资源简介

2024-2025学年北师大版八年级下册数学期末考试押题卷（1）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八下·婺城期中）下列扑克牌中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（广东省深圳市红岭教育集团2024—2025学年下学期八年级期中考试数学试卷）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．用反证法证明 “若实数 满足 ， 则 中至少有一个是 0 ”时，应先假设（　　）
A． 中至多有一个是 0 B． 中至少有两个是 0
C． 都不等于 0 D． 都等于 0
4．（2025八下·越城期中）如图，是三角形的中位线，且，若，，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2025八下·叙州月考）已知关于的分式方程无解，则的值为（　　）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
6．（2025八下·深圳期中）如图，直线y=-2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(-1，m)，则关于×的不等式-2x+2A．x>-1 B．x<-1 C．x≦-1 D．x≧-1
7．（2025八下·诸暨期中）淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2025八下·慈溪期中）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE=CE；②S平行四边形ABCD=AB×AC；③S△ABC=2S△ACE；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（广东省深圳市65校联考2024—2025学年下学期八年级期中质量检测数学试卷）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是　 　．
10．（四川省成都市铁路中学校2024-2025学年 八年级下学期期中数学试题）若分式的值为0，则的值为　 　．
11．（2024八下·深圳期中）如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是　 　．
12．（2025八下·余姚期中）如图， ABCD中，为对角线，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则的长为　 　．
13．（2024八下·宁波期中）实数满足，且则　 　．
14．（2024八下·余姚期中）如图，O是平面直角坐标系原点，AB∥OC，AO⊥OC，AB=1，OC=4，P为线段AO上一个动点，连结PB并延长至点E，使得点E落在直线x=2上，以PE，PC为邻边作平行四边形PEFC，则对角线PF的最小值为　 　.
三、作图题（共4分）
15．（2024八下·金水期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
四、解答题（共9题，共74分）
16．（2025八下·宝安月考）解不等式组，并在数轴上把解集表示出来，并求（2）的整数解．
（1）；
（2）．
17．（2024八下·宝安期中）因式分解：
（1）；
（2）．
18．（2019八下·博罗期中）先化简，再求值： ，其中 满足 .
19．（2024八下·沈阳月考）如图，在中，D为边上一点，，交的延长线于点E，，垂足为F，且．
（1）求证：；
（2）若点D是的中点，求的度数．
20．（2024八下·郑州月考）“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
21．（2025八下·深圳期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：.
反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数-1，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式： ▲ ．
（2）理解与应用
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① ▲ ；
② ▲ ．
（3）探究与拓展
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成mn乘积作为一列，分解成pq乘积作为第二列，分解成jk乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
①分解因式 ▲ ．
②若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
22．（2024八下·河东月考）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
23．（2024八下·南山期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
（1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数．
解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形．
∵，
∴
∴为 三角形．
∴的度数为 ．
（2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长；
（3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点，求的度数．
24．（2024八下·光明期末）（1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：．
（2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接．
①________°；
②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）
（3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】对于A，B，D上下图案不一样，无法旋转180°重合，C可以旋转180°重合，故选C.
【分析】直接验证选项中的图案旋转180°后是否与原图形重合更可知结果.
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、因 18 4 3是单项式，不符合因式分解得定义，故A错误；
B、( +2 ) ( 2 ) = 2 4 是从乘积形式展开为多项式，属于整式乘法，而非因式分解，故B错误；
C、 右边 ( +2 ) +1 是和的形式而非乘积形式，不符合因式分解的结构要求，故C错误；
D、 2 8 +16 = ( 4 )2 将多项式分解为两个相同二项式的乘积，满足因式分解的所有条件，故D正确。
故答案为：D.
【分析】 因式分解的定义是将一个多项式转化为几个整式的乘积形式，需满足以下条件：①左边是多项式；②右边是乘积形式；③分解过程是恒等变形。
3．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：a，b是否等于0总共有①a等于0，b不等于0；②a不等于0，b等于0；③a、b都等于0；④a、b都不等于0四种情况，命题结论中“a，b中至少有一个是0”包含了前面三种情况，故用反证法应设a、b都不等于0.
故答案为：C
【分析】当直接证明一个命题为真有困难时，我们可采用反证法证明，可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=
∵∠AFB=90°，D为AB的中点
∴DF=
EF=DE-DF==2
故答案为：C.
【分析】由中位线定理知DE=，由直角三角形斜边的中线等于斜边一半得DF的长，相减即可得EF的长.
5．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：，
整理得：，
∴当，即时，方程无解；
当时，由分式方程无解，
∴，
解得：，
把代入，
解得：，
综上，m的值为1或4．
故答案为：D．
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可求解．
6．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+2与直线y=kx+b相交于点A(-1，m)
∴-2x+2故答案为：B
【分析】当直线y=-2x+2在直线y=kx+b下方时，有-2x+27．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形每一个内角为120°
∴∠ACB=120°-80°=40°
∴∠CAB=180°-120°=60°
∴图3中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°，
∴
故答案为：C.
【分析】利用正多边形的内角和外角性质，通过计算三角形的内角来推导出正多边形的内角，进而求解正多边形的边数.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，故①正确；
∵∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，故②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE=S△ACE，
∴S△ABC=2S△ACE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴
∵，
∴，故④正确；
故正确的个数为4个，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=AB=BE，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可.
9．【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为：17．
故答案为17．
【分析】根据绝对值，二次根式的非负性可得x，y值，再根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形三边关系即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，且，
解得，
故答案为：．
【分析】根据分式的值为零的条件"分子为零，分母不为零"可得关于x的方程和不等式，解之即可求解．
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为x＞2，
∴a≤2；
故答案为：a≤2.
【分析】根据已知解集，由“同大取大”法则判断即可确定出a的范围.
12．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接BE.
根据题意，可设
∵四边形ABCD 是平行四边形，
在 中， 由勾股定理，得
解得 即
故答案为：5.
【分析】根据作图MN是线段AB的垂直平分线，则有MA=MB，在 中，利用勾股定理解题即可.
13．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，且，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】把代入可得，即可求出a、b、c的值，然后代入计算解题．
14．【答案】16
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，连接PF，
∵ 四边形PEFC是平行四边形，
∴PE=CF，PE∥CF
∴∠FCN =∠ETC，
∵∠MEP=∠ETC，
∴∠FCN =∠MEP，
∵FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，
∴∠EMP=∠FNC =90°，
∴△EMP≌△CNF，
∴EM=CN=2，
∴ON=OC+CN=4+2=6，
当PF⊥FN时，PF的值最小，此时PF=ON=6，
PF的最小值为6.
故答案为6.
【分析】本题先通过作FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，构造出△EMP≌△CNF，从而得出EM=CN=2，求出ON的长度，因为PP为线段AO上一个动点，所以根据垂线段最段，当PF⊥FN时，PF的值最小.
15．【答案】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到DB＝DA，由等边对等角得∠DAB＝∠B＝30°，由三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，然后根据角的和差求出∠CAD=80°，再利用角平分线的定义即可求解．
16．【答案】（1）解：
解①式得：，
解②式得：，
不等式组无解，
数轴上表示如下：
（2）解：
解①式得：，
解②式得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
原不等式组的整数解为．

【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）先分别求出不等式的解集即可得出不等式组无解，再在数轴上把解集表示出来，
（2）先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，则原不等式组的整数解为．
（1）解：
解①式得：，
解②式得：，
故不等式组无解，
数轴上表示如下：
（2）解：
解①式得：，
解②式得：，
故不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
其整数解为：．
17．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因数，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
18．【答案】解：原式=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
解得：a=-1，b= ，
则原式=-
【知识点】分式的化简求值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
19．【答案】（1）证明：，交的延长线于点，，垂足为，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，即，
．
（2）解：点是的中点，
，
，
，
由（1）得，
，
是等边三角形，
，
的度数是．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再根据角之间的关系可得，则，即可求出答案.
（2）根据线段中点可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：，
解得：．
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
（2）解：设购进腊梅m束，则购进百合束，
根据题意得：，
解得：，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，（元），
此时（束）．
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可．
21．【答案】（1）或
（2）①；
②
（3）①
②由阅读材料可知：
或．
所以
或，
答：的值为54或-89.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（2）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（3）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图，过作，
，，，
是直角三角形
∴
解得：
答：山地C距离公路的垂直距离为
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，
由（1）可知，
有危险需要暂时封锁
由作图可知：
=
在中
即需要封锁的公路长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据等积法，求出CD即可.
（2）由（1）可知，<260，可以得出有危险需要暂时封锁，再根据作图可得，根据等腰三角形三线合一和勾股定理，求出DE的长即可.
23．【答案】（1）等边，直角，150度
（2）解：如图1，把绕点B顺时针旋转90°得到
则，
∵旋转角是，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，；
（3）解：将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）将绕点A旋转到的位置，连接，则是等边三角形．
∵，
∴，
∴∠BPP'=90°
∴为直角三角形．
∴∠APB=∠BPP'+∠APP'=90°+60°=150°
故答案为：等边，直角，150度；
【分析】
本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，根据旋转构造辅助线是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质：三边形相等，三个角都是60°可知：∠BAC=60°，再根据旋转的性质金可知：∠CAB为i旋转角，AP=AP'，再根据等边三角形的判定方法：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得到是等边三角形，再根据勾股定理逆定理，可知：为直角三角形，即∠BPP'=90°，由角的和差运算可知：∠APB=∠BPP'+∠APP'=90°+60°=150°，即可得出答案；
（2）把绕点B顺时针旋转90°得到，由旋转的性质可知：，可得出：是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可知： ， ，再通过角的和差运算可知：，最后利用勾股定理：在中，，即可得出答案；
（3）将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，根据旋转的性质可知：，再根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知：，根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：，再根据等腰直角三角形三边之比可知：，再利用勾股定理及其逆定理，得到是直角三角形，且，最后根据角的和差运算可知：，即可得出答案．
24．【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在△ACD和△BCE中
∴（SAS）；
（2）①同理可证：，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABC-∠EBC+∠BAC+∠CAF
=∠CAF+∠CBE=60°+60°=120°，
∴；
②，理由如下：
过点C作，于点M，N，
由（1）得，，
∴
∴，
∴，
在上截取，连接，
则△CFH是等边三角形，
∴CH=CF=FH，∠FCH=∠BCA=60°，
∴，
在△BCH和△ACF中
∴（SAS），
∴，
∴；
（3）如图，在上找一点，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，即，
在△ABG和△ACD中
∴（SAS），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴S△ABF-S△CDF=S△ABD-S△ADF
=S△ABD-S△ABG
=S△AGD
=DG·AE
=×6×
=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，用边角边证明即可求解；
（2）①同理可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后由角的和差和三角形的内角和定理计算即可求解；
②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论；
（3）在上找一点，使得，连接，用边角边可证，即可得到，再用勾股定理得到长，然后根据三角形的面积的构成计算即可求解．
1 / 12024-2025学年北师大版八年级下册数学期末考试押题卷（1）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八下·婺城期中）下列扑克牌中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】对于A，B，D上下图案不一样，无法旋转180°重合，C可以旋转180°重合，故选C.
【分析】直接验证选项中的图案旋转180°后是否与原图形重合更可知结果.
2．（广东省深圳市红岭教育集团2024—2025学年下学期八年级期中考试数学试卷）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、因 18 4 3是单项式，不符合因式分解得定义，故A错误；
B、( +2 ) ( 2 ) = 2 4 是从乘积形式展开为多项式，属于整式乘法，而非因式分解，故B错误；
C、 右边 ( +2 ) +1 是和的形式而非乘积形式，不符合因式分解的结构要求，故C错误；
D、 2 8 +16 = ( 4 )2 将多项式分解为两个相同二项式的乘积，满足因式分解的所有条件，故D正确。
故答案为：D.
【分析】 因式分解的定义是将一个多项式转化为几个整式的乘积形式，需满足以下条件：①左边是多项式；②右边是乘积形式；③分解过程是恒等变形。
3．用反证法证明 “若实数 满足 ， 则 中至少有一个是 0 ”时，应先假设（　　）
A． 中至多有一个是 0 B． 中至少有两个是 0
C． 都不等于 0 D． 都等于 0
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：a，b是否等于0总共有①a等于0，b不等于0；②a不等于0，b等于0；③a、b都等于0；④a、b都不等于0四种情况，命题结论中“a，b中至少有一个是0”包含了前面三种情况，故用反证法应设a、b都不等于0.
故答案为：C
【分析】当直接证明一个命题为真有困难时，我们可采用反证法证明，可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
4．（2025八下·越城期中）如图，是三角形的中位线，且，若，，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=
∵∠AFB=90°，D为AB的中点
∴DF=
EF=DE-DF==2
故答案为：C.
【分析】由中位线定理知DE=，由直角三角形斜边的中线等于斜边一半得DF的长，相减即可得EF的长.
5．（2025八下·叙州月考）已知关于的分式方程无解，则的值为（　　）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：，
整理得：，
∴当，即时，方程无解；
当时，由分式方程无解，
∴，
解得：，
把代入，
解得：，
综上，m的值为1或4．
故答案为：D．
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可求解．
6．（2025八下·深圳期中）如图，直线y=-2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(-1，m)，则关于×的不等式-2x+2A．x>-1 B．x<-1 C．x≦-1 D．x≧-1
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+2与直线y=kx+b相交于点A(-1，m)
∴-2x+2故答案为：B
【分析】当直线y=-2x+2在直线y=kx+b下方时，有-2x+27．（2025八下·诸暨期中）淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形每一个内角为120°
∴∠ACB=120°-80°=40°
∴∠CAB=180°-120°=60°
∴图3中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°，
∴
故答案为：C.
【分析】利用正多边形的内角和外角性质，通过计算三角形的内角来推导出正多边形的内角，进而求解正多边形的边数.
8．（2025八下·慈溪期中）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE=CE；②S平行四边形ABCD=AB×AC；③S△ABC=2S△ACE；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，故①正确；
∵∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，故②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE=S△ACE，
∴S△ABC=2S△ACE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴
∵，
∴，故④正确；
故正确的个数为4个，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=AB=BE，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（广东省深圳市65校联考2024—2025学年下学期八年级期中质量检测数学试卷）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是　 　．
【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为：17．
故答案为17．
【分析】根据绝对值，二次根式的非负性可得x，y值，再根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形三边关系即可求出答案.
10．（四川省成都市铁路中学校2024-2025学年 八年级下学期期中数学试题）若分式的值为0，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，且，
解得，
故答案为：．
【分析】根据分式的值为零的条件"分子为零，分母不为零"可得关于x的方程和不等式，解之即可求解．
11．（2024八下·深圳期中）如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为x＞2，
∴a≤2；
故答案为：a≤2.
【分析】根据已知解集，由“同大取大”法则判断即可确定出a的范围.
12．（2025八下·余姚期中）如图， ABCD中，为对角线，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接BE.
根据题意，可设
∵四边形ABCD 是平行四边形，
在 中， 由勾股定理，得
解得 即
故答案为：5.
【分析】根据作图MN是线段AB的垂直平分线，则有MA=MB，在 中，利用勾股定理解题即可.
13．（2024八下·宁波期中）实数满足，且则　 　．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，且，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】把代入可得，即可求出a、b、c的值，然后代入计算解题．
14．（2024八下·余姚期中）如图，O是平面直角坐标系原点，AB∥OC，AO⊥OC，AB=1，OC=4，P为线段AO上一个动点，连结PB并延长至点E，使得点E落在直线x=2上，以PE，PC为邻边作平行四边形PEFC，则对角线PF的最小值为　 　.
【答案】16
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，连接PF，
∵ 四边形PEFC是平行四边形，
∴PE=CF，PE∥CF
∴∠FCN =∠ETC，
∵∠MEP=∠ETC，
∴∠FCN =∠MEP，
∵FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，
∴∠EMP=∠FNC =90°，
∴△EMP≌△CNF，
∴EM=CN=2，
∴ON=OC+CN=4+2=6，
当PF⊥FN时，PF的值最小，此时PF=ON=6，
PF的最小值为6.
故答案为6.
【分析】本题先通过作FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，构造出△EMP≌△CNF，从而得出EM=CN=2，求出ON的长度，因为PP为线段AO上一个动点，所以根据垂线段最段，当PF⊥FN时，PF的值最小.
三、作图题（共4分）
15．（2024八下·金水期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【答案】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到DB＝DA，由等边对等角得∠DAB＝∠B＝30°，由三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，然后根据角的和差求出∠CAD=80°，再利用角平分线的定义即可求解．
四、解答题（共9题，共74分）
16．（2025八下·宝安月考）解不等式组，并在数轴上把解集表示出来，并求（2）的整数解．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
解①式得：，
解②式得：，
不等式组无解，
数轴上表示如下：
（2）解：
解①式得：，
解②式得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
原不等式组的整数解为．

【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）先分别求出不等式的解集即可得出不等式组无解，再在数轴上把解集表示出来，
（2）先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，则原不等式组的整数解为．
（1）解：
解①式得：，
解②式得：，
故不等式组无解，
数轴上表示如下：
（2）解：
解①式得：，
解②式得：，
故不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
其整数解为：．
17．（2024八下·宝安期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因数，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
18．（2019八下·博罗期中）先化简，再求值： ，其中 满足 .
【答案】解：原式=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
解得：a=-1，b= ，
则原式=-
【知识点】分式的化简求值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
19．（2024八下·沈阳月考）如图，在中，D为边上一点，，交的延长线于点E，，垂足为F，且．
（1）求证：；
（2）若点D是的中点，求的度数．
【答案】（1）证明：，交的延长线于点，，垂足为，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，即，
．
（2）解：点是的中点，
，
，
，
由（1）得，
，
是等边三角形，
，
的度数是．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再根据角之间的关系可得，则，即可求出答案.
（2）根据线段中点可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
20．（2024八下·郑州月考）“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
【答案】（1）解：设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：，
解得：．
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
（2）解：设购进腊梅m束，则购进百合束，
根据题意得：，
解得：，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，（元），
此时（束）．
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可．
21．（2025八下·深圳期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：.
反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数-1，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式： ▲ ．
（2）理解与应用
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① ▲ ；
② ▲ ．
（3）探究与拓展
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成mn乘积作为一列，分解成pq乘积作为第二列，分解成jk乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
①分解因式 ▲ ．
②若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）或
（2）①；
②
（3）①
②由阅读材料可知：
或．
所以
或，
答：的值为54或-89.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（2）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（3）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
22．（2024八下·河东月考）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）解：如图，过作，
，，，
是直角三角形
∴
解得：
答：山地C距离公路的垂直距离为
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，
由（1）可知，
有危险需要暂时封锁
由作图可知：
=
在中
即需要封锁的公路长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据等积法，求出CD即可.
（2）由（1）可知，<260，可以得出有危险需要暂时封锁，再根据作图可得，根据等腰三角形三线合一和勾股定理，求出DE的长即可.
23．（2024八下·南山期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
（1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数．
解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形．
∵，
∴
∴为 三角形．
∴的度数为 ．
（2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长；
（3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点，求的度数．
【答案】（1）等边，直角，150度
（2）解：如图1，把绕点B顺时针旋转90°得到
则，
∵旋转角是，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，；
（3）解：将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）将绕点A旋转到的位置，连接，则是等边三角形．
∵，
∴，
∴∠BPP'=90°
∴为直角三角形．
∴∠APB=∠BPP'+∠APP'=90°+60°=150°
故答案为：等边，直角，150度；
【分析】
本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，根据旋转构造辅助线是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质：三边形相等，三个角都是60°可知：∠BAC=60°，再根据旋转的性质金可知：∠CAB为i旋转角，AP=AP'，再根据等边三角形的判定方法：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得到是等边三角形，再根据勾股定理逆定理，可知：为直角三角形，即∠BPP'=90°，由角的和差运算可知：∠APB=∠BPP'+∠APP'=90°+60°=150°，即可得出答案；
（2）把绕点B顺时针旋转90°得到，由旋转的性质可知：，可得出：是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可知： ， ，再通过角的和差运算可知：，最后利用勾股定理：在中，，即可得出答案；
（3）将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，根据旋转的性质可知：，再根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知：，根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：，再根据等腰直角三角形三边之比可知：，再利用勾股定理及其逆定理，得到是直角三角形，且，最后根据角的和差运算可知：，即可得出答案．
24．（2024八下·光明期末）（1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：．
（2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接．
①________°；
②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）
（3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在△ACD和△BCE中
∴（SAS）；
（2）①同理可证：，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABC-∠EBC+∠BAC+∠CAF
=∠CAF+∠CBE=60°+60°=120°，
∴；
②，理由如下：
过点C作，于点M，N，
由（1）得，，
∴
∴，
∴，
在上截取，连接，
则△CFH是等边三角形，
∴CH=CF=FH，∠FCH=∠BCA=60°，
∴，
在△BCH和△ACF中
∴（SAS），
∴，
∴；
（3）如图，在上找一点，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，即，
在△ABG和△ACD中
∴（SAS），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴S△ABF-S△CDF=S△ABD-S△ADF
=S△ABD-S△ABG
=S△AGD
=DG·AE
=×6×
=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，用边角边证明即可求解；
（2）①同理可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后由角的和差和三角形的内角和定理计算即可求解；
②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论；
（3）在上找一点，使得，连接，用边角边可证，即可得到，再用勾股定理得到长，然后根据三角形的面积的构成计算即可求解．
1 / 1

展开更多......

收起↑