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四边形中的对角互补和含60°角菱形—浙教版数学八下解题模型专项训练
一、四边形中的对角互补模型
1．如图，在平面直角坐标系中，A(-3，0)，B为y轴正半轴上一点，C为y轴负半轴上一点，连接AB，AC，过点 C作CD⊥CA，且使 点D 在第一象限，连接BD，若∠ABD=90°，则点B 的坐标为　 　.
【答案】(0，3)
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；四边形中的对角互补模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如解图，过点 C 分别作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥BD交BD 的延长线于点 F，
∵∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∵ ∠BDC+∠CDF=180°，
∴ ∠CAE =∠CDF，
∵∠AEC=∠DFC，AC=DC，
∴△CAE≌△CDF，
∴CE=CF，
∴ BC 平分∠ABD，
∴ ∠ABO=45°，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴OB=OA=3，
∴点B的坐标为(0，3).
故答案为：(0，3).
【分析】过点 C 分别作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥BD交BD 的延长线于点 F，然后证明△CAE≌△CDF，即可得到CE=CF，然后得到△ABO为等腰直角三角形，解题即可.
2．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.
（1）【探究发现】如图①，若∠BAD=，∠ABC=∠ADC=.求证：AD+AB=AC；
（2）【拓展迁移】如图②，若∠BAD=，∠ABC+∠ADC=.
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC=10，求四边形ABCD的面积。
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝，
∵∠ADC＝∠ABC＝，
∴∠ACD＝∠ACB＝，
∴AD＝．
∴AD＋AB＝AC；
（2）解：①AD＋AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，
∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝，
∴△CFB△CED，
∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝
∴∠DAC＝∠BAC＝，
又∵AC＝10，
∴CE＝A，
∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴
＝．
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；四边形中的对角互补模型
【解析】【分析】(1)由题意可得∠ACD＝∠ACB＝，从而有AD＝，则AD＋AB＝AC.
（2） ①过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，证△CFB△CED，得FB=DE，则AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，由（1）知：AE＋AF＝AC，代入即可.
②将四边形ABCD的面积转化为S△ACD+S△ABC，结合①的结论可解决问题.
3．（2025八上·龙岗期末）【定义】
如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”。
如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°，则四边形ABCD是对补四边形。
图1 图2 图3 备用图
【应用】
（1）如图1，在对补四边形ABCD中，∠A=100°，则∠C=　 　；
（2）如图2，在对补四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，DC=2，则BC=　 　；
（3）如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD。
①求证：BC=CD；
②若∠BAD=60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由。
【答案】（1）80°
（2）
（3）解：①过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F。
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB
∴CE=CF
∵CE⊥AD，CF⊥AB
∴∠CED=∠CFB=90°
∵四边形ABCD是对补四边形
∴∠B+∠CDA=180°，
∵∠CDE+∠CDA=180°
∴∠B=∠CDE
∴△CED≌△CFB(AAS)
∴CD=CB
②∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠BAC=∠BAD=30°
∵∠CED=∠CFB=90°，CE=CF
∴△ACE≌△ACF(AAS)
∴AE=AF
∵△CED≌△CFB(AAS)
∴ED=BF
∴AD+AB=AE-ED+AF+BF=2AE
在Rt△AEC中，∠EAC=30°
∴AE=AC
∴AD+AB=2AE=AC
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；角平分线的判定；四边形中的对角互补模型
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
∠C=180°-∠A=80°
故答案为：80°
（2）由题意可得：
∠C=180°-∠A=90°
∵AB=3，AD=4，DC=2
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据对补四边形定义即可求出答案.
（2）根据对补四边形定义可得∠C=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）①过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，根据角平分线性质可得CE=CF，再根据垂直可得∠CED=∠CFB=90°，由对补四边形定义可得∠B=∠CDE，再根据全等三角形判定定理可得△CED≌△CFB(AAS)，则CD=CB，即可求出答案.
②根据角平分线概念可得∠EAC=∠BAC=∠BAD=30°，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△ACF(AAS)，则AE=AF，再根据全等三角形性质可得ED=BF，再根据边之间的关系可得AD+AB=2AE，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
4．（2024八下·宝安期中）【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，若，我们就把这种四边形称为“邻等对补四边形”，于是规定：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形。
那么“邻等对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究。
（1）【概念辨析】
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有 ▲ （填序号）。
（2）【深入探究】
学习小组在探究“邻等对补四边形”的边和对角线时，如图3，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，其中，得到猜想：AC平分．请对猜想进行证明．
（3）【拓展应用】
如图3，在“邻等对补四边形ABCD”中，，若，求四边形ABCD的面积．
（4）如图4，在边长为6的等边三角形ABC中，是AB的中点，是AC边上一动点，将沿ED翻折得到，延长EF交直线BC于点．若，则AE的长为 ▲
【答案】（1）②④
（2）证明：过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K
∵四边形ABCD是“邻等对补四边形”，
∴∠B=180°-∠ADC=∠ADK
∵∠AHB=90°=∠K，AB=AD
∴△ABH≌△ADK
∴AH=AK
∵AH⊥BC，AK⊥CD
∴AC平分
（3）解：过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K
∵ 四边形ABCD是“邻等对补四边形”， AB=AD
∴由(2)知：，△ABH≌△ADK
∴BH=DK
∵∠AHC=90°=∠K，AC=AC
∴△ACK≌△ACH
∴CH=CK
∵AC=6，∠ACH=30°
∴
∴
∴
∴
∵△ABH≌△ADK
∴
（4）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；角平分线的判定；四边形中的对角互补模型
【解析】【解答】解：（4）过点D作DM⊥EG于点M，过点G作GP⊥AB于点P，GN⊥AC于点N，连接DG
设AE=t
∵等边三角形ABC边长为6
∴AB=BC=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°
∵CG=2
∴，
BG=BC-CG=4
∴
∵D为AB中点
∴AD=BD=3
∴PD=BD-BP=1
∴DG2=PD2+PG2=13
∵将沿ED翻折得到
∴∠MFD=∠A=60°，FD=AD=3，EF=AE=t
∴
∴
∴FG=MG-MF=1
∴EG=EF+FG=t+1
∵AC=6，AE=t，CN=1
∴EN=5-t
∵EN2+NG2=EG2
解得：
∴AE的长为
故答案为：
【分析】（1）根据“邻等对补四边形”的定义即可求出答案.
（2）过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K，根据“邻等对补四边形”的定义可得∠B=180°-∠ADC=∠ADK，再根据全等三角形判定定理可得△ABH≌△ADK，则AH=AK，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K，根据“邻等对补四边形”的定义可得AB=AD，由(2)知：，△ABH≌△ADK，根据全等三角形性质可得BH=DK，再根据全等三角形判定定理可得△ACK≌△ACH，则CH=CK，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
（4）过点D作DM⊥EG于点M，过点G作GP⊥AB于点P，GN⊥AC于点N，连接DG，设AE=t，根据等边三角形性质可得AB=BC=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得BG，则，根据勾股定理可得DG，再根据折叠性质可得∠MFD=∠A=60°，FD=AD=3，再根据含30°角的直角三角形性质可得EF=AE=t，，根据勾股定理可得MG，再根据边之间的关系可得EN，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
二、60°角菱形
5． 如图， 在菱形 中， ， 点 从点 出发， 沿折线 方向移动， 移动到点 停止．在 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是(　　)
A．直角三角形 等边三角形 等腰三角形 直角三角形
B．直角三角形 等腰三角形 直角三角形 等边三角形
C．直角三角形 等边三角形 直角三角形 等腰三角形
D．等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰三角形
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，
∵ ∠B=60°，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ P到BC的中点时，∠APB=90°，
同理，P到CD的中点，∠PAB=90°，
当P运动到BC的中点时，△ABP为直角三角形；
当P运动到点C时，△ABP为等边三角形；
当P运动到CD的中点时，△ABP为直角三角形；
当P运动到点D时，△ABP为等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质可得 AB=BC=CD=AD，根据等边三角形的判定与性质即可求得.
6． 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD交于点E，∠DAB=60°，点 F，H分别为AD，BC上的点，且线段 FH过点 E，若四边形BFDH是矩形，则∠DEF的度数为 (　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形
为等边三角形
∵四边形 BFDH是矩形
为等边三角形
【分析】由于菱形的邻边相等且等于，则可证是等边三角形，则也是；由于矩形的对角线相等且互相平分，则也是等边三角形，即等于.
7．如图，在菱形ABCD中，O为中心点， 点E，F分别是边AB，AD 上的点，连接OE，OF.若 则图中阴影部分的面积为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过点O分别作AB、AD的垂线段OM、ON.
四边形ABCD是菱形
【分析】由于菱形的邻边相等结合已知条件可得BE等于AF；由于菱形的对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角，因此可连接OA、OB，则可得是直角且OA平分、OB平分；由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作AB、AD的垂线段OM、ON，则OM等于ON，则与面积相等，即阴影部分面积等于的面积，此时可解即可求得OA与OB的长，则阴影部分面积可得.
8．如图， 在菱形纸片 中， ， 将菱形纸片翻折， 使点 落在 的中点 处，折痕为 ， 点 分别在边 上， 则 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ ∠C=∠A=60°，BC=CD，
∴ △BCD为等边三角形，
∴ CP=CD，
∴ ∠BPC=∠ABP=90°，
设菱形边长为2a，则BC=2a，CP=a，
∴ BP=，
∵ 将菱形纸片翻折， 使点 落在 的中点 处，折痕为 ，
∴ AM=MP，
设AM为x，则MB为（2a-x），
MB2+BP2=MP2，
即(2a-x)2+3a2=x2，
解得，，，
即.
故答案为：B.
【分析】连接BP，根据菱形的性质可得∠C=∠A=60°，BC=CD，根据等边三角形的判定与性质可得 CP=CD，∠BPC=∠ABP=90°，根据勾股定理求得BP，根据翻折的性质可得AM=MP，再根据勾股定理即可求得BM：AM.
9．（2024·杭州模拟）如图，以正六边形ABCDEF的边CD为边向内作等边△CDG，连结EC，则∠GCE＝　 　°．
【答案】30
【知识点】含60°角的菱形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，构造等边△CDG，连接EC，GE，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠CDE=，CD=DE，
又∵△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG=DE，∠CDG=∠DCG=60°，
∴∠EDG=∠CDE-∠CDG=120°-60°=60°，
∴△DEG为等边三角形，
∴GE=DE=CD=CG，
∴四边形CDEG是菱形，
∴.
故答案为：30.
【分析】根据正六边形特殊角分析得出等边三角形，由特殊角分析得出菱形即分析得出目标角.
10．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线 BD 的中点， 轴且 将菱形ABCD绕点O旋转，使点B落在x轴上，则旋转后点A对应点的坐标为　 　.
【答案】(0，2)或(
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；含60°角的菱形；中心对称的性质
【解析】【解答】解：如解图①，
根据菱形的对称性可得：当点 B 旋转到x轴负半轴时，A，C，D 均在坐标轴上，∵ ∠ABC=120°，∴ ∠BAD=60°，∴ △ABD 为等边三角形，∴ ∠OAB=30°(“含60°角的菱形”模型)，∵AB=4，∴OB=2，∴AO=AB·cos30°=2 ，∴点A的坐标为(0，2 )，同理：如解图②，
当点 B 旋转到x 轴正半轴时，点A 的坐标为 ，综上所述，旋转后点 A 对应点的坐标为(0，2 )或(
【分析】由于在旋转过程中，点B可能落在x轴的正半轴上，也可能落在x轴的负半轴上，因此应分类讨论；又因为菱形的对角线互相垂直平分，且一条对角线平分一组对角，因为∠ABC=120°，因此∠ABO=60°；如图所示，当点B在x轴的正半轴上时，点A在y轴的负半轴上；当点B在x轴的负半轴上时，点A在y轴的正半轴上；分别解直角三角形AOB即可.
11．如图①是某厂家生产的一款地毯，图案由许多相同的菱形组成，图②为其示意图，若菱形的边长为26cm，点B，F之间的距离为 78cm，则 　 　 °厂家为了使图案更美观，不改变菱形的边长，将点A，C之间的距离调节到20cm，则A，E之间的距离为　 　 cm.
【答案】120；48
【知识点】勾股定理；菱形的性质；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：当B，F之间的距离为78cm时，B，D之间的距离为26 cm，如解图①，连接BD，则△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=60°，∴∠ABC=120°；如解图②，连接AC，AE，BD，AC与BD交于点O，当AC=20cm时，AO=10 cm，∵AB=26 cm，∴ BO=√AB2-AO2=24 cm，∴AE=BD=2BO=48 cm.
【分析】（1）先求出对角线BD的长，由于菱形的四条边相等且一条对角线平分一组对角，则△ABD为等边三角形，即∠ABC=120°；
（2）由于菱形的四条边相等且对边平行且相等，则可判定四边形ABDE是平行四边形，求AE的长实质是求菱形对角线BD的长；由于菱形的对角线互相垂直平分，则可解Rt△OAB即可求得OB的长，则BD可求.
12．（2024八下·黔东南期末）如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∴平行四边形AEDC是菱形.
（2）解：连接，如图：
∵四边形是菱形，，
∴，
∵∠AOE=90°，AE=4，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；含60°角的菱形
【解析】【分析】（1）根据根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AEDC是平行四边形，根据矩形的四个角都是直角可得AD⊥EC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
（2）连接EB，根据菱形的对角线平分对角可得∠AEO=30°，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半可得OA=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出OE的值，得出CE的值，根据矩形的对边相等，四个角都是在直角可得BC=OA=2，∠BCE=90°，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
13．（2024八下·海珠期中）已知菱形中，，点P为菱形内部或边上一点．
（1）如图1，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形内部或边上，连接，求证：．
（2）如图2，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形的外部，若，，求；
（3）如图3，若，点E，F分别在，上，且，连接，，，求证：．
【答案】（1）证明：如图1，连接
四边形是菱形
是等边三角形
，
是等边三角形
，
；
（2）解：如图2，连接，交于点M
四边形是菱形
，，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形
，
，
又，
；
；
（3）证明：如图3，连接交于点G，连接，
四边形是菱形
是等边三角形
，
，
又，
，
是等边三角形
，
即．
【知识点】含60°角的菱形
【解析】【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）连接AC，交BD于点M，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差即可证，然后根据菱形的性质和勾股定理即可得出，从而得出答案；
（3）连接AC交BP于点G，连接CF，CE，利用证明，得出，，再根据角的和差求出，然后根据勾股定理即可得证．
14．（2024八下·湛江期中）在菱形ABCD中，，点E，F分别是边AB，BC上的点．
（1）【尝试初探】如图1，若，求证：；
（2）【深入探究】如图2，点G，H分别是边CD，AD上的点，连接EG与FH相交于点O且，求证：
（3）【拓展延伸】如图3，若点E为AB的中点，，．
①设，，请用关于x的代数式表示y；
②若，求EG的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接BD
∵菱形ABCD、，
△ABD和△BCD都是等边三角形
，，
，
，
（2）证明：如图2，连接BD，过点D作交AB于点P，交BC于点Q
则，四边形DPEG和四边形DHFQ都是平行四边形
，
由（1）可知，
（3）解：①如图3，过点B作交CD于点M
则四边形BPDM和四边形BEGM都是平行四边形
，，
∵点E为AB的中点，，，
，，，
由（1）可知，
②过点B作于点N
则，
，即
，
，
【知识点】含60°角的菱形
【解析】【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，根据ASA证明，即可得出结论；
（2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证；
（3）①过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，，由（1）可知，则，即可求解；
②过点B作于点N，可求出，，由，即，求出，然后在中利用勾股定理求解即可．
1 / 1四边形中的对角互补和含60°角菱形—浙教版数学八下解题模型专项训练
一、四边形中的对角互补模型
1．如图，在平面直角坐标系中，A(-3，0)，B为y轴正半轴上一点，C为y轴负半轴上一点，连接AB，AC，过点 C作CD⊥CA，且使 点D 在第一象限，连接BD，若∠ABD=90°，则点B 的坐标为　 　.
2．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.
（1）【探究发现】如图①，若∠BAD=，∠ABC=∠ADC=.求证：AD+AB=AC；
（2）【拓展迁移】如图②，若∠BAD=，∠ABC+∠ADC=.
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC=10，求四边形ABCD的面积。
3．（2025八上·龙岗期末）【定义】
如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”。
如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°，则四边形ABCD是对补四边形。
图1 图2 图3 备用图
【应用】
（1）如图1，在对补四边形ABCD中，∠A=100°，则∠C=　 　；
（2）如图2，在对补四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，DC=2，则BC=　 　；
（3）如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD。
①求证：BC=CD；
②若∠BAD=60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由。
4．（2024八下·宝安期中）【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，若，我们就把这种四边形称为“邻等对补四边形”，于是规定：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形。
那么“邻等对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究。
（1）【概念辨析】
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有 ▲ （填序号）。
（2）【深入探究】
学习小组在探究“邻等对补四边形”的边和对角线时，如图3，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，其中，得到猜想：AC平分．请对猜想进行证明．
（3）【拓展应用】
如图3，在“邻等对补四边形ABCD”中，，若，求四边形ABCD的面积．
（4）如图4，在边长为6的等边三角形ABC中，是AB的中点，是AC边上一动点，将沿ED翻折得到，延长EF交直线BC于点．若，则AE的长为 ▲
二、60°角菱形
5． 如图， 在菱形 中， ， 点 从点 出发， 沿折线 方向移动， 移动到点 停止．在 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是(　　)
A．直角三角形 等边三角形 等腰三角形 直角三角形
B．直角三角形 等腰三角形 直角三角形 等边三角形
C．直角三角形 等边三角形 直角三角形 等腰三角形
D．等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰三角形
6． 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD交于点E，∠DAB=60°，点 F，H分别为AD，BC上的点，且线段 FH过点 E，若四边形BFDH是矩形，则∠DEF的度数为 (　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，在菱形ABCD中，O为中心点， 点E，F分别是边AB，AD 上的点，连接OE，OF.若 则图中阴影部分的面积为 (　　)
A． B． C． D．
8．如图， 在菱形纸片 中， ， 将菱形纸片翻折， 使点 落在 的中点 处，折痕为 ， 点 分别在边 上， 则 的值为(　　)
A． B． C． D．
9．（2024·杭州模拟）如图，以正六边形ABCDEF的边CD为边向内作等边△CDG，连结EC，则∠GCE＝　 　°．
10．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线 BD 的中点， 轴且 将菱形ABCD绕点O旋转，使点B落在x轴上，则旋转后点A对应点的坐标为　 　.
11．如图①是某厂家生产的一款地毯，图案由许多相同的菱形组成，图②为其示意图，若菱形的边长为26cm，点B，F之间的距离为 78cm，则 　 　 °厂家为了使图案更美观，不改变菱形的边长，将点A，C之间的距离调节到20cm，则A，E之间的距离为　 　 cm.
12．（2024八下·黔东南期末）如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的长．
13．（2024八下·海珠期中）已知菱形中，，点P为菱形内部或边上一点．
（1）如图1，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形内部或边上，连接，求证：．
（2）如图2，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形的外部，若，，求；
（3）如图3，若，点E，F分别在，上，且，连接，，，求证：．
14．（2024八下·湛江期中）在菱形ABCD中，，点E，F分别是边AB，BC上的点．
（1）【尝试初探】如图1，若，求证：；
（2）【深入探究】如图2，点G，H分别是边CD，AD上的点，连接EG与FH相交于点O且，求证：
（3）【拓展延伸】如图3，若点E为AB的中点，，．
①设，，请用关于x的代数式表示y；
②若，求EG的长．
答案解析部分
1．【答案】(0，3)
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；四边形中的对角互补模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如解图，过点 C 分别作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥BD交BD 的延长线于点 F，
∵∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∵ ∠BDC+∠CDF=180°，
∴ ∠CAE =∠CDF，
∵∠AEC=∠DFC，AC=DC，
∴△CAE≌△CDF，
∴CE=CF，
∴ BC 平分∠ABD，
∴ ∠ABO=45°，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴OB=OA=3，
∴点B的坐标为(0，3).
故答案为：(0，3).
【分析】过点 C 分别作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥BD交BD 的延长线于点 F，然后证明△CAE≌△CDF，即可得到CE=CF，然后得到△ABO为等腰直角三角形，解题即可.
2．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝，
∵∠ADC＝∠ABC＝，
∴∠ACD＝∠ACB＝，
∴AD＝．
∴AD＋AB＝AC；
（2）解：①AD＋AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，
∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝，
∴△CFB△CED，
∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝
∴∠DAC＝∠BAC＝，
又∵AC＝10，
∴CE＝A，
∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴
＝．
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；四边形中的对角互补模型
【解析】【分析】(1)由题意可得∠ACD＝∠ACB＝，从而有AD＝，则AD＋AB＝AC.
（2） ①过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，证△CFB△CED，得FB=DE，则AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，由（1）知：AE＋AF＝AC，代入即可.
②将四边形ABCD的面积转化为S△ACD+S△ABC，结合①的结论可解决问题.
3．【答案】（1）80°
（2）
（3）解：①过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F。
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB
∴CE=CF
∵CE⊥AD，CF⊥AB
∴∠CED=∠CFB=90°
∵四边形ABCD是对补四边形
∴∠B+∠CDA=180°，
∵∠CDE+∠CDA=180°
∴∠B=∠CDE
∴△CED≌△CFB(AAS)
∴CD=CB
②∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠BAC=∠BAD=30°
∵∠CED=∠CFB=90°，CE=CF
∴△ACE≌△ACF(AAS)
∴AE=AF
∵△CED≌△CFB(AAS)
∴ED=BF
∴AD+AB=AE-ED+AF+BF=2AE
在Rt△AEC中，∠EAC=30°
∴AE=AC
∴AD+AB=2AE=AC
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；角平分线的判定；四边形中的对角互补模型
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
∠C=180°-∠A=80°
故答案为：80°
（2）由题意可得：
∠C=180°-∠A=90°
∵AB=3，AD=4，DC=2
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据对补四边形定义即可求出答案.
（2）根据对补四边形定义可得∠C=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）①过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，根据角平分线性质可得CE=CF，再根据垂直可得∠CED=∠CFB=90°，由对补四边形定义可得∠B=∠CDE，再根据全等三角形判定定理可得△CED≌△CFB(AAS)，则CD=CB，即可求出答案.
②根据角平分线概念可得∠EAC=∠BAC=∠BAD=30°，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△ACF(AAS)，则AE=AF，再根据全等三角形性质可得ED=BF，再根据边之间的关系可得AD+AB=2AE，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
4．【答案】（1）②④
（2）证明：过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K
∵四边形ABCD是“邻等对补四边形”，
∴∠B=180°-∠ADC=∠ADK
∵∠AHB=90°=∠K，AB=AD
∴△ABH≌△ADK
∴AH=AK
∵AH⊥BC，AK⊥CD
∴AC平分
（3）解：过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K
∵ 四边形ABCD是“邻等对补四边形”， AB=AD
∴由(2)知：，△ABH≌△ADK
∴BH=DK
∵∠AHC=90°=∠K，AC=AC
∴△ACK≌△ACH
∴CH=CK
∵AC=6，∠ACH=30°
∴
∴
∴
∴
∵△ABH≌△ADK
∴
（4）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；角平分线的判定；四边形中的对角互补模型
【解析】【解答】解：（4）过点D作DM⊥EG于点M，过点G作GP⊥AB于点P，GN⊥AC于点N，连接DG
设AE=t
∵等边三角形ABC边长为6
∴AB=BC=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°
∵CG=2
∴，
BG=BC-CG=4
∴
∵D为AB中点
∴AD=BD=3
∴PD=BD-BP=1
∴DG2=PD2+PG2=13
∵将沿ED翻折得到
∴∠MFD=∠A=60°，FD=AD=3，EF=AE=t
∴
∴
∴FG=MG-MF=1
∴EG=EF+FG=t+1
∵AC=6，AE=t，CN=1
∴EN=5-t
∵EN2+NG2=EG2
解得：
∴AE的长为
故答案为：
【分析】（1）根据“邻等对补四边形”的定义即可求出答案.
（2）过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K，根据“邻等对补四边形”的定义可得∠B=180°-∠ADC=∠ADK，再根据全等三角形判定定理可得△ABH≌△ADK，则AH=AK，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K，根据“邻等对补四边形”的定义可得AB=AD，由(2)知：，△ABH≌△ADK，根据全等三角形性质可得BH=DK，再根据全等三角形判定定理可得△ACK≌△ACH，则CH=CK，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
（4）过点D作DM⊥EG于点M，过点G作GP⊥AB于点P，GN⊥AC于点N，连接DG，设AE=t，根据等边三角形性质可得AB=BC=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得BG，则，根据勾股定理可得DG，再根据折叠性质可得∠MFD=∠A=60°，FD=AD=3，再根据含30°角的直角三角形性质可得EF=AE=t，，根据勾股定理可得MG，再根据边之间的关系可得EN，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，
∵ ∠B=60°，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ P到BC的中点时，∠APB=90°，
同理，P到CD的中点，∠PAB=90°，
当P运动到BC的中点时，△ABP为直角三角形；
当P运动到点C时，△ABP为等边三角形；
当P运动到CD的中点时，△ABP为直角三角形；
当P运动到点D时，△ABP为等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质可得 AB=BC=CD=AD，根据等边三角形的判定与性质即可求得.
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形
为等边三角形
∵四边形 BFDH是矩形
为等边三角形
【分析】由于菱形的邻边相等且等于，则可证是等边三角形，则也是；由于矩形的对角线相等且互相平分，则也是等边三角形，即等于.
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过点O分别作AB、AD的垂线段OM、ON.
四边形ABCD是菱形
【分析】由于菱形的邻边相等结合已知条件可得BE等于AF；由于菱形的对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角，因此可连接OA、OB，则可得是直角且OA平分、OB平分；由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作AB、AD的垂线段OM、ON，则OM等于ON，则与面积相等，即阴影部分面积等于的面积，此时可解即可求得OA与OB的长，则阴影部分面积可得.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ ∠C=∠A=60°，BC=CD，
∴ △BCD为等边三角形，
∴ CP=CD，
∴ ∠BPC=∠ABP=90°，
设菱形边长为2a，则BC=2a，CP=a，
∴ BP=，
∵ 将菱形纸片翻折， 使点 落在 的中点 处，折痕为 ，
∴ AM=MP，
设AM为x，则MB为（2a-x），
MB2+BP2=MP2，
即(2a-x)2+3a2=x2，
解得，，，
即.
故答案为：B.
【分析】连接BP，根据菱形的性质可得∠C=∠A=60°，BC=CD，根据等边三角形的判定与性质可得 CP=CD，∠BPC=∠ABP=90°，根据勾股定理求得BP，根据翻折的性质可得AM=MP，再根据勾股定理即可求得BM：AM.
9．【答案】30
【知识点】含60°角的菱形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，构造等边△CDG，连接EC，GE，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠CDE=，CD=DE，
又∵△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG=DE，∠CDG=∠DCG=60°，
∴∠EDG=∠CDE-∠CDG=120°-60°=60°，
∴△DEG为等边三角形，
∴GE=DE=CD=CG，
∴四边形CDEG是菱形，
∴.
故答案为：30.
【分析】根据正六边形特殊角分析得出等边三角形，由特殊角分析得出菱形即分析得出目标角.
10．【答案】(0，2)或(
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；含60°角的菱形；中心对称的性质
【解析】【解答】解：如解图①，
根据菱形的对称性可得：当点 B 旋转到x轴负半轴时，A，C，D 均在坐标轴上，∵ ∠ABC=120°，∴ ∠BAD=60°，∴ △ABD 为等边三角形，∴ ∠OAB=30°(“含60°角的菱形”模型)，∵AB=4，∴OB=2，∴AO=AB·cos30°=2 ，∴点A的坐标为(0，2 )，同理：如解图②，
当点 B 旋转到x 轴正半轴时，点A 的坐标为 ，综上所述，旋转后点 A 对应点的坐标为(0，2 )或(
【分析】由于在旋转过程中，点B可能落在x轴的正半轴上，也可能落在x轴的负半轴上，因此应分类讨论；又因为菱形的对角线互相垂直平分，且一条对角线平分一组对角，因为∠ABC=120°，因此∠ABO=60°；如图所示，当点B在x轴的正半轴上时，点A在y轴的负半轴上；当点B在x轴的负半轴上时，点A在y轴的正半轴上；分别解直角三角形AOB即可.
11．【答案】120；48
【知识点】勾股定理；菱形的性质；含60°角的菱形
【解析】【解答】解：当B，F之间的距离为78cm时，B，D之间的距离为26 cm，如解图①，连接BD，则△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=60°，∴∠ABC=120°；如解图②，连接AC，AE，BD，AC与BD交于点O，当AC=20cm时，AO=10 cm，∵AB=26 cm，∴ BO=√AB2-AO2=24 cm，∴AE=BD=2BO=48 cm.
【分析】（1）先求出对角线BD的长，由于菱形的四条边相等且一条对角线平分一组对角，则△ABD为等边三角形，即∠ABC=120°；
（2）由于菱形的四条边相等且对边平行且相等，则可判定四边形ABDE是平行四边形，求AE的长实质是求菱形对角线BD的长；由于菱形的对角线互相垂直平分，则可解Rt△OAB即可求得OB的长，则BD可求.
12．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∴平行四边形AEDC是菱形.
（2）解：连接，如图：
∵四边形是菱形，，
∴，
∵∠AOE=90°，AE=4，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；含60°角的菱形
【解析】【分析】（1）根据根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AEDC是平行四边形，根据矩形的四个角都是直角可得AD⊥EC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
（2）连接EB，根据菱形的对角线平分对角可得∠AEO=30°，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半可得OA=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出OE的值，得出CE的值，根据矩形的对边相等，四个角都是在直角可得BC=OA=2，∠BCE=90°，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
13．【答案】（1）证明：如图1，连接
四边形是菱形
是等边三角形
，
是等边三角形
，
；
（2）解：如图2，连接，交于点M
四边形是菱形
，，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形
，
，
又，
；
；
（3）证明：如图3，连接交于点G，连接，
四边形是菱形
是等边三角形
，
，
又，
，
是等边三角形
，
即．
【知识点】含60°角的菱形
【解析】【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）连接AC，交BD于点M，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差即可证，然后根据菱形的性质和勾股定理即可得出，从而得出答案；
（3）连接AC交BP于点G，连接CF，CE，利用证明，得出，，再根据角的和差求出，然后根据勾股定理即可得证．
14．【答案】（1）证明：如图1，连接BD
∵菱形ABCD、，
△ABD和△BCD都是等边三角形
，，
，
，
（2）证明：如图2，连接BD，过点D作交AB于点P，交BC于点Q
则，四边形DPEG和四边形DHFQ都是平行四边形
，
由（1）可知，
（3）解：①如图3，过点B作交CD于点M
则四边形BPDM和四边形BEGM都是平行四边形
，，
∵点E为AB的中点，，，
，，，
由（1）可知，
②过点B作于点N
则，
，即
，
，
【知识点】含60°角的菱形
【解析】【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，根据ASA证明，即可得出结论；
（2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证；
（3）①过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，，由（1）可知，则，即可求解；
②过点B作于点N，可求出，，由，即，求出，然后在中利用勾股定理求解即可．
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