资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题15 绝对值的分类讨论问题
一、单选题
1．（2025秋·河北石家庄·七年级校考期中），则x________y.（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合数为负数时其绝对值为其相反数，以此进行分析注意为0的情况.
【详解】解：由可知，解得.
故选D.
【点睛】本题考查绝对值的代数意义，要注意数为0时绝对值为0同样满足条件.
2．（2025秋·福建莆田·七年级校考阶段练习）下列说法不正确的是（ ）．
A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数
C．有最大的负数 D．有绝对值最小的有理数
【答案】C
【分析】根据有理数的相关概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、没有最大的有理数（可以无限大），正确，故本选项错误；
B、没有最小的有理数（可以无限小），正确，故本选项错误；
C、有最大的负数，错误，故本选项正确；
D、有绝对值最小的有理数（零），正确，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查有理数和绝对值，解题的关键是要注意既没有最大的有理数也没有最小的有理数．
3．（2025秋·江苏南通·七年级校联考期中）下面的四个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】根据有理数的加法的运算方法，以及绝对值的性质和应用，逐项判断即可．
【详解】解：∵若a＋b＝0，则|a|＝|b|，
∴选项①符合题意；
∵若|a|＝ a，则a≤0，
∴选项②不符合题意；
∵若|a|＝|b|，则a＝b或a＝ b，
∴选项③不符合题意；
∵若|a|＋|b|＝0，则a＝b＝0，
∴选项④符合题意，
∴正确的是：①④．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及绝对值的性质和应用，熟练掌握知识点是解题关键．
4．（2025秋·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）已知2021个整数a1，a2，a3，…，a2020满足下列条件：a1＝1，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，……a2020＝﹣|a2019+1|，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（ ）
A．0 B．﹣1009 C．﹣1011 D．﹣2021
【答案】C
【分析】根据题意，可以分别求得这列数的各项的数值，从而可以求得从a3开始2个一循环，本题即可求解．
【详解】解：∵a1＝1，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，……a2020＝﹣|a2019+1|，
∴a2=-2，a3=-1，a4=0，a5=-1，a6=0，a7=-1，……，a2020=0，a2021=-1，
∴从a3开始2个一循环，
∴a1+a2+a3+…+a2021=（1-2）+（-1+0）×1009+（-1）=-1011．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是得到这列数从a3开始2个一循环的规律．
5．（2025秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，那么的值 （ ）
A．1 B．-3 C．1或-3 D．-32
【答案】C
【详解】试题解析：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b=0，cd=1，m=±2，
∴+m-cd=0+m-1=m-1，
当m=2时，原式=2-1=1；
当m=-2时，原式=-2-1=-3．
考点：1．代数式求值；2．相反数；3．绝对值；4．倒数．
6．（2025秋·广东深圳·七年级深圳实验学校校考期末）已知 x﹣y＝4，|x|+|y|＝7，那么 x+y 的值是（ ）
A．± B．± C．±7 D．±1
【答案】C
【分析】根据x-y=4，可得：x=y+4，代入|x|+|y|=7，然后分类讨论y的取值即可．
【详解】解：由x-y=4，得：x=y+4，代入|x|+|y|=7，
∴|y+4|+|y|=7，
①当y≥0时，原式可化为：2y+4=7，解得：y=，
②当y≤-4时，原式可化为：-y-4-y=7，解得：y= ，
③当-4＜y＜0时，原式可化为：y+4-y=7，故此时无解；
所以当y=时，x=，x+y=7，
当y= 时，x= ，x+y=-7，
综上：x+y=±7．
故选C．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，本题的关键是把x用y表示出来后，再对方程进行分类讨论去掉绝对值符号，解出对应的x、y,再求x+y值．
7．（2025秋·甘肃武威·七年级校考阶段练习）如图，点、、在数轴上表示的数分别为、、，且，则下列结论中①；②；③；④.其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据图示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，据此逐项判定即可．
【详解】解：∵c＜a＜0，b＞0，
∴abc＞0，
∴选项①错误；
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴b-c＞0，
∴-a（b-c）＞0，
∴选项②正确；
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴-a+b=-c，
∴a-c=b，
∴选项③正确；
∵，
选项④错误；
∴错误的有2个：①和④；
故选择：B.
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
8．（2025秋·山东临沂·七年级校考期中）设实数、、满足（），且，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据ac＜0可知，a，c异号，再根据a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|，即可确定a，b，-c在数轴上的位置，而|x-a|+|x-b|+|x+c|表示数轴上的点到a，b，-c三点的距离的和，根据数轴即可确定．
【详解】∵ac＜0
∴a，c异号
∴a＜0，c＞0
又∵a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|
∴a＜b＜-c＜0＜c
|x-a|+|x-b|+|x+c|表示到a，b，-c三点的距离的和．当x在表示b点的数的位置时距离最小，即|x-a|+|x-b|+|x+c|最小，最小值是a与-c之间的距离，即-c-a．
故选D．
【点睛】本题解决的关键是根据条件确定a，b，c，-c之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题．
二、填空题
9．（2025秋·全国·七年级专题练习）式子5－｜a＋b｜的最大值是_______，当它取最大值时，a与b的关系是______.
【答案】 5 互为相反数
【分析】5－｜a＋b｜有最大值，则只有当｜a＋b｜取最小值时才满足，可知｜a＋b｜是非负数，大于等于0，所以｜a＋b｜最小值是0.由此判断出最大值和a与b的关系.
【详解】因为5－｜a＋b｜有最大值
所以只有｜a＋b｜有最小值
因为｜a＋b｜≥0
所以｜a＋b｜的最小值是0
则当｜a＋b｜=0时，5－｜a＋b｜的最大值为5-0=5
故此时a＋b=0，所以a与b互为相反数.
故答案为5； 互为相反数.
【点睛】本题需要注意的是非负数的形式为，还有互为相反数的两个数和为0.
10．（2025秋·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）已知，，且，，则________．
【答案】-8
【分析】根据绝对值得意义和正负数的意义,求出x和y的值然后求解即可.
【详解】解：∵,,
∴x=3或-3,y=5或-5
∵,
∴x和y异号
又∵
∴x=-3,y=5
∴x-y=-3-5=-8
故答案为-8.
【点睛】本题考查了绝对值和正负数的意义,解决本题的关键是正确理解题意,熟练掌握绝对值的意义.
11．（2025秋·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则3cd+的值为_____．
【答案】﹣1或7．
【分析】根据a、b互为相反数可得a+b=0，由c、d互为倒数可得cd=1，由m的绝对值是2可得m=±2，由此即可求得所求式子的值．
【详解】∵a、b互为相反数，c．d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
当m＝2时，
3cd+
＝3×1+
＝3+0﹣4
＝﹣1，
当m＝﹣2时，
3cd+
＝3×1+
＝3+0+4
＝7，
故答案为：﹣1或7．
【点睛】此题主要考查对相反数、倒数以及绝对值的理解，熟练掌握，即可解题.
12．（2025秋·四川宜宾·七年级校考期中）小明做这样一道题：“计算：|（－4）＋■|”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是等于9，那么“■”表示的数是_____________
【答案】-5或13.
【分析】根据绝对值的性质求得结果，采用排除法判定正确选项．
【详解】解：设这个数为x，则
|（-4）+x|=9，
∴-4+x=-9或-4+x=9，
∴x=-5或13．
故答案为-5或13．
【点睛】此题考查了绝对值的运算．注意绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．
13．（2025秋·湖南岳阳·七年级统考期末）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，且，求的值为___．
【答案】7
【分析】根据条件，表示方法，确定表示方法中的哪两个数是表示同一个数，后代入化简计算即可．
【详解】∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，
∴a+b=0或b=0，
若b=0，则就没有意义，
故b=0不成立，
∴a+b=0；
若=1，则a=b，这与已知三个互不相等的有理数矛盾，
∴=1不成立，
故a=1，
∴=b即，
∴b= -1或b=1，与a相等，舍去，
∴a+b=0，a=1，b= -1，
∵，
∴，
∴
=0-1-1+9
=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘方运算是解题的关键．
14．（2025秋·全国·七年级阶段练习）已知是一个给定的正整数，记，若，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据 的意义，用含 和绝对值的式子表示出方程，根据是正整数，可以依次试验，确定 的值．
【详解】，
，
若 ，
则 ，
不成立；
若 ，
则 ，
不成立；
若 ，
则 ，
不成立；
以此类推，
若 ，
等式，
恰好成立．
．
【点睛】本题考查了绝对值和新定义运算，明白新定义并运用新定义是解本题的关键．
15．（2025秋·江西吉安·七年级校联考期中）在学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数、的、两点之间的距离等于．现请根据绝对值的意义并结合数轴解答以下问题：满足的的值为___________．
【答案】3或
【分析】根据两点间的距离公式，对x的值进行分类讨论，然后求出x，即可解答；
【详解】解：根据题意，表示数轴上x与1的距离与x与的距离之和，
当时，，
解得：；
当时，，
此方程无解，舍去；
当时，，
解得：；
∴满足的的值为：3或.
故答案为：3或.
【点睛】本题考查了两点之间的距离，以及绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，正确的把绝对值进行化简.注意利用分类讨论的思想解题.
16．（2025秋·浙江·七年级专题练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离:同理也可理解为与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索:
（1）求= ;
（2）若，则= ;
（3）请你找出所有符合条件的整数,使得.
【答案】（1）7；（2）8或-4；（3）-3，-2，-1,0,1,2
【分析】（1）根据5与-2两数在数轴上所对应的点之间的距离即可得出答案；
（2）根据表示与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为6，即可得出答案；
（3）因为2和-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离就是5，所以使成立的整数是2和-3之间的所有整数（包括2和-3），即可得出答案.
【详解】解：（1）∵5与-2两数在数轴上所对应的点之间的距离是7，
∴
（2）表示与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为6
∵8或-4与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，
∴若，则=8或-4；
（3）∵2和-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5
∴使得成立的整数是-3与2之间的所有整数（包括-3和2）
∴这样的整数是
【点睛】本题考查的是数轴和绝对值的知识，能够正确理解题意是解题的关键.
三、解答题
17．（2025秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知|x|＝2，|y|＝4，若x＜y，求xy的值．
【答案】16
【分析】根据绝对值的意义和性质可知x、y的值，代入即可求出xy的值．
【详解】解：因为|x|＝2，|y|＝4，
所以x＝±2，y＝±4，又x＜y，
所以当x＝2，y＝4时，xy＝16；
当x＝﹣2，y＝4时，xy＝16．
所以xy的值是16．
【点睛】本题考查绝对值的性质和有理数的乘方运算,关键在于熟记性质得出确切值代入即可.
18．（2025秋·七年级课时练习）某公司8天内货品进出仓库的吨数记录有10次，数据如下：（“＋”表示进库，“－”表示出库，单位：吨），，，，，，，，，．
(1)经过这8天，仓库里的货品在增加了还是减少了？增加或减少了多少？
(2)如果进出库的装卸费都是8元/吨，那么求出这8天中进出货品需要付的装卸费是多少？
【答案】(1)仓库里的货品增加了32吨
(2)元
【分析】（1）将每次的进出库的吨数记录相加即可得8天的总进出库的吨数．
（2）因为进出库的装卸费都是8元/吨，故将每天进出库的吨数记录的绝对值相加可得十次装卸的总吨数，所得装卸总吨数再乘以装卸费即为总装卸费．
(1)
（吨），
∵，
∴仓库里的货品增加了32吨．
(2)
（吨），
（元）
【点睛】本题考查了正负数和绝对值的应用，搞清楚吨数变化和装卸吨数两个概念是解题的关键．
19．（2025秋·山西朔州·七年级阶段练习）如果|a|＝8，|b|＝5，且a【答案】a＝－8，b＝5或a＝－8，b＝－5
【分析】根据绝对值的定义求得，再根据a【详解】解：∵|a|＝8，|b|＝5
∴
∵a∴或
【点睛】本题考查绝对值的定义以及分类讨论思想的运用，熟练掌握绝对值的定义以及确定a、b的值是解答本题的关键.
20．（2025秋·福建三明·七年级统考期中）整数a、b在数轴上的位置如图，已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，求a＋b的值
【答案】3
【分析】根据数轴可得b＞0，a＜0，从而可确定a，b的值，即可解答．
【详解】由数轴可得：b＞0，a＜0，
∵|a|＝2，|b|＝5，
∴a＝ 2，b＝5，
∴a＋b＝ 2＋5＝3．
【点睛】本题考查了绝对值与数轴，解决本题的关键是熟记绝对值的性质．
21．（2025秋·河南商丘·七年级统考阶段练习）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3．根据已知条件请回答：
（1）ab＝　 　，c+d＝　 　，m＝　 　，＝　 　．
（2）求：+ab+﹣的值．
【答案】（1）1，0，±3，﹣1；（2）3或1．
【分析】（1）根据倒数，相反数，绝对值的意义可得结论；
（2）将（1）所得式子代入可得结论．
【详解】（1）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c，d互为相反数，
∴c+d＝0，＝﹣1，
∵|m|＝3，
∴m＝±3，
故答案为1，0，±3，﹣1；
（2）当m＝3时，原式＝+1+0﹣（﹣1）＝3，
当m＝﹣3时，原式＝+1+0﹣（﹣1）＝1．
【点睛】本题运用了相反数和倒数、绝对值的概念，以及整体代入的思想．
22．（2025秋·湖北武汉·七年级统考期中）某快递员骑车从快递公司出发，沿东西方向行驶，依次到达A地、B地、D地、E地． 将向东行驶的路程（单位：km）记为正，向西行驶的路程记为负，则该快递员行驶的各段路程依次对应为：，，+7，+1，，最后该快递员回到快递公司．
（1）以快递公司为原点，用1个单位长度表示，在如图所示的数轴上标出表示A、B、C、D、E五个地方的位置；
（2）求B地与D地之间的距离；
（3）该快递员从公司出发直至回到该公司，一共骑行了______________
【答案】（1）见解析；（2）8km；（3）24
【分析】（1）根据数轴上点的表示方法分别表示出A、B、C、D、E五个地方的位置即可；
（2）用D点所表示的数减去B点表示的数求解即可；
（3）分别求出，，+7，+1，，－4的绝对值，然后求和即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）解：
答：地与地相距．
（3）．
【点睛】此题考查了数轴上点的表示和数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法和数轴上两点之间的距离求解方法．
23．（2025秋·浙江·七年级专题练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上有两个点A,B,分别用a，b表示，那么A,B两点间的距离为，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是　　，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　　；
(2)数轴上表示x和﹣1的两点A．B之间的距离是　　，如果|AB|＝2，那么x的值为　　；
(3)求|x﹣3|+|x+5|的最小值是：　　．
(4)若|x﹣3|＝|x+5|，则x＝　　．若|x﹣3|＝3|x+5|，则x＝　　．
【答案】(1)3，3，4
(2)|x+1|，1或﹣3
(3)8
(4)-1，﹣9或﹣3
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式进行计算即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离公式表示出x和﹣1的两点A．B之间的距离，然后令|AB|＝2，求解即可；
（3）由|x﹣3|+|x+5|表示的是数轴上数x到表示数3和到表示数﹣5的两点的距离之和，则当﹣5≤x≤3时，这个距离之和最小，化简绝对值即可；
（4）两个数的绝对值相等，即两个相等或互为相反数，分别列示求解即可．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|＝3；
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
故答案为：3，3，4；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
如果|AB|＝2，即，
解得或，
故答案为：|x+1|，1或﹣3；
（3）由|x﹣3|+|x+5|表示的是数轴上数x到表示数3和到表示数﹣5的两点的距离之和，
则当﹣5≤x≤3时，这个距离之和最小，
最小值为，
故答案为：；
（4）∵|x﹣3|＝|x+5|，
∴x﹣3＝x+5（无解）或x﹣3＝﹣x﹣5，
解得：x＝﹣1；
若|x﹣3|＝3|x+5|，
∴x﹣3＝3（x+5）或x﹣3＝﹣3（x+5），
解得：x＝﹣9或x＝﹣3，
故答案为：-1，﹣9或﹣3．
【点睛】本题考查了数轴上表示数的有意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是解决本题的关键．
24．（2025秋·湖北黄冈·七年级统考期中）已知a、b互为相反数，x、y互为倒数，c是最小的正整数，d的绝对值等于2，求﹣2018xy+2017cd的值．
【答案】当d＝﹣2时﹣6052；当d＝2时2016
【分析】根据相反数，绝对值，以及倒数的定义求出a+b，xy，c，d的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得a+b＝0，xy＝1，c＝1，d＝0，d＝±2，
∴当d＝﹣2时，﹣2018xy+2017cd＝0﹣2018+2017×1×（﹣2）＝﹣6052；
当d＝2时，﹣2018xy+2017cd＝0﹣2018+2017×1×2＝2016．
【点睛】本题考查了代数式求值，根据题意得出a+b=0，xy=1，c=1，d=±2是解答本题的关键．
25．（2025秋·江苏盐城·七年级统考期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a－b|．
请用上面的知识解答下面的问题：
（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－4的两点之间的距离是__________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______；
（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是___________，如果|AB|=2，那么x为_______；
（3）取最小值是_____________．
【答案】（1）4，2，4；（2），1或；（3）3．
【详解】试题分析：（1）在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；
（2）在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解．
试题解析：（1）|1﹣5|=4；|﹣2﹣（﹣4）|=2，|1﹣（﹣3）|=4；故答案为4，2，4；
（2）|x﹣（﹣1）|=|x+1|；由|AB|=2，得到：|x+1|=2，∴x=1或；故答案为，1或；
（3）当x＜﹣1时，|x+1|+|x-2|=﹣x-1﹣x+2=﹣2x+1；
当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1﹣x+2=3；
当x＞2时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1；
在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到﹣1及到2的距离之和，所以当﹣1≤x≤2时，它的最小值为3．
考点：1．绝对值；2．数轴．
26．（2025秋·湖北孝感·七年级统考期中）阅读下面材料并解决有关问题：我们知道： ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子．
如化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1=0 或 x-2=0，分别求得x=-1，x=-2(称-1，2分别为|x+1|和|x-2|的零点值．
在有理数范围内，零点值x=-1和x=2，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）<-1；（2）-1x (3)x-2
|从而化简式子|x+1|+|x-2|可分以下3种情况：
（1）当x<-1时，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1；
（2）当-1x时，原式= x+1-(x-2) =3；
（3）当x-2时，原式=x+1+(x-2)=2x-1
综上所述，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：“（1）化简|x-4|-|x+2|
(2)|x|+|x+1|+|x+2|
【答案】（1）= ；
（2） .
【详解】试题分析：根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据整式的运算，可得答案．
试题解析：
（1）当 时，原式=，
当时，原式=，
当 时，原式=，
综上所述，=
（2）当 时，原式=
当时，原式=
当时，原式=
当时，原式=
综上所述， .
【点睛】本题考查了实数的性质，分类讨论是解题关键．
27．（2025秋·江西新余·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与数在数轴上所对的两点之间的距离，即．试探索：
(1)同样道理表示数轴上有理数所对的点到和所对两点距离相等，则______；
(2)类似的表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有____________；
(3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由．
【答案】(1)
(2)，，，，，，，
(3)有最小值，最小值为
【分析】（1）根据题意得，所对点为和所对点的中点，得和的符号，根据去绝对值，即可；
（2）对的整数值，进行分段计算，令或，进行分段计算，最后确定的值；
（3）分类讨论的值，去绝对值，最后得出最小值．
【详解】（1）∵表示数轴上有理数所对的点到和所对两点距离相等，
∴所对点为和所对点的中点，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
（2）∵
当时，；当时，，
当时，，
∴
解得：（舍去）；
当时，，
∴，
∴
∵是整数
∴为：，，，，，，；
当时，，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的整数为：，，，，，，，．
故答案为：，，，，，，，．
（3）如图所示，点、，、、分别为线段左（外）边、之间、右（外）边的点，
当在点处时，即，表示线段的长度；
当在点处时，即，表示线段的长度；
当在点处时，即，表示线段的长度；
∵，
∴当在点处时，即，有最小值,即为线段的长度，
∴，
∴有最小值，最小值为：．
【点睛】本题考查绝对值和数轴的知识，解题的关键是掌握去绝对值和绝对值的性质，．
28．（2025秋·江苏·七年级期末）数轴上点表示数，点表示数，点表示数，若规定，
（1）当，，时，则______，______．
（2）当，，，时，则______．
（3）当，，且，求的值．
（4）若点、、为数轴上任意三点，，化简：
【答案】（1）3；7；（2）2或-1；（3）或或或；（4）或或或或或或或
【分析】（1）根据a,b,c的值计算出，然后代入即可计算出m,n的值；
（2）分 ，， 三种情况讨论，通过计算发现c只能处于这个范围内才符合题意，然后通过m的值建立一个关于c的方程，利用绝对值的意义即可求出c的值；
（3）同样分 ，， 三种情况讨论，分别进行讨论即可得出答案；
（4）分 六种情况进行讨论，即可得出答案．
【详解】（1）∵，，
∴
（2）∵，，
若，则
若，则
若时，此时
∴ 或
∴ 或
（3）若，则，
∵
∴
∴
若，则，
∵
∴
∴
若时，此时
∵
∴
∴ 或
∴ 或
综上所述，c的值为或或或
（4）①若
则
∴
∴原式=
②若
则
当时，
∴
∴原式=
当时，
∴
∴原式=
③若
则
∴
∴原式=
④若
则
当时，
∴
∴原式=
当时，
∴
∴原式=
⑤
若
则
∴
∴原式=
⑥若
则
∴
∴原式=
【点睛】本题主要考查绝对值与合并同类项，掌握绝对值的性质是解题的关键．
29．（2025秋·江苏·七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“<”将a，b，c连接起来．
（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；
②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
【答案】（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b-1；（4）①b﹣a；②b﹣c．
【分析】（1）比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到右的顺序，即从小到大的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；
（2）先求出b﹣a的范围，再比较大小即可求解；
（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；
（4）根据绝对值的性质以及题意即可求出答案．
【详解】解：（1）根据数轴上的点得：c＜a＜b；
（2）由题意得：b﹣a＞0；
（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|
＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1
＝b﹣c﹣a+c+a﹣1
＝b-1；
（4）由图形可知：①当x在a和b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，
∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；
②当x＝a时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c为最小值．
故答案为：①b﹣a；②b﹣c．
【点睛】考查了数轴，通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．
30．（2025秋·江苏·七年级专题练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
（1）若|x＋3|＝2，则x＝______；
（2）利用数轴探究：
① |x－1|＋|x＋3|的最小值是_______，取得最小值时x的取值范围是_______；
② 满足|x－1|＋|x＋3|＞4的x的取值范围为_______．
（3）求满足|x＋1|＝2|x－5|＋3的x的值．
【答案】（1）－5或－1；（2）①4，－3≤x≤1；②x＜－3或x＞1；（3）x＝4或8．
【分析】（1）根据|x+3|=2所表示的意义，分两种情况进行解答即可；
（2）①|x-1|+|x+3|表示数轴上表示x的点，到表示1和-3的点距离之和，使距离之和最小，x在1与-3之间即可，即可得出答案；
②|x-1|+|x+3|＞4表示的意义：数轴上表示x的点，到表示1和-3点的距离之和大于4，根据图象法可得解集；
（3）分三种情况进行解答，即x＞5时，1＜x＜5时，x＜时，分别列方程求解即可．
【详解】解：（1）|x+3|=2表示数轴上到表示-3的点距离为2的点 所表示的数，
因此在-3的左侧时，此数为-5，在-3的右侧时，此数为-1，
故答案为：-5或-1；
（2）①|x-1|+|x+3|表示：数轴上表示x的点，到表示1的点和表示-3的点距离之和，
当x在1与-3之间时，这个距离之和最小，最小值为1-（-3）=4，此时x的取值范围为-3≤x≤1，
故答案为：4，-3≤x≤1；
②|x-1|+|x+3|＞4表示的意义：数轴上表示x的点，到表示1和-3点的距离之和大于4，
因此数轴上表示x的点在表示1的点右侧，此时x＞1，或在表示-3点的左侧，此时x＜-3，如图所示：
故答案为：x＞1或x＜-3；
（3）当数轴上表示x的点在表示5的点右侧，即x＞5时，有x+1=2（x-5）+3，
解得：x=8，
当数轴上表示x的点在表示1的点右侧5的点左侧，即1＜x＜5时，有x+1=2（5-x）+3，
解得：x=4，
当数轴上表示x的点在表示-1的点左侧，即x＜时，有，
解得：（不符合题意）；
故x的值为：4或8．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，数轴上两点距离的计算方法，理解数轴上两点距离的计算方法是正确解答的前提．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题15 绝对值的分类讨论问题
一、单选题
1．（2025秋·河北石家庄·七年级校考期中），则x________y.（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋·福建莆田·七年级校考阶段练习）下列说法不正确的是（ ）．
A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数
C．有最大的负数 D．有绝对值最小的有理数
3．（2025秋·江苏南通·七年级校联考期中）下面的四个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4．（2025秋·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）已知2021个整数a1，a2，a3，…，a2020满足下列条件：a1＝1，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，……a2020＝﹣|a2019+1|，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（ ）
A．0 B．﹣1009 C．﹣1011 D．﹣2021
5．（2025秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，那么的值 （ ）
A．1 B．-3 C．1或-3 D．-32
6．（2025秋·广东深圳·七年级深圳实验学校校考期末）已知 x﹣y＝4，|x|+|y|＝7，那么 x+y 的值是（ ）
A．± B．± C．±7 D．±1
7．（2025秋·甘肃武威·七年级校考阶段练习）如图，点、、在数轴上表示的数分别为、、，且，则下列结论中①；②；③；④.其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025秋·山东临沂·七年级校考期中）设实数、、满足（），且，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025秋·全国·七年级专题练习）式子5－｜a＋b｜的最大值是_______，当它取最大值时，a与b的关系是______.
10．（2025秋·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）已知，，且，，则________．
11．（2025秋·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则3cd+的值为_____．
12．（2025秋·四川宜宾·七年级校考期中）小明做这样一道题：“计算：|（－4）＋■|”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是等于9，那么“■”表示的数是_____________
13．（2025秋·湖南岳阳·七年级统考期末）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，且，求的值为___．
14．（2025秋·全国·七年级阶段练习）已知是一个给定的正整数，记，若，则的值为__________．
15．（2025秋·江西吉安·七年级校联考期中）在学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数、的、两点之间的距离等于．现请根据绝对值的意义并结合数轴解答以下问题：满足的的值为___________．
16．（2025秋·浙江·七年级专题练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离:同理也可理解为与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索:
（1）求= ;
（2）若，则= ;
（3）请你找出所有符合条件的整数,使得.
三、解答题
17．（2025秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知|x|＝2，|y|＝4，若x＜y，求xy的值．
18．（2025秋·七年级课时练习）某公司8天内货品进出仓库的吨数记录有10次，数据如下：（“＋”表示进库，“－”表示出库，单位：吨），，，，，，，，，．
(1)经过这8天，仓库里的货品在增加了还是减少了？增加或减少了多少？
(2)如果进出库的装卸费都是8元/吨，那么求出这8天中进出货品需要付的装卸费是多少？
19．（2025秋·山西朔州·七年级阶段练习）如果|a|＝8，|b|＝5，且a20．（2025秋·福建三明·七年级统考期中）整数a、b在数轴上的位置如图，已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，求a＋b的值
21．（2025秋·河南商丘·七年级统考阶段练习）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3．根据已知条件请回答：
（1）ab＝　 　，c+d＝　 　，m＝　 　，＝　 　．
（2）求：+ab+﹣的值．
22．（2025秋·湖北武汉·七年级统考期中）某快递员骑车从快递公司出发，沿东西方向行驶，依次到达A地、B地、D地、E地． 将向东行驶的路程（单位：km）记为正，向西行驶的路程记为负，则该快递员行驶的各段路程依次对应为：，，+7，+1，，最后该快递员回到快递公司．
（1）以快递公司为原点，用1个单位长度表示，在如图所示的数轴上标出表示A、B、C、D、E五个地方的位置；
（2）求B地与D地之间的距离；
（3）该快递员从公司出发直至回到该公司，一共骑行了______________
23．（2025秋·浙江·七年级专题练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上有两个点A,B,分别用a，b表示，那么A,B两点间的距离为，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是　　，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　　；
(2)数轴上表示x和﹣1的两点A．B之间的距离是　　，如果|AB|＝2，那么x的值为　　；
(3)求|x﹣3|+|x+5|的最小值是：　　．
(4)若|x﹣3|＝|x+5|，则x＝　　．若|x﹣3|＝3|x+5|，则x＝　　．
24．（2025秋·湖北黄冈·七年级统考期中）已知a、b互为相反数，x、y互为倒数，c是最小的正整数，d的绝对值等于2，求﹣2018xy+2017cd的值．
25．（2025秋·江苏盐城·七年级统考期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a－b|．
请用上面的知识解答下面的问题：
（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－4的两点之间的距离是__________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______；
（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是___________，如果|AB|=2，那么x为_______；
（3）取最小值是_____________．
26．（2025秋·湖北孝感·七年级统考期中）阅读下面材料并解决有关问题：我们知道： ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子．
如化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1=0 或 x-2=0，分别求得x=-1，x=-2(称-1，2分别为|x+1|和|x-2|的零点值．
在有理数范围内，零点值x=-1和x=2，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）<-1；（2）-1x (3)x-2
|从而化简式子|x+1|+|x-2|可分以下3种情况：
（1）当x<-1时，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1；
（2）当-1x时，原式= x+1-(x-2) =3；
（3）当x-2时，原式=x+1+(x-2)=2x-1
综上所述，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：“（1）化简|x-4|-|x+2|
(2)|x|+|x+1|+|x+2|
27．（2025秋·江西新余·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与数在数轴上所对的两点之间的距离，即．试探索：
(1)同样道理表示数轴上有理数所对的点到和所对两点距离相等，则______；
(2)类似的表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有____________；
(3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由．
28．（2025秋·江苏·七年级期末）数轴上点表示数，点表示数，点表示数，若规定，
（1）当，，时，则______，______．
（2）当，，，时，则______．
（3）当，，且，求的值．
（4）若点、、为数轴上任意三点，，化简：
29．（2025秋·江苏·七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“<”将a，b，c连接起来．
（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；
②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
30．（2025秋·江苏·七年级专题练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
（1）若|x＋3|＝2，则x＝______；
（2）利用数轴探究：
① |x－1|＋|x＋3|的最小值是_______，取得最小值时x的取值范围是_______；
② 满足|x－1|＋|x＋3|＞4的x的取值范围为_______．
（3）求满足|x＋1|＝2|x－5|＋3的x的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑