资源简介

2025年广东省深圳市八年级数学下册数学期末模拟卷(1)（北师大版）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2025八下·郴州期中）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（广东省深圳市65校联考2024—2025学年下学期八年级期中质量检测数学试卷）下列命题中真命题是（　　）
A．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于”
B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
3．（2024八下·渠县期中）关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（吉林省长春市德惠市德惠市第三中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题）综合实践课上，李海画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图图③是他的作图过程．
李海的作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
5．（2025八下·广元期中）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，点Q是边BC上的一个定点，连接PA和PQ，点E和F分别是PA和PQ的中点，则随着点P的运动，线段EF的长（　　）
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．先变小再变大 D．始终不变
6．（2025八下·龙岗期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．60
7．（2025八下·南山期中）已知坐标平面上有一等边△ABC、其坐标分别为A（0、0)、B（2、0)、将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°、如图所示、购旋转后C点的坐标为（　　）
A． B． C． D．)
8．（2025八下·萧山期中）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且.对于结论：①；②；③四边形EGFH是平行四边形；④.正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2024八下·南城期中） 若某三角形的三边长分别为，则该三角形的面积是　 　．
10．（2024八下·兴宁期中）若点A（a，－1）与点B（－4，b）关于原点对称，则a－b的值为　 　．
11．（2023八下·德州经济技术开发期末）如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是　 　．
12．（2024八下·南山期末）若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是　 　
13．（2024八下·福田期末）如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为　 　．
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2025八下·赫山期末）（1）解不等式组：（要求有在数轴上确定解集的过程）
（2）解分式方程：．
15．（2024八下·威远期中） 先化简，再求值：，并在，0，1，2中选一个合适的数求值．
16．（2024八下·兴宁期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段BE的长．
17．如图，在 ABCD 中，∠BCD 和∠ADC的平分线相交于点M，DM的延长线交BC 于点E，试猜想：
（1）CM 与DE 的位置关系，并说明理由.
（2）点M在DE 的什么位置上 并说明理由.
18．（2025八下·东坡期中）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元．
（1）求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？
（2）学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用．
19．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上，老师提出了下面的问题：
，，，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较与的大小．
小华：∵
．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【问题解决】
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为．
实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性．
（3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：．
20．（2025八下·温州期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动。在平行四边形纸片ABCD中，已知的面积为120。点为BC边上任意一点，将沿AE折叠，点的对应点为。
（1）如图1，若点恰好落在AD上时，求证：四边形为平行四边形。
（2）如图2，若时，连接，并延长交CD于点。求线段的长。
（3）改变E点的位置，将沿AE折叠，连结，当为直角三角形时，求的长度。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形的三个内角都小于”，故A选项是假命题，不符合题意；
B、三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等，故B选项是真命题，符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C选项是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D选项是假命题，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
【分析】两方程求差得到，即可得到，解不等式求出m的取值范围即可．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由图1可知O是的中点，由图2可知，
可知对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【分析】根据作图步骤可知对角线互相平分，从而可以判定四边形是平行四边形的条件 ．
5．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AQ，
∵点Q是边BC上的定点，
∴AQ的大小不变，
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EFAQ，
∴线段EF的长度保持不变，
故选：D．
【分析】连接AQ，利用三角形的中位线性质解答即可．
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的性质；勾股定理
7．【答案】D
【知识点】点的坐标；平行线的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：令旋转点C的对应点为M，故点C作x轴的垂线，垂足为N
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴
∵B（2、0)
∴AC=AB=2
∴
在Rt△ACN中
∴点C的坐标为
由旋转可知，∠CBM=∠M=60°，CM=AC=2
∴∠ABM=60°+60°=120°
∴∠ABM+∠M=180°
∴CM∥AB
∴点M的坐标为)
故答案为：D
【分析】令旋转点C的对应点为M，故点C作x轴的垂线，垂足为N，根据等边三角形性质可得∠ABC=∠ACB=60°，则，，根据勾股定理可得CN，则点C的坐标为，再根据旋转性质可得∠CBM=∠M=60°，CM=AC=2，再根据边之间的关系可得∠ABM+∠M=180°，根据直线平行判定定理可得CM∥AB，则点M的坐标为)，即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G，H是BD上两动点，只需满足BG=DH
∴GF与BD不一定垂直故①不符合题意；
在中，有AD=BC，ADBC
∴∠ADB=∠CBD
∵ E，F分别是AD，BC的中点∴ED=AD，FB=BC
∴ED=FB
又∵BG=DH
∴△EDH≌△FBG（SAS）
∴故②符合题意；
∵△EDH≌△FBG
∴EH=GF，∠DHE=∠BGF
∵∠DHE+∠EHG=180°，∠BGF+∠FGH=180°
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥GF又
∵EH=GF
∴ 四边形EGFH是平行四边形故③符合题意；
∵G是BD上的动点
∴EG的长度在变化
∴EG不一定等于BD故④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 由F是BC的中点，G是BD上的动点，可知GF与BD不一定垂直，可判断①错误；由平行四边形的性质及E，F分别是AD，BC的中点，推导出∠EDH=∠FBG，DE=BF，而DH=BG，即可根据“SAS”证明△DEH≌△BFG，得∠DEH=∠BFG，可判断②正确；由等角的补角相等推导出∠EHG=∠FGH，则EH∥FG，因为EH=FG，所以四边形EGFH是平行四边形，可判断③正确；由EG是变量，而BD的值不变，可知EG与BD不一定相等，可判断④错误.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵52+122=132 ∴三角形为直角三角形 ∴三角形面积= 12×5×12=30
故答案为：30.
【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形，再利用三角形面积公式得到结果.
10．【答案】3
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： 点A（a，－1）与点B（－4，b）关于原点对称，
a=4，b=1，
a-b=4-1=3，
故答案为：3.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求得a，b的值，从而求解.
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：
∵点在上
∴，解得.
∴点P的坐标为.
∵
∴直线OP在直线PQ下方
∴.
故答案为：.
【分析】先求出P点坐标，再不等式的意义，根据图象写出x的范围.
12．【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2.5，
由②得x≤3-m，
∵不等式组至少有2个整数解，
，
解得
解关于y的分式方程，
得
∵分式方程的解是非负整数，
且，
解得且的奇数，
∴m取，，3，
∴满足条件的整数的和是
故答案为：-1.
【分析】经m作为系数系数先解不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出m的值，相加即可得到答案．
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 过点E作EG⊥DC交DC延长线于点G，延长ME交AB的延长线于点H，过点A作AP⊥CD 于点P，过点N作NQ⊥CD于点Q，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，AB=CD=8，AD=BC=4，∠D=∠ABC=60°，
∴∠GCE=∠D=∠ABC，
∴∠CEG=30°，
∵点E为BC的中点，
∴，
∴，，
设DM=ME=x，则GM=8+1-x=9-x，
∵MG2+EG2=ME2，
解得，即，
∴，
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠CBH，∠CME=∠H，∠DMN=∠HNM，
∵CE=BE，
∴△MCE≌△HBE（AAS），
∴，，
由折叠可得∠HMN=∠DMN，
∴∠HMN=∠HNM，
∴，
∴，
∴AN=AB-BN=8-6=2，
∵AP⊥CD，NQ⊥CD，
∴∠DPA=∠DQN=90°，
∴AP=NQ，PQ=AN=2，
∵∠D=60°，
∴∠DAP=30°，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】过点E作EG⊥DC于点G，延长ME交AB的延长线于点H，过点A作AP⊥CD 于点P，过点N作NQ⊥CD于点Q，根据平行四边形的对边平行且相等，对角相等得出AD∥BC，CD∥AB，AB=CD=8，AD=BC=4，∠D=∠ABC=60°，根据两直线平行，内错角相等得出∠GCE=∠D=∠ABC=60°，根据直角三角形两锐角互余可得∠CEG=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得CG=1，，根据 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得ME的值，即可求出CM的值，根据两直线平行，内错角相等得出∠DCB=∠CBH，∠CME=∠H，∠DMN=∠HNM，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可得△MCE≌△HBE，根据全等三角形的对应边相等得出，，根据折叠前后对应角相等可得∠HMN=∠DMN，推得∠HMN=∠HNM，根据等角对等边得出，求得，AN=2，根据平行线之间的距离相等得出AP=NQ，PQ=AN=2，根据直角三角形两锐角互余可得∠DAP=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得，，则，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
14．【答案】解：（1）
由①得：，即
由②得：，即，
把不等式①、②的解集在数轴上表示为
由图可知，两不等式解集的公共部分是，
所以这个不等式组的解集是．
（2）
在分式方程两边同乘最简公分母得：
解得：
检验：当时，
因此，是原方程的解．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤，分别求出不等式组中每个不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将两个不等式的解集在数轴上表示出来，最后取两个不等式解集的公共部分，即可得到该不等式组的解集；
（2）在原方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1)，约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程解的情况.
15．【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号里面的减法，再算括号外面的除法进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
16．【答案】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由题意可得AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF．
∴∠AEF＝∠AFE．∴AE＝AF．
∴△AEF是等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设BE＝x，
则AE＝CE＝8－x．
∵∠B＝90°，∴在Rt△ABE中，有AB2＋BE2＝AE2，
即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3．
∴BE＝3
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质得到∠AEF＝∠CEF，再利用平行线的性质得到AFE＝∠CEF．从而得到∠AEF＝∠AFE．根据等角对等边即可求解；
（2）由折叠的性质得到AE＝CE，设BE＝x，AE＝CE＝8－x．利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求解.
17．【答案】（1）解：CM⊥DE，理由如下，
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD平行于BC.
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵DM和CM分别是∠ADC和∠BCD的角平分线.
∴∠CDM=∠ADC，∠DCM=∠BCD
∴∠ADC+∠BCD=180°÷2=90°
即∠CDM+∠DCM=90°
∴∠CMD=180°-（∠CDM+∠DCM）=180°-90°=90°
∴CM⊥DE.
（2）M在DE的中点处，
理由：
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CED
∵CM⊥DE，
∴EM=MD．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先根据四边形ABCD是平行四边形可判断出AD平行于BC，由此即可得出∠ADC+∠BCD=180°，其次由于DM和CM分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，由此得出∠ADC+∠BCD=180°÷2=90°，即∠CDM+∠DCM=90°，最后根据三角形内角和定理即可得出∠CMD=90°，即可得出CM⊥DE.
（2）根据平行线的性质，结合角平分线的意义来证明∠CDE=∠CED，再根据等腰三角形的判定可得∠CDE=∠CED，最后结合等腰三角形三线合一可得出结论.
18．【答案】（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，
根据题意，得：
解得，
答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元．
（2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，根据题意得，
解得．
设所需费用为W元，则，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W有最小值为（元）
此时，（套）．
答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，题意列二元一次方程组解答即可；
（2）设学校购买《骆驼祥子》m套，根据题意列一元一次不等式组，求出m的取值范围，设所需费用为W元，得到W关于m的一次函数，然后利用函数的增减性解答即可．
（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，
根据题意，得：
解得，
答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元．
（2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，
根据题意得，
解得．
设所需费用为W元，则，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W有最小值为（元）
此时，（套）．
答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元．
19．【答案】（1）
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入m克糖后，糖水浓度为，
，
∵，
，
又∵
，
（3）证明：∵a、b、c为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据分式的加减法运算求解即可；
（2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可；
（3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即B'D∥EC，
∠B=∠D，
由折叠可知，∠B=∠B'，
∴∠D=∠B'，
∴B'E∥DC，
∴ 四边形为平行四边形 ；
（2）解：延长AB'交CD于点H，
由折叠的性质可得：∠BAE=∠B'AE，AB=AB'，
∵∠BAE=45°，
∴∠BAB'=∠BAE+∠B'AE=90°，
∴△ABB'是等腰直角三角形，
∴∠ABB'=45°
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=，
∴AB∥CD，AB=AB'=CD=10，
∴∠BAB'=∠AHD=90°，∠BGH=∠ABB'=45°，
∴△B'HG是等腰直角三角形，
∴BH=HG，
∵
∴AH =12，
∴BH=AH-AB'=2，
∴HG=2，
∴B'G=；
（3）解：分两种情况：
①当∠BCB'=90°时，延长CB'交AD于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=10，BC=AD= ，
∴∠CFD=∠BCB'=90°，
∴∠CFA=90°，
∴，
∴CF=，
∴，
∴AF=AD-DF=-=，
由折叠性质可知：AB=AB'=10，
∴，
∴B'C=CF-FB'=-=；
②当∠BB'C=90°时，设BB'与AE交于点N，
过点A作AM⊥BC于点M，
∴，
∴，
∴，
由折叠性质得：BE=B'E，
∴∠BB'E=∠B'BE，
∴∠CB'E=∠B'CE，
∴B'E= CE= BE，
∴B'E= CE= BE=BC=，
∴ME=BE-BM=-=，
∴ME=BM，
∴AM垂直平分BE，
∴AE=AB=10，
∵，
∴，
∴BN=6，
∴BB'=12，
∴B'C==4；
综上所述，B'C的长度为或4.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)由折叠的性质及平行四边形的性质得到∠D=∠B'，根据平行线的判定得出B'E∥DC，进而根据平行四边形的判定即可得证；
(2)延长AB交CD于点H，由折叠的性质先证明△ABB'是等腰三角形，得到∠ABB'，根据平行四边形的性质得到∠AHD=90°，易证得△B'HG是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出AH，进而得到BH，利用勾股定理即可解答
(3)分∠BCB'=90°和∠BB'C=90°两种情况进行讨论求解即可.
1 / 12025年广东省深圳市八年级数学下册数学期末模拟卷(1)（北师大版）
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2025八下·郴州期中）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
2．（广东省深圳市65校联考2024—2025学年下学期八年级期中质量检测数学试卷）下列命题中真命题是（　　）
A．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于”
B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形的三个内角都小于”，故A选项是假命题，不符合题意；
B、三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等，故B选项是真命题，符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C选项是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D选项是假命题，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024八下·渠县期中）关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
【分析】两方程求差得到，即可得到，解不等式求出m的取值范围即可．
4．（吉林省长春市德惠市德惠市第三中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题）综合实践课上，李海画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图图③是他的作图过程．
李海的作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由图1可知O是的中点，由图2可知，
可知对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【分析】根据作图步骤可知对角线互相平分，从而可以判定四边形是平行四边形的条件 ．
5．（2025八下·广元期中）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，点Q是边BC上的一个定点，连接PA和PQ，点E和F分别是PA和PQ的中点，则随着点P的运动，线段EF的长（　　）
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．先变小再变大 D．始终不变
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AQ，
∵点Q是边BC上的定点，
∴AQ的大小不变，
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EFAQ，
∴线段EF的长度保持不变，
故选：D．
【分析】连接AQ，利用三角形的中位线性质解答即可．
6．（2025八下·龙岗期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．60
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的性质；勾股定理
7．（2025八下·南山期中）已知坐标平面上有一等边△ABC、其坐标分别为A（0、0)、B（2、0)、将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°、如图所示、购旋转后C点的坐标为（　　）
A． B． C． D．)
【答案】D
【知识点】点的坐标；平行线的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：令旋转点C的对应点为M，故点C作x轴的垂线，垂足为N
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴
∵B（2、0)
∴AC=AB=2
∴
在Rt△ACN中
∴点C的坐标为
由旋转可知，∠CBM=∠M=60°，CM=AC=2
∴∠ABM=60°+60°=120°
∴∠ABM+∠M=180°
∴CM∥AB
∴点M的坐标为)
故答案为：D
【分析】令旋转点C的对应点为M，故点C作x轴的垂线，垂足为N，根据等边三角形性质可得∠ABC=∠ACB=60°，则，，根据勾股定理可得CN，则点C的坐标为，再根据旋转性质可得∠CBM=∠M=60°，CM=AC=2，再根据边之间的关系可得∠ABM+∠M=180°，根据直线平行判定定理可得CM∥AB，则点M的坐标为)，即可求出答案.
8．（2025八下·萧山期中）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且.对于结论：①；②；③四边形EGFH是平行四边形；④.正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G，H是BD上两动点，只需满足BG=DH
∴GF与BD不一定垂直故①不符合题意；
在中，有AD=BC，ADBC
∴∠ADB=∠CBD
∵ E，F分别是AD，BC的中点∴ED=AD，FB=BC
∴ED=FB
又∵BG=DH
∴△EDH≌△FBG（SAS）
∴故②符合题意；
∵△EDH≌△FBG
∴EH=GF，∠DHE=∠BGF
∵∠DHE+∠EHG=180°，∠BGF+∠FGH=180°
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥GF又
∵EH=GF
∴ 四边形EGFH是平行四边形故③符合题意；
∵G是BD上的动点
∴EG的长度在变化
∴EG不一定等于BD故④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 由F是BC的中点，G是BD上的动点，可知GF与BD不一定垂直，可判断①错误；由平行四边形的性质及E，F分别是AD，BC的中点，推导出∠EDH=∠FBG，DE=BF，而DH=BG，即可根据“SAS”证明△DEH≌△BFG，得∠DEH=∠BFG，可判断②正确；由等角的补角相等推导出∠EHG=∠FGH，则EH∥FG，因为EH=FG，所以四边形EGFH是平行四边形，可判断③正确；由EG是变量，而BD的值不变，可知EG与BD不一定相等，可判断④错误.
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2024八下·南城期中） 若某三角形的三边长分别为，则该三角形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵52+122=132 ∴三角形为直角三角形 ∴三角形面积= 12×5×12=30
故答案为：30.
【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形，再利用三角形面积公式得到结果.
10．（2024八下·兴宁期中）若点A（a，－1）与点B（－4，b）关于原点对称，则a－b的值为　 　．
【答案】3
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： 点A（a，－1）与点B（－4，b）关于原点对称，
a=4，b=1，
a-b=4-1=3，
故答案为：3.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求得a，b的值，从而求解.
11．（2023八下·德州经济技术开发期末）如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：
∵点在上
∴，解得.
∴点P的坐标为.
∵
∴直线OP在直线PQ下方
∴.
故答案为：.
【分析】先求出P点坐标，再不等式的意义，根据图象写出x的范围.
12．（2024八下·南山期末）若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是　 　
【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2.5，
由②得x≤3-m，
∵不等式组至少有2个整数解，
，
解得
解关于y的分式方程，
得
∵分式方程的解是非负整数，
且，
解得且的奇数，
∴m取，，3，
∴满足条件的整数的和是
故答案为：-1.
【分析】经m作为系数系数先解不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出m的值，相加即可得到答案．
13．（2024八下·福田期末）如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 过点E作EG⊥DC交DC延长线于点G，延长ME交AB的延长线于点H，过点A作AP⊥CD 于点P，过点N作NQ⊥CD于点Q，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，AB=CD=8，AD=BC=4，∠D=∠ABC=60°，
∴∠GCE=∠D=∠ABC，
∴∠CEG=30°，
∵点E为BC的中点，
∴，
∴，，
设DM=ME=x，则GM=8+1-x=9-x，
∵MG2+EG2=ME2，
解得，即，
∴，
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠CBH，∠CME=∠H，∠DMN=∠HNM，
∵CE=BE，
∴△MCE≌△HBE（AAS），
∴，，
由折叠可得∠HMN=∠DMN，
∴∠HMN=∠HNM，
∴，
∴，
∴AN=AB-BN=8-6=2，
∵AP⊥CD，NQ⊥CD，
∴∠DPA=∠DQN=90°，
∴AP=NQ，PQ=AN=2，
∵∠D=60°，
∴∠DAP=30°，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】过点E作EG⊥DC于点G，延长ME交AB的延长线于点H，过点A作AP⊥CD 于点P，过点N作NQ⊥CD于点Q，根据平行四边形的对边平行且相等，对角相等得出AD∥BC，CD∥AB，AB=CD=8，AD=BC=4，∠D=∠ABC=60°，根据两直线平行，内错角相等得出∠GCE=∠D=∠ABC=60°，根据直角三角形两锐角互余可得∠CEG=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得CG=1，，根据 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得ME的值，即可求出CM的值，根据两直线平行，内错角相等得出∠DCB=∠CBH，∠CME=∠H，∠DMN=∠HNM，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可得△MCE≌△HBE，根据全等三角形的对应边相等得出，，根据折叠前后对应角相等可得∠HMN=∠DMN，推得∠HMN=∠HNM，根据等角对等边得出，求得，AN=2，根据平行线之间的距离相等得出AP=NQ，PQ=AN=2，根据直角三角形两锐角互余可得∠DAP=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得，，则，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2025八下·赫山期末）（1）解不等式组：（要求有在数轴上确定解集的过程）
（2）解分式方程：．
【答案】解：（1）
由①得：，即
由②得：，即，
把不等式①、②的解集在数轴上表示为
由图可知，两不等式解集的公共部分是，
所以这个不等式组的解集是．
（2）
在分式方程两边同乘最简公分母得：
解得：
检验：当时，
因此，是原方程的解．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤，分别求出不等式组中每个不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将两个不等式的解集在数轴上表示出来，最后取两个不等式解集的公共部分，即可得到该不等式组的解集；
（2）在原方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1)，约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程解的情况.
15．（2024八下·威远期中） 先化简，再求值：，并在，0，1，2中选一个合适的数求值．
【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号里面的减法，再算括号外面的除法进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
16．（2024八下·兴宁期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段BE的长．
【答案】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由题意可得AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF．
∴∠AEF＝∠AFE．∴AE＝AF．
∴△AEF是等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设BE＝x，
则AE＝CE＝8－x．
∵∠B＝90°，∴在Rt△ABE中，有AB2＋BE2＝AE2，
即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3．
∴BE＝3
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质得到∠AEF＝∠CEF，再利用平行线的性质得到AFE＝∠CEF．从而得到∠AEF＝∠AFE．根据等角对等边即可求解；
（2）由折叠的性质得到AE＝CE，设BE＝x，AE＝CE＝8－x．利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求解.
17．如图，在 ABCD 中，∠BCD 和∠ADC的平分线相交于点M，DM的延长线交BC 于点E，试猜想：
（1）CM 与DE 的位置关系，并说明理由.
（2）点M在DE 的什么位置上 并说明理由.
【答案】（1）解：CM⊥DE，理由如下，
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD平行于BC.
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵DM和CM分别是∠ADC和∠BCD的角平分线.
∴∠CDM=∠ADC，∠DCM=∠BCD
∴∠ADC+∠BCD=180°÷2=90°
即∠CDM+∠DCM=90°
∴∠CMD=180°-（∠CDM+∠DCM）=180°-90°=90°
∴CM⊥DE.
（2）M在DE的中点处，
理由：
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CED
∵CM⊥DE，
∴EM=MD．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先根据四边形ABCD是平行四边形可判断出AD平行于BC，由此即可得出∠ADC+∠BCD=180°，其次由于DM和CM分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，由此得出∠ADC+∠BCD=180°÷2=90°，即∠CDM+∠DCM=90°，最后根据三角形内角和定理即可得出∠CMD=90°，即可得出CM⊥DE.
（2）根据平行线的性质，结合角平分线的意义来证明∠CDE=∠CED，再根据等腰三角形的判定可得∠CDE=∠CED，最后结合等腰三角形三线合一可得出结论.
18．（2025八下·东坡期中）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元．
（1）求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？
（2）学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，
根据题意，得：
解得，
答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元．
（2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，根据题意得，
解得．
设所需费用为W元，则，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W有最小值为（元）
此时，（套）．
答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，题意列二元一次方程组解答即可；
（2）设学校购买《骆驼祥子》m套，根据题意列一元一次不等式组，求出m的取值范围，设所需费用为W元，得到W关于m的一次函数，然后利用函数的增减性解答即可．
（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，
根据题意，得：
解得，
答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元．
（2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，
根据题意得，
解得．
设所需费用为W元，则，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W有最小值为（元）
此时，（套）．
答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元．
19．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上，老师提出了下面的问题：
，，，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较与的大小．
小华：∵
．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【问题解决】
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为．
实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性．
（3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：．
【答案】（1）
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入m克糖后，糖水浓度为，
，
∵，
，
又∵
，
（3）证明：∵a、b、c为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据分式的加减法运算求解即可；
（2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可；
（3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可．
20．（2025八下·温州期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动。在平行四边形纸片ABCD中，已知的面积为120。点为BC边上任意一点，将沿AE折叠，点的对应点为。
（1）如图1，若点恰好落在AD上时，求证：四边形为平行四边形。
（2）如图2，若时，连接，并延长交CD于点。求线段的长。
（3）改变E点的位置，将沿AE折叠，连结，当为直角三角形时，求的长度。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即B'D∥EC，
∠B=∠D，
由折叠可知，∠B=∠B'，
∴∠D=∠B'，
∴B'E∥DC，
∴ 四边形为平行四边形 ；
（2）解：延长AB'交CD于点H，
由折叠的性质可得：∠BAE=∠B'AE，AB=AB'，
∵∠BAE=45°，
∴∠BAB'=∠BAE+∠B'AE=90°，
∴△ABB'是等腰直角三角形，
∴∠ABB'=45°
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=，
∴AB∥CD，AB=AB'=CD=10，
∴∠BAB'=∠AHD=90°，∠BGH=∠ABB'=45°，
∴△B'HG是等腰直角三角形，
∴BH=HG，
∵
∴AH =12，
∴BH=AH-AB'=2，
∴HG=2，
∴B'G=；
（3）解：分两种情况：
①当∠BCB'=90°时，延长CB'交AD于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=10，BC=AD= ，
∴∠CFD=∠BCB'=90°，
∴∠CFA=90°，
∴，
∴CF=，
∴，
∴AF=AD-DF=-=，
由折叠性质可知：AB=AB'=10，
∴，
∴B'C=CF-FB'=-=；
②当∠BB'C=90°时，设BB'与AE交于点N，
过点A作AM⊥BC于点M，
∴，
∴，
∴，
由折叠性质得：BE=B'E，
∴∠BB'E=∠B'BE，
∴∠CB'E=∠B'CE，
∴B'E= CE= BE，
∴B'E= CE= BE=BC=，
∴ME=BE-BM=-=，
∴ME=BM，
∴AM垂直平分BE，
∴AE=AB=10，
∵，
∴，
∴BN=6，
∴BB'=12，
∴B'C==4；
综上所述，B'C的长度为或4.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)由折叠的性质及平行四边形的性质得到∠D=∠B'，根据平行线的判定得出B'E∥DC，进而根据平行四边形的判定即可得证；
(2)延长AB交CD于点H，由折叠的性质先证明△ABB'是等腰三角形，得到∠ABB'，根据平行四边形的性质得到∠AHD=90°，易证得△B'HG是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出AH，进而得到BH，利用勾股定理即可解答
(3)分∠BCB'=90°和∠BB'C=90°两种情况进行讨论求解即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑