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第六章　平面向量初步
6.1　平面向量及其线性运算
6．1.1　向量的概念
[新课程标准] [新学法解读]
1．理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法． 2．了解零向量及单位向量． 3．掌握向量的相等与平行(共线)，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系. 通过对向量及有关概念的学习，培养学生的数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.
笔记　　教材
1．向量
(1)向量及向量的模
一般地，我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)．
(2)向量及其模的表示法、记法、写法
我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向．而且，通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点)，带箭头的端点称为向量的终点．有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向．始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示．
除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量．此时，向量a的模也用|a|或||来表示．
(3)零向量与单位向量
①零向量
始点和终点相同的向量称为零向量．零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即.零向量的模为0，即|0|＝0.零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的．
②单位向量
模不为0的向量通常称为非零向量，特别地，把模等于1的向量称为单位向量．这就是说，如果e是单位向量，则|e|＝1；反之也成立．因此，e是单位向量的充要条件是|e|＝1.
2．向量的相等与平行
(1)相等向量
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．向量a和b相等，记作a＝b.
(2)向量平行(向量共线)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b.两个向量平行也称为两个向量共线．
自我　　排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)温度分为零上，零下和零，所以温度是矢量，也是向量．(?)
提示：温度本身没有方向．
(2)标量能比较大小，向量也能比较大小．(?)
提示：向量有相等、不相等之分，但向量不能比较大小．
(3)向量的模大于或等于零，向量的模能比较大小．(√)
(4)零向量与任意向量平行．(√)
2．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是(　　)
A．和 B．和
C．和 D．和
解析：易知＝.
答案：B　
3．(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等
B．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上
C．在菱形ABCD中，一定有＝
D．a＝b，b＝c，则a＝c
答案：BCD
4．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量．
解析：由题图可知，以A为始点的向量有，，，，，，，共有7个．
答案：7　
研习1 向量的有关概念
[典例1]　(1)在下列判断中，正确的是(　　)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
(2)判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有＝；
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0.
(1)解析：由定义知①正确；由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故②不正确；显然，③⑤正确，④不正确，故选D．
答案：D　
(2)解：①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确．
②＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确．
③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，③正确．
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．
巧归纳
向量中相关概念的区别
(1)单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，方向不确定，不是没有方向，而是任意方向．
(2)向量中平行和共线是一个概念，向量可以平移，任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上．
(3)共线向量是用向量的平行或重合来定义的，相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，区别在于相等向量的模和方向均相同，而共线向量的模的大小关系不确定，方向相同还是相反也不确定．　
[练习1]　(1)下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　)
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下列说法错误的有________．(填序号)
①两个单位向量不可能平行；
②两个非零向量平行，则它们所在的直线平行；
③当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|>|b|，则a>b.
(1)解析：由相等向量的定义知①正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，②错误；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，③错误；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，④错误．故选B．
答案：B　
(2)解析：①错误，单位向量也可能平行；②错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．
答案：①②③　
研习2 向量的表示
[典例2]　(1)在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：
①||＝3，点A在点O正东方向；
②||＝3，点B在点O正西方向；
③||＝4，点C在点O东北方向；
④||＝2，点D在点O西南方向．
(2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
①作出向量，，；
②求||.
(1)解：取每个方格的单位长度为1，依题意，结合向量的表示可知，相应各题的向量如图所示．
(2)解：①向量，，如图所示．
②由题意，易知与方向相反，故与共线，
又∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綉CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，∴||＝||＝200 km.
巧归纳
1．用有向线段表示向量的关注点
(1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．
(2)有时需依据直角三角形等知识来求出向量的方向(即夹角)或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．
2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题
(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．
(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．　
[练习2]　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以点B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)画一个以点C为起点的向量c，使|c|＝2，说出c的终点的轨迹是什么？并作出轨迹．
解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．
研习3 相等向量与共线向量
[典例3]　在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：＝.
(1)解：由共线向量满足的条件得与向量共线的向量有，，，，，，，，，，.
(2)证明：在 ABCD中，AD綉BC，
又E，F分别为AD，BC的中点，
∴ED綉BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE綉FD，∴＝.
巧归纳
(1)判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同、长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．
(2)利用向量相等或共线判断平行、相等问题时的常用结论：
①若A，B，C，D四点不共线，且∥，则AB∥CD；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若A，B，C，D四点不共线，且＝，则AB∥CD且AB＝CD；
④若A，B，C三点共线，＝，则AB＝BC(即B是线段AC的中点).
[练习3]　(1)如图，设O是边长为1的正六边形ABCDEF的中心，写出图中与向量相等的向量________. (写出两个即可)
(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
①与a的模相等的向量有多少个？
②与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
③与a共线的向量有哪些？
④请一一列出与a，b，c相等的向量．
(1)解析：由题可得：与相等的向量是，，.
答案：，，　
(2)解：①与a的模相等的向量有23个．
②与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
③与a共线的向量有，，，，，，，，.
④与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
1．有下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①⑥⑦⑧都不是向量．
答案：D　
2．设a，b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：充分性：若a＝b，则a，b方向相同且|a|＝|b|，充分性成立，必要性：若|a|＝|b|，但a，b的方向不一定相同，即a，b不一定相等，必要性不成立．因此，“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要条件．故选A．
答案：A　
3．若a为任一非零向量，b为单位向量，则下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b.
其中正确的是(　　)
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
解析：∵|a|不一定大于1，|b|＝1，∴①④不正确；a与b不一定平行，故②不正确；是a方向上的单位向量，不一定等于b，故⑤不正确．
答案：B　
4．如图，在△ABC中，∠ACB的角平分线CD交AB于D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为________．
解析：由三角形内角平分线的性质，得||∶||＝||∶||，故||＝.
答案：　
5．七巧板，也称“七巧图”“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具．原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具．现在的七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，如图所示，试写出图中与，模长相等的向量．
解：与模长相等的向量有，，，，，，，，，，，，，，；与模长相等的向量有，，，，，，，，.
　
[示例]　给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的命题有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[错解]　D
[错因分析]　对向量的有关概念理解错误，将向量的模与绝对值混淆．
[解析]　①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a，c 可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[正解]　A
[防范措施]　1.正确区别0与0
解题时，牢记向量是既有大小又有方向的量，如本例由|a|＝0可知a＝0，并不表示a＝0，之所以出现这个错误，是对零向量的概念理解不清．
2．正确理解向量的模
解题时，注意向量模相等与实数相等的区别，如本例，模相等只能说明它们的长度相等，但并不意味着它们的方向有关系．
3．正确理解向量平行
解题时，两向量平行或共线，也就是两个向量的方向相同或相反，但它们的模的关系并不能确定，如本例，若不能正确理解两向量平行的意义，将会出现判断失误．
4．正确理解零向量
解决有关向量的平行或共线问题时要注意审清限制条件，我们规定零向量与任意向量平行或共线，如本例若忽略了b＝0，则会出现判断失误．
课时作业(二十四)　向量的概念
1．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形为(　　)
A．一个半径为1的圆
B．一段圆弧
C．一条线段
D．一条直线
解析：由圆的定义可知选A．
答案：A　
2．下列命题正确的是(　　)
A．若a，b都是单位向量，则a＝b
B．若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线
C．若a∥b，且b∥c，则a∥c
D．向量的长度与向量的长度相等
解析：对于A：若a，b都是单位向量，则|a|＝|b|，因为a，b的方向不一定相同，故a，b不一定相等，故A错误；对于B：非零向量与是共线向量，即∥，不能得到A，B，C，D四点共线，故B错误；对于C：因为a∥b，且b∥c，当b＝0时，b与任何向量都平行，故不能得到a∥c，故C错误；对于D：向量与向量互为相反向量，故向量与向量的模相等，故D正确．故选D．
答案：D　
3．(多选)如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝120°，则下列说法错误的是(　　)
A．与相等的向量只有1个(不含本身)
B．与的模相等的向量有4个(不含本身)
C．的长度恰为长度的倍
D．与不共线
解析：易知△ACD和△ACB都是正三角形．
对于A，向量＝；
对于B，||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；
对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，
则||＝||；
对于D，∥成立．
答案：BD　
4．若A，B，C，D是共线的4个点，则以它们为向量的起点和终点得到两两平行的非零向量的个数是(　　)
A．3 B．6
C．12 D．24
解析：从4个点中任选一个作一始点，从剩下的3个点再选一个作为终点，就可得到12个两两平行的非零向量．故选C．
答案：C　
5．(多选)给出下列四个选项命题中，其中命题正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若|a|＝0，则a＝0
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
解析：对于A，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故A错误；对于B，因为A，B，C，D是不共线的四点，且＝等价于AB∥DC且AB＝DC，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故B正确；对于C，根据零向量的定义可知C项显然正确，故C正确；对于D，由a＝b可以推出|a|＝|b|且a∥b，但是由|a|＝|b|且a∥b可能推出a＝－b.故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件，故D不正确．故选BC．
答案：BC　
6．如图所示，△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是________．
解析：由等腰三角形的定义可知||＝||.
答案：||＝||　
7．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
答案：(1)，　(2)6　
8．有下列命题：
(1)向量的长度与向量的长度相等；
(2)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
(4)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
(5)向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条线上；
(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为________．
答案：4
9．在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，试列举出分别以图中各点为起点和终点的向量中，哪些是相等的向量．
解：＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝.
10．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
证明：∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB．
又∵与的方向相同，
∴＝.
∵＝，
∴||＝||且CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形，
∴||＝||且CM∥NA．
又∵与的方向相同，
∴＝.
∴＝.
11．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC和BD交于点O，E，F分别是AC和BD 的中点，分别写出图中与，共线的向量及与相等的向量．
解：与共线的向量有，，，和；与共线的向量有，，，，，，，，，，；与相等的向量有.
12．如图所示的平面图形中，已知＝＝.求证：
(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)＝，＝.
证明：(1)∵＝，
∴||＝||，且∥.
又∵A不在上，∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||.
∴＝.同理可证＝.
6．1.2　向量的加法
[新课程标准] [新学法解读]
1．理解和向量的定义． 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则． 3．了解多个向量相加． 4．理解向量加法的运算律掌握向量加法的交换律，并能解决相关问题． 5．了解和向量模的不等式. 1．通过学习和向量的定义，培养学生的数学抽象素养． 2．通过向量加法的运算，培养学生的直观想象、数学运算素养.
笔记　　教材
1．向量的和(和向量)
一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)．向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝.求向量和的运算称为向量的加法．
2．向量的加法法则
(1)向量加法的三角形法则
当a与b不共线时，如图1所示，此时a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．
(2)向量加法的平行四边形法则
当a，b不共线时，如图2所示，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，则向量就表示a，b两向量的和a＋b.这种求向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．
当a与b共线时，求它们的和可用如图3、4表示．
特别地，对任意向量a，有a＋0＝0＋a＝a.
(3)和向量模的不等式
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
3．多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图5所示．
4．向量加法的运算律
(1)加法交换律
对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a.
(2)加法结合律
对于任意的向量a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
自我　　排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)任意向量与零的和都是这个向量本身．(?)
提示：零加向量无意义．
(2)向量加法的三角形法则、平行四边形法则适用于求任意两个向量的和．(?)
提示：三角形法则、平行四边形法则都只适用于不共线向量．
(3)求两向量的和，只需使它们“首尾相接”，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就表示两向量的和．(√)
　　　　　　　　　　　　　　
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：a＋b＝＋＝.
答案：D　
3．设a表示“向东走5 km”，b表示“向南走5 km”，则a＋b表示(　　)
A．向东走10 km
B．向南走10 km
C．向东南走10 km
D．向东南走5 km
解析：如右图所示， ＝a＋b，||＝5，||＝5，且AB⊥BC，则||＝5，∠BAC＝45°.
答案：D　
4．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝________.
解析：由向量加法的三角形法则，得＋＝，即a＋b＋c＝＋＋＝＋＝0.
答案：0　
研习1 向量的加法运算
[典例1]　下列式子不能化简为的是(　　)
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C．＋＋
D．＋＋
解析：对于A，有(＋)＋＝＋＋＝.
对于B，有(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.
对于C，有＋＋＝＋＋＝.
只有D，＋＋不能化为.
答案：D　
巧归纳
利用向量加法求解及化简的技巧
(1)借助几何图形，根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则进行化简．
(2)从代数角度，依据向量加法的三角形法则的实质“首尾顺次连接”，借助向量加法的交换律调换各向量相加的位置，构造“首尾相连”，然后借助结合律调整向量相加的顺序．有时需要灵活地将一个向量拆成两个向量相加．
(3)多个向量相加时，可按照任意的顺序组合进行计算．　
[练习1]　(1)已知正方形ABCD的边长为，则|＋2＋|＝(　　)
A．2 B．6
C．4 D．2
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
(1)解析：由正方形ABCD的边长为，可得正方形ABCD的对角线长AC＝2，利用向量的平行四边形法则可得：＋＝，则|＋2＋|＝|3|＝3×2＝6.故选B．
答案：B　
(2)解：①＋＋＝＋＋＝G＋＋＝＋＝.
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
研习2 向量在平面几何中的应用
[典例2]　如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：＝＋，＝＋，
∵＝，＝，∴＝，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
巧归纳
用向量证明几何问题的一般步骤
(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量；
(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．　
[练习2]　如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取点E，F，使BE＝DF，用向量的方法求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵＝＋，＝＋，
又＝，＝，
∴＝，即AE与FC平行且相等，
∴四边形AECF是平行四边形．
研习3 向量加法的应用
[典例3]　(1)雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是3.464 m/s，现在有风，如果雨滴以4 m/s的速度着地，且这个速度的方向是偏西，这时的风速为________．
(2)轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 n mile到达C处．求此时轮船关于A港的相对位置．
(1)解析：如图，表示雨滴下落的方向，
表示无风时雨滴下落的方向，
则表示风向，而||＝3.464，||＝4，
∴||＝2，
∴这时风速为2 m/s，方向向西．
答案：2 m/s，方向向西　
(2)解：如图，，分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的和位移，＝＋.
在△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，||＝40 n mile，
∴||＝20 n mile，||＝20 n mile，
在△ADC中，∠ADC＝90°，||＝60 n mile，
∴||＝
＝＝40(n mile)．
∵||＝2||，∴∠CAD＝60°.
即轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港40 n mile的C处．
巧归纳
解决与向量有关的实际应用题的步骤
―→―→―→―→―→―→
[练习3]　如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是|＋|＝|.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600 (km)，
∵α＝35°，β＝55°，∴∠ABC＝35°＋55°＝90°，
∴||＝＝＝800 (km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
1．在平行四边形ABCD中，下列式子：
①＝＋；②＝＋；
③＋＝；④＋＝；
⑤＝＋＋；⑥＝＋.
其中不正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：＋＝，故⑥不正确．
答案：A　
2．(多选)下列各式一定成立的是(　　)
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
答案：ABC
3．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝________.
解析：由题图知，正六边形ABCDEF的中心点为O，则△OAB，△OEF，△OAF，△OED都是等边三角形，于是四边形OAFE是菱形，所以＝，＝＝，则＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.
答案：　
4．已知|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|的取值范围是________．
解析：|a|－|b|＝3－2＝1，|a|＋|b|＝3＋2＝5，又||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，则有1≤|a＋b|≤5.
答案：[1,5]　
5．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，在对岸北偏东30°有一码头N，如何确定小船的航向才能使小船直线到达对岸码头？(河水自西向东流)
解：(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的．
(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度．
设MC⊥MA，
||＝||＝10，∠CMN＝30°.
∵＋＝，
∴四边形MANB为菱形．
则∠AMN＝60°，
∴△AMN为等边三角形．
在△MNB中，||＝||＝||＝10，
∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，
∴∠CMB＝30°，
∴小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.
　　　　　　　　　　　　　　　　
[示例1]　下列命题：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[错解]　D(易将①③判断为真命题)
[错因分析]　忽略特殊情形导致判断错误，思考不全面．
[解析]　①中，当a＋b＝0时，命题不成立，因此①是假命题；②是真命题；③中，当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0，因此③是假命题；④中，只有当a与b为同向向量时，|a＋b|与|a|＋|b|才相等，其他情况下均为|a|＋|b|>|a＋b|，因此④是假命题．故真命题的个数为1.
[正解]　B
[防范措施]　在进行向量的加、减法运算时，应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等．特别是判断一些相关命题的真假时，一定要考虑到这些特殊的情况，如果忽略这些就容易出现错误．
误区二　以偏概全致误(易错误区)
[示例2]　对于任意给定的向量a，b，试判断||a|－|b||，|a＋b|，|a|＋|b|的关系．
[错解]　<|a＋b|<|a|＋|b|.
[错因分析]　错解没有考虑a，b的所有可能情形，只就a与b不共线时，用三角形的性质得出结论．以偏概全致误．
[正解]　①当a，b中有零向量时，≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
②当a，b均为非零向量时，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(ⅰ)当a，b共线时，若同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|.若反向，则＝|a＋b|.
(ⅱ)若a，b不共线时，结合三角形的有关性质，则有<|a＋b|≤|a|＋|b|.
综上所述，对于任意给定的向量a，b，总有≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
课时作业(二十五)　向量的加法
1．已知正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A．0 B．
C． D．
答案：B
2．若向量a，b为非零向量且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)
A．a∥b且a与b方向相同
B．a，b是共线向量，且方向相反
C．a＋b＝0
D．无论什么关系都可以
答案：A
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：如图，
＋＝＋＋＋＝＋
＝＋＝(＋)＝×2＝.故选C．
答案：C　
4．已知O是△ABC内的一点，且＋＋＝0，则O是△ABC的(　　)
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
答案：B
5．如图，在 ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A．＝
B．＋＝
C．＋＝
D．＋＝0
解析：和方向相同，长度相等，所以＝，故A正确；根据平行四边形法则可知＋＝，故B正确；＋＝＋＝≠，故C不正确；∵AD＝，∴＋＝＋＝0，故D正确．故选C．
答案：C　
6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且||＝||，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C．2 D．1
解析：∵＋＝2，∴点O为BC的中点．∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且∠BAC＝90°，BC＝2.又∵||＝||，∴||＝1，||＝，∴S△ABC＝××1＝.
答案：B　
7．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向________．
解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．
答案：[0,2]　相同　
8．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝3.∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________.
解析：如图，根据平行四边形法则，四边形OACB为平行四边形，又因为||＝||＝3，
所以四边形OACB为菱形．
连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D．
因为∠AOB＝60°，所以AB＝||＝3，
所以在Rt△BDC中，CD＝，
所以|a＋b|＝||＝×2＝3.
答案：3　
9．如图所示，已知在矩形ABCD中，|A|＝4，设＝a，＝b，＝c.则|a＋b＋c|＝________.
解析：a＋b＋c＝＋＋＝＋.
如图，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE，
由于＝＝，CE綉AD，
所以四边形ACED是平行四边形，
所以＝，所以＋＝＋＝，
所以|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8.
答案：8　
10．化简下列各式：
(1)＋＋＋＋；
(2)(＋)＋＋＋.
解：(1)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＝0.
(2)(＋)＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋
＝＋＝0.
11．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1，||＝，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|.
解：因为＋＝＋＝0，
所以＝，＝.
所以四边形ABCD是平行四边形．
又因为||＝||＝1，所以四边形ABCD为菱形，
又因为cos∠DAB＝，∠DAB∈(0°，180°)，
所以∠DAB＝60°，所以△ABD为正三角形．
所以|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，|＋|＝||＝||＝1.
6．1.3　向量的减法
[新课程标准] [新学法解读]
1．理解向量的相反向量，能用相反向量说出向量相减的意义． 2．理解向量差的定义，向量加法与向量减法的关系． 3．掌握向量减法的三角形法则. 1.通过相反向量、向量的差，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养． 2．通过学习向量减法法则及其应用，培养学生的直观想象、数学运算素养.
笔记　　教材
1．相反向量
(1)定义：给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a，因此，的相反向量是－，而且－＝.
(2)性质：任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0.
2．向量的差
(1)一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b.求向量差的运算称为向量的减法．
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝.
(3)向量的减法法则
当a与b不共线时，求a－b的差可用图(1)表示，此时向量a，b，a－b正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则．
当a与b共线时，若a与b同向，则＝a－b(＝a，＝b)，如图(2)所示．
若a与b反向，则＝a－b(＝a，＝b)，如图(3)所示．
特别地a＝0时，a－b＝－b，若b＝0时，a－b＝a.
(4)向量的减法也可以看成向量的加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)，也就说：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量，如图(4)所示．
3．差向量模的不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
自我　　排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)若a＋b＝0，则a，b互为相反向量，反之也成立．(√)
(2)若a－b＝a，则b＝0.(√)
(3)若a－b＝－b，则a＝0.(√)
(4)若a＝b，则a－b＝0.(?)
提示：若a＝b，则a－b＝0.
2．在△ABC中，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a B．a＋b
C．b－a D．a－b
解析：＝－＝a－b.
答案：D　
3．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
解析：非零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，
|m|＝|n|，它们的方向相反．
答案：A　
4．下列运算中正确的是(　　)
A．－＝
B．－＝
C．－＝
D．－＝0
解析：根据向量减法的几何意义，知－＝，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，－应该等于0，而不是0.
答案：C　
5．(多选)下列各式中可以化简为的是(　　)
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
答案：ABC
研习1 向量加减法的基本运算
[典例1]　化简－(－－)为(　　)
A． B．
C． D．
解析：－(－－)＝－＋＋＝＋＋0＝.
答案：C　
巧归纳
1．满足下列两种形式的可以化简运算
(1)首尾相连且求和向量；
(2)起点相同且求差向量．
解决相关的问题时要观察是否具有这两种形式，同时要注意逆向运用，不可使思维僵化．
2．向量减法运算中的常用方法
(1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算；
(2)运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点；
(3)引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一．　
[练习1]　化简：(1)－－；
(2)(－)－(－)．
解：(1)－－＝－＝.
(2)(－)－(－)
＝－－＋＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
研习2 用已知向量表示其他向量
[典例2]　如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
解：∵b＋c＝＋＝＋＝，
＋＝＋a＝；
∴b＋c＝＋a，即＝b＋c－a.
巧归纳
(1)用已知向量表示其他向量时要充分利用平面几何知识，灵活运用三角形法则和平行四边形法则及向量减法的几何意义．
(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤：
①观察待表示向量的位置；
②寻找或作相应的平行四边形或三角形；
③运用法则找关系，化简得结果．　
[练习2]如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
＝－＝c－a，＝－＝c－b.
∴＝＋＝b－a＋c.
研习3 向量加法、减法的综合应用
[典例3]　(1)已知||＝6，||＝9，则|－|的取值范围是________．
(2)三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
(1)解析：∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
答案：[3,15]　
(2)解：由题意得，|a|＝|b|＝|c|，
由于合力作用后物体P做匀速运动，故合力为0，
即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b，
如图，作平行四边形APCD为菱形，
＝a＋c＝－b，
∴∠APC＝120°，
同理∠APB＝∠BPC＝120°，
又∵|a|＝|b|＝|c|，
∴△ABC为等边三角形．
巧归纳
向量加减法运算几何意义之间的联系和应用
向量减法应用三角形法则，也可视作向量加法中平行四边形的另一条对角线，在减法运算中可画有关的三角形或平行四边形来解答问题．常用结论如下：
在 OACB中，＝a，＝b.
(1)若|a|＝|b|，则 OACB为菱形．
(2)若|a＋b|＝|a－b|，则 OACB为矩形．
(3)若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则 OACB为正方形．　
[练习3]　(1)(多选)a，b为非零向量，则下列命题正确的是(　　)
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
(2)若a≠0，且b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
(3)已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
(1)答案：ABD
(2)解：如图，
∵|a|＝|b|＝|a－b|.
∴∠BOA＝60°，且四边形OACB为菱形．
又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b的夹角为30°.
(3)解：如图，＝a，＝b，
则||＝|a－b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝|a＋b|.
由于(＋1)2＋(－1)2＝42，
故||2＋||2＝||2，
∴△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，
从而OA⊥OB，∴ OACB是矩形．
根据矩形的对角线相等，有||＝||＝4，
即|a＋b|＝4.
1．化简－＋－得(　　)
A． B．
C． D．0
解析：原式＝(A－)＋(＋)＝＋＝0.故选D．
答案：D　
2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是(　　)
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
解析：由＋＝，可得＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．可知点P在△ABC的外部，故选D．
答案：D　
3．当a，b满足下列何种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立(　　)
A．a与b同向
B．a与b反向
C．a与b同向且|a|≤|b|
D．a与b反向且|a|≥|b|
解析：当a与b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|.
答案：D　
4．化简下列各式：
①－＋；②＋＋－；
③－－；④－＋－.
结果为零向量的个数是________．
解析：①－＋＝＋＝0；
②＋＋－＝＋＋＋＝＋＝0；
③－－＝－＝0；
④－＋－＝＋＋＋＝＋＝0.
答案：4　
5．已知|a|＝6，|b|＝14，|c|＝3，求|a＋b＋c|的最大值和最小值．
解：根据三角形法则，可知||b|－|a||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
∴|a＋b＋c|≤|a＋b|＋|c|≤|a|＋|b|＋|c|＝23.
当a，b，c同向时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|，
此时|a＋b＋c|有最大值23.
又|a＋b＋c|≥||a＋c|－|b||，
当a，c同向且与b异向时，|a＋b＋c|最小，
此时|a＋b＋c|有最小值5.
∴|a＋b＋c|的最大值为23，最小值为5.
　
[示例1]　已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.问：表示向量a，b，c的有向线段是否一定能构成三角形？
[错解]　在平面上任取一点A，作＝a，再以B为起点作＝b，则＝a＋b.又a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)＝－＝，因而a＋b＋c＝0时，表示向量a，b，c的有向线段一定能构成△ABC．
[错因分析]　条件中并未明确向量a，b，c是否共线，只是强调了a，b，c为非零向量，故错解中忽略了向量a，b，c共线时的情形．
[正解]　(1)当a，b不共线时，在平面上任取一点A，作＝a，再以B为起点作＝b，则＝a＋b.又a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)＝－＝，因而a＋b＋c＝0时，表示向量a，b，c的有向线段一定能构成△ABC．
(2)当a，b共线时，a＋b＋c＝0也可成立，此时不能构成三角形．
[防范措施]　利用向量减法解决平面几何问题，要注意相反向量的应用；同时注意表示向量的有向线段所在直线平行或重合的情况．
误区二　对向量减法法则应用失误(易错误区)
[示例2]　如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，试用a，b表示.
[错解]　∵＝a，＝b，
∴＝－＝b－a.
[错因分析]　对向量减法的三角形法则理解不透，导致向量表示错误．如将＝－误写成＝－.
[正解]　∵＝a，＝b，
∴＝－＝a－b.
[防范措施]　向量减法法则应用三角形法则或平行四边形法则解题时，也可以视作平行四边形的另一条对角线，两个向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点，在应用中一定要留意这一点．　
课时作业(二十六)　向量的减法
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
答案：D　
2．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于(　　)
A． B．
C． D．
答案：D　
3．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则必有(　　)
A．＝0
B．＝0或＝0
C．四边形ABCD为矩形
D．四边形ABCD为正方形
答案：C
4．下列各式中，不能化简为的是(　　)
A．＋－
B．(＋)＋(－)
C．－＋
D．＋(＋)
答案：A
5．已知边长为1的正方形ABCD，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
6．在平行四边形ABCD中，－－等于(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
7．如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　)
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．b－a＋c D．b－a－c
答案：C
8．化简：＋－－＝________.
解析：＋－－＝＋－(＋)＝－＝0.
答案：0　
9．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形的形状是________．
解析：因为a＋c＝b＋d，所以＋＝＋，即－＝－，所以＝，所以四边形ABCD是平行四边形．
答案：平行四边形　
10．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的范围是________．
解析：因为－＋＝＋＋＝，又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.又因为＝＋，且在菱形ABCD中||＝2，所以|||－|||<||＝|＋|<||＋||，即0<||<4.
答案：2　(0,4)　
11．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解：作法：作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.
如图所示，
作向量＝a，则＝a－b＋a.
12．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，求|＋－|及|－|.
解：|＋－|＝|－|＝2||＝2.
|－|＝||＝.
6．1.4　数乘向量
[新课程标准] [新学法解读]
1．理解数乘向量的定义及几何意义． 2．了解数乘向量的运算律． 3．会判定向量平行、三点共线. 1．通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律，培养学生的数学抽象、直观想象素养． 2．通过数乘向量运算律的运用，向量平行及三点共线的判定与应用，培养学生的数学运算和逻辑推理素养.
笔记　　教材
1．数乘向量定义
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：
①当λ>0时，与a的方向相同；
②当λ<0时，与a的方向相反．
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．
2．数乘向量的几何意义
把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．
3．数乘向量的运算律
λ(μa)＝(λμ)a.
4．向量平行与三点共线
(1)向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a.
(2)三点共线：一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．
　　　　　　　　　　　　　　　　
自我　　排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)－a＝(－1)·a.(√)
(2)λa∥a.(√)
(3)0·a＝0.(?)
提示：0·a＝0.
(4)λ·0＝0.(?)
提示：λ·0＝0.
2．存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有(　　)
A．a与b方向相同
B．a与b方向相反
C．|a|＝|3b|
D．|a|＝|b|
解析：∵－3<0，∴b与a方向相反．
答案：B　
3．如图所示，在△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则＝(　　)
A．－－ B．－－
C．－－ D．－＋
解析：依题意，＝＋＝－－＝－＋－＝－－.故选B．
答案：B　
4．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
解析：由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量方向相向，故b＝2a.
答案：2　
研习1 数乘向量的定义及其几何意义
[典例1]　(1)若非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________．
(2)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3.
①用表示；
②用表示.
(1)解析：由a与(2x－1)a方向相同，得2x－1>0，解得x>.
答案：　
(2)解：如图a，∵点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，∴AB＝2BC，AC＝3BC．
①如图b，向量与方向相同，∴＝2.
②如图c，向量与方向相反，∴＝－3.
巧归纳
向量数乘的几何意义
(1)当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长到原来的|λ|倍．
(2)当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短为原来的|λ|倍．　
[练习1]　下列叙述中：
①若a＝b，则3a>2b；
②若＝，则a＝b或a＝－b；
③若ma＝mb，则a＝b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c；
⑤若a＝b，则a∥b.
正确的个数有(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为向量不能比较大小，所以①错误；如单位向量模都为1，方向任意，所以②错误；当m＝0时，ma＝mb＝0，但是a与b不一定相等，所以③错误；当b＝0时，a和c可能不平行，所以④错误，两个向量相等，则它们一定平行，所以⑤正确．故选B．
答案：B　
研习2 向量在几何中的应用
[典例2]　如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
解：∵＝＝＝(－)＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
∵＝＝，
∴＝＋＝＋
＝＝(＋)＝(a＋b)．
∴＝－
＝(a＋b)－
＝a－b.
巧归纳
由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用．　
　　　　　　　　　　　　　　　　
[练习2]　(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
(2)在三角形ABC中，点E，F在边AB上，且＝＝，则(　　)
A．＝＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
(1)解析：如图，∵＝(＋)，且＝a，＝＋＝a＋b.
∴＝＝a＋b.故选C．
答案：C　
(2)解析：＝＋＝＋＝＋·(－)＝＋.故选C．
答案：C　
1．(2020·海南卷)在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝(　　)
A．2＋ B．－2
C．2－ D．＋2
解析：＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－.故选C．
答案：C　
2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.
解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，因为b与a的方向相反，所以a＝－b.
答案：－　
3．如图，在正六边形ABCDEF中，O为其中心，下列向量：
①；②－；③＋；④－；⑤＋＋＋.其中与＋＋2＋相等的向量有________．(填对应向量的序号即可)
解析：∵＋＋2＋
＝＋＋＝，
∴②中，－＝，
③中，＋＝＋＝，
④中，－＝－＝－＝，
⑤中，＋＋＋＝＋＋＋
＝＋＝＋＝＋＝.
故填②③④⑤.
答案：②③④⑤　
4．判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个非零不共线向量)．
(1)a＝5e1，b＝－10e1；
(2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2.
解：(1)∵b＝－2a，∴a与b共线．
(2)∵a＝b，∴a与b共线．
5．如图，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB的中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M，N，C三点共线．
证明：在△ABD中，＝－，
∵＝a，＝b，∴＝b－a.
∵N点是BD的三等分点，
∴＝＝(b－a)．
∵＝b，
∴＝－＝(b－a)－b＝－a－b.①
∵M为AB中点，∴＝a，
∴＝－＝－(＋)
＝－＝－a－b.②
由①②可得＝.
由共线向量定理知∥，
又∵与有公共点C，
∴M，N，C三点共线．
　
数乘向量的主要应用是将平面几何问题和实际问题转化为向量问题，通过向量的运算来解决．
[示例]　已知任意平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
求证：＝(＋)．
[思路点拨]　本题主要考查向量法在平面几何中的应用，利用向量的线性运算，将转化为含，的和即可．
[证明]　取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，
∴＝.
∵F是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝＋，
∴＝(＋＋)＝(＋)＋.
∴＝－＝(＋)＋－＝(＋)．
[点评]　向量线性运算几何意义应用中的常见结论
图形 结论
表示a＋b，a－b两向量的有向线段恰为同一平行四边形的两条对角线
＋＝2
表示与a同向的单位向量
课时作业(二十七)　数乘向量
1．在△ABC中，＋5＝0，则＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
答案：A
2．式子：①＋＝0，②0·＝0，③－＝，其中不正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
答案：C
3．已知AM是△ABC的BC边上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　)
A．(b－a) B．(a＋b)
C．(a－b) D．－(a＋b)
答案：B
4．已知A，B，C三点共线，且C为线段AB的靠近B的五等分点，则下列结论正确的个数为(　　)
①＝5B；②||∶||＝4∶1；③＝－.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
5．在△ABC中，M是BC的中点．若＝a，＝b，则＝(　　)
A．(a＋b) B．(a－b)
C．a＋b D．a＋b
答案：D
6.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是(　　)
A．－＝
B．＋＝
C．－＝
D．＋＝
答案：A
7．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　　)
A．a∥b
B．向量a，b方向相反
C．|a|＝3|b|
D．b＝－3a
答案：ABD
8．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
答案：CD
9．已知＝－，＝λ，则λ的值为________．
解析：因为＝－，所以＝－(－)，所以＝－2，所以＝，所以λ＝.
答案：　
10．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________，＝________.
解析：因为－3＋2＝0，所以－＝2(－)，所以＝2，所以＝2.
答案：2　2　
11．点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解：如图，取AB的中点P，
连接EP，FP，在△ABC中，因为EP是△ABC的中位线，所以＝＝a，在△ABD中，因为FP是△ABD的中位线，所以＝＝－b，
在△EFP中，＝＋＝－a－b＝－(a＋b)．
12．已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍；
(2)－3a的方向与6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的；
(3)－4a与4a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5)若a，b不共线，则0·a与b不共线．
解：(1)真命题．因为>0，所以a与a同向．
因为|a|＝|a|，所以a的模是a的模的倍．
(2)真命题．因为－3<0，所以－3a与a方向相反且|－3a|＝3|a|.又因为6>0，所以6a与a方向相同且|6a|＝6|a|，所以－3a与6a方向相反且模是6a的模的.
(3)真命题．由数乘向量定义和相反向量定义可知．
(4)假命题．因为a－b与b－a是相反向量，所以a－b与－(b－a)是相等向量．
(5)假命题.0·a＝0，所以0·a与b共线．
13．设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足f(a)＝则对任意的a，b∈V，λ∈R.求证：f(|a|·a)＝f(a)．
证明：若a＝0，则f(|a|·a)＝f(a)＝0；若a≠0，则f(|a|·a)＝|a|·a＝a，且f(a)＝a，所以f(|a|·a)＝f(a)．
综上可得，对任意向量a，均有f(|a|·a)＝f(a)．
6．1.5　向量的线性运算
[新课程标准] [新学法解读]
1．掌握向量加法与数乘运算混合运算的运算律． 2．理解向量线性运算的定义及运算法则． 3．能利用向量的线性运算解决简单问题. 通过学习向量线性运算的定义及运算法则的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理素养.
笔记　　教材
1．向量的加法与数乘向量的混合运算
(1)运算规则
一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法．
(2)运算律
一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a.
一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．向量的线性运算
(1)定义
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．
(2)运算法则
向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．
事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号．
自我　　排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)a－b可以看作a＋(－b)．(√)
(2)向量减法改写为向量加法后也满足加法的交换律、结合律．(√)
(3)存在实数λ，μ，k，使λa＋μb＋kc＝0.(?)
提示：向量线性运算的结果仍为向量，故不存在实数λ，μ，k，使λa＋μb＋kc＝0.
2．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：∵＝3，∴＝＝(A－A)＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案：D　
3．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b.
答案：D　
4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．－
B．－
C．＋
D．＋
解析：根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，所以＝－，故选A．
答案：A　
研习1 向量的线性运算
[典例1]　化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
巧归纳
向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形．　
　　　　　　　　　　　　　　　　
[练习1]　(1)下列各式计算正确的个数是(　　)
①(－7)·6a＝－42a；②a－2b＋(2a＋2b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.
(1)解析：根据实数与向量的积的运算律求解可验证①②正确，③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．故选C．
答案：C　
(2)解析：－3＋(2b－a)＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b
＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j
＝－16i＋j.
答案：－16i＋j　
研习 向量方程(组)
[典例2]　设x，y是未知向量，a，b为已知向量．
(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
(2)解方程组
解：(1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0.
即8x＝－5a＋3b，则x＝－a＋b.
(2)把第一个方程的左、右两边同乘以－2，然后与第二个方程相加，得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.
代入原来第二个方程得x＝－a＋b.
即
巧归纳
(1)本题型也属于用已知向量表示其它向量．
(2)解关于未知向量的方程或方程组，它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及数乘向量的运算律．　
[练习2]　若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.
解析：由2－(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，所以y＝a－b＋c.
答案：a－b＋c　
研习3 向量平行、三点共线问题
[典例3]　(1)(2023·江苏高一检测)如图，设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC，BD的中点．试用向量的方法证明：PQ∥AB．
(2)已知两个非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
证明：(1)∵P，Q分别为AC，BD的中点，∴＝(＋)，＝，
∴＝－＝(＋－)＝(＋)．∵AB∥CD，∴可设＝λ(λ<0)，
∴＝，又≠，∴λ≠－1，
∴PQ∥AB．
(2)∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6，∴向量与共线．
又和有共同的起点A，∴A，B，D三点共线．
巧归纳
(1)证向量平行，用b＝λa.
(2)证三点共线，除证明两向量平行外还需要两向量有公共点．　
[练习3]　(1)已知非零向量e1，e2不共线．
如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，求证a∥b.
证明：(1)因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
所以，共线，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为e1，e2共线，所以存在λ∈R，使e1＝λe2，
所以a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2，
b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2.
当λ≠时，a＝b，所以a，b共线；
当λ＝时，b＝0，a，b也共线．
综上，a与b共线，即a∥b.
1．在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且BD＝CD，CE＝AE，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．－a＋b B．a＋b
C．－a＋b D．a－b
解析：＝＋＋＝－－＋＝－b－a＋(a＋b)＝－a＋b.故选A．
答案：
答案：A　
2．若3x－2(x－a)＝0，则向量x＝(　　)
A．2a B．－2a
C．a D．－a
解析：∵3x－2(x－a)＝0，∴3x－2x＋2a＝0，即x＝－2a.
答案：B　
3.＝(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．－(b－a)
解析：原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝－a＋2b.
答案：B　
4．已知e是单位向量，且a＝3e，b＝－2e，则|a＋3b|＝________.
解析：∵|e|＝1，a＝3e，b＝－2e，∴|a＋3b|＝|3e－6e|＝|－3e|＝3|e|＝3.
答案：3　
5．如图所示，在 ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，若＝a，＝b，试以a，b表示和.
解：＝＋＝＋＋＝－b＋a＋b＝a－b；
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
课时作业(二十八)　向量的线性运算
1．已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c等于　　　(　　)
A．10d B．－10d
C．20d D．－20d
答案：B
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案：A
3．下面四种说法：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m，n和向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中正确说法的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：C
4．已知在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．(a＋b) D．a＋b
答案：C
5．已知AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，G是它们的交点，则下列等式不正确的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝－2
D．＋＝
答案：B
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为(　　)
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的三等分点
答案：D
7．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则＝(　　)
A．－＋ B．－－
C．－ D．＋
答案：A
8．(多选)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
答案：ABC　
9．(多选)如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中不成立的是(　　)
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
答案：BCD
10．已知e是单位向量，a＝2e，b＝－3e，则|a－2b|＝________.
解析：由题意得a－2b＝8e，故|a－2b|＝8.
答案：8　
11．(1)化简：＝________.
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝________，y＝________.(用向量a，b表示)
解析：(1)原式＝
＝
＝＝a－b.
(2)由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，即y＝4a＋3b，所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
答案：(1)a－b　(2)3a＋2b　4a＋3b
12.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，满足＝m，＝n(m>0，n>0)，若mn＝，则＝________.
解析：∵＝(＋)＝＝m＋.∵O，M，N三点共线．∴m＋＝1，即m＋＝2，又mn＝，解得m＝，n＝，∴＝×＝.
答案：　
13．如图，以向量＝a，＝b为边作 OADB，＝，＝，用a，b表示 ，，.
解：因为＝－＝a－b，
＝＝a－b，
所以＝＋＝a＋b，
又因为＝a＋b，
＝＋＝＋＝＝(a＋b)＝a＋b，
所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b，
即有＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
14．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b分别表示向量，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)因为＝(＋)＝(a＋b)，所以＝＝(a＋b)，因为＝＝b，
所以＝－＝－a＋b.
(2)证明：由(1)知＝－a＋b，
＝＋＝－a＋(a＋b)
＝－a＋b＝，
所以＝.所以与共线．
又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．
6．2　向量基本定理与向量的坐标
6．2.1　向量基本定理
[新课程标准] [新学法解读]
1．理解共线向量基本定理和平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量基本定理，并用之解决相关问题. 通过共线向量基本定理与平面向量基本定理的应用，提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
笔记　　教材
1．共线向量基本定理
(1)基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)定理理解：在共线向量基本定理中：
①b＝λa时，通常称为b能用a表示．
②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ.
这是因为：由λa＝μa可知(λ－μ)a＝0，如果λ－μ≠0，则a＝0，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ.
(3)三点共线的充要条件
如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ.
已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t，即存在实数x，y，使得＝x＋y(x＋y＝1)．
2．平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
自我　　排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)“当b∥a时，存在实数λ，使得b＝λa”是真命题．(?)
提示：例如当a＝0，b≠0，使b＝λa的实数λ不存在．
(2)任意两个向量可在同一平面内．(√)
(3)平面向量的基底{a，b}是唯一的．(?)
提示：任意两个不共线向量都可以作为平面向量的基底．
(4)在平面向量基底{a，b}下，该平面内任一向量c在该基底的分解式是唯一的．(√)
　　　　　　　　　　　　　　
2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
解析：当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时，m，n共线．
答案：D　
3．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
答案：B　
4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
解析：由题图可知，＝4e1＋3e2.
答案：＝4e1＋3e2　
研习1 用基底表示向量
[典例1]　如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，，.
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
且＝a，＝b，
所以＝a＋b，＝b－a.
又点M平分两条对角线AC，BD，
所以＝＝＝(a＋b)，
＝－(a＋b)，
所以＝＝(b－a)，
＝－＝－(b－a)．
巧归纳
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　
　　　　　　　　　　　　　　　　
[练习1]　(1)已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．－a＋b
(2)在 ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝a，＝b，则＝________，＝________.
(1)解析：由题意＝(＋)，所以2＝＋　①，同理得2＝＋＝－＋(－)＝－2＋，即2＝－2＋　②.①×2＋②得4＋2＝3，即4b＋2a＝3，所以＝a＋b.故选B．
答案：B　
(2)解析：如图，
＝＋＝＋＝－＝－＝b－a.
＝＋＝＋＝＋＝－＝a－b.
答案：b－　a－　
研习2 直线的向量参数方程式的应用
[典例2]　(1)已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有＝3λ＋(1－3λ)(λ∈R，点O为直线AB外的一点)，则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由．
(2)如图所示，已知a，b不共线，＝ma，＝nb，m，n∈R且m≠0，n≠0，若点C在直线AB上，且＝xa＋yb.证明：＋＝1.
(1)解：因为3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R，
所以结合直线的向量参数方程式可知，
点C的轨迹是直线AB．
(2)证明：由于＝(1－t)＋t＝(1－t)ma＋tnb，
而＝xa＋yb，
所以(1－t)ma＋tnb＝xa＋yb.
所以即＋＝1.
巧归纳
直线的向量参数方程式＝(1－t)＋t的含义：
(1)当点P在直线AB上时，满足该式；
(2)反之，当点P满足该式时，点P一定在直线AB上，这实质上给出了证明三点共线的一种方法．　
[练习2]　(1)如图所示，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，P是BC上一点，且满足＝m＋，则实数m＝________.
(2)设，不共线，点P在AB上，求证：＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.
(1)解析：∵，，的终点共线，
∴m＋＝1，
∴m＝.
答案：　
(2)证明：∵点P在AB上，∴与共线，
∴＝t(t∈R)，
即－＝t(－)，
∴＝(1－t)＋t.
令λ＝1－t，μ＝t，∴λ＋μ＝1，
∴＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.
研习3 共线向量与平面向量基本定理的综合应用
[典例3]　如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，试以a，b为基底表示.
解：∵A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，
设＝m，＝n，
∵＝＋，＝＋，
则＝＋m＝＋m(－)＝(1－m)＋m＝a＋mb，
＝＋n＝＋n(－)＝(1－n)＋n＝b＋na.
∵a与b不共线，
∴解得
∴＝a＋b.
巧归纳
1．平面向量基本定理及应用
(1)用基底表示向量．
(2)证明点共线问题．
(3)解决平面几何问题．
2．用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．
(2)将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解．
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．　
[练习3]　如图所示，已知在△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)由题意得，A是BC的中点，且＝.
由平行四边形法则得＋＝2.
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝2a－b－b＝2a－b.
(2)由题意得，∥.
又∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.
1．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝－1且c与d反向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝1且c与d同向
解析：∵c∥d，∴存在实数λ，使得c＝λd，
即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb.
又a，b不共线．
∴∴λ＝k＝－1，c＝－d.
故c与d反向．
答案：A　
2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　)
A．a＋b B．a－b
C．b－a D．－a－b
解析：＝＋＝b－＝b－a，故选C．
答案：C　
3．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝________.
解析：∵e1＋2e2与me1＋ne2共线，∴e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，∴＝2.
答案：2　
4．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝________，y＝________.
解析：如图，作DF⊥AB交AB的延长线于点F，
设AB＝AC＝1，则BC＝DE＝，
∵∠DEB＝60°，∴BD＝，
又∠DBF＝180°－45°－90°＝45°，
∴DF＝BF＝×＝.∵＝＋＝＋，
∴x＝1＋，y＝.
答案：1＋　　
5．在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且＝4＝r－s，求s＋r的值．
解：如图所示，由题意，知＝4，
∴＝.
又∵＝－，
∴＝(－)＝－.
∴r＝s＝.∴s＋r＝.
　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
[示例]　如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用a和b表示)．
[错解]　2a＋b
[错因分析]　不能正确应用直线的向量参数方程式O＝(1－t)＋t，在①处列错式λ－λ＝1而致误．
[解析]　设＝λ，则＝λ(＋)＝λ＝λ＋λ.
①
所以λ＝，所以＝＋＝a＋b.
[正解]　a＋b
[防范措施]　1.直线的向量参数方程式的应用
若，不共线，而＝λ＋μ且λ＋μ＝1，则P，A，B三点共线，反之也成立．
2．正确运用初中的平面几何知识
如本例中借助△DOC∽△BOA，也能得到＝2，即＝，从而进行求解．
课时作业(二十九)　向量基本定理
1．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中，向量a，b一定共线的有(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
答案：A
2. 如图，已知在△COB中，＝，＝2，DC和OA交于点E，若＝λ，则实数λ的值为(　　)
A． B． C． D．
答案：C
3．已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，则实数k的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0
答案：C
4．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
5．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若＝a，＝b，E为BF的中点，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案：A
6. (多选)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是(　　)
A．＝＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝＋
答案：ABC
7．(多选)下列叙述正确的是(　　)
A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
B．b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
答案：BCD
8．已知a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________.
解析：因为a，b不共线，所以a，b可以作为一组基底，又因为c与b共线，所以c＝λ2b，所以λ1＝0.
答案：0　
9．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．
解析：由＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，
得＝＋＝5e1－3e2，
又＝e1＋λe2，且A，B，D三点共线，
所以存在实数μ，使得＝μ，
即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，又e1，e2不共线，所以则λ＝－.
答案：－　
10．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.
答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)　
11．在△ABC中，G满足＋＋＝0，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点，若＝m(m>0)，＝n(n>0)，则3m＋n的最小值为________．
解析：∵＋＋＝0，∴G为△ABC的重心，∴＝＋＝＋，且M，G，N三点共线．∴＋＝1，且m>0，n>0，∴3m＋n＝(3m＋n)·＝1＋＋＋≥＋，当且仅当＝，即n＝m时取等号．∴3m＋n的最小值为＋.
答案：＋　
12．如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．
解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，使＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2，
所以＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
又因为＝＋＝2e1＋3e2，
所以解得
所以＝，即AP∶PM＝4∶1.
13．如图所示，在△ABC中，＝a，＝b，D，F分别为线段BC，AC上一点，且BD＝2DC，CF＝3FA，BF和AD相交于点E.
(1)用向量a，b表示；
(2)假设＝λ＋(1－λ)＝μ，用向量a，b表示并求出μ的值．
解：由题意得，CF＝3FA，BD＝2DC，所以＝，＝.
(1)因为＝＋，＝a，＝b，所以＝＋＝＋(－)＝＋＝－a＋b.
(2)由(1)知＝－a＋b，而＝＝b，而＝λ＋(1－λ)＝μ ＝－λa＋(1－λ)b＝μ，因为a与b不共线，由平面向量基本定理得解得μ＝，所以＝－a＋b，μ＝即为所求．
6．2.2　直线上向量的坐标及其运算
[新课程标准] [新学法解读]
1.理解直线上向量的坐标的定义及运算． 2．能运用直线上向量的坐标及长度公式进行相关的计算. 通过对直线上向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养；通过直线上向量坐标的运算，提升学生的数学运算素养.
笔记　　教材
1．直线上向量的坐标
(1)给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．如果直线上向量a的坐标为x，则x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向．事实上，此时|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|；而且，当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向相反．
(2)直线上向量的坐标还可以按如下方式来直观理解：如图所示，在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标．
如果数轴上一点A对应的数为x(记为A(x)，也称点A的坐标为x)，那么向量对应的坐标为x；反之，这一结论也成立．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
(1)假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e.当a＝b时，有x1e＝x2e，由e是单位向量可知x1＝x2；反之，结论也成立．
(2)因为a＋b＝x1e＋x2e＝(x1＋x2)e，所以a＋b的坐标是x1＋x2，a－b的坐标是x1－x2，ua＋vb的坐标是ux1＋vx2，ua－vb的坐标是ux1－vx2.
(3)数轴上两点之间的距离公式与数轴上的中点坐标公式
设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝||＝|x2－x1|.x＝.
自我　　排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)向量总是由它的起点和终点的相对位置确定．(√)
(2)在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．(√)
(3)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等．(√)
(4)直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(√)
　　　　　　　　　　　　　　
2．下列叙述正确的是(　　)
①单位向量e的方向就是数轴的正方向；②向量坐标的正负确定了向量的方向；③直线上向量的坐标是一个实数；④数轴上向量的坐标就是它的终点A的坐标．
A．① B．②③
C．①④ D．①②③④
解析：由直线上向量的坐标的定义知，①②③④都正确，故选D．
答案：D　
3．若数轴上A，B两点的坐标分别为2,5，则A，B两点的距离为(　　)
A．7 B．3 C．10 D．－3
解析：由数轴上两点之间的距离公式，得|AB|＝|5－2|＝3.
答案：B　
4．数轴上，A(x)，B(2)，若||＝1，则x＝________.
解析：由题意，知|x－2|＝1，即x－2＝±1，∴x＝3或x＝1.
答案：3或1　
5．数轴上A(2)，B(x)，AB的中点M(－1)，则x＝________.
解析：由题意得－1＝，∴x＝－4.
答案：－4　
研习 1 直线上的向量坐标
[典例1]　已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标：
(1)a＝2e，b＝－3e；
(2)a＝－e，b＝4e.
解：(1)∵e的坐标为1，又a＝2e，b＝－3e，
∴a的坐标为2，b的坐标为－3.
(2)∵e的坐标为1，又a＝－e，b＝4e，
∴a的坐标为－，b的坐标为4.
巧归纳
为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：
(1)将向量用单位向量表示出来；
(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．
[练习1]　如图所示，求出向量a，b的坐标．
解：因为向量a的起点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为－1；把向量b的起点平移到原点，则其终点坐标为2，故b的坐标为2.
研习 2 直线上向量坐标的线性运算
[典例2]　已知直线上向量a的坐标为－3，b的坐标为4，求下列向量的坐标：
(1)a－b；(2)b；(3)－2a＋3b.
解：(1)a－b的坐标为－3－4＝－7.
(2)b的坐标为×4＝.
(3)－2a＋3b的坐标为(－2)×(－3)＋3×4＝18.
巧归纳
若a，b的坐标分别为x1，x2，则
a＋b的坐标为x1＋x2，
a－b的坐标为x1－x2，
λa的坐标为λx1，
ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，
ua－vb的坐标为ux1－vx2.　
[练习2]　(1)已知直线上向量a的坐标为－8，b的坐标为3，则a＋b的坐标为________，b的坐标为________，－5a－6b的坐标为________．
(2)已知A，B都是数轴上的点，A(－3)，且的坐标为－5，求点B的坐标．
(1)解析：由题意易得a＋b的坐标为－8＋3＝－5，b的坐标为×3＝，－5a－6b的坐标为－5×(－8)－6×3＝22.
答案：－5　　22
(2)解：设B(x)，则x－(－3)＝－5，∴x＝－8，∴B的坐标为(－8)．
研习 3 数轴上两点之间的距离公式与
中点坐标公式[典例3]　已知A，B，C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点C的坐标．
(1)AC＝10；(2)||＝3||.
解：(1)∵AC＝10，∴|xC－xA|＝10，
∴xC＝xA±10，∴xC＝－12或8.
(2)∵||＝3||，∴|xC－xA|＝3|xC－xB|，
即|xC＋2|＝3|xC－6|，
∴xC＋2＝3(xC－6)或xC＋2＝－3(xC－6)，∴xC＝10或4.
巧归纳
注意题目中AC与的含义不一样，AC＝||＝|xC－xA|，解题时要注意区分，避免出错．
[练习3]　设数轴上两点A，B的坐标分别为2，－6，求：
(1)向量的坐标，以及A与B的距离；
(2)线段AB中点的坐标．
解：(1)由题意得的坐标为2，的坐标为－6，又因为＝－，所以的坐标为－6－2＝－8，而且AB＝||＝|－8|＝8.
(2)设线段AB中点的坐标为x，则x＝＝－2.
1．已知直线上，的坐标分别为－1,2，则下列结论不正确的是(　　)
A．<
B．||<||
C．||＝3
D．AB的中点坐标为
解析：向量不能比较大小，故A不正确．
答案：A　
2．数轴上向量a的模为1，则a的坐标为(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．不能确定
解析：设a的坐标为x，
∵|a|＝1，∴|xe|＝|x||e|＝|x|＝1，∴x＝±1.
答案：C　
3．数轴上点A(－3)关于点M(2)的对称点为B(x)，则x＝________.
解析：由题意知M是AB的中点，∴2＝，x＝7.
答案：7　
4．已知a，b是直线上的向量，a的坐标为1，且|3a－2b|＝1，求b的坐标．
解：设b的坐标为x，则|3×1－2x|＝1，即3－2x＝±1，
∴x＝1或x＝2，即向量b的坐标为1或2.
5．已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，点C是线段AB的中点，求下列条件下，，的坐标及A，B两点间的距离．
(1)x1＝2，x2＝－5.3；
(2)x1＝10，x2＝20.5.
解：(1)∵x1＝2，x2＝－5.3，
∴的坐标为－5.3－2＝－7.3，
的坐标为2－(－5.3)＝7.3，
由A，B两点的坐标分别为2，－5.3，得点C的坐标为＝－1.65，
故的坐标为－1.65－2＝－3.65，
A，B两点间的距离为|x2－x1|＝|－5.3－2|＝7.3.
(2)∵x1＝10，x2＝20.5，
∴的坐标为20.5－10＝10.5，
的坐标为10－20.5＝－10.5，
由A，B两点的坐标分别为10,20.5，得点C的坐标为＝15.25，
故的坐标为15.25－10＝5.25，
A，B两点间的距离为|x1－x2|＝|10－20.5|＝10.5.
课时作业(三十)　直线上向量的坐标及其运算
1．已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则的坐标与||分别是(　　)
A．－3,3 B．3,3
C．3，－3 D．－6,6
答案：B　
2．设a，b为不共线向量，＝a＋b，＝－4a－b，＝－5a－2b，则下列关系式中正确的是(　　)
A．＝ B．＝2
C．＝－ D．＝－2
答案：B
3．数轴上A，B的坐标分别是3，－2，则3＋4(O为原点)的坐标为(　　)
A．17 B．1
C．－1 D．－17
答案：B
4．已知数轴上两点M，N，且||＝4.若xM＝－3，则xN等于(　　)
A．1 B．2
C．－7 D．1或－7
答案：D
5．已知直线上向量a，b的坐标分别为－1,3，则下列向量与a同向的是(　　)
A．a＋b B．a－b
C．a＋2b D．3b
答案：B
6．(多选)数轴上的点A，B，C的坐标分别为－1，1,5，则下列结论正确的是(　　)
A．的坐标是2 B．＝－3
C．的坐标是4 D．＝2
答案：ABD
7．(多选)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，b＝e，则下列说法正确的是(　　)
A．a＝－b B．b＝－a
C．a＋b的坐标为0 D．|a||b|＝1
答案：BD
8．已知数轴上点A，点B的坐标分别为1,3，则的坐标为________，的坐标为________．
答案：2　－2
9．在数轴Ox上，已知＝－3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量的坐标为________．
解析：由＝－3e，得点A的坐标为－3，则的坐标为3－(－3)＝6.
答案：6　
10．已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，的坐标为2，的坐标为8，则点N的坐标为________．
解析：设M，N两点的坐标分别为x1，x2，∵点P的坐标是5，的坐标为2，的坐标为8，
∴解得故点N的坐标为11.
答案：11　
11．数轴上三点A，B，C的坐标分别为1，－1，－5，则＋的坐标为________，||＋||＝________.
解析：＋的坐标为－6＋(－4)＝－10，||＋||＝6＋4＝10.
答案：－10　10　
12．已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝－5，的坐标为－3；
(2)x2＝－1，||＝2.
解：(1)因为x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.
(2)因为||＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.
13．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.
(1)若的坐标为5，求c的值．
(2)若||＝6，求d的值．
解：(1)因为的坐标为5，所以c－(－4)＝5，所以c＝1.
(2)因为||＝6，所以|d－(－2)|＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，所以d＝4或d＝－8.
14．已知A，B是数轴上的点，线段AB的中点为M，且M(3)，向量的坐标为－4，求A与B的距离．
解：由题意，的坐标为3，的坐标为－4，又＝－，所以的坐标为－1，
设A(x)，则＝3，所以x＝7，
所以AB＝|－1－7|＝8.
6．2.3　平面向量的坐标及其运算
第1课时　平面向量的坐标、平面上向量的运算与坐标的关系
[新课程标准] [新学法解读]
1.理解平面向量的坐标的定义，掌握平面向量的运算分解及其坐标表示． 2．掌握平面向量的运算与坐标的关系. 通过对平面向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养；通过平面向量的坐标运算，提升学生的数学运算素养.
笔记　　教材
1．平面向量的坐标
(1)向量垂直
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b，并规定零向量与任意向量都垂直．
(2)正交基底、向量的正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
(3)平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R)．
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
自我　　排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)平面直角坐标系可理解为：在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2)的模为单位长度建立平面直角坐标系．(√)
(2)平面向量的坐标等于它的终点的坐标．(?)
提示：平面向量的起点在原点时正确，否则不正确．
(3){e1，e2}(e1⊥e2，|e1|＝|e2|＝1)是平面向量的基底．(√)
2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
解析：A．e1＝(0,0)，e1∥e2，e1，e2不可以作为平面的基底，不能表示出a；B．由于≠，e1，e2不共线，e1，e2可以作为平面的基底，能表示出a；C．e2＝2e1，e1∥e2，e1，e2 不可以作为平面的基底，不能表示出a；D．e＝－e1，e1∥e2，e1，e2不可以作为平面的基底，不能表示出a.故选B．
答案：B　
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是________．
解析：3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(3,0)－(－1,2)＝(4，－2)．
答案：(4，－2)　
4．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是________．
解析：＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．
答案：(－1,2)　
5．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示为a＝________.
解析：由向量坐标的定义知a＝(1，－2)．
答案：(1，－2)　
研习 1 确定平面向量的坐标
[典例1]　 已知边长为1的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AB与x轴正半轴成30°角．
(1)求点B和点D的坐标与的坐标；
(2)求||.
解：(1)设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
则x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，
所以B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
所以D.
所以＝，＝.
(2)由勾股定理，得||＝＝.
巧归纳
确定平面向量坐标的常用方法
(1)将向量用单位向量e1，e2表示出来；
(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标；
(3)已知两点求向量的坐标时，(共25张PPT)
第六章　平面向量初步
章末总结
体系整体构建 知识宏观把握
核心专题研究 要点纵横链接
2门世2有
3厚(共29张PPT)
第六章　平面向量初步
综合微评(三)
时间：120分钟　满分：150分
2门世2有
3厚

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