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专题17 有理数、整式规律探究
一、单选题
1．（2025·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．
【详解】原数据可转化为：，
∴，
，
，
..．
∴第n个数为：，
∴第10个数为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
2．（202春·河北·九年级专题练习）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n个“平行四边形数”和“正六边形数”分别为a和b，若a+b＝103，则的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图中规律可知a=2n+2，b=3n（n+1）+1，求出n的值即可求解.
【详解】由图可知：a＝2n+2，b＝3n(n+1)+1，
∵a+b＝103，
∴2n+2+3n(n+1)+1＝3n2+5n+3＝103，
∴(n﹣5)(3n+20)＝0，
∴n＝5，n＝﹣(舍去)，
∴a＝12，b＝91，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查图形的规律，一元二次方程；根据图形的特点找到规律，求解一元二次方程是解题的关键．
3．（2025秋·江苏宿迁·七年级统考阶段练习）下面是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子
观察图形的变化规律，则第10个小房子用了( )颗石子．
A．119 B．121 C．140 D．142
【答案】C
【分析】要找这个小房子的规律，可以分为两部分来看：第一个屋顶是1，第二个屋顶是3．第三个屋顶是5．以此类推，第n个屋顶是2n-1．第一个下边是4．第二个下边是9．第三个下边是16．以此类推，第n个下边是（n+1）2个．两部分相加即可得出第n个小房子用的石子数是（n+1）2+2n-1=n2+4n，将n=10代入求值即可．
【详解】该小房子用的石子数可以分两部分找规律：
屋顶：第一个是1，第二个是3，第三个是5，…，以此类推，第n个是2n-1；
下边：第一个是4，第二个是9，第三个是16，…，以此类推，第n个是（n+1）2个．
所以共有（n+1）2+2n-1=n2+4n．
当n=10时，
n2+4n=140，
故选C．
【点睛】本题考查了图形的变化类，分清楚每一个小房子所用的石子个数，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
4．（2025秋·江苏常州·七年级校联考期中）如图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，(3)是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是( )个
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可用逐条分析的方法，从最高的那条开始计数．根据所给图形可知，从上到下逐层条是添加四个小正方体，通过计算得出结果．
【详解】根据题意可得知：
图（1）中有1×1=1个小正方体；
图（2）中有1×2+4×1=6个小正方体；
图（3）中有1×3+4×2+4×1=15个小正方体；
以此类推第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是91个．
故选A．
【点睛】此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力．注意此题中第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是1×7+4×6+4×5+4×4+4×3+4×2+4×1=7+4×（6+5+4+3+2+1）=91个
5．（2025春·安徽安庆·七年级统考期末）如图，直线，点A在直线m上，BC在直线n上，构成△ABC，把△ABC向右平移BC长度的一半得到△A B C （如图①），再把△向右平移BC长度的一半得到△（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是（ ）
A．4042 B．6063 C．8084 D．8088
【答案】C
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：观察图可得，第1个图形中大三角形有2个，小三角形有2个，
第2个图形中大三角形有4个，小三角形有4个，
第3个图形中大三角形有6个，小三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大三角形有2n个，小三角形有2n个．
故第2021个图形中三角形的个数是：2×2021+2×2021=8084．
故选：C．
【点睛】本题考查规律型问题，平行线的性质，平移变换等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
6．（2025秋·全国·七年级专题练习）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【详解】解：图2阴影部分面积＝，
图3阴影部分面积＝
图4阴影部分面积＝
图5阴影部分面积＝
故选：B．
【点睛】本题是考查探索和表达规律问题，根据已知条件推算出相关数据规律是解题的切入点．
7．（2025春·黑龙江七台河·七年级统考期末）如图，观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（　 　）
A．第505个正方形的左下角 B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的右上角
【答案】A
【分析】观察给定图形，每四个数字一循环，且第n个正方形中标记的最大的数为4n-1，依此规律即可得出结论．
【详解】由于从0开始，2019是第2020个数
∵2020=505×4，
∴数2019应标在第505个正方形上，是上面最大的数，与3的位置相同在左下角
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据正方形顶点上标数的变化找出变化规律是解题的关键．
8．（2025秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）计算的结果的个位数字是（ ）
A．9 B．5 C．1 D．7
【答案】A
【分析】找到和的个位数字的规律，再进行计算即可．
【详解】解：，
∴的个位数分别为：，每四个循环一次，
∵
∴的个位数字为：7；
，
∴的个位数分别为：，每四个循环一次，
∵，
∴的个位数字为：8；
又∵为负数，
∴，
∴的结果的个位数字是：；
故选A．
【点睛】本题考查数字规律探究．解题的关键是：抽象概括出相应的数字规律．
9．（2025秋·重庆九龙坡·七年级重庆市人和中学校考期末）下面由火柴棒拼出的一列图形中，第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火荣棒…，则第7个图形有（ ）根火柴棒．
A．16 B．22 C．15 D．21
【答案】B
【分析】根据变化规律，后一个图形比前一个图形多3根火柴棒，然后写出第n个图形的表达式从而可得结论．
【详解】解：第1个图形中有4根火柴棒；
第2个图形中有4+3=7根火柴棒；
第3个图形中有4+3×2=10根火柴棒；
…
第n个图形中火柴棒的根数有4+3×（n-1）=（3n+1）根火柴棒
当n=7时，3n+1=21+1=22
故选：B
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，比较简单，观察出后一个图形比前一个图形多3根火柴棒是解题的关键．
10．（2025秋·广东东莞·七年级校考期中）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是（ ）
A．680 B．760 C．800 D．960
【答案】C
【分析】仔细观察图形发现第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；…由此规律得到第n个图形有2n2个小菱形，然后代入n=20即可求得答案．
【详解】第一个图形有2×12=2个小菱形；
第二个图形有2×22=8个小菱形；
第三个图形有2×32=18个小菱形；
…
第n个图形有2n2个小菱形；
第20个图形有2×202=800个小菱形；
故选：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类规律，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律，利用规律解决问题．
11．（2025·浙江金华·七年级期中）计算：，，，，，，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】∵2016÷4=504, ∴即 +1的个位数字与的个位数字相同为2.
所以B选项是正确的.
点睛：本题考查了尾数的特征，通过观察可发现个位数字的规律为4、0、8、2依次循环,再计算即可得出答案.
12．（2025秋·全国·七年级专题练习）桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号（1，2，3，…，6），且每组相对面上的编号和为7．将其按顺时针方向滚动（如图），每滚动算一次，则滚动第2022次后，正方体朝下一面的数字是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】先找出正方体相对的面，然后从数字找规律即可解答．
【详解】解：由图可知：
3和4相对，2和5相对，1和6相对，
将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，骰子朝下一面的点数依次为5，4，2，3，且依次循环，
∵2022÷4=505......2，
∴滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是：4，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，先找出正方体相对的面，然后从数字找规律是解题的关键．
13．（2025秋·福建厦门·七年级校考阶段练习）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3， 6，10，…这样的数称为 “三角形数”（如图①），而把1， 4， 9， 16， ．．这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定…；，，，，…；，…那么，按此规定得（ ）
A．78 B．72 C．66 D．56
【答案】A
【分析】根据题中给出的数据可得a6＝1＋2＋3＋…＋6，b6＝62，把相关数值代入y6的代数式计算即可．
【详解】∵a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，a4＝1＋2＋3＋4＝10，…；
b1＝12，b2＝22＝4，b3＝32＝9，b4＝42＝16，
∴a6＝1＋2＋3＋…＋6，b6＝62，
∴y6＝2a6＋b6＝2×21＋36＝78．
故选：A．
【点睛】本题考查图形的变化规律，根据题意得出得到an，bn的计算方法是解决本题的关键．
14．（2025春·七年级课时练习）将下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数字是（　　）
3 a b c 0 2 …
A．3 B．2 C．0 D．
【答案】D
【分析】设表格中c后面的数为x，根据任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，即可得出，解出a，b，c，x的值，即得出表格中数据从左到右每4个数为一个循环组依次循环．再根据，即得出第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为．
【详解】设表格中c后面的数为x，
∵任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴，
解得：，
∴表格中数据从左到右依次为 ，
∴每4个数为一个循环组依次循环．
∵，
∴第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为，
故选D．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类．计算出表格中的未知数，再找到规律是解题的关键．
15．（2025春·重庆巴南·七年级统考期末）下列图形都是由同样大小的长方形按照一定的规律排列组成的，其中，图①中共有2个长方形，图②中共有4个长方形，图③中共有6个长方形，图④中共有8个长方形，……依此规律，则图⑨中共有长方形( )．
A．12个 B．14个 C．16个 D．18个
【答案】D
【分析】根据已有的四个图找出长方形的总数的变化规律即可求出图⑨中共有长方形的个数.
【详解】解：图①中共有个长方形；
图②中共有个长方形；
图③中共有个长方形；
图④中共有个长方形，……
图n中共有2n个长方形，
所以图⑨中共有长方形个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了规律问题，正确找出已有图形的变化规律是解题的关键．
二、填空题
16．（2025秋·七年级课时练习）已知多项式……，，该多项式的第7项为_______，用字母a、b和n表示多项式第n项____________．（n为正整数）
【答案】
【分析】根据已知多项式分别得出第一项、第二项、第三项的关系式，即可得出结论；
【详解】已知多项式……，，
则可知该多项式的第一项为，
则可知该多项式的第二项为，
则可知该多项式的第三项为，
……，
则可知该多项式的第七项为，
则可知该多项式的第n项为；
故答案是；．
【点睛】本题主要考查了与多项式有关的规律题型，准确分析计算是解题的关键．
17．（2025·河北石家庄·统考一模）将长是宽2倍的矩形作如下分割：
第1次：将矩形分割成2个全等的正方形（如图1）；
第2次：将左边的正方形分割成4个全等的正方形（如图2）；
第3次：将左上角的正方形分割成4个全等的正方形（如图3）；
……
按此方式分割下去，则第n次时得到的所有正方形的个数为______；当正方形的个数为2022个时，分割的次数为______次．
【答案】 4n-2 506
【分析】根据正方形个数的变化规律：2=4×1-2，6=4×2-2，10=4×3-2，……，4n-2；当正方形的个数为2022个时，建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：第1次分割后，所有正方形为2个，2=4×1-2，
第2次分割后，所有正方形为6个，6=4×2-2，
第3次分割后，所有正方形为10个，10=4×3-2，
……，
第n次分割后，所有正方形为（4n-2）个，
当正方形的个数为2022个时，
则4n-2=2022，
解得：n=506，
故答案为：4n-2；506．
【点睛】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键．
18．（2025秋·云南文山·七年级统考期末）春节是我们中华民族的传统节日，过春节时大街小巷都会挂满灯笼观察下列图形，按照这样的规律，第n个图形中灯笼的个数是 ___．
【答案】3n+1/1+3n
【分析】从特殊情况出发，得出一般规律即可完成．第1个图形灯笼的个数为3+1，第2个图形灯笼的个数为2×3+1，第3个图形灯笼的个数为3×3+1，第4个图形灯笼的个数为4×3+1，根据此规律可得第n个图形灯笼的个数．
【详解】第1个图形灯笼的个数为3+1，第2个图形灯笼的个数为2×3+1，第3个图形灯笼的个数为3×3+1，第4个图形灯笼的个数为4×3+1，…，第n个图形灯笼的个数为3n+1．
故答案为：3n+1
【点睛】本题是图形规律问题，考查了列代数式，从特殊出发，找到一般规律是问题的关键．
19．（2025春·北京·七年级北京市第六十六中学统考期中）由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12 14
… …
若规定坐标号（）表示第m行从左向右第n个数，则（4，3）所表示的数是_________；（5，6）与（6，5）表示的两数之积是_________，数1028对应的坐标号是_________
【答案】 20 3024 (10,3)
【详解】试题分析：解：根据每行的第一个数分别为：2，4=22，8=23，……所以第m行头个数为2m
第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12 14
第4行 16,18,20,22,24,26,28,30,
第5行 32,34，36，38,40,42,44，……62.
第m行后面第n个数字比上一行第n个数字多2m-1
则（4，3）所表示的数是：第4行第3个数为：因为第3行第3个数是12，所以23=8，故第3个数为：12+24-1=20；
（5，6）所表示的数是：∵第4行第6个数为26，且24=32，∴第6个数为：26+16=42；
（6，5）所表示的数是：∵第5行第5个数为：40，且26-1=32∴第5个数为40+26-1=72；
∴（5，6）与（6，5）表示的两数之积是：42×72=3024；
则可知数字P=2m+2n且每m行的数字个数为：1=20，2=21，4=22，…第n行为：2n-1，
前十行首个数字为2,4,8,16,32,64,128,256,512，1024.
第十行第二个数字：512+512+2=1026，所以第三个数字为1028.
则第10行3个数为1028.
考点：数字规律探究
点评：本题难度较大，属于能力提升题，此类题目有利于培养学生的综合能力．解题的关键在于分析数字，以及相应数字之间的关系．
20．（2022秋·辽宁抚顺·七年级校考阶段练习）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a2020的值是____
【答案】﹣
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这2020个数中有多少个周期，从而得出答案．
【详解】解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝，a4＝，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，
∵2020÷3＝673…1，
∴a1+a2+…+a2020＝673×(﹣)﹣2＝﹣
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
21．（2025秋·广东广州·七年级校考阶段练习）观察一组数2，，10，，26，，…，按此规律，则第n个数是______．
【答案】
【分析】该组数的规律从两方面分析：①符号：第奇数个数是正数，第偶数个数是负数；②数值：，据此即可得到答案．
【详解】解：该组数第奇数个数是正数，第偶数个数是负数，数值为，
第个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，从符号和数值两个方面进行规律分析是解题关键．
22．（2025春·四川成都·七年级统考期末）若自然数n使得三个数的竖式加减法运算“”产生进位现象，则称n为连加进位数，例如10不是“连加进位数”因为10+11+12=33不产生进位现象；14是连加进位数，因为14+15+16=45产生进位现象，如果从10,11,12，。。。。，19这10个自然数中任取一个数，那么取得连加进位数的概率是__________．
【答案】；
【分析】分析“连加进位数特点”可以判断：13、14、15、16、17、18、19是连加进位数，利用概率公式求解即可；
【详解】根据连加进位数的意义可以判断：：13、14、15、16、17、18、19是连加进位数，因为总共有10个数，所以取到“连加进位数”的概率是．
故答案是．
【点睛】本土主要考查了规律题型数字变化类和概率公式的应用，准确计算是解题的关键．
23．（2025秋·云南曲靖·七年级校考期中）观察下列算式：（﹣2）1＝－2，（﹣2）2＝4，（﹣2）3＝﹣8，（﹣2）4＝16，（﹣2）5＝﹣32，（﹣2）6＝64，（－2）7＝－128…通过观察，用你发现的规律写出（﹣2）2021的末位数字是__________．
【答案】2
【分析】由题目给出的算式可以看出：末位数以2，4，8，6的顺序周而复始，而，所以的末位数应该是2．
【详解】解：∵末位数以2，4，8，6的顺序周而复始，
又，
的末位数应该是第1个数为2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查找规律，解题的关键要找出这列算式的结果的末位数按2，4，8，6的顺序循环．
24．（2025·全国·九年级专题练习）将自然数的算术平方根如右图排列，第3行第2列是，则第101行第100列是______．
【答案】
【分析】根据所给数据排列的顺序，找出规律即可解答．
【详解】解：根据题意知：
第2行，第1列的数为：
第3行，第2列的数为：
第4行，第3列的数为：
第5行，第4列的数为：
…
故第n行，第列的数为：
当n为偶数时，为
当n为奇数时，为
故当n=101时，第101行第100列是
故答案为：
【点睛】本题考查了数字类规律问题，根据题意找出规律是解决本题的关键．
25．（2025秋·山东聊城·七年级统考期末）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是______．
【答案】29
【分析】由图形发现：图①中有2个黑色正方形，图②中有2＋3×（2 1）＝5个黑色正方形，图③中有2＋3（3 1）＝8个黑色正方形，图④中有2＋3（4 1）＝11个黑色正方形…，由此得出图n中有2＋3（n 1）＝3n 1个黑色的正方形，进一步代入求得答案即可．
【详解】解：∵图①中有2个黑色正方形，
图②中有2＋3×（2 1）＝5个黑色正方形，
图③中有2＋3（3 1）＝8个黑色正方形，
图④中有2＋3（4 1）＝11个黑色正方形，
…，
∴图n中有2＋3（n 1）＝3n 1个黑色的正方形，
当n＝10时，2＋3×（10 1）＝29．
故答案为：29．
【点睛】此题考查图形的变化规律，掌握图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
26．（2025·青海·统考中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
【答案】
【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料．
【详解】解：∵第一个图形有根木料，
第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，
第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．
27．（2025秋·吉林·七年级校考阶段练习）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，用你所发现的规律写出：72017的个位数字是________．
【答案】7
【详解】由71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，可知：个位数字的变化规律为：7，9，3，1，
所以2017÷4=504……1，
所以末位数字为7，
故答案为7．
28．（2025秋·七年级课时练习）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒运动1步，并且每步的距离为一个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上位置所对应的数．则下列结论中正确的有_______．（只需填入正确的序号）
①x3＝3；②x5＝1；③x101＜x102；④x2019＜x2020．
【答案】①②③
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节末位的数即x5＝1，第二个循环节末位的数即x10＝2，第三个循环节末位的数即x15＝3，…，即第m个循环节末位的数即x5m＝m，然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．
【详解】解：根据题意可知：x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝2，x5＝1，x6＝2，x7＝3，x8＝4，
x9＝3，x10＝2，x11＝3，x12＝4，x13＝5，x14＝4，x15＝3…
由上可知：第一个循环节末位的数即x5＝1，第二个循环节末位的数即x10＝2，第三个循环节末位的数即x15＝3，…，即第m个循环节末位的数即x5m＝m．
∵x100＝20，
∴x101＝21，x102＝22，
故x102＞x101，
∵x2020＝404，
∴x2019＝405，，
故x2019＞x2020，
所以正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，找出规律，利用规律解决问题是本题的关键．
29．（2025·山东枣庄·校考模拟预测）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有（用含n代数式表示）________个．
【答案】
【分析】分别数出第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，即可推出第 n 个大三角形中白色的三角形的个数．
【详解】解：第1个图形的白色三角形个数为1，
第2个图形的白色三角形个数为，
第3个图形的白色三角形个数为，
第4图形的白色三角形个数为，
…，
以此类推，第n个图形的白色三角形个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，解答此题要有以下步骤：①先数出白色三角形的个数；②探索出白色三角形的增长规律；③根据规律解题．本题运算量比较大，要仔细计算．
30．（2025·湖南常德·统考中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
【答案】2n2+2n
【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为S=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．
【详解】解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数
第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数
故答案为：2n2+2n．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．
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专题17 有理数、整式规律探究
一、单选题
1．（2025·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（　　）
A． B． C． D．
2．（202春·河北·九年级专题练习）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n个“平行四边形数”和“正六边形数”分别为a和b，若a+b＝103，则的值是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025秋·江苏宿迁·七年级统考阶段练习）下面是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子
观察图形的变化规律，则第10个小房子用了( )颗石子．
A．119 B．121 C．140 D．142
4．（2025秋·江苏常州·七年级校联考期中）如图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，(3)是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是( )个
A． B． C． D．
5．（2025春·安徽安庆·七年级统考期末）如图，直线，点A在直线m上，BC在直线n上，构成△ABC，把△ABC向右平移BC长度的一半得到△A B C （如图①），再把△向右平移BC长度的一半得到△（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是（ ）
A．4042 B．6063 C．8084 D．8088
6．（2025秋·全国·七年级专题练习）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春·黑龙江七台河·七年级统考期末）如图，观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（　 　）
A．第505个正方形的左下角 B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的右上角
8．（2025秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）计算的结果的个位数字是（ ）
A．9 B．5 C．1 D．7
9．（2025秋·重庆九龙坡·七年级重庆市人和中学校考期末）下面由火柴棒拼出的一列图形中，第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火荣棒…，则第7个图形有（ ）根火柴棒．
A．16 B．22 C．15 D．21
10．（2025秋·广东东莞·七年级校考期中）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是（ ）
A．680 B．760 C．800 D．960
11．（2025·浙江金华·七年级期中）计算：，，，，，，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
12．（2025秋·全国·七年级专题练习）桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号（1，2，3，…，6），且每组相对面上的编号和为7．将其按顺时针方向滚动（如图），每滚动算一次，则滚动第2022次后，正方体朝下一面的数字是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
13．（2025秋·福建厦门·七年级校考阶段练习）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3， 6，10，…这样的数称为 “三角形数”（如图①），而把1， 4， 9， 16， ．．这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定…；，，，，…；，…那么，按此规定得（ ）
A．78 B．72 C．66 D．56
14．（2025春·七年级课时练习）将下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数字是（　　）
3 a b c 0 2 …
A．3 B．2 C．0 D．
15．（2025春·重庆巴南·七年级统考期末）下列图形都是由同样大小的长方形按照一定的规律排列组成的，其中，图①中共有2个长方形，图②中共有4个长方形，图③中共有6个长方形，图④中共有8个长方形，……依此规律，则图⑨中共有长方形( )．
A．12个 B．14个 C．16个 D．18个
二、填空题
16．（2025秋·七年级课时练习）已知多项式……，，该多项式的第7项为_______，用字母a、b和n表示多项式第n项____________．（n为正整数）
17．（2025·河北石家庄·统考一模）将长是宽2倍的矩形作如下分割：
第1次：将矩形分割成2个全等的正方形（如图1）；
第2次：将左边的正方形分割成4个全等的正方形（如图2）；
第3次：将左上角的正方形分割成4个全等的正方形（如图3）；
……
按此方式分割下去，则第n次时得到的所有正方形的个数为______；当正方形的个数为2022个时，分割的次数为______次．
18．（2025秋·云南文山·七年级统考期末）春节是我们中华民族的传统节日，过春节时大街小巷都会挂满灯笼观察下列图形，按照这样的规律，第n个图形中灯笼的个数是 ___．
19．（2025春·北京·七年级北京市第六十六中学统考期中）由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12 14
… …
若规定坐标号（）表示第m行从左向右第n个数，则（4，3）所表示的数是_________；（5，6）与（6，5）表示的两数之积是_________，数1028对应的坐标号是_________
20．（2025秋·辽宁抚顺·七年级校考阶段练习）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a2020的值是____
21．（2025秋·广东广州·七年级校考阶段练习）观察一组数2，，10，，26，，…，按此规律，则第n个数是______．
22．（2025春·四川成都·七年级统考期末）若自然数n使得三个数的竖式加减法运算“”产生进位现象，则称n为连加进位数，例如10不是“连加进位数”因为10+11+12=33不产生进位现象；14是连加进位数，因为14+15+16=45产生进位现象，如果从10,11,12，。。。。，19这10个自然数中任取一个数，那么取得连加进位数的概率是__________．
23．（2025秋·云南曲靖·七年级校考期中）观察下列算式：（﹣2）1＝－2，（﹣2）2＝4，（﹣2）3＝﹣8，（﹣2）4＝16，（﹣2）5＝﹣32，（﹣2）6＝64，（－2）7＝－128…通过观察，用你发现的规律写出（﹣2）2021的末位数字是__________．
24．（2025·全国·九年级专题练习）将自然数的算术平方根如右图排列，第3行第2列是，则第101行第100列是______．
25．（2025秋·山东聊城·七年级统考期末）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是______．
26．（2025·青海·统考中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
27．（2025秋·吉林·七年级校考阶段练习）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，用你所发现的规律写出：72017的个位数字是________．
28．（2025秋·七年级课时练习）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒运动1步，并且每步的距离为一个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上位置所对应的数．则下列结论中正确的有_______．（只需填入正确的序号）
①x3＝3；②x5＝1；③x101＜x102；④x2019＜x2020．
29．（2025·山东枣庄·校考模拟预测）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有（用含n代数式表示）________个．
30．（2025·湖南常德·统考中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
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