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2025年浙江省八年级数学下册期末预测押题卷(2)（浙教版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八下·余杭期中）当时，二次根式的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：当时，
故答案为：B．
【分析】将代入二次根式，计算求解即可．
2．（2024八下·赤坎期末）已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】
解：∵ 一组数据2，a，4，5的众数为5
∴a=5
平均数为：
故选B.
【分析】先根据众数是一组数据中出现次数最多的数，得出a=5，再把这些数相加，除以4即可.
3．（2021八下·重庆开学考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-4）2-4k=16-4k＞0，
解得：k＜4.
故答案为：B.
【分析】利用已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
4．（2024八下·横州期中）如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，点O，M分别是的中点，，
∴，，，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，得到，中位线定理，得到，勾股定理求出的长即可．
5．（2025八下·南京月考）如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是菱形，，
，，
和是等边三角形，
，，
，
，
在中，
，
的最小值为，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
的最小值为，
故选：D．
【分析】
连接，过点作于点，根据菱形的性质及内角是60度的角，可证明和是等边三角形，则可证，则也是等边三角形；再根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求得；最后再利用三角形的三边关系得出的最小值为，则的最小值也是．
6．（2021八下·江干期末）已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝ 的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（　　）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】当y1= y2时，得
∴
∴ ，
经检验， ， 为原方程的解
当 时，
当 时，
∵y1随x1增大而减小，y2随x2增大而增大，
∴当x1＝x2＞2时， ，
∵k＞0
∴ ，即选项A错误；
当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2
∴选项B错误；
∴当y1＝y2＞k时， ，
∴x1＜x2，即选项C正确；
∴当-k＜y1＝y2＜0时， ，
∴x1＜x2，即选项D不正确；
故答案为：C.
【分析】当y1=y2时，可求出x的值，再分别求出当x=2和x=-1时的y的值，利用一次函数的性质，可得到当x1＝x2＞2时， ， ；可对A作出判断；当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2，可对B作出判断；当y1＝y2＞k时，可得到 x1和x2的大小关系，可对C作出判断； 当y1＝y2＜k时，可得到 x1和x2的大小关系，可对D作出判断.
7．（2019八下·乌兰浩特期中）若1＜x＜2，则 的值为（　　）
A．2x-4 B．-2 C．4-2x D．2
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据1＜x＜2，可知-2＜x-3＜-1，0＜x＜1，因此可得 =3-x+x-1=2.
故答案为：D
【分析】根据求绝对值的法则与二次根数的性质，即可得到答案．
8．（2024八下·邯郸冀南新期末）在中，，利用尺规作矩形．甲、乙两位同学的作法如图所示，关于两人的作法判断正确的是（　　）
甲：作的垂直平分线交于点O；连接，在射线上截取（A，C不重合），连接，，四边形即为所求． 乙：以B为圆心，长为半径画圆弧；以D为圆心，长为半径画圆弧；两弧在上方交于点C，连接，，四边形即为所求．
A．只有甲的可以 B．只有乙的可以
C．甲、乙的都可以 D．甲、乙的都不可以
【答案】C
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由甲的作法可知：，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠DAB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故甲的作法正确；
由乙的做法可知：，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵，
∴四边形ABCD是矩形，故乙的作法正确.
故答案为：C.
【分析】甲的作法可得OB=OD，OA=OC，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形；由乙的作法知：BC=AD，DC=AB，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形.
9．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
10．（2024八下·普宁月考）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得A（，0），B（0，），根据勾股定理可得AB，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=AD=x，根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得∠ABC=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BC=2CD=2x，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·亳州月考）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：且
故答案为：且
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．（2023八下·温州期末）已知m是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： m是方程的一个根，
∴m2-m-2=0，
∴m2-m=2，
∴m2-m+2023=2+2023=2025.
故答案为：2025
【分析】将x=m代入方程，可得到m2-m=2，然后整体代入求值.
13．（2020八下·玉州期末）小明用 计算一组数据的方差，那么 　 　．
【答案】30
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得：平均数为3，
∴ .
故答案为：30.
【分析】由于 ， 对照两式即可得出平均数为3，再代入平均数公式即可得到结果.
14．（2024八下·湖州期末）如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离（单位：cm），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：
x（cm） … 10 15 20 25 30 …
y（N） … 30 20 15 15 10 …
其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是　 　．
【答案】25
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系，设，则
当时，
故其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是25．
故答案为：25．
【分析】根据表格数据得到xy=300，然后得到不符合的一组值即可解题.
15．（2024八下·北京市期中）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　．
【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
16．（2024八下·宁波竞赛）如图，平面直角坐标系中，直线上双曲线相交于A、B两点，是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交轴于点，连接BP，BC，若的面积是20，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，直线BC与y轴交于点M
∵ 直线上双曲线相交于A、B两点
联立解得：，
∴ A（2，3），B（-2，-3）
∵ 点C在反比例函数上
设点C（m，）
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）
代入点B（-2，-3）和点C（m，），
得：
∴ k=，b=
∴ 直线BC解析式为：y=
∴ 点D（0，）
同理得：直线AC解析式为
∴ 点P（0，）
∴ PM=-=6
∵的面积是20，
∴20
即：
解得m=
∴ 点C（，）
故答案为：（，）.
【分析】本题考查求反比例函数与一次函数交点坐标，求一次函数解析式，一次函数与y轴交点坐标，三角形形面积等知识，正确设点坐标，求出解析式是解题关键。由直线BC与y轴交于点M，联立得A（2，3），B（-2，-3）；设点C（m，）得直线BC解析式为：y=，点D（0，）；直线AC解析式为，得 点P（0，），PM=6，根据的面积是20，得m=，则点C（，）.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2019八下·江北期中）计算：
（1）（ + + 5）÷ － × － ；
（2）（－3）﹣2 + －|1－2 |－（ －3）0
【答案】（1）解：原式= +1+ － － ；
=2+ +1-2 -
=3-2 ；
（2）解：原式= +2 (2 1) 1
= +2 2 +1 1
= .
【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式的法则、二次根式的乘除法法则、二次根式的性质分别化简，再根据二次根式加减法法则算出答案；
（2）根据0指数的意义、负指数的意义、绝对值的意义、二次根式的性质分别化简，再根据二次根式加减法法则算出答案。
18．（2024九下·营山模拟）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
【答案】（1）；
（2）
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
19．（2024八下·湛江期中）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE
∵FG∥CE
∴∠FGE=∠CEB
∴∠FGE=∠FEG
∴FG=FE
∵FE=CE
∴FG=EC
∵FG∥CE
∴四边形CEFG是平行四边形
∵FE=CE
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处
∴BC=BF
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90°
∵AB=6
∴在Rt△ABF中，
∴DF=AB-AF=2
∴设EF=x，则CE=x，
∴DE=DC-CE=6-x
∵∠CDA=90°
∴在Rt△FDE中，
即：，
解得： ，
即，
∴平行四边形CEFG的面积是：．
【知识点】菱形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】
本题主要考查菱形的判定，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，平行四边形的判定，熟知折叠的性质是解题关键.（1）根据折叠的性质：折叠前后两个图形对应边相等，对应角相等可知：∠BEC=∠BEF，FE=CE，BC=BF，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠FGE=∠CEB，等量代换得：∠FGE=∠FEG，再根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：FG=FE，等量代换得：FG=CE；结合FG∥CE和平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得：四边形CEFG是平行四边形，再结合EF=CE和菱形的判定定理：一组领边相等的平行四边形是菱形可得：四边形CEFG是菱形，由此可证得结论；
（2）根据矩形的性质：对边相等，四个角是直角可知：AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90°，再根据勾股定理可求得AF的长，即：在Rt△ABF中，，根据线段的和差运算可得：DF=AB-AF=2，设EF=x，则CE=x，即DE=DC-CE=6-x，再根据勾股定理：在Rt△FDE中，，代入数据列出关于x的方程，求出x的值，即可得CE的长，即，最后根据平行四边形的面积公式：，可得：，代入数据即可求出平行四边形CEFG的面积，即可得出答案.
20．（2024八下·嵩明期末）云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为；
（2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低6元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，解方程即可求出答案.
（2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为；
（2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低6元．
21．某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了 5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业).
甲、乙两人射箭成绩统计表
　 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 9 4 7 4 6
乙 7 5 7 a 7
小宇的作业：
解
（1）a=　 　，x =　 　，甲成绩的众数是　 　，乙成绩的中位数是　 　
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线.
（3）①请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定.
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中.
甲、乙两人射箭成绩折线统计图
【答案】（1）4；6；4；7
（2）解：如图所示
.
（3）解：① 乙成绩的方差为 ，
∵1.6＜3.6，
∴ 乙的成绩比较稳定.
②由于甲乙平均数相同，而甲的方差大于乙的方差，
∴乙将被选中.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意得乙的总成绩=甲的总成绩=9+4+7+4+6=30，
∴a=30-7-5-7-7=4，
=（7+5+7+4+7）=6，
甲的5次成绩：4环出现2次，最多，则甲成绩的众数是4；
乙的成绩从小到大排列为4，5，7，7，7，
∴ 乙成绩的中位数为7.
故答案为：4，6，4，7.
【分析】（1）先求出乙的总成绩，再分别减去其它4次的成绩即得a值；利用平均数公式计算出乙的平均数；再根据众数及中位数的定义分别求出甲成绩的众数和乙成绩的中位数即可；
（2）利用乙的成绩画出折线统计图即可；
（3）①先求出乙的方差，再比较即可；②由于甲乙平均数相同，选拔方差较小的爱好者即可.
22．（2024八下·温州期末）综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量．
素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环．
素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示．
当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数．
链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）．
任务1：求时，关于的函数表达式．
任务2：求该冷柜一天的耗电量．
【答案】任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，可得，
∴时，关于的函数表达式为；
任务2：当时，可有，解得，
∵冷柜每20分钟为一个循环，
∴每天共有循环个数：（个），
∴冷柜每天运行的时间为分钟，
∴每天耗电量为：（度）．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求函数解析式即可；
任务2：得到冷柜每20分钟为一个循环，然后求出循环次数即可得到运行时间，利用公式解题即可．
23．（2024八下·晋安期中）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时，______，______；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】（1），
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）
当，时，
原式；
当，时，
原式；
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
24．（2021八下·龙口期中）已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．
（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE＝AM；
（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）
（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）的条件下，若BE＝ ，∠AFM＝15°，则AM＝　 　．
【答案】（1）证明：如图①，延长MF，交边BC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，
∴∠ABE＝90°，∠EHF＝90°，四边形ABHM为矩形，
∴AM＝BH＝BE+EH
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE＝AF，∠AEB+∠FEH＝90°，
∵∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠AEB＝∠EFH，
在△ABE与△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB＝EH，
∵AM＝BH＝BE+EH，
∴AM＝BE+AB，即AB+BE＝AM
（2）解：如图②，∵∠AEB+∠FEH＝90°，∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠FEH＝∠EAB，
在△ABE与△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB＝EH＝EB+AM；
如图③∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠HEF＝90°，
∴∠BAE＝∠HEF，
在△ABE与△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB＝EH，
∴BE＝BH+EH＝AM+AB；
（3）3﹣ 或 -1
【知识点】全等三角形的应用；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先求出 ∠AEB＝∠EFH， 再利用AAS证明 △ABE≌△EHF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）根据 BE＝ ，∠AFM＝15°计算求解即可。
1 / 12025年浙江省八年级数学下册期末预测押题卷(2)（浙教版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八下·余杭期中）当时，二次根式的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024八下·赤坎期末）已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021八下·重庆开学考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·横州期中）如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
5．（2025八下·南京月考）如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
6．（2021八下·江干期末）已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝ 的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（　　）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
7．（2019八下·乌兰浩特期中）若1＜x＜2，则 的值为（　　）
A．2x-4 B．-2 C．4-2x D．2
8．（2024八下·邯郸冀南新期末）在中，，利用尺规作矩形．甲、乙两位同学的作法如图所示，关于两人的作法判断正确的是（　　）
甲：作的垂直平分线交于点O；连接，在射线上截取（A，C不重合），连接，，四边形即为所求． 乙：以B为圆心，长为半径画圆弧；以D为圆心，长为半径画圆弧；两弧在上方交于点C，连接，，四边形即为所求．
A．只有甲的可以 B．只有乙的可以
C．甲、乙的都可以 D．甲、乙的都不可以
9．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
10．（2024八下·普宁月考）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·亳州月考）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2023八下·温州期末）已知m是方程的一个根，则的值为　 　．
13．（2020八下·玉州期末）小明用 计算一组数据的方差，那么 　 　．
14．（2024八下·湖州期末）如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离（单位：cm），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：
x（cm） … 10 15 20 25 30 …
y（N） … 30 20 15 15 10 …
其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是　 　．
15．（2024八下·北京市期中）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　．
16．（2024八下·宁波竞赛）如图，平面直角坐标系中，直线上双曲线相交于A、B两点，是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交轴于点，连接BP，BC，若的面积是20，则点的坐标为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2019八下·江北期中）计算：
（1）（ + + 5）÷ － × － ；
（2）（－3）﹣2 + －|1－2 |－（ －3）0
18．（2024九下·营山模拟）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
19．（2024八下·湛江期中）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
20．（2024八下·嵩明期末）云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
21．某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了 5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业).
甲、乙两人射箭成绩统计表
　 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 9 4 7 4 6
乙 7 5 7 a 7
小宇的作业：
解
（1）a=　 　，x =　 　，甲成绩的众数是　 　，乙成绩的中位数是　 　
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线.
（3）①请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定.
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中.
甲、乙两人射箭成绩折线统计图
22．（2024八下·温州期末）综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量．
素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环．
素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示．
当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数．
链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）．
任务1：求时，关于的函数表达式．
任务2：求该冷柜一天的耗电量．
23．（2024八下·晋安期中）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时，______，______；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
24．（2021八下·龙口期中）已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．
（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE＝AM；
（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）
（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）的条件下，若BE＝ ，∠AFM＝15°，则AM＝　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：当时，
故答案为：B．
【分析】将代入二次根式，计算求解即可．
2．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】
解：∵ 一组数据2，a，4，5的众数为5
∴a=5
平均数为：
故选B.
【分析】先根据众数是一组数据中出现次数最多的数，得出a=5，再把这些数相加，除以4即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-4）2-4k=16-4k＞0，
解得：k＜4.
故答案为：B.
【分析】利用已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，点O，M分别是的中点，，
∴，，，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，得到，中位线定理，得到，勾股定理求出的长即可．
5．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是菱形，，
，，
和是等边三角形，
，，
，
，
在中，
，
的最小值为，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
的最小值为，
故选：D．
【分析】
连接，过点作于点，根据菱形的性质及内角是60度的角，可证明和是等边三角形，则可证，则也是等边三角形；再根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求得；最后再利用三角形的三边关系得出的最小值为，则的最小值也是．
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】当y1= y2时，得
∴
∴ ，
经检验， ， 为原方程的解
当 时，
当 时，
∵y1随x1增大而减小，y2随x2增大而增大，
∴当x1＝x2＞2时， ，
∵k＞0
∴ ，即选项A错误；
当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2
∴选项B错误；
∴当y1＝y2＞k时， ，
∴x1＜x2，即选项C正确；
∴当-k＜y1＝y2＜0时， ，
∴x1＜x2，即选项D不正确；
故答案为：C.
【分析】当y1=y2时，可求出x的值，再分别求出当x=2和x=-1时的y的值，利用一次函数的性质，可得到当x1＝x2＞2时， ， ；可对A作出判断；当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2，可对B作出判断；当y1＝y2＞k时，可得到 x1和x2的大小关系，可对C作出判断； 当y1＝y2＜k时，可得到 x1和x2的大小关系，可对D作出判断.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据1＜x＜2，可知-2＜x-3＜-1，0＜x＜1，因此可得 =3-x+x-1=2.
故答案为：D
【分析】根据求绝对值的法则与二次根数的性质，即可得到答案．
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由甲的作法可知：，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠DAB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故甲的作法正确；
由乙的做法可知：，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵，
∴四边形ABCD是矩形，故乙的作法正确.
故答案为：C.
【分析】甲的作法可得OB=OD，OA=OC，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形；由乙的作法知：BC=AD，DC=AB，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个为直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形.
9．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
10．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得A（，0），B（0，），根据勾股定理可得AB，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=AD=x，根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得∠ABC=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BC=2CD=2x，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：且
故答案为：且
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： m是方程的一个根，
∴m2-m-2=0，
∴m2-m=2，
∴m2-m+2023=2+2023=2025.
故答案为：2025
【分析】将x=m代入方程，可得到m2-m=2，然后整体代入求值.
13．【答案】30
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得：平均数为3，
∴ .
故答案为：30.
【分析】由于 ， 对照两式即可得出平均数为3，再代入平均数公式即可得到结果.
14．【答案】25
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系，设，则
当时，
故其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是25．
故答案为：25．
【分析】根据表格数据得到xy=300，然后得到不符合的一组值即可解题.
15．【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，直线BC与y轴交于点M
∵ 直线上双曲线相交于A、B两点
联立解得：，
∴ A（2，3），B（-2，-3）
∵ 点C在反比例函数上
设点C（m，）
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）
代入点B（-2，-3）和点C（m，），
得：
∴ k=，b=
∴ 直线BC解析式为：y=
∴ 点D（0，）
同理得：直线AC解析式为
∴ 点P（0，）
∴ PM=-=6
∵的面积是20，
∴20
即：
解得m=
∴ 点C（，）
故答案为：（，）.
【分析】本题考查求反比例函数与一次函数交点坐标，求一次函数解析式，一次函数与y轴交点坐标，三角形形面积等知识，正确设点坐标，求出解析式是解题关键。由直线BC与y轴交于点M，联立得A（2，3），B（-2，-3）；设点C（m，）得直线BC解析式为：y=，点D（0，）；直线AC解析式为，得 点P（0，），PM=6，根据的面积是20，得m=，则点C（，）.
17．【答案】（1）解：原式= +1+ － － ；
=2+ +1-2 -
=3-2 ；
（2）解：原式= +2 (2 1) 1
= +2 2 +1 1
= .
【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式的法则、二次根式的乘除法法则、二次根式的性质分别化简，再根据二次根式加减法法则算出答案；
（2）根据0指数的意义、负指数的意义、绝对值的意义、二次根式的性质分别化简，再根据二次根式加减法法则算出答案。
18．【答案】（1）；
（2）
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
19．【答案】（1）证明：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE
∵FG∥CE
∴∠FGE=∠CEB
∴∠FGE=∠FEG
∴FG=FE
∵FE=CE
∴FG=EC
∵FG∥CE
∴四边形CEFG是平行四边形
∵FE=CE
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处
∴BC=BF
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90°
∵AB=6
∴在Rt△ABF中，
∴DF=AB-AF=2
∴设EF=x，则CE=x，
∴DE=DC-CE=6-x
∵∠CDA=90°
∴在Rt△FDE中，
即：，
解得： ，
即，
∴平行四边形CEFG的面积是：．
【知识点】菱形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】
本题主要考查菱形的判定，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，平行四边形的判定，熟知折叠的性质是解题关键.（1）根据折叠的性质：折叠前后两个图形对应边相等，对应角相等可知：∠BEC=∠BEF，FE=CE，BC=BF，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠FGE=∠CEB，等量代换得：∠FGE=∠FEG，再根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：FG=FE，等量代换得：FG=CE；结合FG∥CE和平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得：四边形CEFG是平行四边形，再结合EF=CE和菱形的判定定理：一组领边相等的平行四边形是菱形可得：四边形CEFG是菱形，由此可证得结论；
（2）根据矩形的性质：对边相等，四个角是直角可知：AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90°，再根据勾股定理可求得AF的长，即：在Rt△ABF中，，根据线段的和差运算可得：DF=AB-AF=2，设EF=x，则CE=x，即DE=DC-CE=6-x，再根据勾股定理：在Rt△FDE中，，代入数据列出关于x的方程，求出x的值，即可得CE的长，即，最后根据平行四边形的面积公式：，可得：，代入数据即可求出平行四边形CEFG的面积，即可得出答案.
20．【答案】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为；
（2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低6元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，解方程即可求出答案.
（2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为；
（2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低6元．
21．【答案】（1）4；6；4；7
（2）解：如图所示
.
（3）解：① 乙成绩的方差为 ，
∵1.6＜3.6，
∴ 乙的成绩比较稳定.
②由于甲乙平均数相同，而甲的方差大于乙的方差，
∴乙将被选中.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意得乙的总成绩=甲的总成绩=9+4+7+4+6=30，
∴a=30-7-5-7-7=4，
=（7+5+7+4+7）=6，
甲的5次成绩：4环出现2次，最多，则甲成绩的众数是4；
乙的成绩从小到大排列为4，5，7，7，7，
∴ 乙成绩的中位数为7.
故答案为：4，6，4，7.
【分析】（1）先求出乙的总成绩，再分别减去其它4次的成绩即得a值；利用平均数公式计算出乙的平均数；再根据众数及中位数的定义分别求出甲成绩的众数和乙成绩的中位数即可；
（2）利用乙的成绩画出折线统计图即可；
（3）①先求出乙的方差，再比较即可；②由于甲乙平均数相同，选拔方差较小的爱好者即可.
22．【答案】任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，可得，
∴时，关于的函数表达式为；
任务2：当时，可有，解得，
∵冷柜每20分钟为一个循环，
∴每天共有循环个数：（个），
∴冷柜每天运行的时间为分钟，
∴每天耗电量为：（度）．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求函数解析式即可；
任务2：得到冷柜每20分钟为一个循环，然后求出循环次数即可得到运行时间，利用公式解题即可．
23．【答案】（1），
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）
当，时，
原式；
当，时，
原式；
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
24．【答案】（1）证明：如图①，延长MF，交边BC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，
∴∠ABE＝90°，∠EHF＝90°，四边形ABHM为矩形，
∴AM＝BH＝BE+EH
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE＝AF，∠AEB+∠FEH＝90°，
∵∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠AEB＝∠EFH，
在△ABE与△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB＝EH，
∵AM＝BH＝BE+EH，
∴AM＝BE+AB，即AB+BE＝AM
（2）解：如图②，∵∠AEB+∠FEH＝90°，∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠FEH＝∠EAB，
在△ABE与△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB＝EH＝EB+AM；
如图③∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠HEF＝90°，
∴∠BAE＝∠HEF，
在△ABE与△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB＝EH，
∴BE＝BH+EH＝AM+AB；
（3）3﹣ 或 -1
【知识点】全等三角形的应用；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先求出 ∠AEB＝∠EFH， 再利用AAS证明 △ABE≌△EHF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）根据 BE＝ ，∠AFM＝15°计算求解即可。
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