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2025年中考数学压轴训练——旋转综合题
1.在中，平分．
观察问题：如图，若 ， ， ，试说明．
探索问题：如图，若 ， ．
问是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是请说明理由；
通过前两个问题的探究，我们发现，三角形内角平分线的性质：三角形内角平分线分对边所得的两条线段的比值与夹这个角两边的比值 填“相等”或“不相等”；
解决问题：
如图，在中，若，，则 ．
如图，将图中的逆时针旋转得，连接交于，求．
2.根据材料回答下列小题
【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是 三角形．
【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，求证：以，，的长为三边必能组成三角形．
【解决问题】如图，在边长为的等边三角形内有一点，，，求的面积．
【拓展应用】如图是，，三个村子位置的平面图，经测量，， ，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段、、之和最短，试求的最小值污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计．
3.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
如图，当点在线段上、且时，求证：≌；
如图，当点在线段的延长线上时，求证：∽；并求当，时，、两点间的距离用含的代数式表示．
4.如图所示，正方形的边长为，点、分别为边、的中点．如图所示，将绕点逆时针旋转，射线、相交于点．
求证：≌；
如图，在旋转的过程中，若射线恰好通过的中点，求的长；
如图，若将从图的位置旋转至，试求点在旋转过程中的运动路线长．
5.正方形的边长为，以为边在正方形内部作等边三角形，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
如图，当点落在边上时，求的度数；
若点，，在同一条直线上，求与的数量关系；
求点的运动过程中线段的最小值．
6.如图，在中，，，点、分别是边、的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．
问题发现：
当时，____．
当时，____．
拓展探究：如图，试判断：当时，求的值．
问题解决：当旋转至，，三点在一条直线上线时，请求出线段的长．
7.如图，四边形为正方形，将正方形的边绕点顺时针旋转到，记，连接，，过点作于，交直线于．
如图，当时，求____________；
如图，当时，的度数是否会随着的变化而变化？如果发生改变，用表示的大小，如果不发生改变，求出度数并说明理由；
如图，当时，线段，，之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式，并加以证明；
当时，线段，，之间的数量关系又如何呢？请直接写出结果．
8.正方形的边长为，为的中点，以为边在正方形内部作正方形如图，将正方形绕点顺时针旋转，连接、．
如图，试判断、的关系，并证明；
连接，在正方形绕点顺时针旋转过程中，若点在直线上时，求的长．
如图，设直线与直线的交点为，当正方形从图的位置开始，顺时针旋转后，直接写出点运动路径长为_______．
9.已知和都是等腰三角形，，．．
如图，当点在外部，点在内部时，求证：．
如图，和都是等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；
如图，和都是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转，连结、当．时，在旋转过程中，与的面积和的最大值是多少并说明理由．
10.如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．
知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________填“是”或“不是”“旋转位似图形”；
如图，和互为“旋转位似图形”，
若，，，则_________；
若，，，则_________；
知识运用：
如图，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；
拓展提高：
如图，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．
11.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按图位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且不需要说明理由．
如图，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为
连接，，求证：且；在旋转过程中，如图，连接，，，，求出四边形面积的最大值．
如图，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．
12.把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、．
若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
如图，在的条件下，若将、分改在、的延长上，完成图，其余条件不变，则、、之间有何数量关系直接写出结论，不必证明
13.已知：如图，在矩形中，，，，垂足是，点是点关于的对称点，连接、．
求和的长；
若将沿着射线方向平移，设平移的距离为平移距离指点沿方向所经过的线段长度，当点分别平移到线段、上时，求的值；
如图，将绕点顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点，与直线交于点是否存在这样的、两点，使为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
14.直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。比如：如图，中，，为斜边中点，则请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：在中，直线绕顶点旋转．
如图，若点为边的中点，点、在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接、求证：；
如图，若点、在直线的同侧，其它条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
如图，，直线旋转到与垂直的位置，为上一点且，于点，连接，取中点，连接、，求证：．
15.在正方形中，，为直线上一点，交对角线于，点为中点，连接，点为中点，连接并延长交直线于点．
如图，在边上时，______，______；
将中绕逆时针旋转任意一锐角，其他条件不变，如图，中结论是否仍然成立？请加以证明．
若，则长为______．
16.【问题发现】
如图，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．
填空：线段与的数量关系为________；
直线与所夹锐角的度数为________；
【拓展研究】
如图，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，中的结论是否仍然成立，请利用图进行说明；
【问题解决】
如图，和都是等腰直角三角形，，，为的中点．若点在直线上运动，连接，则在点的运动过程中，线段长的最小值为________直接写出结果
17.小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动．
问题原型：如图，在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形连接则的长为 ；直接填空
问题变式：如图，小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出和的长，并求的值．
如图，当矩形绕着点逆时针旋转至如图位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由若改变，求出新的比值．
问题拓展：若将“问题原型”中的矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图位置时，连接、请帮助小明求出的值．
18.如图，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点、分别落在点、处如图，易证点、、在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：。
对小吴同学的探究给出完整的证明。
如图，是的直径，点、在上，，若，，求的长
如图，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是_______．
19.如图所示在中，，，、分别是和上两点，且，连接，现将绕点顺时针旋转一定的角度，得图．
证明：；
若直线与直线相交于点，则的度数；
如图若将、分别延长至、，使，，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想．
20.在中，，，点是的中点，，垂足为点，连接．

如图，与有怎样的数量关系．
如图，若是线段上一动点点不与点、重合，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
若点是线段延长线上一动点，按照中的作法，请在图中补全图形，并直接写出、、三者之间的数量关系．
参考答案
1.解：观察问题：如图，作于点
平分，，，
．
．
探索问题：如图，作于．
由得．
，
是定值，定值为．
相等
解决问题： ．
由 知：．
由旋转可知，．
，，
，
，即平分．
由探索问题可知：
．
．
2.【解：等边；
证明：如图，
将绕点逆时针旋转，得到，连接，
易得是等边三角形，
，，
在中，，，，
，，．
，，的长为三边必能组成三角形；
如图中，
将绕点按逆时针方向旋转，得到，
是等边三角形，，
，，
，，
，即，
，
，即，
，
，
．
如图中，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．
易得，为等边三角形，，
，
，
连接，当，，，四点在同一直线，有最小值，最小值为；
过点作交延长线于点，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
即的最小值为
3证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：连接，
和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，即，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
，
，
，，
在中，．
4.证明：四边形是正方形，
，，
如图，点、分别为边、的中点，
，，
，
，
，
，
≌；
当时，如图，过作于，
是的中点，
，
由勾股定理得：，
，
即，
，
由勾股定理得：，
由知：，
，
，
，
由知：≌，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
；
当时，如图，则为中点，、、共线．
，．
由知：≌，
．
，
，
．
又，
∽，
，
，
．
综上，或．
连接，取中点，连接，，如图，
中，由勾股定理得：，
≌，
，
，
，
在以圆心，以为半径的圆上，
当时，，如图，
此时，
四边形为矩形，
，
中，，
，
，
，
，
，
，
点在旋转过程中的运动路线长为：
5.解：， 四边形是正方形，
，，
在和中，
≌，
，，
是由逆时针旋转得到，
，
．
由题意可得：为等边三角形，当点，，在同一条直线上，
如图：
在和中，由旋转可得：，，
又，
≌，
，
，
在延长线上，
，
，
，，，
或；
如图中，连接，将旋转至，连接，则即为的运动轨迹，设与交于点，连接，作于在上取一点，使得．
≌，
，
点在射线上运动，根据垂线段最短，点与重合时，最小．
由可知：，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得或舍弃，
，
在中，
，
的最小值为．
6.解：；．
如图，
，
当时，的大小没有变化，
，
，
又，
∽，
．
如图，
，
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
．
如图，连接，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，
，，，
，
点、分别是边、的中点，
，
由，可得，
．
综上所述，的长为或．
8.解：，，理由如下：
正方形绕点顺时针旋转，
，，
是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，
如图，延长交于，交于，
≌，
，
又，
，
，
；
情况，如图，过点作于点，
正方形的边长为，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
在中，，
；
情况，如图，过点作于点，
正方形的边长为，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
在中，，
，
综上所述，或；
．
【解析】【分析】
本题主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的基本性质弧长的计算．
、的关系是，，证明≌，得出；延长交于，交于，证明，可得结论；
分两种情况讨论，分别过点作于点，运用勾股定理求解即可；
当正方形旋转到点、、在一条直线上时，点到达最高点，连结，，，求出弧的长，当正方形从图所示的位置，继续顺时针旋转后，直线与直线的交点从图所示的位置回到点的位置，可得点运动路径长为弧的长的倍．
9.证明：
，
在和中
，
；
解：是等腰直角三角形，
，
，
在和中
，
，，
，
，
都是等腰直角三角形，为中边上的高，
，
；
解：由旋转可知，在旋转的过程中的面积始终保持不变，
与面积的和达到最大，
面积最大，
在旋转的过程中，始终保持不变，
要面积最大，
点到的距离最大，
，
与面积的和达到的最大为，
10.是；；；
证明：，，
∽，
，即，
又，
∽，
，又，，
，∽，
和互为“旋转位似图形”；
∽，
，，
，，
，，代入得：．
如图，过作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理，得；
综上，，．
11.证明：如图，设与交于点，与交于点，
四边形与四边形为正方形，
，，，
，
即，
≌，
，，
，，
，
，
，
综上所述，，；
解：如图，由图可知，
在旋转过程中，与的面积始终保持不变，
当，时，与的面积最大，此时四边形的面积也最大，
，，
，
四边形面积的最大值为；
正方形；．
12.，
证明：延长到，使，
，
，
在和中
≌，
，，
，
，
，
，
在和中
≌，
，
，
；
，
证明：延长到，使，连接，
，
，
，，
，
，
，，
在和中
≌，
，，
，，
，
，
，
，
在和中
≌，
，
，
；
．
13.解：四边形是矩形，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，，由勾股定理得：；
设平移中的三角形为，如答图所示：
由对称点性质可知，，
由平移性质可知，，，，
当点落在上时，
，
，
，
，即；
当点落在上时，三角形记作，
，
，
，，
，
又易知，
为等腰三角形，
，
，
即．
存在．
理由如下：
在旋转过程中，等腰依次有以下种情形：
如答图所示，点落在延长线上，且，易知，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
如答图所示，点落在上，且，易知，
，
，
，则此时点落在边上，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得： ，
；
如答图所示，点落在上，且，易知．
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，

如答图所示，点落在上，且，易知．
，，，
，
，
，
综上所述，存在组符合条件的点、点，使为等腰三角形，
的长度分别为，，，．
14证明：如图中，延长交的延长线于点．
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
．
结论：．
如图中，延长交于点．
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
如图中，延长交于点．
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
15.，；
成立．
理由：延长到，使得，连接，，延长交的延长线于，设交于．
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，，
故是等腰直角三角形，
，．
或；
16.，；
连接，，
四边形和均为正方形，
，．
由旋转可知：，
∽
，．
延长分别交，于，，则，
由∽知，
，
所以中的结论仍然成立；
．
17.解：问题原型：
如图中，延长交于，则四边形是矩形．
在中，，，
．
18.证明：将绕点旋转得到，
≌，
，，
，
，
，
，，共线由旋转知，，
为等腰直角三角形，
，得证．
解：如图，连接、、，
是的直径，
，
，
，
，，
由勾股定理得：，
由可知：，
，
；
．
19.证明：，
，
，
在和中，
≌，
．
如图，设延长线与的交点为，
由≌可知，，即，
，
根据三角形的内角和可知，在和中，
．
猜想：，证明如下：
由≌可知，，，
根据题意，将、分别延长至、，使，，
，，
在和中，
≌．
，
，
，
，
．
20.解：解：，，
，
点是的中点，
，
为等边三角形，
，
；
；理由如下：
线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
而，
，
，
在和中，
，，，
≌，
，
而，
，
，
，
；

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