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5.3 《实践与探索 》小节复习题
题型01 一元一次方程的应用——图形问题
1.一个角的余角的4倍比这个角的2倍大，则这个角的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.一个长方形周长为28，若它的长减少2，宽增加2，就变成了一个正方形，那么该长方形的面积为（　　）
A．45 B．48 C．40 D．49
3.一张宽为的长方形纸条有灰色和白色两面，小颖折叠该纸条得到如图所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是一模一样的，则原来的长方形纸条长度为 ．
4.在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．甲、乙两位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．
甲：如图①，纸盒底面的四边形是正方形；
乙：如图②，纸盒底面的四边形是长方形，．
这两位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积，甲 乙．（填“”“”或“”）
5.如图①，在长方形中，．点沿边从点开始向点以的速度运动；点沿边从点开始向点以的速度运动．设点，同时出发，用表示运动的时间．
【发现】________，________．
（用含的代数式表示）
【拓展】如图①，当________时，线段与线段相等；
【探究】若点，分别到达点，后继续沿着的方向运动，当点与点第一次相遇时，请写出相遇点的位置，并说明理由．
题型02 一元一次方程的应用——销售问题
1.某商场以50元每件的价格购进一批衬衫，以标价75元的价格进行销售．赶上换季，商场进行打折销售，每件仍可获利10元，则商场是以_____折进行销售（ ）
A．八五 B．七五 C．八 D．七
2.某种商品每件的售价比进价多，在“双十一”期间每件又降价10元卖出，结果每件获利5元，这种商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价是元，那么所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.某电商平台决定举办“跨年”促销活动，对网上销售的某种蓝牙耳机按成本价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每个耳机仍可获利8元，若设这种耳机每件的成本为a元，则可列方程： ．
4.某工厂甲乙两个车间计划每月生产3600个零件，上月甲车间产量比原计划增长了，乙车间产量比原计划增长了，因此两车间共生产了4000个零件，那么甲、乙车间上月实际生产的零件数分别是 ．
5.双十二将近，互联网电商纷纷推出多种促销方式吸引顾客让利消费者．某电商商品标价每件元，推出了如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于或等于元 一律打八折
超过元，但不超过元 一律打七折
超过元 其中元部分打五折，超过元的部分打三折优惠
(1)张老师一次性购买该商品件，实际付款多少元？
(2)李老师一次性购买该商品若干件，实际付款元，请认真思考求出李老师购买该商品所有可能的件数．
题型03 一元一次方程的应用——工程问题
1.一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独施工24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，乙队还需（ ）天才能完成．
A．13 B．14 C．15 D．16
2.装订一批书，计划每天装订1800本，40天完成，实际每天装订2000本，实际几天可以完成？解答时设实际x天可以完成，正确的列式是（　　）
A． B．
C． D．
3.制造一批零件，按计划18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成这批零件的一半，一共需要 天．
4.某厂接受为四川灾区生产活动板房的任务，计划在30天内完成，若每天多生产6套，则25天完成且还多生产10套，问原计划每天生产多少套板房？设原计划每天生产x套，列方程式是 ．
5.哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？
(3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲 乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲 乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？
题型04 一元一次方程的应用——行程问题
1.小王驾车计划用相同的时间往返甲、乙两地，从甲地到乙地的平均速度是每小时60千米，结果早到20分钟，从乙地到甲地的平均速度是每小时40千米，结果晚到5分钟，求甲、乙两地的距离．设甲、乙两地的距离是千米，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.一条公路，一辆小汽车已经行了全长的后，超过中点．如果设这条公路全长为，那么列式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3.运动场环形跑道周长为米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为米/秒，与此同时小红在爷爷后面米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，若两人第一次相遇所用的时间为秒，则小红的速度为 米/秒．
4.如图，已知正方形的边长为，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的倍，则它们第次相遇在边 上．(选填“，，，”)
5.甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶．
(1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？
(2)货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？
题型05 一元一次方程的应用——配套问题
1.某工厂有22人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套，且没有剩余，若设安排名工人加工桌子，则根据题意可列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.新型冠状肺炎疫情在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有40名工人，每人每天可生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要两根耳绳，为使每天生产的口罩面与耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？（　　）
A．15人 B．20人 C．14人 D．30人
3.社会劳动情境·加工生产 某服装厂加工车间有工人54人，每人每天可以加工上衣8件或裤子10条，为使每天生产的上衣和裤子配套，应分配 人生产上衣， 人生产裤子．
4.某车间有工人85人，平均每人每天可生产大齿轮16个或小齿轮10个，又知2个大齿轮和3个小齿轮配套，问应分配 名工人生产大齿轮， 名工人生产小齿轮，才能使生产的产品刚好成套．
5.某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套．
(1)问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
(2)每套产品的利润为120元，求该车间每天获得的最大利润．
题型06 一元一次方程的应用——比例分配问题
1.程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．设大和尚有人，则下列列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.幼儿园的老师给班上的小朋友分发糖果每人分发4个糖果还多了5个，每人分发5个糖果还缺10个，则小朋友的数量和糖果的数量分别是（　　）
A．10，45 B．15，65 C．10，65 D．20，85
3.将一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为，则扇形最大圆心角的度数为 ．
4.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升．
5.如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？
题型07 一元一次方程的应用——数字问题
1.将自然数1-9填入三阶幻方的九个空格中，使每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示三阶幻方中的值是（ ）
a 9
5 b
8
A．6 B．9 C．11 D．12
2.将正整数1至2020按一定规律排列如图所示，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2018 B．2013 C．2019 D．2040
3.有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这个两位数的两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143．那么这个两位数是 ．
4.如图，竖式表示了两个六位数的关系（相同的字母代表相同的数字），那么 ．
5.将一个两位数写成3个数的和，使得第一个数除以2，第二个数减1，第三个数加2，得到的结果相等，若该两位数比得到的相等结果的2倍大21，求这两位数．
参考答案
题型01 一元一次方程的应用——图形问题
1.A
【分析】本题考查了余角和补角的知识，设这个角为x，则这个角的余角，根据题意可得出方程，解出即可．
【详解】解：设这个角为x，则这个角的余角，
由题意得，，
解得：．
∴这个角的余角的度数为，
故选：A．
2.A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据一个长方形周长为28，它的长减少2，宽增加2，就变成了一个正方形，设正方形的边长为x，进而得到长方形的长和宽，然后求面积即可．
【详解】解：设正方形的边长为x，
则,
，
∴长方形的长为，宽为，
即长方形的面积为，
故选：A．
3.51
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“如图摆放时的长度为”列方程求解．
【详解】解：设灰色梯形的上底为，
则，
解得：，
∴，
故答案为：51．
4.
【分析】本题主要考查了几何体的展开图，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握由展开图计算几何体体积的方法是解题的关键．
由甲乙两位同学的展开图分别计算出纸盒底面的边长以及长方体纸盒的高，进而计算出各自所折成的无盖长方体纸盒的容积，然后进行比较即可．
【详解】解：如图①，
纸盒底面的四边形是正方形，
，
长方体纸盒的高为：，
则甲同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为：；
如图②，
设，则，
由题意可得：，
解得：，
，
长方体纸盒的高为：，
则乙同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为：；
，
故答案为：．
5.解：发现：∵在长方形中，，．
∴，
∵点沿边从点开始向点以的速度移动，表示移动的时间，点沿边从点力开始向点以的速度移动；
∴；；
故答案为：，；
拓展：∵线段与线段相等，
∴
解得：，
故答案为：；
探究：点与点第一次相遇在点处．理由如下：
设点经过秒能追上点，
由题意得，
解得，
所以点走过的路程为：，
所以．
因为，
所以点与点第一次相遇在点处．
题型02 一元一次方程的应用——销售问题
1.C
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设商场打折出售，根据售价-进价列方程求解即可．
【详解】解：设商场打折出售，根据题意得，
，
解得，，
即商场打八折出售，
故选：C
2.B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设每件商品的进价是元，
根据题意，得，
故选：B．
3.
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意先求出售价，再根据售价-成本=利润列方程即可．
【详解】解：设这种耳机每件的成本为a元，
根据题意可列方程：．
故答案为：．
4.2240件，1760件
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意设甲车间计划生产x个零件，则乙车间计划生产个零件，利用上月甲车间产量比原计划增长了，乙车间产量比原计划增长了，则两车间共生产了4000个零件，进而得出等式求出答案，根据题意表示出甲、乙两车间生产的零件个数是解题关键．
【详解】解：设甲车间计划生产x个零件，则乙车间计划生产个零件，根据题意可得：
，
解得：，
则（件），
故甲车间实际生产零件：（件），
乙车间实际生产零件：（件）．
故答案为：2240件，1760件．
5.（1）解：∵张老师一次性购买该商品件，
∴，
∴（元），
答：实际付款元；
（2）设李老师购买该商品的件数是件，则原价为元，
①当，即时，
依题意，得：，
解得：（舍去）；
②当，即时，
依题意，得：，
解得：；
③当，即时，
依题意，得：，
解得：；
综上所述，李老师购买该商品的件数是件或件．
题型03 一元一次方程的应用——工程问题
1.A
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程解题即可．
【详解】解：设乙队还需天才能完成，
由题意，得，
解得．
故选A．
2.B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据工作总量一定，判断出工作效率与工作时间成反比例，由此列出方程解答即可．
【详解】解：设实际x天可以完成，
由题意得：．
故选：B．
3.
【分析】先求得原计划的工效，等量关系为：原来4天的工作量+工效提高后的工作量＝，把相关数值代入求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键．
【详解】解：完成这批零件的一半，一共需要x天，
∵18天可以完成它的，
∴原计划的工效为，
∴，
解得，
故答案为：．
4.
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设原计划每天生产x套，计划在30天内完成，若每天多生产6套，则25天完成且还多生产10套，据此列方程即可．
【详解】解：设原计划每天生产x套，
根据题意可得，
故答案为：．
5.（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要30天．
（2）解：设还需要x天完成，依题意，得：，
解得：，所以还需要9天才能完成．
（3）解：设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天，
依题意，得：，解得，
所以，
设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，
依题意，得：，
解得：，
所以．
题型04 一元一次方程的应用——行程问题
1.C
【分析】本睼主要考查根据实际问题列方程，根据题意可知：预定用相同的时间往返于甲、乙两地，设甲、乙两地之间的路程为x千米，根据时间=路程÷速度，即可求出去时、返回时的时间，用去时的时间加上是到的20分钟，返回的时间减去晚的5分钏，根据由往返所用时间相等即可列方程解答．
【详解】解：设两地的距离是x千米，根据题意得：
．
故答案为：C．
2.C
【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，根据题目中的等量关系列方程是解题的关键；
根据题意列方程即可；
【详解】解：根据题意得：，
故选：C．
3.或
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小红的速度为米/秒，然后分两种情况：，，分别建立方程求解即可．正确理解题意，找出等量关系列出方程时解题的关键．
【详解】解：设小红的速度为米/秒，
①当时，
依题意，得：，
解得：；
②当时，
依题意，得：，
解得：，
综上所述，小红的速度为米/秒或米/秒．
故答案为：或．
4.
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设它们第次相遇时甲运动的路程为，则乙的运动路程为，利用甲、乙的路程之和为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合，即可得出它们第次相遇在边上．
【详解】解：设它们第次相遇时甲运动的路程为，则乙的运动路程为，
根据题意，得，
解方程，得，
，
它们第次相遇在边上．
故答案为：．
5.（1）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇，
根据题意得：，
解得；，
∴两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇；
（2）设客车开出小时后两车相距，
根据题意得：或，
解得或，
∴两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距．
题型05 一元一次方程的应用——配套问题
1.A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，若每天做的桌子和椅子完整配套，则名工人加工的椅子数是名工人加工的桌子数的4倍，由此列方程即可．
【详解】解：由题意知，
即，
故选A．
2.A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设应安排x名工人生产口罩面，则安排名工人生产耳绳，利用生产耳绳的总数量是生产口罩面总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设应安排x名工人生产口罩面，则安排名工人生产耳绳，
根据题意得：，
解得：，
∴应安排15名工人生产口罩面．
故选：A．
3. 30 24
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．设安排x人生产上衣，人生产裤子，根据每天生产的上衣和裤子配套列方程求解即可．
【详解】解：设安排x人生产上衣，人生产裤子，
根据题意，得，
解得，
则（人）．
故答案为：30，24．
4. 25 60
【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，能根据题意列出方程是解题的关键．
设安排x人生产大齿轮，则安排人生产小齿轮，可使生产的产品刚好配成套，根据工作总量＝工作效率×工作时间，结合2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设生产大齿轮的人数为x人，则生产小齿轮的人数为人，
根据题意，得：，
解得：，
∴，
∴应分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮，能使生产的产品刚好成套，
故答案是：25，60．
5.（1）解：设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮．根据题意，得
解得：，
∴．
答：安排25名工人加工大齿轮，60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套；
（2）解：根据题意得，
（元）
∴该车间每天获得的最大利润为24000元．
题型06 一元一次方程的应用——比例分配问题
1.B
【分析】设大和尚有人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可．
【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，
由题意，得：；
故选：B．
2.B
【分析】设小朋友的数量是x人，则糖果的数量为（4x+5）颗，再根据每人分发5个糖果还缺10个，列出方程求解即可．
【详解】解：设小朋友的数量是x人，则糖果的数量为（4x+5）颗，
由题意得：，
解得，
∴小朋友的数量为15人，
∴糖果的数量是4×15+5=65颗，
故选B．
3.
【分析】本题主要考查了求扇形的圆心角，四个圆心角的度数之和等于360°．
设它们的圆心角的度数分别为x，，，，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设它们的圆心角的度数分别为x，，，，则
，
解得：，
∴ ，
即扇形最大圆心角的度数为．
故答案为：．
4.12
【分析】先将单位换成升，根据：单位的粟，可换得单位的粝米．……，列比例式计算可得结论．
【详解】解：根据题意得：2斗升，
设可以换得的粝米为x升，
则，
解得：，
故2斗的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为12升．
故选：12．
5.解：设桶内水深为x厘米，
，
，
，
，
，
．
答：桶内水深12厘米．
题型07 一元一次方程的应用——数字问题
1.C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，代数式求值，根据题意可得方程，解方程求出的值，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，
解得：，，
故选：C．
2.B
【分析】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，正确找出数字的规律是解题关键．设方框中三个数依次为，则方框中三个数的和为，根据每个选项的数建立方程，求出的值，再判断所在的位置，分析是否可以形成三数相连，由此即可得．
【详解】解：设方框中三个数依次为，则方框中三个数的和为，
若，则，不是整数，舍去，则选项A不符合题意；
若，则，
因为，
所以671位于第84行第7列，
所以671的前后都可以有数，可以形成三数相连，即，则选项B符合题意；
若，则，
因为，
所以673位于第85行第1列，不能形成三数相连，则选项C不符合题意；
若，则，
因为，
所以680位于第85行第8列，不能形成三数相连，则选项D不符合题意；
故选：B．
3.49
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．设这个两位数个位数字为x，十位数字为，根据如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，列方程求解．
【详解】解：设这个两位数个位数字为x，十位数字为，由题意，得
，
解得，
∴，
∴这个两位数是49．
故答案为：49．
4.26
【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出一元一次方程．
设五位数，根据乘法算式得，由此解出即可得出的值．
【详解】解：设五位数，
则，
解得：，
．
故答案为：26．
5.解：设这个两位数为，第一个数为，第二个数为，第三个数为，
∴，
根据题意可得，，
设，
∴，
∴，整理得，，
∵该两位数比得到的相等的结果的倍大,
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴这个两位数是．

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