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十字架模型—浙教版数学八下解题模型专项训练
一、选择题
1．如图 ， 在正方形 中， 点 分别在 上 （不与端点重合）， 且 ， 连结 相交于点 ， 则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】解：在正方形 中，
，
，，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质可得，再通过SAS判定得到，，，由余角的性质可证得，即 ，故选项B不正确.
2．（2024八下·陇南期末）如图，正方形的边长为6，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，连接．若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；正方形中的十字架模型；余角
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
BC=6，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据正方形的性质得，利用同角得余角相等可得；可由可证，可得，由勾股定理可求解．
二、填空题
3．如图，正方形 边长为 12 ， 将正方形沿 折叠， 使点 落在 边上的点 处， 且 ， 则折痕 的长为　 　
【答案】13
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】解：如图，作，连接AE，
由折叠的性质可得，
四边形 是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：13.
【分析】由折叠的性质可得，利用平行线的性质可得BG=MN，利用正方形的性质可得，由余角的性质可得，进而通过ASA判定证得AE=MN，然后通过勾股定理求得AE的长度，即可得到MN的长度.
4．（2024八下·崆峒期末）如图，正方形中，点E，F分别在边上，于点G，若，则的长为　 　．
【答案】5.2
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；正方形中的十字架模型；面积及等积变换
【解析】【解答】解：，
，
，
由正方形得性质可得：
，
，
∵四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，
∵，AF=2，
，
∵在中，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
先由垂直的定义得到，由正方形的性质得到，即可利用同角的余角相等得到，再结合正方形边长和角度的特点即可利用AAS证明；再结合BC=8，，得出，因而可用勾股定理求得BE=10，从而可由面积法求得的长，最后利用全等三角形的性质可得CF=10，即可利用线段的和差关系，得出答案．
5．（2024八下·青秀期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】解：取AB中点H，连接HG、HC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴
在和中，
∴
∴
∴
∴
∵HG、HC的长不变，
∴当H、G、C在同一条直线上时，CG取得最小值，
在中，
∴CG的最小值为：
故答案为：.
【分析】取AB中点，连接HG、HC，利用"SAS"证明进而得到取AB中点H，则由HG、HC的长不变，则当H、G、C在同一条直线上时，CG取得最小值，进而即可计算出CG的最小值.
6．如图，在正方形ABCD中，E是边AB 上的点，连接CE，过点D作 DF⊥CE，分别交 BC，CE于点 F，G.若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为4：9，则△DCG的面积为　 　，CG+DG的长为　 　.
【答案】；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4：9，AB=3，
∴阴影部分的面积为
∴空白部分的面积为9-4=5，
∵在正方形 ABCD 中，CD=BC，∠DCF=∠CBE=90°，DF⊥CE，
∴ ∠CFD+∠BCE = 90°，
∵ ∠BCE + ∠BEC = 90°，
∴∠CFD=∠BEC，
∴△DCF≌△CBE(AAS)，
∴ S△DCC=
设DG=a(a>0)，CG=b(b>0)，
则
又∵
即 (负值已舍去)，
即
故答案为：；
【分析】先证明△DCF≌△CBE，即可得到S△DCC= S四边形BEGF解题即可；然后根据完全平方公式的变形计算解题.
三、解答题
7．已知正方形 ，
（1） 如图①， 正方形 中， 分别为 上的点， 且 与 相交于点 ． 求证： ．
（2） 如图②， 如果点 分别在 BC， CD， 上， 且 ， 那么 相等吗？ 证明你的结论．
（3） 如图③， 如果点 分别在 ， 上， 且 ， 那么 相等吗？ 证明你的结论．
【答案】（1）证明： 四边形 是正方形，
．
在 Rt 和 Rt 中，
．
．
（2）解：．
证明： 如图， 过点 作 交 于点 ，
四边形 是平行四边形． ．
．
由 （1） 可得 ，
（3）解：．
证明： 如图， 分别过点 作 ， ，
，
四边形 、四边形 为平行四边形，
．
．
由（1） 可得 ，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】(1)利用正方形的性质可得，再通过HL判定证得，然后利用余角的性质证得．
(2) 作，易证四边形 是平行四边形，利用全等三角形的性质可得AN=BF，进而证得．
(3) 分别过点 作 ， ，易证四边形 、四边形 为平行四边形，利用全等三角形的性质可得，进而证得．
8．已知： 如图 ， 在正方形 中， 分别是 上的点， ． 求证： ．
【答案】证明： 在正方形 中，
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】利用正方形的性质得到AB=BC，再由余角的性质证得，然后通过ASA判定得到．
9．如图，在正方 ABCD 中，E是BC边上的点，AE的垂直平分线交CD，AB于点F，G，
（1）若正方形边长为4，求 BG的长；
（2）求DF：CF的值.
【答案】（1）解：连接EG，如图所示：
∵，
∴设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵正方形边长为4，
∴，
解得，
∴；
（2）解：作于．则四边形、是矩形，
∵，
∴设，则，，，
垂直平分，四边形是正方形，
，
，，
，
，
∴，
∴，，
∴，即的值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】（1）连接EG，根据比值设，则，进而根据正方形的性质得到，根据勾股定理求出GE，再根据垂直平分线的性质得到，从而根据正方形得到，解方程即可；
（2）作于．则四边形、是矩形，根据比值设，则，，，再根据垂直平分线的性质结合正方形的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而得到，，相比即可求解。
10．（2024八下·象山期中）已知边长为1的正方形中，点E、F分别在边、上，
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，
①猜想、、之间的数量关系，并证明；
②当的长为，试求的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABE和△BCF中，
∴，
∴；
（2）解：①它们的数量关系是：，理由如下：
延长CB到G，使BG=DF，连接AG，如图：
∵四边形为正方形，
，，
∴∠ABG=180°－90°=90°=∠ADF.
在△ADF和△ABG中，
，
，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，结论得证．
②在中，的长为，，
∴，
设线段长为x，则，，
∴，
解得，
在中，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】（1）由正方形性质可得AB=BC，，利用AE⊥BF可证得，即可证得结论；
（2）①延长CB到G，使BG=DF，连接AG，先证明，得AG=AF，∠BAG=∠DAF，再证明，可得GE=EF，于是可得EF=GE=GB+BE=BE+DF；②在中，利用勾股定理可求出BE和CE的长，设线段长为x，表示出EF，CF的长，在Rt△EFC中利用勾股定理，求出x的值，再在Rt△ADF中利用勾股定理，即可求出AF的长．
11．（2024八下·义乌期末）如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点．
（1）请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长．
（3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积．
【答案】（1）解：线段与的数量关系是、位置关系是，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
，，
，
，则；
（2）解：过点作，如图所示：
正方形的边长为4，
，且，
由（1）知，
在中，，，
点为的中点，
，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
，
，，
，
的周长为；
（3）解：连接，过作，如图所示：
，，
是线段的垂直平分线，则，
，即是等腰三角形，
，则由勾股定理可得，
过点作，延长，过作于，如图：
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
，
；，
．

【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】（1）先根据正方形性质，证得，，再利用SAS证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质可得，再由，，可得到线段与的位置关系是；
（2）先利用正方形性质证得，且，再利用勾股定理求得DE，利用面积法求出，就可求得的周长；
（3）先利用中垂线的判定与性质得到，再根据等腰三角形的判定与性质，结合勾股定理求出AQ，然后面积法及勾股定理求出，再利用梯形面积公式、三角形面积公式求出面积，数形结合，根据的面积为代值求解．
（1）解：线段与的数量关系是、位置关系是，
理由如下：
在正方形中，，，
在和中，
，
，
，
，
，
，则；
（2）解：过点作，如图所示：
正方形的边长为4，
，且，
由（1）知，
在中，，，
点为的中点，
，则由勾股定理可得，
在中，由等面积法可知，则，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，由等面积法可知，则，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
，
，，
，
的周长为；
（3）解：连接，过作，如图所示：
由（1）知，
，
是线段的垂直平分线，则，
，即是等腰三角形，
，则由勾股定理可得，
过点作，延长，过作于，如图所示：
在中，由等面积法可得，则，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；，
的面积为．
12．（2024八下·宁波期中）[基础巩固]
（1）如图所示，在正方形中，，分别为，上的点，交点为．求证：．
[尝试应用]
（2）如图2所示，在（1）的条件下，连结．若为的中点，．求的值．
[拓展提高]
（3）在正方形中，为上一点，连接，，为上的点（不与，重合），在左侧，连接，作中点，连接，，．若为等腰直角三角形，，，，请直接写出的长．
【答案】解：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵
∴
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，延长交的延长线于点，
∵为的中点，
由（1）可得，则
即
又∵，
∴
∴，则，
∵
∴
∵
∴，
在中，，
∴，则
∵
∴
∴
∴；
（3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】（3）解：如图所示，过点作，交于点，交于点，过点作于点，
∵为中点
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
在中，，
∴，，
延长至使得，连接，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
又∵
∴，
∵四边形是正方形，
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
【分析】（1）由正方形的性质得，，由同角的余角相等得，从而用ASA证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）延长交的延长线于点，由ASA证明得出，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，在中勾股定理求得，根据等面积法求得，进而求得，即可求解；
（3）过点作，交于点，交于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质算出DG、NL，在中，勾股定理求得，进而求得，GM，延长至使得，连接，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得， ；证明△HDT与是等腰直角三角形，则，进而求得，由正方形性质及SAS可证明，根据全等三角形的性质即可得出，即可求解．
13．（2025八下·贵州期中）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG；②AF＝EG．
（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号）；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连接AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．
【答案】（1）解：选择的条件是①，结论是②．证明如下：
如图1，过点G作GP⊥AB于点P，
∵AF⊥EG，GP⊥AB，
∴∠AEG+∠BAF＝90°，∠AEG+∠PGE＝90°，∠GPB=90°，
∴∠BAF＝∠PGE．
四边形ABCD是正方形，
AB=BC，∠B=∠C=90°，
∴四边形BCGP是矩形，
∴PG=BC=AB，
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG；
故答案为：①，②；
（2）解：①△ABF≌△GPE，
∴，
，
连接AG，在Rt△APG中，；
②.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】（2）解：②过点F作FQEG，过点G作GQEF，
则四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴AG+EF的最小值为．
【分析】（1）选①为条件，②为结论，过点G作GP⊥AB于点P，由直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠BAF＝∠PGE，由正方形的性质得AB=BC，∠B=∠C=90°，从而由“有三个角是直角的四边形是矩形”得四边形BCGP是矩形，由矩形的对边相等得PG=BC=AB，从而由ASA判断出△ABF≌△GPE，由全等三角形的对应边相等得AF=EG；
（2）①由全等三角形的对应边相等可得PE=BF=2，则由线段和差得AP=1，在Rt△APG中，利用勾股定理求AG即可；
②过点F作FQEG，过点G作GQEF，由“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形EFQG为平行四边形，由平行四边形的对边相等得GQ=EF，EG=FQ，故AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小；易得AF=FQ，结合平行线的行政科推出△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理算出FQ=AF=，进而再利用勾股定理算出AQ即可得出答案.
（1）解：选择的条件是①，结论是②．证明如下：
如图1，过点G作GP⊥AB，交于点P，
∵AF⊥EG，，
∴∠AEG+∠BAF＝90°，∠AEG+∠PGE＝90°，
∴∠BAF＝∠PGE．
四边形是正方形，
，．
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG．
（2）解：①△ABF≌△GPE，
，
，
．
连接，在Rt△APG中，．
②过点F作FQEG，过点G作GQEF，
则四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴AG+EF的最小值为．
1 / 1十字架模型—浙教版数学八下解题模型专项训练
一、选择题
1．如图 ， 在正方形 中， 点 分别在 上 （不与端点重合）， 且 ， 连结 相交于点 ， 则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·陇南期末）如图，正方形的边长为6，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，连接．若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．
二、填空题
3．如图，正方形 边长为 12 ， 将正方形沿 折叠， 使点 落在 边上的点 处， 且 ， 则折痕 的长为　 　
4．（2024八下·崆峒期末）如图，正方形中，点E，F分别在边上，于点G，若，则的长为　 　．
5．（2024八下·青秀期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 　 　．
6．如图，在正方形ABCD中，E是边AB 上的点，连接CE，过点D作 DF⊥CE，分别交 BC，CE于点 F，G.若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为4：9，则△DCG的面积为　 　，CG+DG的长为　 　.
三、解答题
7．已知正方形 ，
（1） 如图①， 正方形 中， 分别为 上的点， 且 与 相交于点 ． 求证： ．
（2） 如图②， 如果点 分别在 BC， CD， 上， 且 ， 那么 相等吗？ 证明你的结论．
（3） 如图③， 如果点 分别在 ， 上， 且 ， 那么 相等吗？ 证明你的结论．
8．已知： 如图 ， 在正方形 中， 分别是 上的点， ． 求证： ．
9．如图，在正方 ABCD 中，E是BC边上的点，AE的垂直平分线交CD，AB于点F，G，
（1）若正方形边长为4，求 BG的长；
（2）求DF：CF的值.
10．（2024八下·象山期中）已知边长为1的正方形中，点E、F分别在边、上，
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，
①猜想、、之间的数量关系，并证明；
②当的长为，试求的长度．
11．（2024八下·义乌期末）如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点．
（1）请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长．
（3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积．
12．（2024八下·宁波期中）[基础巩固]
（1）如图所示，在正方形中，，分别为，上的点，交点为．求证：．
[尝试应用]
（2）如图2所示，在（1）的条件下，连结．若为的中点，．求的值．
[拓展提高]
（3）在正方形中，为上一点，连接，，为上的点（不与，重合），在左侧，连接，作中点，连接，，．若为等腰直角三角形，，，，请直接写出的长．
13．（2025八下·贵州期中）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG；②AF＝EG．
（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号）；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连接AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】解：在正方形 中，
，
，，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质可得，再通过SAS判定得到，，，由余角的性质可证得，即 ，故选项B不正确.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；正方形中的十字架模型；余角
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
BC=6，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据正方形的性质得，利用同角得余角相等可得；可由可证，可得，由勾股定理可求解．
3．【答案】13
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】解：如图，作，连接AE，
由折叠的性质可得，
四边形 是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：13.
【分析】由折叠的性质可得，利用平行线的性质可得BG=MN，利用正方形的性质可得，由余角的性质可得，进而通过ASA判定证得AE=MN，然后通过勾股定理求得AE的长度，即可得到MN的长度.
4．【答案】5.2
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；正方形中的十字架模型；面积及等积变换
【解析】【解答】解：，
，
，
由正方形得性质可得：
，
，
∵四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，
∵，AF=2，
，
∵在中，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
先由垂直的定义得到，由正方形的性质得到，即可利用同角的余角相等得到，再结合正方形边长和角度的特点即可利用AAS证明；再结合BC=8，，得出，因而可用勾股定理求得BE=10，从而可由面积法求得的长，最后利用全等三角形的性质可得CF=10，即可利用线段的和差关系，得出答案．
5．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】解：取AB中点H，连接HG、HC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴
在和中，
∴
∴
∴
∴
∵HG、HC的长不变，
∴当H、G、C在同一条直线上时，CG取得最小值，
在中，
∴CG的最小值为：
故答案为：.
【分析】取AB中点，连接HG、HC，利用"SAS"证明进而得到取AB中点H，则由HG、HC的长不变，则当H、G、C在同一条直线上时，CG取得最小值，进而即可计算出CG的最小值.
6．【答案】；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4：9，AB=3，
∴阴影部分的面积为
∴空白部分的面积为9-4=5，
∵在正方形 ABCD 中，CD=BC，∠DCF=∠CBE=90°，DF⊥CE，
∴ ∠CFD+∠BCE = 90°，
∵ ∠BCE + ∠BEC = 90°，
∴∠CFD=∠BEC，
∴△DCF≌△CBE(AAS)，
∴ S△DCC=
设DG=a(a>0)，CG=b(b>0)，
则
又∵
即 (负值已舍去)，
即
故答案为：；
【分析】先证明△DCF≌△CBE，即可得到S△DCC= S四边形BEGF解题即可；然后根据完全平方公式的变形计算解题.
7．【答案】（1）证明： 四边形 是正方形，
．
在 Rt 和 Rt 中，
．
．
（2）解：．
证明： 如图， 过点 作 交 于点 ，
四边形 是平行四边形． ．
．
由 （1） 可得 ，
（3）解：．
证明： 如图， 分别过点 作 ， ，
，
四边形 、四边形 为平行四边形，
．
．
由（1） 可得 ，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】(1)利用正方形的性质可得，再通过HL判定证得，然后利用余角的性质证得．
(2) 作，易证四边形 是平行四边形，利用全等三角形的性质可得AN=BF，进而证得．
(3) 分别过点 作 ， ，易证四边形 、四边形 为平行四边形，利用全等三角形的性质可得，进而证得．
8．【答案】证明： 在正方形 中，
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】利用正方形的性质得到AB=BC，再由余角的性质证得，然后通过ASA判定得到．
9．【答案】（1）解：连接EG，如图所示：
∵，
∴设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵正方形边长为4，
∴，
解得，
∴；
（2）解：作于．则四边形、是矩形，
∵，
∴设，则，，，
垂直平分，四边形是正方形，
，
，，
，
，
∴，
∴，，
∴，即的值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】（1）连接EG，根据比值设，则，进而根据正方形的性质得到，根据勾股定理求出GE，再根据垂直平分线的性质得到，从而根据正方形得到，解方程即可；
（2）作于．则四边形、是矩形，根据比值设，则，，，再根据垂直平分线的性质结合正方形的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而得到，，相比即可求解。
10．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABE和△BCF中，
∴，
∴；
（2）解：①它们的数量关系是：，理由如下：
延长CB到G，使BG=DF，连接AG，如图：
∵四边形为正方形，
，，
∴∠ABG=180°－90°=90°=∠ADF.
在△ADF和△ABG中，
，
，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，结论得证．
②在中，的长为，，
∴，
设线段长为x，则，，
∴，
解得，
在中，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】（1）由正方形性质可得AB=BC，，利用AE⊥BF可证得，即可证得结论；
（2）①延长CB到G，使BG=DF，连接AG，先证明，得AG=AF，∠BAG=∠DAF，再证明，可得GE=EF，于是可得EF=GE=GB+BE=BE+DF；②在中，利用勾股定理可求出BE和CE的长，设线段长为x，表示出EF，CF的长，在Rt△EFC中利用勾股定理，求出x的值，再在Rt△ADF中利用勾股定理，即可求出AF的长．
11．【答案】（1）解：线段与的数量关系是、位置关系是，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
，，
，
，则；
（2）解：过点作，如图所示：
正方形的边长为4，
，且，
由（1）知，
在中，，，
点为的中点，
，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
，
，，
，
的周长为；
（3）解：连接，过作，如图所示：
，，
是线段的垂直平分线，则，
，即是等腰三角形，
，则由勾股定理可得，
过点作，延长，过作于，如图：
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
，
；，
．

【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
【解析】【分析】（1）先根据正方形性质，证得，，再利用SAS证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质可得，再由，，可得到线段与的位置关系是；
（2）先利用正方形性质证得，且，再利用勾股定理求得DE，利用面积法求出，就可求得的周长；
（3）先利用中垂线的判定与性质得到，再根据等腰三角形的判定与性质，结合勾股定理求出AQ，然后面积法及勾股定理求出，再利用梯形面积公式、三角形面积公式求出面积，数形结合，根据的面积为代值求解．
（1）解：线段与的数量关系是、位置关系是，
理由如下：
在正方形中，，，
在和中，
，
，
，
，
，
，则；
（2）解：过点作，如图所示：
正方形的边长为4，
，且，
由（1）知，
在中，，，
点为的中点，
，则由勾股定理可得，
在中，由等面积法可知，则，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，由等面积法可知，则，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
，
，，
，
的周长为；
（3）解：连接，过作，如图所示：
由（1）知，
，
是线段的垂直平分线，则，
，即是等腰三角形，
，则由勾股定理可得，
过点作，延长，过作于，如图所示：
在中，由等面积法可得，则，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；，
的面积为．
12．【答案】解：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵
∴
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，延长交的延长线于点，
∵为的中点，
由（1）可得，则
即
又∵，
∴
∴，则，
∵
∴
∵
∴，
在中，，
∴，则
∵
∴
∴
∴；
（3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】（3）解：如图所示，过点作，交于点，交于点，过点作于点，
∵为中点
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
在中，，
∴，，
延长至使得，连接，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
又∵
∴，
∵四边形是正方形，
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
【分析】（1）由正方形的性质得，，由同角的余角相等得，从而用ASA证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）延长交的延长线于点，由ASA证明得出，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，在中勾股定理求得，根据等面积法求得，进而求得，即可求解；
（3）过点作，交于点，交于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质算出DG、NL，在中，勾股定理求得，进而求得，GM，延长至使得，连接，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得， ；证明△HDT与是等腰直角三角形，则，进而求得，由正方形性质及SAS可证明，根据全等三角形的性质即可得出，即可求解．
13．【答案】（1）解：选择的条件是①，结论是②．证明如下：
如图1，过点G作GP⊥AB于点P，
∵AF⊥EG，GP⊥AB，
∴∠AEG+∠BAF＝90°，∠AEG+∠PGE＝90°，∠GPB=90°，
∴∠BAF＝∠PGE．
四边形ABCD是正方形，
AB=BC，∠B=∠C=90°，
∴四边形BCGP是矩形，
∴PG=BC=AB，
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG；
故答案为：①，②；
（2）解：①△ABF≌△GPE，
∴，
，
连接AG，在Rt△APG中，；
②.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；正方形中的十字架模型
【解析】【解答】（2）解：②过点F作FQEG，过点G作GQEF，
则四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴AG+EF的最小值为．
【分析】（1）选①为条件，②为结论，过点G作GP⊥AB于点P，由直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠BAF＝∠PGE，由正方形的性质得AB=BC，∠B=∠C=90°，从而由“有三个角是直角的四边形是矩形”得四边形BCGP是矩形，由矩形的对边相等得PG=BC=AB，从而由ASA判断出△ABF≌△GPE，由全等三角形的对应边相等得AF=EG；
（2）①由全等三角形的对应边相等可得PE=BF=2，则由线段和差得AP=1，在Rt△APG中，利用勾股定理求AG即可；
②过点F作FQEG，过点G作GQEF，由“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形EFQG为平行四边形，由平行四边形的对边相等得GQ=EF，EG=FQ，故AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小；易得AF=FQ，结合平行线的行政科推出△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理算出FQ=AF=，进而再利用勾股定理算出AQ即可得出答案.
（1）解：选择的条件是①，结论是②．证明如下：
如图1，过点G作GP⊥AB，交于点P，
∵AF⊥EG，，
∴∠AEG+∠BAF＝90°，∠AEG+∠PGE＝90°，
∴∠BAF＝∠PGE．
四边形是正方形，
，．
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG．
（2）解：①△ABF≌△GPE，
，
，
．
连接，在Rt△APG中，．
②过点F作FQEG，过点G作GQEF，
则四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴AG+EF的最小值为．
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