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2024—2025学年（上）高一年级期中考试（B）
数 学
考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知命题，，命题，，则（ ）
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
2. 已知函数则（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 如果，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池.已知蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）、放电电流（单位：）三者之间满足关系.假设某款电动汽车的蓄电池容量为，正常行驶时放电电源为，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中是真命题的有（ ）
A.
B.
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 函数的图象是一条直线
B. 命题“，都有”否定是“，使得”
C. 最小值是4
D. 是的充分不必要条件
11. 若函数，则（ ）
A. B. 的最小值为0
C. 是奇函数 D. 的定义域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若全集，则集合A的真子集共有________个．
13. 若幂函数在上单调递增，则______．
14. 若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设.
（1）当时，求的值：
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
16. 已知命题:,命题:,
（1）若命题为真命题,求实数的取值范围．
（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围;
17. 判断下列函数的奇偶性．
（1）；
（2）；
（3）
18. 已知幂函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若函数，且，a，b均为正数，求的最小值．
19. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性．
（1）分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由；
（2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由．
（3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值．
B
C
C
A
A
C
D
C
ABC
AC
ACD
7
15.（1）因为，且，
所以，
所以；
（2），
因为，即，
所以，
故.
16.（1）解:由题知命题:,
若命题为真命题,
则,
故;
（2）由题知命题:,
即,
是的充分不必要条件,
是的充分不必要条件,
记,
则有 B
即
解得,
故.
17.（1）由，得，
即函数的定义域是，关于原点对称．
因此，所以，
因此函数是偶函数．
（2）的定义域为，关于原点对称．
又，所以既是奇函数又是偶函数．
（3）方法一（定义法） 当时，；
当时，，
所以为奇函数．
方法二（图象法）
如图，
作出函数的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数为奇函数．
18.（1） 【小问1详解】
因为幂函数，所以，解得或．
当时，，满足，
当时，，不满足，所以．
（2）由（1）得．由，得．
因为，
所以．
又a，b均为正数，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为8．
19.（1） 若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，
对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性，
对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性；
（2）不存在，理由如下：
假设存在满足要求的五元集，其中，
则去掉时，可能的情况为或，
若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等，
若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等，
故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；
（3）先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数，
否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数，
所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数，
所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数，
………，
依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕．
时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分，
由（2）知时，集合A也不可分，所以，
当时，取，
划去1时，；
划去3时，；
划去5时，；
划去7时，；
划去9时，；
划去11时，；
划去13时，，
即A具有可分性，
综上可知，集合A中元素个数的最小值为7.

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