叔经营一家水果超市，李叔叔随机抽取了五月份其中6天的营业额（单位：万元）分别为3、2、6、4、1、2，请你帮李叔叔估计一下五月份的营业额约是______万元．
【答案】93
【分析】根据6天的营业额求出一天的营业额，用一天的营业额乘以五月的天数即可．
【详解】（万元）
（万元）
故答案为：93
【点睛】此题考查了有理数乘除法运算的应用，解题的关键是求出一天的营业额．
考点8：有理数乘除混合运算
典例8：（2025秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解；
（2）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算律是解题的关键．
【变式1】（2025秋·江苏连云港·七年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数乘法计算法则求解即可；
（2）根据有理数除法计算法则求解即可；
（3）根据有理数乘除混合计算法则求解即可；
（4）根据有理数乘法分配律求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数乘法，有理数乘除混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式2】（2025秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：
(1)
(2)
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
（4）
．
【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，乘法分配律的应用，掌握“同级运算，按照从左至右的运算顺序进行计算与乘法分配律的应用”是解本题的关键．
【变式3】（2025秋·全国·七年级专题练习）计算：
(1)÷（）÷（）；
(2)（）÷（）÷（）；
(3)（）×（）÷；
(4)（）÷（）×（）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝；
（4）原式＝．
【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·安徽铜陵·七年级统考期末）的相反数的倒数是（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】直接利用相反数以及倒数的定义分析得出答案．
【详解】解：的相反数是6，6的倒数是：．
故选： D．
【点睛】此题主要考查了倒数以及相反数，正确把握定义是解题关键．
2．（2025秋·海南儋州·七年级校考阶段练习）计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据有理数乘法的符号法则判断符号，再把绝对值相乘即可得到结果；
【详解】解：
故选：A．
【点睛】几个非零有理数相乘，负因数的个数决定结果的正负；偶数个负因数时结果为正，奇数个负因数时结果为负；熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
3．（2025秋·浙江杭州·七年级阶段练习）的倒数的相反数是（ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】C
【分析】根据倒数和相反数的定义，即可求解．
【详解】∵的倒数是：-3，
∴的倒数的相反数是：3．
故选C．
【点睛】本题主要考查倒数和相反数的定义，熟练掌握倒数和相反数的定义，是解题的关键．
4．（2025秋·福建泉州·七年级泉州第十六中学校考期中）若，，则（ ）
A．小于0 B．大于0 C．大于0或小于0 D．无法判断
【答案】C
【详解】∵，，
∴a、b异号，b、c同号.
当a>0时，b<0,c<0,
∴abc>0;
当a<0时，b>0,c>0,
∴abc<0;
故选C.
5．（2025秋·江苏镇江·七年级校联考期末）2025年刚刚开始，新的一年关于城市最热门的话题那就是盘点2025年的GDP了．2016 年底镇江市GDP总值约为3844亿元，到2025年底增长了6.94%，预计2025年将增加x%，那么，2025年底镇江市GDP总值预计达到（ ）亿元
A．3844(1+6.94%+x%) B．3844×6.94%×x%
C．3844(1+6.94%)(1+x%) D．3844(1+6.94%)×x%
【答案】C
【详解】试题解析：2025年底镇江市GDP总值预计达到：3844(1+6.94%)亿元，
2025年底镇江市GDP总值预计达到3844(1+6.94%)(1+x%)亿元.
故选C.
6．（2025秋·山东滨州·七年级校联考期中）如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据数轴上a、b的位置，确定a、b的大小，再根据有理数的加减乘除法则，判断各式的符号．
【详解】解：由图可知，b＜-1＜0＜1＜a，|a|＜|b|，
∴，，，，
故选A．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的加减乘除，熟知数轴的特点是解答此题的关键．
7．（2025·贵州黔东南·统考中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是
【答案】C
【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．
【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确
B. 2与互为倒数，故选项B不正确；
C. 0的相反数是0，故选项C正确；
D. 2的绝对值是2，故选项D不正确．
故选C．
【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键．
8．（2025秋·河南周口·七年级统考期末）已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（　　）
A．±1 B．±12 C．1或－7 D．7或－1
【答案】B
【分析】根据a小于b，利用绝对值的代数意义求出a与b的值，即可确定出ab的值
【详解】解：因为|a|＝3，
所以a＝±3．
因为|b|＝4，
所以b＝±4．
因为a>b，
所以a＝3，b＝－4或a＝－3，b＝－4．
所以ab＝－12或12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是绝对值，有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则，根据绝对值的意义得出a，b的值是解题的关键．
9．（2025秋·广西·七年级校考阶段练习）算式可以化为（　　）
A．﹣3×4﹣ B．﹣3×4+3 C．﹣3×4+ D．﹣3×3﹣3
【答案】A
【分析】将﹣3转换为﹣3﹣的形式，再运用乘法的分配律计算即可．
【详解】．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法分配律．解题关键是将﹣3转换为﹣3﹣的形式．
10．（2025秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b=0；②若a+b=0，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若则a、b互为相反数．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】试题分析：根据互为相反数的两数和为0，可知①、②正确；根据相反数的意义，当a、b中有一个为0，则结果不成立，故③不正确；当=-1时，a=-b，且b≠0，因此可知a、b互为相反数，故④正确.
故选C
11．（2025秋·北京大兴·七年级统考期中）数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用数轴，绝对值的意义，有理数的加法法则，有理数的减法法则对每个关系式作出判断即可得出结论．
【详解】解：由数轴可知，，，
①错误，不符合题意；
②错误，不符合题意；
③，，∴正确，符合题意；
④∵，∴正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，有理数的乘法则，有理数的加法法则，有理数的减法法则，正确利用上述法则与性质作出判断是解题的关键．
12．（2025秋·吉林长春·七年级校考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】A、原式=，错误；
B、原式=-2，正确；
C、原式=，错误；
D、原式=，错误，
故选B．
【点睛】此题考查有理数的除法，有理数的减法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．
13．（2025秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若，则；③若a＋b＜0，且，则|4a＋3b|＝－4a－3b；④若是有理数，则一定是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则(a－b)(b－c)(c－a)＞0；其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据倒数以及有理数的乘除法法则分别进行分析即可得出答案．
【详解】解：①一个数和它的倒数相等，则这个数是1和-1，共2个，故这个结论错误；
②若，设，则，，所以，故这个结论错误；
③若a＋b＜0，且，则|，，所以|4a＋3b|＝－4a－3b，故这个结论正确；
④若是有理数，当时，；当时，，所以一定是非负数，故这个结论正确；
⑤若c＜0＜a＜b，则，，，所以，(a－b)(b－c)(c－a)＞0，故这个结论正确；
所以，一定正确的有③④⑤，共3个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法，倒数，关键是根据它们的性质和法则分别进行解答，注意分类讨论思想的运用．
14．（2025秋·广东韶关·七年级校联考阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列代数式值是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据a，b在数轴的位置，即可得出a，b的符号，进而得出选项中的符号．
【详解】根据数轴可知-1＜a＜0，1＜b＜2，
∴A．＞0，故此选项是正数，不符合要求，故此选项错误；
B．＞0，故此选项是正数，不符合要求，故此选项错误；
C．＜0，故此选项不是正数，符合要求，故此选项正确；
D．＞0，故此选项是正数，不符合要求，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题考查有理数的大小比较以及数轴性质，根据已知得出a，b取值范围是解题关键．
15．（2025秋·湖北武汉·七年级统考期中）观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析式子猜想规律，利用规律计算解题．
【详解】解：；
；
；
，
，
，
，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查规律问题，找准不变化的量和变化的量是解题关键．
二、填空题
16．（2025秋·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）﹣3.2的倒数是______．
【答案】-
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案
【详解】﹣3.2=﹣的倒数是：﹣
故答案为﹣
【点睛】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键
17．（2025秋·北京·七年级校考期中）﹣1的倒数是__，相反数是__绝对值是__．
【答案】 , ,
【分析】根据倒数、相反数和绝对值的定义可直接得出答案.
【详解】解：∵，
∴﹣1的倒数是，相反数是，绝对值是，
故答案为，，.
【点睛】本题考查了倒数、相反数和绝对值的定义，熟练掌握基础知识是解题关键.
18．（2025秋·七年级单元测试）8÷（﹣32）=_____
【答案】-0.25
【分析】根据有理数的除法法则进行计算即可.
【详解】8÷（﹣32）=-0.25.
故答案为-0.25.
【点睛】本题考查了有理数的除法运算法则，熟记法帖是解题的关键.
19．（2025秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）下列说法：①符号不同的两个数一定互为相反数；②0减去一个数仍得这个数；③有绝对值最小的数，没有绝对值最大的数；④绝对值是它本身的数是正数；⑤倒数是它本身的数是0，±1；其中正确的是____．（填写正确的序号）
【答案】③
【分析】由相反数的定义判断①，由有理数的减法的法则判断②，由绝对值的含义结合数轴可判断③，由绝对值化简的法则判断④，由倒数的定义判断⑤.
【详解】解：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，所以①错误；
0减去一个数得这个数的相反数，所以②错误；
的绝对值最小，没有绝对值最大的数，所以③正确；
正数或的绝对值是它的本身，所以④错误；
倒数是它的本身的数有 没有倒数，所以⑤错误；
故答案为：③.
【点睛】本题考查的是相反数的定义，减法的意义，绝对值的含义与化简，倒数的定义，掌握以上知识是解题的关键.
20．（2025秋·湖北·七年级校考阶段练习）化简______， _____， ______
【答案】 ； ； ．
【分析】根据除法法则约分化简即可．
【详解】-2， ， ．
故答案为：-2，，．
【点睛】本题考查了有理数的除法法则，熟练掌握法则是解答本题的关键．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何不为0的数都得0．
21．（2025秋·江苏盐城·七年级阶段练习）-的倒数是____________．
【答案】-
【详解】(-) ×(-)=1,则-的倒数是-，
故答案为-
22．（2025秋·七年级单元测试）已知|a|=0.19，b=0.99，且ab＜0，则a﹣b的值为_____．
【答案】﹣1.18
【分析】利用绝对值的代数意义及ab小于0求出a的值，即可求出a-b的值．
【详解】解：∵|a|=0.19，b=0.99，且ab<0，
∴a= 0.19，b=0.99，
则a b= 0.19 0.99= 1.18.
故答案为 1.18.
【点睛】本题考查了有理数的减法与乘法以及绝对值的性质，解题的关键是熟练的掌握有理数的减法与乘法以及绝对值的性质.
23．（2025秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期中）计算（-）×（-1）÷（-2）的值为______．
【答案】﹣．
【分析】因为负数的倒数仍然是负数，所以把除法变成乘法，除数变为它的倒数后，先定积的符号，再算绝对值的积.
【详解】解：（﹣）×（﹣1）÷（﹣2）
=（-）×（-）×（﹣）
=﹣．
故答案为﹣．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是运算顺序及符号的确定.
24．（2025秋·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）在数轴上，大于﹣2且小于4的整数的和为_____，积为_____．
【答案】 5 0
【分析】先求出大于-2，并且小于4的整数，再求出它们的和与积．
【详解】∵大于 2且小于4的整数是： 1、0、1、2、3，
∴它们的和是 1+0+1+2+3=5，
它们的积是( 1)×0×1×2×3=0.
故答案为5，0.
【点睛】本题考查了有理数的加法与乘法，解题的关键是熟练的掌握有理数的加法与乘法运算法则.
25．（2025秋·七年级课时练习）若|m|＝1，|n|＝2，且|m＋n|＝m＋n，则＝________．
【答案】±2
【分析】由绝对值的性质可求解对应的m，n值，再分别代入计算即可求解．
【详解】∵|m|=1，|n|=2，
∴m=±1，n=±2，
∵|m+n|=m+n，
∴m=1，n=2或m=-1，n=2，
∴当m=1，n=2时；
当m=-1，n=2时，．
故答案为2或-2．
【点睛】本题主要考查有理数的除法，绝对值的性质，确定m、n值时解题的关键．
三、解答题
26．（2025秋·七年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）56；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）6．
【分析】根据有理数的乘法法则，先判断结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解决本题的关键．
27．（2025秋·广东广州·七年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
28．（2025秋·河南许昌·七年级校考阶段练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对．
小瑞很快给出了他的解法：原式=．
小晨经过思考后也给出了他的解法：
原式=
= （ ）
=
= ．
(1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理
(2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗
(3)用你认为最合适的方法计算：
【答案】(1)见解析
(2)有，具体见解析
(3)
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可补全；
（2）将改为，再根据乘法分配律计算即可；
（3）根据（2）的计算方法同理计算即可．
【详解】（1）原式=
=（乘法分配律）
=
=．
故答案为：，乘法分配律，，；
（2）有，如下：
原式=
=（乘法分配律）
=
=；
（3）
．
【点睛】本题考查有理数的乘法．掌握乘法分配律是解题关键．
29．（2025秋·四川攀枝花·七年级统考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)25
【分析】（1）利用有理数加减运算法则计算即可；
（2）直接利用乘法结合律计算即可．
【详解】（1）解：原式

．
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、乘法结合律等知识点，灵活运用相关运算法则和运算律成为解答本题的关键．
30．（2025秋·山东聊城·七年级校考阶段练习）某人用元购买了套儿童服装，准备以一定的价格出售，以每套元的价格为标准．超出的记作正数．不足的记作负数，记录如下(单位：元)
(1)当他卖完这套服装后，是盈利还是亏损？
(2)盈利或亏损了多少元？
【答案】(1)盈利
(2)盈利元
【分析】（1）先计算出售价，用售价减去进价等于利润，根据正负数的意义判断即可求解；
（2）根据（1）的结论即可求解．
【详解】（1）解：（元），
；
∴当他卖完这套服装后，盈利了
（2）（元），
∴盈利元．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算的应用，有理数的乘法运算的应用，正负数的意义，根据题意列出算式是解题的关键．
31．（2025秋·江西景德镇·七年级统考期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的倒数等于它的本身，
求代数式2m﹣的值．
【答案】1或-2
【分析】利用相反数，倒数的定义，求出a+b，cd及m的值，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=1或-1，
当m=1时，原式=2-0-=1；
当m=-1时，原式=-2-0-=-2．
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数，倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
32．（2025秋·贵州遵义·七年级统考期末）阅读材料：对于三位自然数m，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数m为“开心数”．例如：153是“开心数”，因为1，5，3都不为0，且，6能被3整除；724不是“开心数”，因为，9不能被4整除．
(1)判断654，423是否是“开心数”？并说明理由；
(2)求满足百位数字比十位数字大7的所有“开心数”，并说明理由．
【答案】(1)654不是“开心数”，423是“开心数”．理由见详解
(2)811、813、819、921
【分析】（1）根据题中所给“开心数”的定义，进行验证即可；
（2）设这个“开心数”的十位数字为a，百位数字为，按照题中所给“开心数”的定义，列出等式，确定a的取值范围，即可进行解答．
【详解】（1）解：654不是“开心数”，423是“开心数”．理由如下：
∵，11不能被4整除，
∴654不是“开心数”，
∵ 2、4、3都不为0，且，6能被3整除，
∴423是“开心数”；
（2）解：设这个“开心数”的十位数字为a，百位数字为（，且a是整数），
则：，
当时，，
因为9能被1、3、9整除，
所以满足条件的“开心数”有811、813、819，
当时，，
因为11能被1整除，
所以满足条件的“开心数”有921．
综上所述，满足条件的“开心数”有811、813、819、921共4个．
【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数运算，解题的关键是正确理解题目所给“开心数”的定义．
33．（2025秋·河南周口·七年级统考期中）用简便方法计算：
（1）
（2）
【答案】（1）-18；（2）100
【详解】试题分析：根据乘法分配律进行简便计算
试题解析：（1）原式=－×（－36）+×（－36）－×（－36）=6－27+3=－18
（2）原式=[25×（－4）]×[－0．125×（－8）]×（－）=－100×1×（－1）=100．
考点：简便计算
34．（2025秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）某出租车司机，在南北方向的扬子江路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下表（规定向北为正，向南为负，单位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km 3.5km
(1)接送完第5批客人后，该车在起始出发地的什么方向？
(2)接送完第5批客人后，距离起始出发地多少千米？
(3)若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
【答案】(1)车在起始出发地的北方
(2)接送完第5批客人后，距离起始出发地4千米
(3)在这过程中共耗油3.4升
【分析】（1）把五次的行驶路程记录相加，如果结果为正则在起始出发地的北方，如果结果为负则在起始出发地的南方，如果结果为0则在起始出发地；
（2）根据（1）所求结果即可得到答案；
（3）用每千米油耗乘以总路程即可得到答案．
【详解】（1）解：，
∴接送完第5批客人后，该车在起始出发地的北方，
答：接送完第5批客人后，该车在起始出发地的北方；
（2）解：由（1）可知，接送完第5批客人后，距离起始出发地4千米，
答：接送完第5批客人后，距离起始出发地4千米；
（3）解：
升，
答：在这过程中共耗油3.4升．
【点睛】本题主要考查了有理数加法的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意列出相应的式子求解是解题的关键．
35．（2025秋·湖北襄阳·七年级统考期中）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段． 贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的过程中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．
（1）第二天卖出________千克，第三天卖出________千克，第四天卖出_______千克，……，第x天卖出___________（用含x的多项式表示）千克；
（2）若第26天的售价为28元/千克，并且种植与销售蓝莓的成本是18元/千克，求张大爷第26天当天的利润是多少元？
【答案】（1）24，28，32，（16+4x）；（2）1200元
【分析】（1）直接利用“每天比前一天多卖出4千克”列式计算即可，然后找到规律，即可得到第x天的销售量；
（2）先利用（1）中的结论求出第26天的销售量，然后根据利润=（售价-成本）×销售量计算即可．
【详解】（1）第一天卖出20千克，以后每天比前一天多卖出4千克，
∴第二天卖出千克；第三天卖出千克；第四天卖出千克；第x天卖出的数量为（千克）；
（2）当时，，
∴第26天时卖出120千克，
∴第26天当天的利润是（元）．
【点睛】本题主要考查代数式的应用，读懂题意是解题的关键．
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专题10 有理数乘法、除法
新知预习
（一）有理数乘法
（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
步骤：①符号法则-----确定符号；②算数乘法-----确定绝对值。
（2）乘法法则推广：①几个不等于0的数相乘，记得符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
②几个数相乘，有一个因数为0，积为0.反之，如果积为0，那么，至少有一个因数为0.
③当因数是带分数时，应先化成假分数，便于约分。
说明：①在有理数乘法中，每一个乘数都叫做一个因数；
②几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定符号，然后把绝对值相乘。
（3）乘法运算定律：①乘法交换律：ab=ba②乘法结合律：（ab）c=a(bc)③分配律：a(b+c)=ab+ac
（二）有理数除法
（1）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。一般地，=1（），也就是说，如果是不等于0的有理数，那么，的倒数是。
说明：①0没有倒数；②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；③负倒数的定义：乘积为-1的两个数互为负倒数。
（2）除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即（）
新知训练
考点1：两个有理数的乘法运算
典例1：（2025秋·浙江温州·七年级统考期末）计算：______．
【变式1】（2025秋·广东广州·七年级校考阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_________．
【变式2】（2025·福建龙岩·统考模拟预测）在实数中任取两个数相乘，积的值最大为 _____．
【变式3】（2025秋·浙江·七年级校考期中）定义新运算“*”为： ，则当时，计算的结果为_____．
考点2：多个有理数的乘法运算
典例2：（2025·全国·九年级专题练习）________．
【变式1】（2025秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）若是有理数，定义新运算：．例如：．试计算___________．
【变式2】（2025秋·上海·六年级校考阶段练习）若，则的值为__________
【变式3】（2025秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）计算：
（） ____；
（） ____．
考点3：有理数乘法运算的实际应用
典例3：（2025秋·七年级课时练习）每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则袋小麦对应的数分别为，，，，，0，，，，．则这袋小麦的总质量是_______．
【变式1】（2025秋·湖北襄阳·七年级统考期末）已知甲、乙两个水库开始时水位一样高，甲水库的水位每天升高1cm，乙水库的水位每天降2cm，四天后甲、乙水库的水位相差__________cm．
【变式2】（2025秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）观察下列算式：，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：_______×_______+_______=502．
【变式3】（2025·全国·七年级假期作业）某班级课后延时活动，组织全班50名同学进行报数游戏，规则如下：从第1位同学开始，序号为奇数的同学报自己序号的倒数加1，序号为偶数的同学报自己序号的倒数加1的和的相反数．如第1位同学报（），第2位同学报，第3位同学报……这样得到的50个数的乘积为_______．
考点4：倒数
典例4：（2025秋·山东枣庄·七年级统考期末）的相反数是_______，倒数是_______．
【变式1】（2025秋·上海青浦·六年级校考期末）倒数等于本身的数有______，的差的相反数是______．
【变式2】（2025秋·海南海口·七年级海口市第九中学校考期中）若互为相反数，互为倒数，则______．
【变式3】（2025秋·上海·六年级校考阶段练习）已知，请按“从小到大”的顺序排列a，，b，为__________
考点5：有理数乘法运算定律
典例5：（2025秋·四川遂宁·七年级统考期末）计算：________．
【变式1】（2025秋·天津西青·八年级统考期末）计算：___________．
【变式2】（2025秋·湖北襄阳·七年级统考期末）化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整：
原式 ________
________．
【变式3】（2025秋·山西临汾·七年级统考期末）计算：_______．
考点6：有理数除法运算
典例6：（2025秋·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）计算：_______：______
【变式1】（2025秋·福建福州·七年级校考期中）若，则计算的结果有______种不同的值．
【变式2】（2025秋·吉林长春·七年级统考期中）计算：_____．
【变式3】（2025秋·浙江·七年级专题练习）填空：①﹣40÷（﹣5）＝__；②﹣（36）÷6＝__；③8÷（﹣0.125）＝__；④__÷32＝0．
考点7：有理数除法运算的实际应用
典例7：（2025·全国·九年级专题练习）汽车公司推出了一款新型纯电动汽车，经试验，该车型行1km用汽油L，这辆汽车平均每行一百千米耗油 ___L．
【变式1】（2025·全国·七年级专题练习）有时两数的和恰等于这两数的商，如，等．试写出另外1个这样的等式______．
【变式2】（2025春·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）在今年春天流感体温检查中，检查人员将高于的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是记作“0”，一位同学在一周内的体温检测结果如下：，那么该同学一周中测量体温的平均值为_____℃．
【变式3】（2025秋·山东菏泽·七年级统考期末）李叔叔经营一家水果超市，李叔叔随机抽取了五月份其中6天的营业额（单位：万元）分别为3、2、6、4、1、2，请你帮李叔叔估计一下五月份的营业额约是______万元．
考点8：有理数乘除混合运算
典例8：（2025秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算.
(1)；
(2).
【变式1】（2025秋·江苏连云港·七年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式2】（2025秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：
(1)
(2)
(3)；
(4)
【变式3】（2025秋·全国·七年级专题练习）计算：
(1)÷（）÷（）；
(2)（）÷（）÷（）；
(3)（）×（）÷；
(4)（）÷（）×（）．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·安徽铜陵·七年级统考期末）的相反数的倒数是（　　）
A． B． C．6 D．
2．（2025秋·海南儋州·七年级校考阶段练习）计算结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋·浙江杭州·七年级阶段练习）的倒数的相反数是（ ）
A． B． C．3 D．-3
4．（2025秋·福建泉州·七年级泉州第十六中学校考期中）若，，则（ ）
A．小于0 B．大于0 C．大于0或小于0 D．无法判断
5．（2025秋·江苏镇江·七年级校联考期末）2018年刚刚开始，新的一年关于城市最热门的话题那就是盘点2025年的GDP了．2025 年底镇江市GDP总值约为3844亿元，到2025年底增长了6.94%，预计2018年将增加x%，那么，2018年底镇江市GDP总值预计达到（ ）亿元
A．3844(1+6.94%+x%) B．3844×6.94%×x%
C．3844(1+6.94%)(1+x%) D．3844(1+6.94%)×x%
6．（2025秋·山东滨州·七年级校联考期中）如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·贵州黔东南·统考中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是
8．（2025秋·河南周口·七年级统考期末）已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（　　）
A．±1 B．±12 C．1或－7 D．7或－1
9．（2025秋·广西·七年级校考阶段练习）算式可以化为（　　）
A．﹣3×4﹣ B．﹣3×4+3 C．﹣3×4+ D．﹣3×3﹣3
10．（2025秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b=0；②若a+b=0，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若则a、b互为相反数．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025秋·北京大兴·七年级统考期中）数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2025秋·吉林长春·七年级校考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2025秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若，则；③若a＋b＜0，且，则|4a＋3b|＝－4a－3b；④若是有理数，则一定是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则(a－b)(b－c)(c－a)＞0；其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2025秋·广东韶关·七年级校联考阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列代数式值是负数的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025秋·湖北武汉·七年级统考期中）观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2025秋·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）﹣3.2的倒数是______．
17．（2025秋·北京·七年级校考期中）﹣1的倒数是__，相反数是__绝对值是__．
18．（2025秋·七年级单元测试）8÷（﹣32）=_____
19．（2025秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）下列说法：①符号不同的两个数一定互为相反数；②0减去一个数仍得这个数；③有绝对值最小的数，没有绝对值最大的数；④绝对值是它本身的数是正数；⑤倒数是它本身的数是0，±1；其中正确的是____．（填写正确的序号）
20．（2025秋·湖北·七年级校考阶段练习）化简______， _____， ______
21．（2025秋·江苏盐城·七年级阶段练习）-的倒数是____________．
22．（2025秋·七年级单元测试）已知|a|=0.19，b=0.99，且ab＜0，则a﹣b的值为_____．
23．（2025秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期中）计算（-）×（-1）÷（-2）的值为______．
24．（2025秋·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）在数轴上，大于﹣2且小于4的整数的和为_____，积为_____．
25．（2025秋·七年级课时练习）若|m|＝1，|n|＝2，且|m＋n|＝m＋n，则＝________．
三、解答题
26．（2025秋·七年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
27．（2025秋·广东广州·七年级统考期末）计算：．
28．（2025秋·河南许昌·七年级校考阶段练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对．
小瑞很快给出了他的解法：原式=．
小晨经过思考后也给出了他的解法：
原式=
= （ ）
=
= ．
(1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理
(2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗
(3)用你认为最合适的方法计算：
29．（2025秋·四川攀枝花·七年级统考期中）计算：
(1)
(2)
30．（2025秋·山东聊城·七年级校考阶段练习）某人用元购买了套儿童服装，准备以一定的价格出售，以每套元的价格为标准．超出的记作正数．不足的记作负数，记录如下(单位：元)
(1)当他卖完这套服装后，是盈利还是亏损？
(2)盈利或亏损了多少元？
31．（2025秋·江西景德镇·七年级统考期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的倒数等于它的本身，
求代数式2m﹣的值．
32．（2025秋·贵州遵义·七年级统考期末）阅读材料：对于三位自然数m，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数m为“开心数”．例如：153是“开心数”，因为1，5，3都不为0，且，6能被3整除；724不是“开心数”，因为，9不能被4整除．
(1)判断654，423是否是“开心数”？并说明理由；
(2)求满足百位数字比十位数字大7的所有“开心数”，并说明理由．
33．（2025秋·河南周口·七年级统考期中）用简便方法计算：
（1）
（2）
34．（2025秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）某出租车司机，在南北方向的扬子江路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下表（规定向北为正，向南为负，单位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km 3.5km
(1)接送完第5批客人后，该车在起始出发地的什么方向？
(2)接送完第5批客人后，距离起始出发地多少千米？
(3)若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
35．（2025秋·湖北襄阳·七年级统考期中）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段． 贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的过程中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．
（1）第二天卖出________千克，第三天卖出________千克，第四天卖出_______千克，……，第x天卖出___________（用含x的多项式表示）千克；
（2）若第26天的售价为28元/千克，并且种植与销售蓝莓的成本是18元/千克，求张大爷第26天当天的利润是多少元？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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