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专题11 有理数的乘方、科学计数法、近似数
新知预习
（一）有理数乘方的相关概念
（1）乘方的定义：求相同因式积的运算，叫做乘方； 即个相乘表示为：
（其中）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n ,
当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
（二）科学计数法
（1）把一个大于10的数记成a×10n的形式，（其中1a10）这种记数法叫科学记数法.
（三）近似数
（1）近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）
【识别近似数与准确数的方法】
①语句中带有“约”“左右”等词语，里面出现的数据是近似数。
②描述“温度”“身高”“体重”的数据是近似数。
③准确数字与实际相符
（2）有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
（3）精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。（难点）
（四）有理数混合运算
（1）有理数的混合运算的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号内，再算括号外．
注意 有理数的混合运算中要特别注意正负号，这也是初中数学中最容易出错的地方．
（2）在进行代数运算时，如遇下列情况可运用加法交换律和结合律，使计算变得简便。
①有些加数相加后可以得到整数时，可先行相加。
②分母相同或易于通分的分数，可先行相加。
③有相反的数可以互相消去得零的，可先行相加。
新知训练
考点1：有理数乘方的定义理解
典例1：（2025秋·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______.
【变式1】（2025秋·辽宁锦州·七年级统考期中）把写成幂的形式是______________，底数是___________，指数是___________ .
【变式2】（2025秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）同学们：新知往往能由已习得的知识利用信息再加工理论实现生成．故新知也往往能用已习得的知识进行解释．如（-2）×3可解释为3个-2相加的和．请按此解释的意义_____．
【变式3】（2025秋·全国·七年级专题练习）在中，指数是________，底数是________，在中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________．
考点2：有理数乘方的运算
典例2：（2025秋·广东深圳·七年级统考期末）字母表示一个有理数，下列关于的运算：
① ② ③ ④
其中一定成立的有___________（把你认为正确的序号都填上）．
【变式1】（2025秋·湖南湘潭·七年级统考期末）若与互为相反数，则的值为___________
【变式2】（2025秋·福建莆田·七年级统考期末）比较大小：（1）___________；
（2）___________．
【变式3】（2025·全国·九年级专题练习）填空：___；____；____；_____；____；_____．
考点3：乘方运算的符号规律
典例3：（2025秋·全国·七年级专题练习）计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是______，负数的偶次幂是______，0的任何正整数次幂都是_____．
【变式1】（2025秋·河南郑州·七年级统考期中），互为相反数，，为自然数，则下列叙述正确的有_________个．
①，互为相反数；②，互为相反数；
③，互为相反数；④，互为相反数．
【变式2】（2025秋·全国·七年级专题练习）n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n=__________．
【变式3】（2025秋·七年级单元测试）当为奇数时，________；当为偶数时，________．
考点4：含乘方的有理数混合运算
典例4：（2025秋·广东惠州·七年级校考期末）计算：．
【变式1】（2025秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：．
【变式2】（2025秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）计算题．
(1)
(2)
【变式3】（2025秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
考点5：科学计数法
典例5：（2025·江苏宿迁·沭阳县怀文中学统考一模）2025年春节档电影《流浪地球2》的票房亿，将数据亿用科学计数法表示为___________．
【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·统考一模）体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放吨，数用科学记数法表示为__________．
【变式2】（2025春·辽宁本溪·九年级统考阶段练习）“大国点名、没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约人．数“”用科学记数法表示为______．
【变式3】（2025春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为___________．
考点6：求一个数的近似数
典例6：（2025春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）截止2025年末，刘集镇有户籍人口48376人，这一数据精确到千位表示约为_____．
【变式1】（2025秋·江苏盐城·八年级校考期末）按括号内的要求，用四舍五入法求近似数：5.748（精确到0.01）______．
【变式2】（2025·江苏徐州·校考一模）中国空间站飞行的圆形轨道周长约为米用科学记数法表示(精确到米) 约是______．
【变式3】（2025秋·山东淄博·六年级统考期末）用四舍五入法将精确到百分位的结果是_________________．
考点7：指出近似数的精确度
典例7：（2025秋·江苏扬州·八年级校考期末）用四舍五入法得到的近似数为3.59万，精确到 ______位 ．
【变式1】（2025秋·河南商丘·七年级统考期中）近似数精确到______位；用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是______．
【变式2】（2025秋·江苏镇江·八年级统考期末）2025年11月30日，神舟十五号载人飞船上的3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．神舟十五号载人飞船飞行时速是公里小时，由四舍五入法得到近似数为公里/小时，该近似数精确到______位．
【变式3】（2025秋·浙江杭州·七年级校考期中）______（精确到0.1）；近似数13.7万精确到______位．
考点8：由近似数推算真值范围
典例8：（2025秋·浙江·七年级期末）近似数11.7精确到____位，这个近似数表示大于或等于______，而小于______的数．
【变式1】（2013·浙江杭州·七年级期中）小明的身高经过四含五入为1.72米，那么小明的真实身高范围为________．
【变式2】（2025秋·山东·七年级日照市新营中学校考阶段练习）若某数由四舍五入得到的近似数是3.240，那么原来的数介于_____和_____之间．
【变式3】（2014秋·浙江嘉兴·七年级统考期中）已知有理数x的近似值是2.14，则x的取值范围是2.135≤x＜_______．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·福建泉州·七年级校联考期中）央视网消息：针对湖北疫情防控形势，从1月25日到2月19日，湖北省减灾备灾中心共向全省17个市州调运折叠床、棉被、棉衣、棉大衣等29.94万件套．29.94万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川绵阳·统考三模）坚持“动态清零”，有效保护经济发展，促进经济发展，使经济发展免受病毒和疫情造成的冲击．正因如此，绵阳市2025年GDP突破3350亿！，把“3350亿”这个数用科学记数法表示为（ ）
A．3.350×108 B．3.350×109 C．3.350×1010 D．3.350×1011
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）第四届世界茉莉花大会、2025年中国（横州）茉莉花文化节于9月19日、20日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约125000亩．数据125000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025秋·河北保定·七年级统考期末）下列式子中，计算结果为﹣1的是（ ）
A．|﹣1| B．﹣（﹣1） C．﹣12 D．（﹣1）2
5．（2025·四川成都·一模）据海外网消息，根据Worldometer实时统计数据，截至北京时间2025年3月16日6时30分左右，数据“12000万”用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×107 B．12×107 C．1.2×108 D．1.2×109
6．（2025秋·内蒙古赤峰·七年级统考期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025秋·天津·七年级校考期中）规定一种运算法则： ，则的值为 （ ）
A．－22 B．－14 C．14 D．22
8．（2025·海南·中考真题）连接海口、文昌两市的跨海大桥﹣﹣铺前大桥，近日获国家发改委批准建设，该桥估计总投资约为1460000000元，数据1460000000用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025秋·七年级课时练习）计算：－22－(－3)3－(－1)10的结果是( )
A．6 B．22 C．24 D．14
10．（2025·广西·统考三模）某城区青年在“携手添绿，美丽共创”植树活动中，共栽植、养护树木15000株将15000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
11．（2025秋·全国·七年级阶段练习）比较－，，的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025秋·河南洛阳·七年级校联考期中）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值．则最后输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025秋·安徽合肥·七年级校考期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，···，第2025次输出的结果为（ ）
A．3 B．18 C．12 D．6
14．（2025·贵州毕节·二模）《2025—2025中国大数据产业发展报告》预测，未来三年，我国大数据产业市场将保持12%以上的增速，到2025年整体规模将达到11522.5亿元．11522.5亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
15．（2025秋·七年级课时练习）小飞测量身高近似1.71米，若小飞的身高记为x，则他的实际身高范围为（　 　）
A．1.7≤x≤1.8 B．1.705＜x＜1.715
C．1.705≤x＜1.715 D．1.705≤x≤1.715
二、填空题
16．（2025秋·重庆合川·七年级统考期末）计算：___________.
17．（2025春·浙江杭州·九年级期末）杭州注册志愿者人数已达108万人，将108万人用科学记数法表示为______人．
18．（2025秋·广东佛山·七年级佛山市南海区大沥镇许海初级中学校联考阶段练习）已知四个有理数:+3,-8,-10, 12,请通过有理数的加减混合运算,使其运算结果最大,则这个结果的最大值是_____．
19．（2025秋·湖南永州·七年级统考期末）计算：_____．
20．（2025秋·甘肃酒泉·七年级校考期中）若，则________．
21．（2025秋·江苏淮安·七年级校考期中）气象部门测定，高度每增加1千米，气温大约下降5℃，现在地面气温是18℃，那么4千米高空的气温是_____℃．
22．（2025·江苏泰州·校考一模）数据99500用科学记数法表示为_____________________
23．（2025·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）近似数1.30×105精确到_____位．
24．（2025秋·上海松江·七年级校考期中）计算：__________________（结果用幂的形式表示）．
25．（2025秋·浙江杭州·七年级杭州市采荷中学校考阶段练习）已知表示4个不同的正整数，满足，其中，则的最大值是__________．
三、解答题
26．（2025秋·江苏徐州·七年级统考期末）计算：（1）
（2）
27．（2025秋·河北唐山·七年级统考期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆；
（2）根据上表计算前三天共生产多少辆；
（3）该厂实行计划工资制，每辆车50元，超额完成任务超出部分每辆额外奖励15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周工资总额是多少？
28．（2025·江苏·七年级假期作业）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）．
(1)求2M（2025）+M（2025）的值．
(2)猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由
29．（2025秋·广东深圳·七年级统考期中）计算：
（1）﹣9＋5﹣（﹣12）＋（﹣3）；
（2）；
（3）．
30．（2025秋·福建泉州·七年级统考阶段练习）暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：
（1）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．
这两张卡片上的数字分别是 ，积为 _．
（2）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．
这两张卡片上的数字分别是 ，商为 ．
（3）从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子．（写出一种即可）
31．（2025秋·江苏无锡·七年级阶段练习）计算：
①；
② ；
③ 17－8÷(－2)＋4×(—5) ；
④；
⑤ （﹣2）2×7﹣（﹣3）×6﹣|﹣5|；
⑥ .
32．（2025秋·七年级课时练习）（2013秋 营口期末）若（2a﹣1）2+|2a+b|=0，且|c﹣1|=2，求c （a3﹣b）的值．
33．（2025秋·江苏南京·七年级统考期中）计算：
（1）3-11+9-13；
（2）-25÷×÷（-32）；
（3）（）÷（）；
（4）-14-（1-0.5）×÷（-3）2．
34．（2025秋·广东佛山·七年级校考期中）计算：
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专题11 有理数的乘方、科学计数法、近似数
新知预习
（一）有理数乘方的相关概念
（1）乘方的定义：求相同因式积的运算，叫做乘方； 即个相乘表示为：
（其中）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n ,
当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
（二）科学计数法
（1）把一个大于10的数记成a×10n的形式，（其中1a10）这种记数法叫科学记数法.
（三）近似数
（1）近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）
【识别近似数与准确数的方法】
①语句中带有“约”“左右”等词语，里面出现的数据是近似数。
②描述“温度”“身高”“体重”的数据是近似数。
③准确数字与实际相符
（2）有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
（3）精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。（难点）
（四）有理数混合运算
（1）有理数的混合运算的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号内，再算括号外．
注意 有理数的混合运算中要特别注意正负号，这也是初中数学中最容易出错的地方．
（2）在进行代数运算时，如遇下列情况可运用加法交换律和结合律，使计算变得简便。
①有些加数相加后可以得到整数时，可先行相加。
②分母相同或易于通分的分数，可先行相加。
③有相反的数可以互相消去得零的，可先行相加。
新知训练
考点1：有理数乘方的定义理解
典例1：（2025秋·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______.
【答案】 3 4
【分析】根据幂的定义：形如中a是底数，n是指数，及乘方计算法则计算解答．
【详解】解：中，底数是3，指数是4，，
故答案为：3，4，．
【点睛】此题考查了幂的定义，有理数的乘方计算法则，熟记定义及计算法则是解题的关键．
【变式1】（2025秋·辽宁锦州·七年级统考期中）把写成幂的形式是______________，底数是___________，指数是___________ .
【答案】 3
【分析】根据有理数的乘方的定义解答．
【详解】解：把写成幂的形式是，底数是，指数是3．
故答案为：；；3．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，理解乘方的定义是解题的关键．
【变式2】（2025秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）同学们：新知往往能由已习得的知识利用信息再加工理论实现生成．故新知也往往能用已习得的知识进行解释．如（-2）×3可解释为3个-2相加的和．请按此解释的意义_____．
【答案】3个2的乘积的相反数
【分析】根据乘方的意义即可写出答案．
【详解】解：的意义为3个2的乘积的相反数．
故答案为：3个2的乘积的相反数．
【点睛】本题考查了乘方的意义，关键是注意底数是2，而不是-2．
【变式3】（2025秋·全国·七年级专题练习）在中，指数是________，底数是________，在中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________．
【答案】 3 2 2 2
【分析】根据幂的定义中指数与底数的说明解答此题．
【详解】解：中指数是，底数是；
中指数是，底数是；
中指数是，底数是；
故答案为：4 ， ， 3 ， 2， 2， 2
【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
考点2：有理数乘方的运算
典例2：（2025秋·广东深圳·七年级统考期末）字母表示一个有理数，下列关于的运算：
① ② ③ ④
其中一定成立的有___________（把你认为正确的序号都填上）．
【答案】①②/②①
【分析】根据幂的意义，绝对值的意义分别判断即可．
【详解】解：①，故正确；
②，故正确；
③，故错误；
④当时，；当时，，故错误；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值，体现了分类讨论的思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．
【变式1】（2025秋·湖南湘潭·七年级统考期末）若与互为相反数，则的值为___________
【答案】25
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
解得，，
所以，．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式2】（2025秋·福建莆田·七年级统考期末）比较大小：（1）___________；
（2）___________．
【答案】
【分析】先算出各数的值，再比较大小即可．
【详解】解：（1），，
∵，
∴．
故答案为：；
（2），，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解题的关键．
【变式3】（2025·全国·九年级专题练习）填空：___；____；____；_____；____；_____．
【答案】 9 /
【分析】根据乘方的意义计算即可．
【详解】解：；；；；；
故答案为：9，，，，，．
【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键．
考点3：乘方运算的符号规律
典例3：（2025秋·全国·七年级专题练习）计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是______，负数的偶次幂是______，0的任何正整数次幂都是_____．
【答案】 负数 正数 0
【解析】略
【变式1】（2025秋·河南郑州·七年级统考期中），互为相反数，，为自然数，则下列叙述正确的有_________个．
①，互为相反数；②，互为相反数；
③，互为相反数；④，互为相反数．
【答案】2
【分析】根据正数的相反数的定义，任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，a≠0，n为自然数，
∴-a，-b互为相反数，故①说法正确；
当n是奇数时，an与bn互为相反数，当n为偶数时，an与bn相等，故②说法错误；
a2n与b2n相等，故③说法错误；
a2n+1，b2n+1互为相反数，故④说法正确；
所以叙述正确的有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数．
【变式2】（2025秋·全国·七年级专题练习）n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n=__________．
【答案】0
【分析】先根据有理数的乘方进行计算，然后再合并即可．
【详解】解：（-2）2n+1+2×（-2）2n
=-22n+1+22n+1
=0．
故答案为：0
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握负数的偶次方为正、奇次方为负是解答本题的关键．
【变式3】（2025秋·七年级单元测试）当为奇数时，________；当为偶数时，________．
【答案】 0
【分析】根据负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数得出的值，再进行计算即可．
【详解】解：当为奇数时，，
当为偶数时，．
故答案是：； ．
【点睛】本题考查的是有理数的乘方，注意-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1．
考点4：含乘方的有理数混合运算
典例4：（2025秋·广东惠州·七年级校考期末）计算：．
【答案】
【分析】先算乘方，乘法，绝对值，最后算加减．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
【变式1】（2025秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】先计算乘方及绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
【变式2】（2025秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）计算题．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）逆用乘法公式进行简算；
（2）先去括号，再从左到右依次进行运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键．
【变式3】（2025秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)30
(2)17
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据有理数加减运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；
（3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（6）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算．
考点5：科学计数法
典例5：（2025·江苏宿迁·沭阳县怀文中学统考一模）2025年春节档电影《流浪地球2》的票房亿，将数据亿用科学计数法表示为___________．
【答案】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
【详解】∵亿，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·统考一模）体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放吨，数用科学记数法表示为__________．
【答案】
【分析】根据科学记数法的定义即可解答．
【详解】解：∵，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，理解科学记数法的定义是解题的关键．
【变式2】（2025春·辽宁本溪·九年级统考阶段练习）“大国点名、没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约人．数“”用科学记数法表示为______．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案是：．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式3】（2025春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：27500亿，
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
考点6：求一个数的近似数
典例6：（2025春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）截止2025年末，刘集镇有户籍人口48376人，这一数据精确到千位表示约为_____．
【答案】
【分析】用科学记数法，是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
【详解】解：48376这一数据精确到千位表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查近似数和有效数字以及科学记数法，解答本题的关键是明确近似数的含义．
【变式1】（2025秋·江苏盐城·八年级校考期末）按括号内的要求，用四舍五入法求近似数：5.748（精确到0.01）______．
【答案】
【分析】把千分位上的数字进行四舍五入即可．
【详解】解：精确到．
故答案为：．
【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
【变式2】（2025·江苏徐州·校考一模）中国空间站飞行的圆形轨道周长约为米用科学记数法表示(精确到米) 约是______．
【答案】
【分析】将万位的数字6四舍五入到十万位，然后用科学记数法表示即可求解．
【详解】解： (精确到米) ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求近似数，科学记数法，掌握科学记数法以及四舍五入法求近似数是解题的关键．
【变式3】（2025秋·山东淄博·六年级统考期末）用四舍五入法将精确到百分位的结果是_________________．
【答案】
【分析】利用四舍五入法进行求解即可．
【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位的结果是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查近似数．熟练掌握四舍五入法，是解题的关键．
考点7：指出近似数的精确度
典例7：（2025秋·江苏扬州·八年级校考期末）用四舍五入法得到的近似数为3.59万，精确到 ______位 ．
【答案】百
【分析】3.59万=35900，9在百位上，即得答案．
【详解】用四舍五入法得到的近似数为3.59万，即35900，精确到百位；
故答案为：百．
【点睛】本题考查了近似数的精确度，属于基础题目，掌握近似数的精确度是解题关键．
【变式1】（2025秋·河南商丘·七年级统考期中）近似数精确到______位；用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是______．
【答案】 十万 3.142
【分析】根据近似数精确到，即十万位，根据近似数的精确度把3.1415926的数字5进行四舍五入即可．
【详解】解：近似数精确到十万位；
用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是3.142．
故答案为：十万，3.142．
【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字，经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数起到这个数完，所以这些数字都叫做这个近似数的有效数字．
【变式2】（2025秋·江苏镇江·八年级统考期末）2025年11月30日，神舟十五号载人飞船上的3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．神舟十五号载人飞船飞行时速是公里小时，由四舍五入法得到近似数为公里/小时，该近似数精确到______位．
【答案】千
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：近似数，8位于千位，
则该数精确到千位，
故答案为：千．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
【变式3】（2025秋·浙江杭州·七年级校考期中）______（精确到0.1）；近似数13.7万精确到______位．
【答案】 0.3 千
【分析】根据精确度到0.3之后2四舍五入舍去为0.3，根据近似数13.7万精确到7，而7是千位即可
【详解】解：（精确到0.1）
近似数13.7万精确到千位．
故答案为0.3，千．
【点睛】本题考查按精确度取近似数，与给近似数确定精确度，掌握精确度定义，一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确度哪一位，从左边第一个不为0的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．
考点8：由近似数推算真值范围
典例8：（2025秋·浙江·七年级期末）近似数11.7精确到____位，这个近似数表示大于或等于______，而小于______的数．
【答案】 十分 11.65 11.75
【分析】精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入，根据四舍五入的方法即可求解．
【详解】解：近似数11.7精确到十分位，这个近似数表示大于或等于11.65，而小于11.75的数．
故答案为：十分，11.65，11.75．
【点睛】本题考查了近似数，精确到哪一位就是对这一位后边的数进行四舍五入．
【变式1】（2013·浙江杭州·七年级期中）小明的身高经过四含五入为1.72米，那么小明的真实身高范围为________．
【答案】 1.715． 1.725．
【分析】精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．
【详解】解：小明的身高经过四含五入为1.72米，那么小明的真实身高范围为．
故答案为：1.715，1.725．
【点睛】本题目的在于考查学生对近似数的理解，精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．
【变式2】（2025秋·山东·七年级日照市新营中学校考阶段练习）若某数由四舍五入得到的近似数是3.240，那么原来的数介于_____和_____之间．
【答案】 3.2395， 3.2405．
【分析】根据近似数的精确度求解即可.
【详解】解：数a由四舍五入得到的近似数是3.240，那么3.2395≤a＜3.2405．
故答案为3.2395，3.2405．
【点睛】本题考查了近似数的知识，本题中明确数a的范围3.2395≤a＜3.2405是正确解答的关键.
【变式3】（2014秋·浙江嘉兴·七年级统考期中）已知有理数x的近似值是2.14，则x的取值范围是2.135≤x＜_______．
【答案】2.145
【详解】试题分析：用四舍五入法得到a的近似值是2.14，数a的范围为2.135≤a＜2.145.
考点：近似数和有效数字．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·福建泉州·七年级校联考期中）央视网消息：针对湖北疫情防控形势，从1月25日到2月19日，湖北省减灾备灾中心共向全省17个市州调运折叠床、棉被、棉衣、棉大衣等29.94万件套．29.94万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把1万用科学记数法表示，再用29.94万写成，然后根据科学记数法的概念写成．
【详解】∵1万=，
∴29.94万=．
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示技巧是解题关键．
2．（2025·四川绵阳·统考三模）坚持“动态清零”，有效保护经济发展，促进经济发展，使经济发展免受病毒和疫情造成的冲击．正因如此，绵阳市2025年GDP突破3350亿！，把“3350亿”这个数用科学记数法表示为（ ）
A．3.350×108 B．3.350×109 C．3.350×1010 D．3.350×1011
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解：用科学记数法表示：3350亿=335000000000=3.350×1011．
故选：D．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．解题的关键是熟记科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）第四届世界茉莉花大会、2025年中国（横州）茉莉花文化节于9月19日、20日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约125000亩．数据125000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2025秋·河北保定·七年级统考期末）下列式子中，计算结果为﹣1的是（ ）
A．|﹣1| B．﹣（﹣1） C．﹣12 D．（﹣1）2
【答案】C
【详解】试题分析：根据绝对值、相反数和乘方计算即可．
解：A、|﹣1|=1，错误；
B、﹣（﹣1）=1，错误；
C、﹣12=﹣1，正确；
D、（﹣1）2=1，错误；
故选C．
考点：有理数的乘方；相反数；绝对值．
5．（2025·四川成都·一模）据海外网消息，根据Worldometer实时统计数据，截至北京时间2025年3月16日6时30分左右，数据“12000万”用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×107 B．12×107 C．1.2×108 D．1.2×109
【答案】C
【分析】用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果．
【详解】解：的绝对值大于表示成的形式
，
表示成
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值．
6．（2025秋·内蒙古赤峰·七年级统考期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数减法，除法，乘除混合计算和有理数的乘方计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算错误，符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数减法，除法，乘除混合计算和有理数的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
7．（2025秋·天津·七年级校考期中）规定一种运算法则： ，则的值为 （ ）
A．－22 B．－14 C．14 D．22
【答案】B
【分析】根据即可得到，然后根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，解题的关键在于能够正确读懂题意．
8．（2025·海南·中考真题）连接海口、文昌两市的跨海大桥﹣﹣铺前大桥，近日获国家发改委批准建设，该桥估计总投资约为1460000000元，数据1460000000用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数的绝对值是大于或等于1还是小于1．当该数的绝对值大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数的绝对值小于1时，为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．1 460 000 000一共10位，从而．
【详解】解∶．
故选∶B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（2025秋·七年级课时练习）计算：－22－(－3)3－(－1)10的结果是( )
A．6 B．22 C．24 D．14
【答案】B
【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的.
【详解】－22－(－3)3－(－1)10=-4-(-27)-1=-4+27-1=22
故选B.
【点睛】本题考查的是有理数的运算能力．注意：要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序.
10．（2025·广西·统考三模）某城区青年在“携手添绿，美丽共创”植树活动中，共栽植、养护树木15000株将15000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】15000=1.5×104，
故选A.
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题关键．
11．（2025秋·全国·七年级阶段练习）比较－，，的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据乘方运算，求得每个式子的值，再根据有理数大小比较方法，求解即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了有理数乘方运算以及大小比较，掌握有理数大小比较规则是解题的关键，正数大于零；负数小于零；两个负数比较大小绝对值大的反而小．
12．（2025秋·河南洛阳·七年级校联考期中）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值．则最后输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把a=-2代入程序中计算，判断结果是否大于20，以此类推，得到结果大于20时输出即可．
【详解】把a=-2代入得：a（a+1）=2＜20，
把a=2代入得：a（a+1）=6＜20，
把a=6代入得：a（a+1）=42＞20，
则最后输出的结果为42，
故选B．
【点睛】此题考查了代数式求值，弄清程序运算的运算顺序，熟练掌握和运用相关的运算法则是解本题的关键．
13．（2025秋·安徽合肥·七年级校考期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，···，第2025次输出的结果为（ ）
A．3 B．18 C．12 D．6
【答案】A
【详解】第3次输出的结果为：9+3=12
第4次输出的结果为：12×=6
第5次输出的结果为：6×=3
第6次输出的结果为：3+3=6
第7次输出的结果为：6×=3
第8次输出的结果为：3+3=6
…
∴从4次开始，每次输出的结果都是6、3、6、3、…，
∴第2025次输出的结果为3．
故选A．
【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
14．（2025·贵州毕节·二模）《2025—2025中国大数据产业发展报告》预测，未来三年，我国大数据产业市场将保持12%以上的增速，到2025年整体规模将达到11522.5亿元．11522.5亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将 11522.5 亿用科学记数法表示为：．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（2025秋·七年级课时练习）小飞测量身高近似1.71米，若小飞的身高记为x，则他的实际身高范围为（　 　）
A．1.7≤x≤1.8 B．1.705＜x＜1.715
C．1.705≤x＜1.715 D．1.705≤x≤1.715
【答案】C
【详解】根据题意得，小春的身高最矮为1.705米，最高小于1.715米，故选C．
二、填空题
16．（2025秋·重庆合川·七年级统考期末）计算：___________.
【答案】-24
【分析】先算乘方，再算乘法即可
【详解】 -24
故答案为：-24
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握混合运算的顺序是解答此题的关键.
17．（2025春·浙江杭州·九年级期末）杭州注册志愿者人数已达108万人，将108万人用科学记数法表示为______人．
【答案】1.08×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将108万用科学记数法表示为1.08×106．
故答案为：1.08×106．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
18．（2025秋·广东佛山·七年级佛山市南海区大沥镇许海初级中学校联考阶段练习）已知四个有理数:+3,-8,-10, 12,请通过有理数的加减混合运算,使其运算结果最大,则这个结果的最大值是_____．
【答案】33
【分析】利用负数用减相当于加一个正数列算式计算即可.
【详解】负数用减,相当于加一个正数,则最大值为：+3-（-8）-（-10）+12=33.
【点睛】本题考查有理数的加减，解题的关键是利用负数用减相当于加一个正数列算式.
19．（2025秋·湖南永州·七年级统考期末）计算：_____．
【答案】
【分析】先计算乘方再计算乘法即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（2025秋·甘肃酒泉·七年级校考期中）若，则________．
【答案】1
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出x和y的值，再通过有理数的乘方运算法则计算出结果即可．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
则．
故答案为：1．
【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，有理数的乘方运算，解题的关键在于熟练掌握绝对值和平方的非负性．
21．（2025秋·江苏淮安·七年级校考期中）气象部门测定，高度每增加1千米，气温大约下降5℃，现在地面气温是18℃，那么4千米高空的气温是_____℃．
【答案】-2
【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．
【详解】根据题意得：18-4×5=18-20=-2℃，
故答案为-2
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2025·江苏泰州·校考一模）数据99500用科学记数法表示为_____________________
【答案】9.95×104．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】99500的小数点向左移动4位得到9.95，
所以99500用科学记数法表示为9.95×104，
故答案为9.95×104．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
23．（2025·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）近似数1.30×105精确到_____位．
【答案】千
【详解】1.30×105=130000，因为3后面的第一个0在千位上，所以近似数1.30×105精确到千位，故答案为千.
24．（2025秋·上海松江·七年级校考期中）计算：__________________（结果用幂的形式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了指数运算法则的计算.
【详解】×(-33)=.
【点睛】本题考查了指数运算的化简，掌握指数运算法则是解决此题的关键.
25．（2025秋·浙江杭州·七年级杭州市采荷中学校考阶段练习）已知表示4个不同的正整数，满足，其中，则的最大值是__________．
【答案】70
【分析】要使a+b+c+d最大，则d应尽可能小，根据已知，得到d=2，进一步确定c尽可能小，则c=1，由四个数不相同，则b取3，从而计算出a，即可得到结论．
【详解】∵d＞1，d为正整数，要使a+b+c+d最大，则d应尽可能小，∴d=2，同样的道理，c应尽可能小．
∵c为正整数，∴c=1，∴a+b2+13+24=90，∴a+b2=73．同理，b尽可能小，a尽可能大．
∵a、b、c、d表示4个不同的正整数，∴b=3，∴a=64，∴a+b+c+d=64+3+1+2=70．故a+b+c+d的最大值是70．
故答案为70．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键是根据已知依次确定d、c、b的取值．
三、解答题
26．（2025秋·江苏徐州·七年级统考期末）计算：（1）
（2）
【答案】（1）-2；（2）21．
【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据乘法分配律和有理数的各个运算法则计算即可．
【详解】解：（1）
=
=
=-2．
（2）
=
=-12+15+18
=21．
【点睛】此题考查的是有理数混合运算，掌握乘法分配律和有理数的各个运算法则是解决此题的关键．
27．（2025秋·河北唐山·七年级统考期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆；
（2）根据上表计算前三天共生产多少辆；
（3）该厂实行计划工资制，每辆车50元，超额完成任务超出部分每辆额外奖励15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周工资总额是多少？
【答案】（1）22；（2）307；（3）35690．
【分析】（1）由表格可知产量最多的是周四，产量最少的周日，求两天的产量差即可得答案；
（2）先求出前三天多生产数量在加上每天的产量，可得答案；
（3）根据正负数意义，求出一周超出任务数量，再求出一周工资总额，可得答案．
【详解】解：（1）（辆．
则产量最多的一天比产量最少的一天多生产22辆．
故答案为：22；
（2）前三天共生产多生产数量为：，
（辆．
则前三天共生产307辆．
（3）一周超出任务量为：（辆
（辆
（元．
答：该厂工人这一周的工资总额是35390元．
【点睛】本题考查的是正负数及有理数加法在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量并根据题意进行有理数的加减运算．
28．（2025·江苏·七年级假期作业）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）．
(1)求2M（2025）+M（2025）的值．
(2)猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由．
【答案】(1)0
(2)2M（n）与M（n+1）互为相反数，理由见解析
【分析】（1）根据已知算式即可进行计算；
（2）结合（1）将算式变形即可说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【详解】（1）解：2M（2025）+M（2025）
＝2×（﹣2）2025+（﹣2）2025
＝2×22025+（﹣2）2025
＝22025+（﹣2）2025
＝0；
（2）解：2M（n）与M（n+1）互为相反数，理由如下：
因为2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，
所以2M（n）＝﹣M（n+1），
所以2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，解决本题的关键是掌握有理数的乘方和有理数的乘法．
29．（2025秋·广东深圳·七年级统考期中）计算：
（1）﹣9＋5﹣（﹣12）＋（﹣3）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）5；（2）-42；（3）1
【分析】（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）根据有理数乘法的分配律求解即可；
（3）先计算乘方，然后根据有理数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）原式＝﹣9+5+12﹣3
＝﹣4+12﹣3
＝5；
（2）原式＝
＝﹣6+20﹣56
＝﹣42；
（3）原式＝
＝﹣1×（﹣5）﹣4
＝5﹣4
＝1．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘法的分配律，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
30．（2025秋·福建泉州·七年级统考阶段练习）暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：
（1）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．
这两张卡片上的数字分别是 ，积为 _．
（2）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．
这两张卡片上的数字分别是 ，商为 ．
（3）从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子．（写出一种即可）
【答案】（1）－5和－3，15 ； (2) －5和＋3， ； (3)（答案不唯一）
【分析】(1)要想乘积最大，必须积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可.
(2)要想商最小，必须商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可.
(3)把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24，然后找到合适的卡片能够通过运算得到24的因数即可.
【详解】(1)要想乘积最大，必须积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘
则有（+3）×（+4）=12，（-5）×（-3）=15
积最大为15，所以选择卡片-5和卡片-3
(2) 要想商最小，必须商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值.
则有(-5)÷3=，(-5)÷4=，4÷（-3）=
商最小为，所选择卡片-5和卡片+3
(3) 把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24等形式.
当2×12=24时，2=（-3）-（-5），12=3×4
则[(-3)-(-5)]×3×4=12
故选择卡片数字为：-3，-5，+3，+4
当3×8=24时，可得-3×（-8）=24，则-8=（-5）-3
则-3×[(-5)-3]=24.
同理可继续推导.
故答案为（1）－5和－3，15 ；(2) －5和＋3；(3)（答案不唯一）
【点睛】本题综合性的考察了有理数的计算，因为正数大于负数，所以在本题中务必理解两个数乘积最大值只有在正数里面选择，两数商最小值，只有在负数里面选择.
31．（2025秋·江苏无锡·七年级阶段练习）计算：
①；
② ；
③ 17－8÷(－2)＋4×(—5) ；
④；
⑤ （﹣2）2×7﹣（﹣3）×6﹣|﹣5|；
⑥ .
【答案】①5；② 1；③ 1；④ -38；⑤ 41；⑥ -3599.5.
【分析】①根据有理数加法法则进行计算即可；
②根据有理数乘除法法则进行计算即可；
③先计算乘除法，然后再进行加减法运算即可；
④按顺序分别进行乘方运算、利用分配律进行运算，然后再进行加减运算即可；
⑤先进行乘方运算，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可；
⑥先将改写成-100+，然后利用分配律进行计算即可.
【详解】①原式=13+（-5）+（-3）=8+（-3）=5；
②原式=81×=1；
③原式=17-（-4）+（-20）=17+4+（-20）=21+（-20）=1；
④原式=1-（45-24+18）=1-（21+18）=1-39=-38；
⑤原式=4×7-（-18）-5=28+18-5=41；
⑥原式=（-100+）×36=-3600+0.5=-3599.5.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
32．（2025秋·七年级课时练习）（2013秋 营口期末）若（2a﹣1）2+|2a+b|=0，且|c﹣1|=2，求c （a3﹣b）的值．
【答案】 或
【详解】试题分析：由 可得 ， ，由 可得 或 ，然后将 的值代入 中求值即可.
试题解析：∵（2a﹣1）2+|2a+b|=0，
∴（2a﹣1）2≥0，|2a+b|≥0，
∴2a﹣1=0，2a+b=0，解得a=，b=﹣1.
∵|c﹣1|=2 ，∴c﹣1=±2， 解得c=3或﹣1.
当a=，b=﹣1，c=3时，c（a3﹣b）=3×[（）3﹣（﹣1）]=，
当a=，b=﹣1，c=﹣1时，c（a3﹣b）=（﹣1）×[（）3﹣（﹣1）]=﹣．
33．（2025秋·江苏南京·七年级统考期中）计算：
（1）3-11+9-13；
（2）-25÷×÷（-32）；
（3）（）÷（）；
（4）-14-（1-0.5）×÷（-3）2．
【答案】（1）-12；（2）；（3）5；（4）．
【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可；
（2）除法转化为乘法，再约分即可；
（3）除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开，继而进一步计算即可；
（4）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】（1）3-11+9-13
=-8+(-4)
=-12 ；
（2）-25÷×÷（-32）
；
（3）()÷()
；
（4）-14-(1-0.5)×÷(-3)2
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．
34．（2025秋·广东佛山·七年级校考期中）计算：
【答案】
【分析】先计算乘方、绝对值及括号内的运算，再运用有理数乘法运算及加法运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查含乘方运算的有理数混合运算，涉及绝对值运算、有理数乘法运算和有理数加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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