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中点四边形模型—浙教版数学八下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2025八下·瑞安期中）若取四边形ABCD各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形
2．（2024八下·三门期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误
3．如果顺次连结四边形的各边中点得到的四边形是矩形， 那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　　）
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
4．（2021八下·海曙月考）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　）
A．ABDC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
5．如图， 分别是四边形 的边 的中点， 则下列说法中正确的个数是（　　）
①若 ， 则四边形 为矩形； ②若 ， 则四边形 为菱形； ③若四边形 是平行四边形， 则 与 互相平分； ④若四边形 是正方形， 则 与 互相垂直且相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023八下·杭州期中）如图，正方形中，点，，，分别是各边的中点，连结，取的中点，连结，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．四边形的周长是周长的倍
C．
D．四边形的面积是面积的倍
二、填空题
7．（2020八下·新昌期末）已知E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则当AC　 　BD时，四边形EFGH是矩形．
8．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测）如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为　 　．
9．（2016八下·曲阜期中）如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于　 　cm．
10．（2013·衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是　 　；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是　 　．
11．（2025八下·杭州期中）如图，在四边形ABCD中，依次取四边中点，连接EG，FH，是线段EG上的一点，连接AP，作交FH于点，分别沿将四边形ABCD裁剪成五块，再将它们拼成四边形MNRS，
（1）　 　；
（2）如图2，连接AC，BD交于点，若，则四边形MNRS的周长最小值是　 　．
三、解答题
12．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线AC与BD相交于点，，点分别为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）求证：四边形BEFG为平行四边形．
13．求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形.（要求写出已知、求证和证明）
14．（2020八下·椒江开学考）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点。
（1）当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是什么图形，请说明理由。
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由。
15．（2023八下·海曙期中）如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH的形状是　 　.（直接回答，不必说明理由）
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3） 如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先在图3中补全图形，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵D，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴DE，EF，FG，DG分别是的中位线，
∴，
∵四边形DEFG是菱形，
∴DE=EF=FG=DG，
∴AC=BD，
∴这个四边形ABCD一定是对角线相等的四边形，
故答案为：D.
【分析】先画出图形，根据三角形中位线定理得，然后根据菱形的性质得DE=EF=FG=DG，从而可求出AC=BD，据此即可求解.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明四边形ABCD是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确，
故答案为：B．
【分析】由三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形EFGH是平行四边形，据此可判断甲说法正确；根据现有条件无法证明四边形ABCD是平行四边形，据此可得答案．
3．【答案】C
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理可得：EH//BD//FG，EF//AC//HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG.
∴AC⊥BD，
即原来四边形的对角线一定满足的条件是：互相垂直.
故答案为：C.
【分析】由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，根据矩形的性质，矩形的相邻边互相垂直，可确定原四边形应为对角线互相垂直的四边形.
4．【答案】C
【知识点】矩形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度．四边形EFGH为矩形．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG＝90度．由此推出AC⊥BD．
5．【答案】A
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，GH=AC，EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，
∴EH∥FG，EH=FG，EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
①当AC=BD时，EH=HG=FG=EF，
∴四边形EFGH是菱形，故①错误；
②当AC⊥BD时，EF⊥EH，平行四边形EFGH是矩形，故②错误；
③四边形EFGH一定是平行四边形，AC与BD不一定互相平分，故③错误；
④当四边形EFGH是正方形时，EF=EH，EF⊥EH，∴AC=BD，AC⊥BD，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，据此判断即可.
6．【答案】D
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；锐角三角函数的定义；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD、EF、EH、FG，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴EF、HG是△ABC和△ADC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
同理EH=FG，
∵四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD，
∴四边形EFGH是正方形，
∵P是HG的中点，
∴HP=HG=EH，
∴设EH=HG=EF=FG=2x，则HP=PF=x，
∴PE=PF=x，
∴PE=GH，故A选项错误；
∵AE=BE=AH，∠BAD=90°，
∴AE=BE=x，
∴四边形BEPF的周长为：x，△HDG周长为：x，
∵3x≠x，故B选项错误；
∵，
∴∠EPB≠30°，
∴∠EPF≠60°，故C选项错误；
∵OB=OD，HG∥AC，AH=DH，
∴PD=PO，
∴PB=3PD，
∴四边形BEPF的面积=·EF·PB=EF·PD，
∴四边形BEPF的面积是△GDH面积的3倍，故D选型正确.
故答案为：D.
【分析】连接AC、BD、EF、EH、FG，由三角形中位线定理得EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，则EF∥HG，EF=HG，进而推出四边形EFGH是正方形，得HP=HG=EH，设EH=HG=EF=FG=2x，则HP=PF=x，根据勾股定理得PE=PF=x，求得PE=GH，据此可判断A选项；由等腰直角三角形得AE=BE=x，分别求得四边形BEPF与△GDH的周长，可判断B选项；根据三角形函数的定义及特殊锐角三角函数值得∠EPB≠30°，则∠EPF≠60°，据此可判断C选项；推出PB=3PD，进而求得四边形BEPF的面积=·EF·PB=EF·PD，可判断D选项.
7．【答案】
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，如图
连接AC，BD
∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，EF∥AC
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形.
故答案为：⊥.
【分析】顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形EFGH是矩形。画出图形，写出证明过程即可。
8．【答案】12
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵ 点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH∥AC且EH=AC=4，FG∥AC且FG=AC=3，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可证：EF∥BD
∵AC⊥BD，
∴EF⊥HE
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=4×3=12
故答案为：12
【分析】利用三角形中位线定理可证得EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EFGH是平行四边形，再由AC⊥BD，可证∠HEF=90°，就可证得四边形EFGH是矩形，再利用矩形的面积公式就可求出结果。
9．【答案】16
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，
∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，
故答案为：16．
【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可．
10．【答案】20；
【知识点】菱形的性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1=5，C1D1= AC=5 ，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，
同理可得出：A3D3=5× ，C3D3= C1D1= ×5 ，
A5D5=5×（ ）2，C5D5= C3D3=（ ）2×5 ，
…
∴四边形A2013B2013C2013D2013的周长是： = ．
故答案为：20； ．
【分析】根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可．
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得： ≌
(2)∵E， F， G， H是AB， BC， AD， CD的中点，
作
∴RN， MS的最小值为
根据(1)可得出.
故四边形MNRS的周长最小值
故答案为：
【分析】(1)根据全等三角形的性质即可求解；
(2)根据三角形中位线定理得出 ，即可得出RN，MS最小时四边形MNRS的周长最小值，RN，MS最小值是GP的值，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可.
12．【答案】（1）中，
是AO中点
（2）点E、F是AO、OD的中点，
且
中，
且
点G是BC的中点，
且
成立
【知识点】平行四边形的判定与性质；中点四边形模型
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=OB，然后根据三线合一解答即可；
（2）根据三角形的中位线定理证明结论即可.
13．【答案】解：已知：四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连结AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.
∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，HG=AC，
∴EF=FG=HG=EH，即四边形EFGH是菱形.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【分析】先依据中位线定理，得到EF、FG、GH、EH分别等于相应对角线的一半，再根据矩形的对角线相等，说四边形EFGH的四边相等来说明这个四边形是菱形.
14．【答案】（1）解：四边形ABCD是矩形，
∵AC=BD，
∴EF= AC，EH= BD，
∴EF=EH ，
同理可得出： EF= EH=GH=GF ，
：四边形EFGH是菱形
（2）解：当四边形ABCD满足AC= BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形，证明：∵E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点， ∴EFIIAC ， EF= _AC。 同理，EHIBD， EH= BD ， GF= 1BD ， GH= 2AC， ∴AC= BD：EF= EH=GH=GF。 ∴平行四边形EFGH是菱形. ∴AC⊥BD， ：EF⊥EH ， ∴四边形EFGH是正方形。
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；中点四边形模型
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，可知AC=BD，由已知可证得EF，EH分别是△ABC和△ABD的中位线，利用三角形的中位线定理，可证得EF=EH，同理可证得EF=EH=GH=GF，然后根据有四边相等的四边形是菱形，可证得结论。
（2）根据任意四边形各边中点连接所组成的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形各边中点连接所组成的四边形是矩形，对角线互相垂直的四边形的各边中点连接所组成的四边形是菱形，由此可得四边形ABCD满足4C= BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形，利用三角形的中位线定理及AC=BD可知四边形EFGH是菱形，再证明EF⊥EH ，即可证得结论。
15．【答案】（1）菱形
（2）解：连接AD，BC.
∵PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD
∴∠APD=∠BPC
∴△APD △BPC
∴AD=BC
∵E、F、G、H分别为AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF＝ BC，EH＝ AD，GH＝ BC，FG＝ AD
∴EF=GF=EH=GH
∴四边形EGFH是菱形；
（3）解：补全图形如下，
判断四边形EFGH是正方形。
理由如下：设AD与BC交于点M，
由△APD △BPC，可得∠PAD=∠PCB，由对顶角相等，
可证∠AMC=∠APC=90°
由GH BC，HE AD，可得∠GHE＝90°
∴菱形EFGH是正方形；
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】（1）连接AD、BC，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即得∠APD=∠CPB，
∵ PC=PA，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）
∴AD=BC，
∵点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点 ，
∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
故答案为：菱形.
【分析】（1）连接AD、BC，利用SAS证明△APD≌△CPB，可得AD=BC，利用三角形中位线定理可得EF=FG=GH=EH，根据四条边相等可推出四边形EFGH是菱形；
（2）成立.同（1）证法相同；
（3）先补图，判断四边形EFGH是正方形.理由：设AD与BC交于点M，证明△APD △BPC，可得∠PAD=∠PCB，利用对顶角相等及三角形内角和可得∠AMC=∠APC=90°，利用平行线的性质可得∠GHE＝90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可判断.
1 / 1中点四边形模型—浙教版数学八下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2025八下·瑞安期中）若取四边形ABCD各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵D，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴DE，EF，FG，DG分别是的中位线，
∴，
∵四边形DEFG是菱形，
∴DE=EF=FG=DG，
∴AC=BD，
∴这个四边形ABCD一定是对角线相等的四边形，
故答案为：D.
【分析】先画出图形，根据三角形中位线定理得，然后根据菱形的性质得DE=EF=FG=DG，从而可求出AC=BD，据此即可求解.
2．（2024八下·三门期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明四边形ABCD是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确，
故答案为：B．
【分析】由三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形EFGH是平行四边形，据此可判断甲说法正确；根据现有条件无法证明四边形ABCD是平行四边形，据此可得答案．
3．如果顺次连结四边形的各边中点得到的四边形是矩形， 那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　　）
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
【答案】C
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理可得：EH//BD//FG，EF//AC//HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG.
∴AC⊥BD，
即原来四边形的对角线一定满足的条件是：互相垂直.
故答案为：C.
【分析】由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，根据矩形的性质，矩形的相邻边互相垂直，可确定原四边形应为对角线互相垂直的四边形.
4．（2021八下·海曙月考）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　）
A．ABDC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
【答案】C
【知识点】矩形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度．四边形EFGH为矩形．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG＝90度．由此推出AC⊥BD．
5．如图， 分别是四边形 的边 的中点， 则下列说法中正确的个数是（　　）
①若 ， 则四边形 为矩形； ②若 ， 则四边形 为菱形； ③若四边形 是平行四边形， 则 与 互相平分； ④若四边形 是正方形， 则 与 互相垂直且相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，GH=AC，EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，
∴EH∥FG，EH=FG，EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
①当AC=BD时，EH=HG=FG=EF，
∴四边形EFGH是菱形，故①错误；
②当AC⊥BD时，EF⊥EH，平行四边形EFGH是矩形，故②错误；
③四边形EFGH一定是平行四边形，AC与BD不一定互相平分，故③错误；
④当四边形EFGH是正方形时，EF=EH，EF⊥EH，∴AC=BD，AC⊥BD，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，据此判断即可.
6．（2023八下·杭州期中）如图，正方形中，点，，，分别是各边的中点，连结，取的中点，连结，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．四边形的周长是周长的倍
C．
D．四边形的面积是面积的倍
【答案】D
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；锐角三角函数的定义；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD、EF、EH、FG，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴EF、HG是△ABC和△ADC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
同理EH=FG，
∵四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD，
∴四边形EFGH是正方形，
∵P是HG的中点，
∴HP=HG=EH，
∴设EH=HG=EF=FG=2x，则HP=PF=x，
∴PE=PF=x，
∴PE=GH，故A选项错误；
∵AE=BE=AH，∠BAD=90°，
∴AE=BE=x，
∴四边形BEPF的周长为：x，△HDG周长为：x，
∵3x≠x，故B选项错误；
∵，
∴∠EPB≠30°，
∴∠EPF≠60°，故C选项错误；
∵OB=OD，HG∥AC，AH=DH，
∴PD=PO，
∴PB=3PD，
∴四边形BEPF的面积=·EF·PB=EF·PD，
∴四边形BEPF的面积是△GDH面积的3倍，故D选型正确.
故答案为：D.
【分析】连接AC、BD、EF、EH、FG，由三角形中位线定理得EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，则EF∥HG，EF=HG，进而推出四边形EFGH是正方形，得HP=HG=EH，设EH=HG=EF=FG=2x，则HP=PF=x，根据勾股定理得PE=PF=x，求得PE=GH，据此可判断A选项；由等腰直角三角形得AE=BE=x，分别求得四边形BEPF与△GDH的周长，可判断B选项；根据三角形函数的定义及特殊锐角三角函数值得∠EPB≠30°，则∠EPF≠60°，据此可判断C选项；推出PB=3PD，进而求得四边形BEPF的面积=·EF·PB=EF·PD，可判断D选项.
二、填空题
7．（2020八下·新昌期末）已知E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则当AC　 　BD时，四边形EFGH是矩形．
【答案】
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，如图
连接AC，BD
∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，EF∥AC
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形.
故答案为：⊥.
【分析】顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形EFGH是矩形。画出图形，写出证明过程即可。
8．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测）如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵ 点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH∥AC且EH=AC=4，FG∥AC且FG=AC=3，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可证：EF∥BD
∵AC⊥BD，
∴EF⊥HE
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=4×3=12
故答案为：12
【分析】利用三角形中位线定理可证得EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EFGH是平行四边形，再由AC⊥BD，可证∠HEF=90°，就可证得四边形EFGH是矩形，再利用矩形的面积公式就可求出结果。
9．（2016八下·曲阜期中）如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于　 　cm．
【答案】16
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，
∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，
故答案为：16．
【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可．
10．（2013·衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是　 　；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是　 　．
【答案】20；
【知识点】菱形的性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1=5，C1D1= AC=5 ，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，
同理可得出：A3D3=5× ，C3D3= C1D1= ×5 ，
A5D5=5×（ ）2，C5D5= C3D3=（ ）2×5 ，
…
∴四边形A2013B2013C2013D2013的周长是： = ．
故答案为：20； ．
【分析】根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可．
11．（2025八下·杭州期中）如图，在四边形ABCD中，依次取四边中点，连接EG，FH，是线段EG上的一点，连接AP，作交FH于点，分别沿将四边形ABCD裁剪成五块，再将它们拼成四边形MNRS，
（1）　 　；
（2）如图2，连接AC，BD交于点，若，则四边形MNRS的周长最小值是　 　．
【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得： ≌
(2)∵E， F， G， H是AB， BC， AD， CD的中点，
作
∴RN， MS的最小值为
根据(1)可得出.
故四边形MNRS的周长最小值
故答案为：
【分析】(1)根据全等三角形的性质即可求解；
(2)根据三角形中位线定理得出 ，即可得出RN，MS最小时四边形MNRS的周长最小值，RN，MS最小值是GP的值，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可.
三、解答题
12．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线AC与BD相交于点，，点分别为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）求证：四边形BEFG为平行四边形．
【答案】（1）中，
是AO中点
（2）点E、F是AO、OD的中点，
且
中，
且
点G是BC的中点，
且
成立
【知识点】平行四边形的判定与性质；中点四边形模型
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=OB，然后根据三线合一解答即可；
（2）根据三角形的中位线定理证明结论即可.
13．求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形.（要求写出已知、求证和证明）
【答案】解：已知：四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连结AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.
∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，HG=AC，
∴EF=FG=HG=EH，即四边形EFGH是菱形.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【分析】先依据中位线定理，得到EF、FG、GH、EH分别等于相应对角线的一半，再根据矩形的对角线相等，说四边形EFGH的四边相等来说明这个四边形是菱形.
14．（2020八下·椒江开学考）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点。
（1）当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是什么图形，请说明理由。
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由。
【答案】（1）解：四边形ABCD是矩形，
∵AC=BD，
∴EF= AC，EH= BD，
∴EF=EH ，
同理可得出： EF= EH=GH=GF ，
：四边形EFGH是菱形
（2）解：当四边形ABCD满足AC= BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形，证明：∵E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点， ∴EFIIAC ， EF= _AC。 同理，EHIBD， EH= BD ， GF= 1BD ， GH= 2AC， ∴AC= BD：EF= EH=GH=GF。 ∴平行四边形EFGH是菱形. ∴AC⊥BD， ：EF⊥EH ， ∴四边形EFGH是正方形。
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；中点四边形模型
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，可知AC=BD，由已知可证得EF，EH分别是△ABC和△ABD的中位线，利用三角形的中位线定理，可证得EF=EH，同理可证得EF=EH=GH=GF，然后根据有四边相等的四边形是菱形，可证得结论。
（2）根据任意四边形各边中点连接所组成的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形各边中点连接所组成的四边形是矩形，对角线互相垂直的四边形的各边中点连接所组成的四边形是菱形，由此可得四边形ABCD满足4C= BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形，利用三角形的中位线定理及AC=BD可知四边形EFGH是菱形，再证明EF⊥EH ，即可证得结论。
15．（2023八下·海曙期中）如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH的形状是　 　.（直接回答，不必说明理由）
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3） 如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先在图3中补全图形，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
【答案】（1）菱形
（2）解：连接AD，BC.
∵PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD
∴∠APD=∠BPC
∴△APD △BPC
∴AD=BC
∵E、F、G、H分别为AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF＝ BC，EH＝ AD，GH＝ BC，FG＝ AD
∴EF=GF=EH=GH
∴四边形EGFH是菱形；
（3）解：补全图形如下，
判断四边形EFGH是正方形。
理由如下：设AD与BC交于点M，
由△APD △BPC，可得∠PAD=∠PCB，由对顶角相等，
可证∠AMC=∠APC=90°
由GH BC，HE AD，可得∠GHE＝90°
∴菱形EFGH是正方形；
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】（1）连接AD、BC，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即得∠APD=∠CPB，
∵ PC=PA，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）
∴AD=BC，
∵点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点 ，
∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
故答案为：菱形.
【分析】（1）连接AD、BC，利用SAS证明△APD≌△CPB，可得AD=BC，利用三角形中位线定理可得EF=FG=GH=EH，根据四条边相等可推出四边形EFGH是菱形；
（2）成立.同（1）证法相同；
（3）先补图，判断四边形EFGH是正方形.理由：设AD与BC交于点M，证明△APD △BPC，可得∠PAD=∠PCB，利用对顶角相等及三角形内角和可得∠AMC=∠APC=90°，利用平行线的性质可得∠GHE＝90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可判断.
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