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第五单元测试
一、选择题
1．盒子里有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，从盒子里任意摸出一张卡片，至少要摸（ ）次，才能保证摸到两张颜色相同的卡片。
A．10 B．8 C．5 D．2
2．10本书放进4个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进（ ）本书。
A．1 B．3 C．2 D．4
3．某地一年新生婴儿367人，他（她们中至少有（ ）人是同一天出生的。
A．2 B．3 C．4 D．10人以上
4．盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，若摸出的球一定有2个同色，至少摸（ ）次。
A．2 B．3 C．4
5．书架分上、中、下三层，婷婷把新买的10本书放入书架，放书最多的一层至少要放入（ ）本书。
A．2 B．3 C．4 D．5
6．袋中有红、黄、绿3种颜色的小球各4个，至少取出（ ）个，才能保证取出的小球三种颜色都有。
A．9 B．8 C．5
7．任意取（ ）个不同的自然数，才能保证至少有两个数的差为9的倍数。
A．9 B．10 C．11 D．12
8．13人中，至少有2人（ ）在同一个月过生日。
A．一定 B．可能 C．不可能 D．无法确定
9．把红黄蓝三种颜色的球各5个，至少取（ ）个球保证取到2个同色。
A．4 B．5 C．6
10．某班52名同学按学号依次轮流当值日生班长，本学期共22周，每人至少当（ ）次。
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．把至少( )个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。
12．某小学共有368名学生，该小学里至少有( )名学生在同一天过生日。
13．有14枚棋子放入下面的方格中，那么有一个小方格内至少放( )枚棋子。
14．把10支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有( )支铅笔。
15．一个袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各3个（每个球的大小形状都一样），每次至少摸出( )个球才能保证一定有两个相同颜色的球；如果这些球中只有一个比较轻，其他的一样重，用天平至少称( )次就可以找到那个较轻的球。
16．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有( )张牌是相同的花色。
17．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中至少抽出( )张，才能保证至少有2张是不同花色的；至少抽出( )张，才能保证至少有2张是相同花色的。
18．某蛋糕店采用发放号牌的方式销售蛋糕，同一批次只发放4个号牌（每人限领1个号牌），每个号牌最多购买3盒蛋糕、最少购买1盒蛋糕（每盒里有3个蛋糕）。要保证同一批次的人都能买到所需要的蛋糕，蛋糕店每批次至少要准备( )个蛋糕。
19．有白、黄、绿三种颜色的筷子各4双，混合后，放在一个箱子里。在黑暗中，保证一次性从中摸出两双颜色不同的筷子，则至少应摸出( )支。
三、判断题
20．任意25名小学生中，至少有5人所在年级是相同的。( )
21．把8只兔子放进3个笼子里，至少有3只兔子要放进同一个笼子。( )
22．植树节，有6名同学植了25棵树，有一名同学至少植树5棵。( )
23．把红、黄、蓝3种颜色的球各10个放在1个袋子里，至少取出4个球，可以保证取到两个颜色相同的球。( )
24．用三种颜色给正方体的6个面涂色（每个面只涂一种颜色），至少有两个面涂色相同。( )
四、解答题
25．六（1）班有学生52人，全班至少有5人在同一个月过生日。这种说法对吗？为什么？
26．某次投篮比赛，5名队员共投进33个球，一定有一名队员至少投进了多少个球？
27．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
28．一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？
29．一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红桃、草花和方块4种花色的牌各13张，那么：
（1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？
（2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？
（3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？
（4）至少从中摸出多少张牌，才能保证有3张点数相同的？
《第五单元测试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C A B A A C
1．C
【分析】由于盒子里共有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，如果一次取4个，最差情况为红、黄、蓝、绿四种颜色各一张，所以只要再多取一张卡片，就能保证取到两张颜色相同的卡片。据此解答。
【详解】4＋1＝5（次）
即至少要摸5次，才能摸到两张颜色相同的卡片。
故答案为：C
【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。
2．B
【分析】根据抽屉原理，用书本总数除以抽屉数，有余数时用商加1，就是一个抽屉里至少放进多少本书。
【详解】10÷4＝2（本）……3（本）
2＋1＝3（本）
10本书放进4个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查抽屉原理的应用。
3．A
【分析】题目中没有提及是哪一年，考虑最差的情况，假设这一年是闰年，共有366天，如果其中366人每人的生日都不相同，则共有366种，那么还剩下1人，但这1人必与366人中的一人相同，所以至少有2人是同一天出生。
【详解】（年）……1（人）
（人）
所以至少有2人是同一天出生的。
故答案为：A
【点睛】完成本题是根据抽屉原理中的最差情况来进行分析。
4．B
【分析】盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，即共有两种颜色的球，根据最差原理可知，最差的情况时，当摸出2个球时，一个红球一个蓝球，需要摸2次，此时只要再任意摸出一个球，就能保证摸出的球一定有两个同色的，据此解答。
【详解】根据分析得，2＋1＝3（次）
即若摸出的球一定有2个同色，至少摸3次。
故答案为：B
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
5．C
【分析】把上、中、下三层看作3个抽屉，把新买的10本书看作10个元素，那么每个抽屉需要放（本）……1（本），所以每个抽屉需要放3本，剩下的1本不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3＋1＝4（本），所以，放书最多的一层至少要放入4本书；据此解答。
【详解】（本）……1（本）
（本）
故答案为：C。
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，根据抽屉原理进行解答即可。
6．A
【分析】由题意可知，袋中共有红、黄、绿三种颜色的球，最坏的情况是，把其中两种颜色的球都拿尽，即拿出了4×2＝8个球后，此时只要再任意拿出一个球，就能保证拿到的球中有3种颜色的球．即至少要取8＋1＝9个。
【详解】4×2＋1＝8＋1＝9（个）
故答案为：A
【点睛】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析进而得出结论。
7．B
【分析】根据余数相同的两数之差一定能被除数整除，也就是两个数除以9的余数相同，它们的差一定是9的倍数，可找出除数是9的余数的所有情况:0、1、2、3、4、5、6、7、8，共9种，这样可以把它们看成9个抽屉，利用抽屉原理来解答即可。
【详解】由分析可知：一个自然数除以9，余数可能出现的情况为:0、1、2、3、4、5、6、7、8，这样自然数就被分成9类，把它们看成9个抽屉，我们考虑最不利原则取了这9类数，没有两个数的余数相同，当再取第10个数时，必定与之前取的9个数中某一数除以9余数相同，就满足了至少有两个数的差为9的倍数，因此至少要取10个数才能保证必然有两个数在同一抽屉里（也就是有两个数除以9余数相同），也就是它们的差是9的倍数。
故答案为:B
【点睛】本题考查抽屉问题，解题关键在于理解余数相同的两数之差一定能被除数整除，再把题目转化成抽屉问题，根据题目信息判断有几个抽屉，然后根据分的物体个数比抽屉数多l。
8．A
【分析】一年有12个月，把13人平均分给12个月，每个月有1人，还剩下1人，这剩下的1人不管放在哪个月，至少有2人在同一个月过生日。
对事件发生的可能性，可以用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来描述；无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。
【详解】13÷12＝1（人）……1（人）
1＋1＝2（人）
13人中，至少有2人一定在同一个月过生日。
故答案为：A
【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题）以及可能性的知识，根据“至少数＝物体数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
9．A
【分析】根据抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。
【详解】把红、黄、蓝这三种颜色看作3个抽屉，把15个球看作15个元素。从最不利情况考虑，每个抽屉需要放1个球，共需要1×3＝3（个），再摸出1个，不论什么颜色，总有一个抽屉的球和它同色，所以至少要摸出3＋1＝4（个）。
故答案为：A
【点睛】本题考查抽屉问题。构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
10．C
【分析】在本题中，一周有5天上学，因此本学期的总天数是（22×5），学生数是52，用除法计算并对商和余数进行分析即可得解。
【详解】22×5÷52
＝110÷52
＝2（次）……6（天）
每人当2次，还有6天，即前6个学号的学生每人当3次，其余同学每人当2次，最少当2次。
故答案为：C
【点睛】
11．7
【分析】用果盘的个数加上1，即可求出把至少几个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。
【详解】6＋1＝7（个）
【点睛】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
12．2
【分析】一年最多有366天，368÷366＝1（名） 2（名），最坏的情况是，每天都有1名学生过生日的话，还余2名学生，根据抽屉原理，总有至少1＋1＝2名学生在同一天过生日。
【详解】368÷366＝1（名） 2（名）
1＋1＝2（名）
即该小学里至少有2名学生在同一天过生日。
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数所得的商＋1（有余数的情况下）。
13．4
【分析】把4个小方格看作是4个抽屉，14枚棋子看作14个元素，考虑最差情况：把14个元素平均分配在4个抽屉中：14÷4＝3（枚） 2（枚），那么每个抽屉都有3枚棋子，那么剩下的2枚棋子，无论放到哪个抽屉都会出现4枚棋子在同一个抽屉里。
【详解】14÷4＝3（枚） 2（枚）
3＋1＝4（枚）
即那么有一个小方格内至少放4枚棋子。
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
14．4/四
【分析】把10支铅笔放进3个笔筒中，10÷3＝3（支）……1（支），即平均每个笔筒放3支，还剩下1支，根据抽屉原理可知，总有一个笔筒里至少放3＋1＝4支。据此解答。
【详解】10÷3＝3（支）……1（支）
3＋1＝4（支）
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。
15． 4 2
【分析】把红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，把红、黄、蓝三种颜色的球的个数看作元素，从最不利情况考虑，红、黄、蓝三种颜色的球各取出1个，共取出3个，那么再取一个，不论是什么颜色，总有一个球的颜色和它是同色的，所以至少要摸出：3＋1＝4（个）；天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量较小。
【详解】3＋1＝4（个）
将9个球分成3、3、3三组；
第一次：称量其中的两组，若天平平衡，则较轻的那个就在剩下的那组中，再需一次就可以找出那个较轻的球；若天平不平衡，则较轻的那个球就在天平托盘上升的那一端；
第二次：将较轻的那一组再分成1、1、1三组，称量其中的两组，即可以找出那个较轻的球；
所以只需2次即可找出那个较轻的球。
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
16．3
【分析】去掉大小王，就剩下52张牌，共4种花色，就是4个抽屉，9人每人随意抽1张，就是把9张牌放在4个抽屉里，只要使每个抽屉的元素尽量平均，即可解答。
【详解】9÷4＝2（张）……1（张）
2＋1＝3
小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同颜色的花色。
【点睛】抽屉原来问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商），然后根据：至少数＝商＋1（在有余数的情况下）解答。
17． 14 5
【分析】同花色的牌有13张，最不利的情况是取出的前13张都是同一花色，再取一张无论什么花色都有2张是不同花色的；共有4种花色，最不利的情况是取出的前4张花色都不同，再取一张无论什么花色都能保证2张是相同花色的。
【详解】13＋1＝14（张）
4＋1＝5（张）
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
18．21
【分析】要求每批次至少要准备的蛋糕数，其中有1人买3盒，1人买2盒，2人各买1盒。
【详解】3＋3＋3×2＋3×3
＝6＋6＋9
＝12＋9
＝21（个）
蛋糕店每批次至少要准备21个蛋糕。
【点睛】本题考查了鸽巢问题，需要充分理解“至少”在本题中的含义。
19．11
【分析】由分析可知，每种颜色的筷子各4双，则一共有：4×3＝12（双），1双是2支，即一共有：12×2＝24（支），每种颜色是8支，由于从中摸出两双颜色不同的筷子，最不利的时候，先摸出颜色相同的，能摸出4双，即4×2＝8（支），由于由于再摸两次另外两种颜色各一支，即摸出10支，接下来任意摸一支，不管摸到哪种颜色的筷子，即一定会和刚刚摸出两种颜色的筷子构成一双，由此即可解答。
【详解】由分析可知：
4×2＋3
＝8＋3
＝11（支）
【点睛】本题主要考查抽屉原理，要注意题中最后问的是摸出多少支。
20．√
【分析】把6个年级看作是6个抽屉，25名小学生看做25个元素，根据抽屉原理：把25名小学生平均分配在6个抽屉中：25÷6＝4（人） 1（人），那么每个抽屉都有4人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现5人在同一个抽屉里。
【详解】25÷6＝4（人）……1（人）
4＋1＝5（人）
即至少有5人所在年级是相同的，所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
21．√
【分析】被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】8÷3＝2（只）……2（只）
2＋1＝3（只）
所以，把8只兔子放进3个笼子里，有一个笼子里至少放3只兔子，即至少有3只兔子要放进同一个笼子。
故答案为：√
【点睛】掌握抽屉问题的解题方法是解答题目的关键。
22．√
【分析】共有6名同学，那么把这6名同学看成6个抽屉，要求有一名同学至少植树多少棵，要考虑最差情况25个同学尽量平均分配到6个抽屉中，再利用抽屉原理解答即可。
【详解】25÷6＝4（棵）……1（棵）；
4＋1＝5（棵），原题说法正确；
故答案为：√
【点睛】本题考查了抽屉原理的运用，一定要考虑最差情况。
23．√
【分析】最坏情况是3种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，一共需要摸出5个球。
【详解】3＋1＝4（个）
把红、黄、蓝3种颜色的球各10个放在1个袋子里，至少取出4个球，可以保证取到两个颜色相同的球。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
24．√
【分析】根据抽屉原则可知，把正方形的6个面看作6个抽屉，三种颜色看作三个球。用6÷3，商表示每个抽屉至少放几个球，也就是至少有几个面涂色相同。
【详解】6÷3＝2（个）
用三种颜色给正方体的6个面涂色（每个面只涂一种颜色），至少有两个面涂色相同，说法正确。
故答案为：√
25．对；原因见详解
【分析】一年有12个月，把月份看作抽屉数，把学生人数看作被分放物体数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】52÷12＝4（人）……4（人）
4＋1＝5（人）
答：全班至少有5人在同一个月过生日，所以这种说法对。
【点睛】找准抽屉的数量和被分放物体的数量是解答此类问题的关键。
26．7个
【分析】将此问题看作鸽巢问题。5名队员相当于5个鸽巢，33个进球相当于33只鸽子，将33个进球平均分配给5名队员，每名队员进6个球，还剩3个进球，剩余的3个进球无论分给哪名队员，总会有一名队员至少进7个球。
【详解】33÷5＝6（个） 3（个）
6＋1＝7（个）
答：一定有一名队员至少投进了7个球。
【点睛】本题考查了抽屉原理，能根据题意正确列式是解题关键。
27．8名
【分析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型：
买一本的：有语文、数学、外语3种。
买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的：有语文、数学和外语1种。
把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。
【详解】抽屉：3＋3＋1＝7（个）
学生：7＋1＝8（名）
答：至少要去8名学生。
28．28次
【分析】从最不利的情况考虑，用8把钥匙去试第一把锁，最不利的情况是实验了7次，前6次都没有打开，第7次无论打开与否，都能确定这把锁匹配的钥匙；以此类推，第二把锁最多实验6次，第三把锁最多实验5次，……最后一把锁最多实验1次，据此用加法求出总次数。
【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（次）
答：最多要试验28次能保证全部的钥匙和锁匹配。
29．（1）42张；（2）44张；（3）19张；（4）29张
【分析】通过最不利原则计算，确保条件必然满足。
（1）考虑最坏情况：2张王牌，红心、草花和方块3种花色的牌各13张全部抽出，则此时再抽出一张，就一定是黑桃；
（2）考虑最坏情况：2张王牌，黑桃、草花和方块3种花色的牌各13张全部抽出，则此时再抽出3张，就一定是保证至少有3张牌是红桃；
（3）考虑最坏情况：4种花色的牌各抽出4张，还抽出2张王牌，此时再任意抽出1张，无论是哪种花色，都能保证有5张牌是同一花色的，据此即可解答问题；
（4）考虑最坏情况：先摸出2张王牌，然后按照点数从A到K，每种点数各摸出2张（因为我们需要保证有3张点数相同，所以每种点数先摸2张）。已经摸出了2＋13×2＝2＋26＝28张牌，但还没有摸到3张点数相同的牌；因此，下一张无论摸到哪一张，都能保证有3张点数相同的牌；据此即可解答问题。
【详解】（1）13×3＋2＋1
＝39＋3
＝42（张）
答：至少从中摸出42张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃，
（2）13×3＋2＋3
＝39＋5
＝44（张）
答：至少从中摸出44张牌，才能保证在摸出的牌中有3张红桃，
（3）4×4＋2＋1
＝16＋3
＝19（张）
答：至少从中摸出19张牌，才能保证有5张牌是同一花色的，
（4）2＋13×2＋1
＝2＋26＋1
＝29（张）
答：至少从中摸出29张牌，才能保证有3张点数相同的。
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