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2025年广东省八年级数学下册预测押题卷(1)（人教版）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2024八下·湖北月考）下列各式中，二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023八下·丛台月考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·西安期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·东港月考）如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·南山期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·旌阳期中）等式成立的x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·开封期末）如图，平行四边形中，，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为7，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024八下·孝昌期末）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（　　）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
9．（2024八下·秀屿月考）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）cm．
A．14 B．15 C．16 D．17
10．（2024八下·北京市期中）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024八下·沂水期中）如图所示的网格是正方形网格，则＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）.
12．（2024八下·南阳月考）函数中自变量x的取值范围是　 　．
13．（2023八下·耒阳期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　 　．
14．（2024八下·甘井子期末）我国2024年六五环境日的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在提高人们保护生态环境意识，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容包含保护“自然环境”，“人类环境”，“生态环境”，“地球生物”四个项目，小红四项成绩（百分制）依次是95，90，85，100.若以上四个项目按的比确定综合成绩，则小红的综合成绩为　 　分．
15．（2023八下·丰润期末）如图，点E在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点F．若，，则下列结论：①；②；③点B到直线的距离为；④．其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（一）：本大题共3小题，共14分.
16．（2024八下·东莞期中）计算：
17．（2024八下·惠州期中）计算：．
18．（2024八下·越秀期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题（二）：本大题共3小题，共33分.
19．（2024八下·胶州期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______．
20．（2023八下·伊川期末）综合与实践
圆圆和方方想去石家庄或者天津过春节，为了了解这两个城市气温情况，他们查阅资料，收集了两个城市2023年一月份前10天最低气温的记录，如下表：
日期（一月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
石家庄最低温度/
天津最低温度/ －6
根据上表，他们对这两个城市的最低气温进行了整理分析：
城市 平均数/ 中位数/ 众数/
石家庄 a b
天津 d
回答如下问题
（1）上述表格中； ______， ______， ______， ______；
（2）请通过计算判断这两个城市中哪个城市一月上旬气温更加稳定．
21．（2022八下·偃师期末）临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．
（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如图所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
为期末加油！
2B涂卡铅笔 4元/支
黑色水笔 2.5元/支
五、解答题（三）：本大题共2小题，共28分.
22．（2024八下·东莞期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至（点B与点A对应，点C与点D对应），连接．
（1）①直接写出点D的坐标为________；
②判断四边形的形状，并证明你的结论；
（2）如图1，点E为边上一点，连接，平分交于F，连接．若，求的长；
（3）如图2，N为边的中点．若，连接，请直接写出的取值范围．
23．（2021八下·曾都期末）在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.
（1）（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上， ，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为　 　（直接写出结果）.
（2）（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：
思路一：过点A作 ，交CD的延长线于点G.
思路二：过点A作 ，并截取 ，连接DG.
思路三：延长CD至点G，使 ，连接AG.
请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.
（3）（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且 ， ，设 ，试用含 的代数式表示DF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
2．【答案】B
【知识点】矩形的判定
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
4．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
5．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：当时，，
∴不等式的解集为，
故选：A．
【分析】
通过观察函数图象，确定当函数值小于等于0时，自变量x的取值范围。这个范围就是不等式的解集。
6．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；偶次方的非负性；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
根据二次根式的双重非负性和偶次方的非负性可得：
，
解得：，
在数轴上表示出不等式组的解集为：
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的双重非负性以及偶次方的非负性列出不等式组，解不等式组即可求解．
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，结论正确，此选项不符合题意；
B、观察折线统计图知，15出现了3次，次数最多，即众数是15天，结论正确，此选项不符合题意；
C、观察折线统计图知，把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，结论正确，此选项不符合题意；
D、观察折线统计图知，这组数据的平均数为：≠15，结论错误，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图并结合中位数、众数、平均数的意义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”依次判断即可求解．
9．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
11．【答案】45
【知识点】勾股定理
12．【答案】且
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0且分母不能为零得出x-1＞0，根据零指数幂的底数不等于0得出x-2≠0，联立两不等式，求解即可.
13．【答案】4.8
【知识点】矩形的性质
14．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
15．【答案】①②④
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
16．【答案】【解答】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
根据二次根式的混合运算的运算顺序，先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再把所得结果合并即可．
17．【答案】解： ，
，
，
.
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题关键．平方差公式：，利用平方差公式，绝对值的意义进行计算，即可得出答案．
18．【答案】解：如图，AE即为的角平分线，
猜想：DF=3BF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∴
∵AC=2AB
∴AO=AB
∵AE是的角平分线
∴
∴
∴．
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质.根据角平分线的作法进行作图，可作出的角平分线；根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得出.，由AC=2AB得出AO=AB，根据AE是的角平分线，利用等腰三角形的性质得出，进而可得：，利用线段的运算可得：，再进行化简可证明结论．
19．【答案】（1）解：甲方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO=FO，
∵BO=DO，EO=FO，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴BO=DO.
∵于点于点，
∴，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO(AAS)
∴EO=FO，
∴四边形是平行四边形；
（2）50
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）由（1）得四边形BEDF是平行四边形，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴AE=CF.
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
【分析】（1）甲方案，连接BD，由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，再结合题意得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
乙方案，连接BD，证明△BEO≌△DFO，可得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
（2）证明AE=CF，结合题意即可得到，然后再由平行四边形的性质和三角形面积关系得，即可解决问题．
（1）解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：∵于点于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
20．【答案】（1），，，
（2）石家庄一月上旬气温更加稳定
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
21．【答案】（1）解：设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为（x-1）元，
由题意可得： ，
解得，x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解，
∴每支铅笔3元，每支水笔2元．
（2）解：设购进铅笔a支，则购进水笔（2a+60）支，
由题意可得，a+2a+60≤360，
解得 a≤100，
总利润W=（4-3）a+（2.5-2）（2a+60）
=2a+30
∵k=2>0，
∴W随a的增大而增大，
故当a=100时，利润最大，最大利润=2×100+30=230（元），
所以商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为(x-1)元，用600元购进铅笔的数量为支，用400元购进水笔的数量为支，然后根据数量相同列出方程，求解即可；
（2）设购进铅笔a支，则购进水笔(2a+60)支，根据总数量不超过360支可得a+2a+60≤360，求出a的范围，根据(售价-进价)×数量=利润可得W与a的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）①；②见解析；（2）；（3）．
（1）① （2，6）；
② 解：依题意，，
即四边形为平行四边形，
过点作轴于G，
由，得，
∴，
同理可以得到∠ABO=45°
∴，
∴四边形为矩形
（2）解：在上取点H，使DH=DE，
∵DF平分∠EDC
∴∠CDF=∠EDF
在△DEF和△DHF中
∴，
∴，DH=DE，，
∴，
∴∠EFB+∠HFC=90°
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠BCD=90°
∴∠EFB+∠FEB=90°
∵∠EFB+∠HFC=90°
∴∠HFC=∠FEB
在△EBF和△FCH中
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，
，
即，
解得，即．
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）①解：∵AD是BC平移得到，A（0，4），B（4，0），C（6，2），
∴平移方式为向左平移4个单位，向上平移4个单位
∴D的坐标为（6-4，2+4）即（2，6）
（3）如图所示，连接AC，BD交于P，连接MP，NP
由（2）得，
∴
∵四边形ABCD是矩形，N为BC的中点
∴P为AC的中点，，
∵∠AMC=90°
∴
由三角形的三边关系可知，当M、P、N能组成三角形时
，
当M、P、N三点共线时
可以得到或
∴
【分析】
（1）①根据AD是BC平移得到，根据AB两点的坐标确定平移方式，然后求出C点坐标即可；②根据平移的性质可得AD=BC，AD∥BC，即可判断四边形为平行四边形，再根据点的坐标易得，从而可以得到，即可得出结论；
（2）在上取点H，使DH=DE，然后根据“SAS”和“AAS”分别证明，，再利用勾股定理求解即可得到答案；
（3）如图所示，连接AC，BD交于P，连接MP，NP，分别求出，，然后利用三角形三边的关系求解即可得到答案.
23．【答案】（1）EF=BE+DF
（2）解：过点A作 ，交CD的延长线于点G.
在正方形ABCD中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴
（3）解：连接EF，设DF的长为 ，
∵BE=a，
∴ ，
∴ ，
根据【验证猜想】可得 ，
在 中，根据勾股定理得，
，
∴ ，即DF的长为
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】（1）【探究发现】 .
【分析】（1）【探究发现】 .
（2）（验证猜想） 过点A作 ，交CD的延长线于点G. 先证明 ，可得 ， ， 再证明 ，可得，即得；
（3）（迁移应用）连接EF，设DF的长为，可得 ，根据【验证猜想】可得 ， 在 中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
1 / 12025年广东省八年级数学下册预测押题卷(1)（人教版）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2024八下·湖北月考）下列各式中，二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
2．（2023八下·丛台月考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定
3．（2024八下·西安期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
4．（2024八下·东港月考）如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
5．（2024八下·南山期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：当时，，
∴不等式的解集为，
故选：A．
【分析】
通过观察函数图象，确定当函数值小于等于0时，自变量x的取值范围。这个范围就是不等式的解集。
6．（2024八下·旌阳期中）等式成立的x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；偶次方的非负性；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
根据二次根式的双重非负性和偶次方的非负性可得：
，
解得：，
在数轴上表示出不等式组的解集为：
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的双重非负性以及偶次方的非负性列出不等式组，解不等式组即可求解．
7．（2024八下·开封期末）如图，平行四边形中，，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为7，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
8．（2024八下·孝昌期末）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（　　）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，结论正确，此选项不符合题意；
B、观察折线统计图知，15出现了3次，次数最多，即众数是15天，结论正确，此选项不符合题意；
C、观察折线统计图知，把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，结论正确，此选项不符合题意；
D、观察折线统计图知，这组数据的平均数为：≠15，结论错误，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图并结合中位数、众数、平均数的意义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”依次判断即可求解．
9．（2024八下·秀屿月考）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）cm．
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
10．（2024八下·北京市期中）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024八下·沂水期中）如图所示的网格是正方形网格，则＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）.
【答案】45
【知识点】勾股定理
12．（2024八下·南阳月考）函数中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0且分母不能为零得出x-1＞0，根据零指数幂的底数不等于0得出x-2≠0，联立两不等式，求解即可.
13．（2023八下·耒阳期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　 　．
【答案】4.8
【知识点】矩形的性质
14．（2024八下·甘井子期末）我国2024年六五环境日的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在提高人们保护生态环境意识，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容包含保护“自然环境”，“人类环境”，“生态环境”，“地球生物”四个项目，小红四项成绩（百分制）依次是95，90，85，100.若以上四个项目按的比确定综合成绩，则小红的综合成绩为　 　分．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
15．（2023八下·丰润期末）如图，点E在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点F．若，，则下列结论：①；②；③点B到直线的距离为；④．其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
三、解答题（一）：本大题共3小题，共14分.
16．（2024八下·东莞期中）计算：
【答案】【解答】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
根据二次根式的混合运算的运算顺序，先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再把所得结果合并即可．
17．（2024八下·惠州期中）计算：．
【答案】解： ，
，
，
.
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题关键．平方差公式：，利用平方差公式，绝对值的意义进行计算，即可得出答案．
18．（2024八下·越秀期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，AE即为的角平分线，
猜想：DF=3BF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∴
∵AC=2AB
∴AO=AB
∵AE是的角平分线
∴
∴
∴．
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质.根据角平分线的作法进行作图，可作出的角平分线；根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得出.，由AC=2AB得出AO=AB，根据AE是的角平分线，利用等腰三角形的性质得出，进而可得：，利用线段的运算可得：，再进行化简可证明结论．
四、解答题（二）：本大题共3小题，共33分.
19．（2024八下·胶州期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______．
【答案】（1）解：甲方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO=FO，
∵BO=DO，EO=FO，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴BO=DO.
∵于点于点，
∴，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO(AAS)
∴EO=FO，
∴四边形是平行四边形；
（2）50
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）由（1）得四边形BEDF是平行四边形，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴AE=CF.
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
【分析】（1）甲方案，连接BD，由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，再结合题意得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
乙方案，连接BD，证明△BEO≌△DFO，可得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
（2）证明AE=CF，结合题意即可得到，然后再由平行四边形的性质和三角形面积关系得，即可解决问题．
（1）解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：∵于点于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
20．（2023八下·伊川期末）综合与实践
圆圆和方方想去石家庄或者天津过春节，为了了解这两个城市气温情况，他们查阅资料，收集了两个城市2023年一月份前10天最低气温的记录，如下表：
日期（一月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
石家庄最低温度/
天津最低温度/ －6
根据上表，他们对这两个城市的最低气温进行了整理分析：
城市 平均数/ 中位数/ 众数/
石家庄 a b
天津 d
回答如下问题
（1）上述表格中； ______， ______， ______， ______；
（2）请通过计算判断这两个城市中哪个城市一月上旬气温更加稳定．
【答案】（1），，，
（2）石家庄一月上旬气温更加稳定
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
21．（2022八下·偃师期末）临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．
（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如图所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
为期末加油！
2B涂卡铅笔 4元/支
黑色水笔 2.5元/支
【答案】（1）解：设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为（x-1）元，
由题意可得： ，
解得，x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解，
∴每支铅笔3元，每支水笔2元．
（2）解：设购进铅笔a支，则购进水笔（2a+60）支，
由题意可得，a+2a+60≤360，
解得 a≤100，
总利润W=（4-3）a+（2.5-2）（2a+60）
=2a+30
∵k=2>0，
∴W随a的增大而增大，
故当a=100时，利润最大，最大利润=2×100+30=230（元），
所以商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为(x-1)元，用600元购进铅笔的数量为支，用400元购进水笔的数量为支，然后根据数量相同列出方程，求解即可；
（2）设购进铅笔a支，则购进水笔(2a+60)支，根据总数量不超过360支可得a+2a+60≤360，求出a的范围，根据(售价-进价)×数量=利润可得W与a的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
五、解答题（三）：本大题共2小题，共28分.
22．（2024八下·东莞期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至（点B与点A对应，点C与点D对应），连接．
（1）①直接写出点D的坐标为________；
②判断四边形的形状，并证明你的结论；
（2）如图1，点E为边上一点，连接，平分交于F，连接．若，求的长；
（3）如图2，N为边的中点．若，连接，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）①；②见解析；（2）；（3）．
（1）① （2，6）；
② 解：依题意，，
即四边形为平行四边形，
过点作轴于G，
由，得，
∴，
同理可以得到∠ABO=45°
∴，
∴四边形为矩形
（2）解：在上取点H，使DH=DE，
∵DF平分∠EDC
∴∠CDF=∠EDF
在△DEF和△DHF中
∴，
∴，DH=DE，，
∴，
∴∠EFB+∠HFC=90°
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠BCD=90°
∴∠EFB+∠FEB=90°
∵∠EFB+∠HFC=90°
∴∠HFC=∠FEB
在△EBF和△FCH中
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，
，
即，
解得，即．
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）①解：∵AD是BC平移得到，A（0，4），B（4，0），C（6，2），
∴平移方式为向左平移4个单位，向上平移4个单位
∴D的坐标为（6-4，2+4）即（2，6）
（3）如图所示，连接AC，BD交于P，连接MP，NP
由（2）得，
∴
∵四边形ABCD是矩形，N为BC的中点
∴P为AC的中点，，
∵∠AMC=90°
∴
由三角形的三边关系可知，当M、P、N能组成三角形时
，
当M、P、N三点共线时
可以得到或
∴
【分析】
（1）①根据AD是BC平移得到，根据AB两点的坐标确定平移方式，然后求出C点坐标即可；②根据平移的性质可得AD=BC，AD∥BC，即可判断四边形为平行四边形，再根据点的坐标易得，从而可以得到，即可得出结论；
（2）在上取点H，使DH=DE，然后根据“SAS”和“AAS”分别证明，，再利用勾股定理求解即可得到答案；
（3）如图所示，连接AC，BD交于P，连接MP，NP，分别求出，，然后利用三角形三边的关系求解即可得到答案.
23．（2021八下·曾都期末）在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.
（1）（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上， ，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为　 　（直接写出结果）.
（2）（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：
思路一：过点A作 ，交CD的延长线于点G.
思路二：过点A作 ，并截取 ，连接DG.
思路三：延长CD至点G，使 ，连接AG.
请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.
（3）（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且 ， ，设 ，试用含 的代数式表示DF的长.
【答案】（1）EF=BE+DF
（2）解：过点A作 ，交CD的延长线于点G.
在正方形ABCD中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴
（3）解：连接EF，设DF的长为 ，
∵BE=a，
∴ ，
∴ ，
根据【验证猜想】可得 ，
在 中，根据勾股定理得，
，
∴ ，即DF的长为
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】（1）【探究发现】 .
【分析】（1）【探究发现】 .
（2）（验证猜想） 过点A作 ，交CD的延长线于点G. 先证明 ，可得 ， ， 再证明 ，可得，即得；
（3）（迁移应用）连接EF，设DF的长为，可得 ，根据【验证猜想】可得 ， 在 中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
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