第5章 特殊平行四边形 单元检测基础过关卷(含解析)

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第5章 特殊平行四边形 单元检测基础过关卷(含解析)

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第5章 特殊平行四边形 单元检测基础过关卷
一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(  )
A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角
2.如图,菱形ABCD中,过点C作CE⊥BC交BD于点E,若∠BAD=118°,则∠CEB=(  )
A.59° B.62° C.69° D.72°
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(  )
A.OA⊥OB B.∠BAC=∠ACB C.OA=OB D.AD=AB
4.如图,已知点P是正方形ABCD对角线AC上一点,若PC=AB,则∠PBA等于(  )
A.22° B.22.5° C.25.5° D.30°
5.如图,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是(  )
A. B.6 C. D.12
6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,若BE=EO,则AD的长是(  )
A.6 B. C. D.
7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在BD上,且DE=AD,连接AE,若BD=16,BC=10,则AE的长为(  )
A.2 B. C. D.10
8.如图,由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,连接AG.若AG=AB,则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为(  )
A.1:6 B.1:5 C.1:4 D.1:3
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则PM的最小值为(  )
A.2.5 B.2.4 C.1.2 D.1.3
10.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接EF,给出下列四个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③∠PFE=∠BAP;④PD=EC,其中正确的是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分.
11.若正方形ABCD的面积为4,则正方形的对角线AC的长为     .
12.如图,在菱形ABCD中,M,N分别为AC,CD的中点.若MN=1,则菱形ABCD的周长是     .
13.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=12,E为AD中点,F为CD边上任意一点,G,H分别为EF,BF中点,则GH的长是     .
14.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,要使四边形ABCD为菱形,则需添加的条件为    .(写出一个即可)
15.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=4,则四边形CODE的周长为    .
16.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E在AC延长线上,且AC=2CE,连接EB,过点A作AF⊥EB,垂足为F,AF与DB延长线交于点G,若,则
(I)线段AE的长等于     ;
(Ⅱ)线段AG的长等于     .
三.解答题(共8小题,共72分)
17.如图,延长平行四边形ABCD的边DC到点F,使得CF=CD,连接AF,BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
18.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=BF,AF与DE相交于点G.
(1)求证:△ADE≌△BAF;
(2)求∠DGF的度数.
19.如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,BE∥AD,AE⊥AD.
(1)求证:四边形ADBE是矩形;
(2)作EF⊥AB于F,若BC=4,AD=3,求EF的长.
20.如图,A,C是菱形BEDF的对角线EF上的两点,且AE=CF,∠ACB=45°.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)若正方形ABCD的边长为3,AE=1,求菱形BEDF的面积.
21.如图,在 ABCD中,点O为线段AD的中点,延长BO交CD的延长线于点E,连接AE,BD,∠BDC=90°.
(1)求证:四边形ABDE是矩形;
(2)连接OC.若AB=4,,求OC的长.
22.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O.有下列条件:①AD∥BC,②AB=CD.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是菱形.
(2)在(1)的条件下,若菱形ABCD的面积为24,BD=6,求菱形ABCD的边长.
23.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于点E、F、O,连接CE、AF.
(1)求证:四边形AFCE为菱形;
(2)如图2,若∠BAC=90°,连接BE、DF分别交AF于点G,交CE于点H.在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的所有平行四边形(不包括四边形ABCD和四边形AFCE).
24.如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.
(1)求证:EB=GD;
(2)判断EB与GD的位置关系,并说明理由;
(3)若,AG=2,求EB的长.
答案与解析
一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(  )
A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角
【点拨】根据题目中给出的四个选项,对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案.
【解析】解:对于选项A,矩形、正方形具有对角线相等的性质,而菱形不具有;
对于选项B,矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分;
对于选项C,菱形、正方形具有对角线互相垂直,而矩形不具有;
对于选项D,菱形、正方形具有对角线平分对角,而矩形不具有.
综上所述:矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分.
故选:B.
【点睛】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质,理解矩形的对角线互相平分且相等;菱形的对角线互相垂直平分,且每一条对角线都平分一组内角;正方形的对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线都平分一组内角.
2.如图,菱形ABCD中,过点C作CE⊥BC交BD于点E,若∠BAD=118°,则∠CEB=(  )
A.59° B.62° C.69° D.72°
【点拨】根据菱形的性质得:AB=AD,∠ABD=∠CBE,根据等腰三角形的性质可得∠ABD=31°,由菱形的对角线平分线组对角可得∠CBE=31°,最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论.
【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠ABD=∠CBE,
∴∠ABD=∠ADB,
∵∠BAD=118°,
∴∠ABD==31°,
∴∠CBE=31°,
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=90°,
∴∠CEB=90°﹣31°=59°.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质,解题的关键是熟知菱形的对角线平分每一组对角.
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(  )
A.OA⊥OB B.∠BAC=∠ACB C.OA=OB D.AD=AB
【点拨】由矩形的性质分析每个选项,从而可得答案.
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,AD∥BC,OA=,OB=,
∴OA⊥OB,∠BAC=∠ACB不一定成立,OA=OB,一定成立,AB=AD一定不成立,
故选:C.
【点睛】本题考查了矩形的性质,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.
4.如图,已知点P是正方形ABCD对角线AC上一点,若PC=AB,则∠PBA等于(  )
A.22° B.22.5° C.25.5° D.30°
【点拨】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠CBD=45°,正方形的四条边都相等可得AB=BC,然后求出BC=CP,再根据等腰三角形两底角相等求出∠CBP,然后根据∠PBA=∠ABC﹣∠CBP计算即可得解.
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=∠CBD=45°,AB=BC,
∵PC=AB,
∴BC=CP,
∴∠CBP=×(180°﹣45°)=67.5°,
∴∠PBA=∠ABC﹣∠CBP=90°﹣67.5°=22.5°.
故选:B.
【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.
5.如图,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是(  )
A. B.6 C. D.12
【点拨】由菱形的性质得AC⊥BD,OC=OA=AC=3,OB=OD=BD=4,则∠BOC=90°,所以BC==5,而AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=5AE=×6×8,求得AE=,于是得到问题的答案.
【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,
∴AC⊥BD,OC=OA=AC=3,OB=OD=BD=4,
∴∠BOC=90°,
∴BC===5,
∵AE⊥BC于点E,
∴S菱形ABCD=5AE=×6×8,
∴AE=,
故选:A.
【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法,正确地求出BC的长是解题的关键.
6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,若BE=EO,则AD的长是(  )
A.6 B. C. D.
【点拨】由矩形的性质得出OA=OB,由等腰三角形的性质得出AB=AO=BO=6,推出BD=12,最后由勾股定理计算即可得解.
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴,,∠BAD=90°,AC=BD,
∴OA=OB,
∵AE⊥BD,BE=EO,即AE垂直平分OB,
∴AB=AO,
∴AB=AO=BO=6,
∴BD=12,
∴.
故选:D.
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.
7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在BD上,且DE=AD,连接AE,若BD=16,BC=10,则AE的长为(  )
A.2 B. C. D.10
【点拨】由四边形ABCD是菱形,推出,DE=AD=BC=10,AC⊥BD,求出OE的长,由勾股定理即可求解.
【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,,
∵BC=10,BD=16,
∴DE=AD=10,OD=8,
∴OE=DE﹣OD=2,
在Rt△AOD中,AO2=AD2﹣OD2=36,
∴.
故选:C.
【点睛】本题考查菱形的性质,勾股定理,掌握其性质定理是解决此题的关键.
8.如图,由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,连接AG.若AG=AB,则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为(  )
A.1:6 B.1:5 C.1:4 D.1:3
【点拨】先根据四边形EFGH是正方形,证明AF⊥BG,再根据AG=AB,证明GF=BF,然后设GF=BF=x,则BG=GF+BF=2x,根据全等三角形的性质证明AF=BG=2x,在Rt△ABF中,由勾股定理求出AB,最后根据正方形的面积公式求出答案即可.
【解析】解:∵四边形EFGH是正方形,
∴∠GFE=90°,
∴AF⊥BG,
∵AG=AB,
∴AF是BG边上的中线,
∴GF=BF,
设GF=BF=x,则BG=GF+BF=2x,
∵Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH,
∴AF=BG=2x,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:

∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为:,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了正方形和全等三角形的性质,解题关键是熟练掌握正方形与全等三角形的性质、等腰三角形的性质.
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则PM的最小值为(  )
A.2.5 B.2.4 C.1.2 D.1.3
【点拨】证四边形AFPE是矩形,得EF=AP,再由垂线段最短和三角形面积求出AP的长,即可解决问题.
【解析】解:如图,连接AP,
∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴BC===5,
∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴∠AEP=∠AFP=90°,
∴四边形AFPE是矩形,
∴EF=AP,
∵M是EF的中点,
∴PM=EF=AP,
根据垂线段最短可知,当AP⊥BC时,AP最短,
则PM也最短,
此时,S△ABC=BC AP=AB AC,
∴AP===2.4,
即AP最短时,AP=2.4,
∴PM的最小值=AP=1.2,
故选:C.
【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
10.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接EF,给出下列四个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③∠PFE=∠BAP;④PD=EC,其中正确的是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【点拨】过P作PG⊥AB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件,证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF,③∠PFE=∠BAP,在此基础上,通过等量代换可证明③,在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得结论④正确.
【解析】解:过P作PG⊥AB于点G,如图,
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,
∴GP=EP,
在△GPB中,∠GBP=45°,
∴∠GPB=45°,
∴GB=GP,
同理,得
PE=BE,
∵AB=BC=GF,
∴AG=AB﹣GB,FP=GF﹣GP=AB﹣GB,
∴AG=PF,
∴△AGP≌△FPE(SAS),
∴AP=EF,
∴结论①正确;
∵△AGP≌△FPE,
∴∠PFE=∠GAP
∴∠PFE=∠BAP,
∴结论③正确;
②延长AP到EF上于一点H,
∴∠PAG=∠PFH,
∵∠APG=∠FPH,
∴∠PHF=∠PGA=90°,
即AP⊥EF;
∴结论②正确;
∵GF∥BC,
∴∠DPF=∠DBC,
又∵∠DPF=∠DBC=45°,
∴∠PDF=∠DPF=45°,
∴PF=EC,
在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,
∴PD=EC,
∴结论④正确;
故选:D.
【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定及性质,垂直的判定,等腰三角形的性质,勾股定理的运用.本题难度较大,综合性较强,在解答时要认真审题.
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
11.若正方形ABCD的面积为4,则正方形的对角线AC的长为    .
【点拨】根据正方形的面积等于边长的平方列式求出AB,再根据勾股定理列式计算即可得解.
【解析】∵正方形ABCD的面积为4,
∴AB2=4,
∴AB=2,
∴正方形的对角线 .
故答案为:.
【点睛】本题考查了正方形的性质,正方形的面积公式,勾股定理等知识,熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键.
12.如图,在菱形ABCD中,M,N分别为AC,CD的中点.若MN=1,则菱形ABCD的周长是  8  .
【点拨】先根据三角形中位线定理得到AD=2MN=2,然后根据菱形的性质得到菱形ABCD的周长.
【解析】解:∵M,N分别为AC,CD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN=AD,
∵MN=1,
∴AD=2,
∴菱形ABCD的周长=4×2=8.
故答案为:8.
【点睛】本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等.也考查了三角形中位线定理.
13.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=12,E为AD中点,F为CD边上任意一点,G,H分别为EF,BF中点,则GH的长是  5  .
【点拨】连接BE,如图,根据矩形的性质和勾股定理可求出BE,再根据三角形的中位线定理解答即可.
【解析】解:连接BE,如图,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∵E为AD中点,AD=12,
∴,
则在直角三角形ABE中,根据勾股定理可得:,
∵G,H分别为EF,BF中点,
∴;
故答案为:5.
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线等知识,连接BE,灵活应用三角形的中位线的性质是解题的关键.
14.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,要使四边形ABCD为菱形,则需添加的条件为 AC⊥BD  .(写出一个即可)
【点拨】四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,根据菱形的判定定理证明四边形ABCD为菱形,也可以由四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,根据菱形的定义证明四边形ABCD是菱形,所以添加的条件可以是AC⊥BD或AB=BC,写出其中一个条件即可.
【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,
∴四边形ABCD为菱形,
故答案为:AC⊥BD.
注:答案不唯 一.
【点睛】此题重点考查菱形的定义及判定定理,正确理解和运用菱形的定义和判定定理是解题的关键.
15.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=4,则四边形CODE的周长为 8  .
【点拨】由矩形的性质可得AO=BO=CO=DO=AC=2,通过证明四边形ODEC是菱形,即可求解.
【解析】证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO=AC=2,
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形ODEC是平行四边形,且OC=OD,
∴四边形ODEC是菱形,
∴OD=DE=CE=OC=2,
∴四边形CODE的周长=4×2=8,
故答案为:8.
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质,矩形的矩形,证明四边形ODEC是菱形是本题的关键,
16.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E在AC延长线上,且AC=2CE,连接EB,过点A作AF⊥EB,垂足为F,AF与DB延长线交于点G,若,则
(I)线段AE的长等于    ;
(Ⅱ)线段AG的长等于    .
【点拨】(I)先根据勾股定理求出AC=,再根据AC=2CE得CE=,由此即可得出线段AE的长,
(Ⅱ)先证明∠G=∠E,进而可依据“AAS”判定△AOG和△BOE全等,则AG=BE,由(I)可知AC=,AE=,则OB=OA=OC=,OE=AE﹣OA=,由勾股定理得BE=,据此即可得出线段AG的长.
【解析】解:(I)∵四边形ABCD是正方形,AB=,
∴BC=AB=2√(6),∠ABC=90°,∠BAC=∠BCA=45°,OA=OC=OB,OA⊥OB,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC===,
∵AC=2CE,
∴2CE=,
∴CE=,
∴AE=AC+CE==,
故答案为:;
(Ⅱ)如图所示:
∵AF⊥EB,∠ABC=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∵OA⊥OB,
∴∠AOG=∠BOE=90°,
在Rt△AOG中,∠G+∠1+∠BAC=90°,
∴∠G+∠1+45°=90°,
∴∠G+∠1=45°
∵∠BCA是△CBE的外角,∠BCA=45°,
∴∠E+∠3=∠BCA=45°,
又∵∠1=∠3,
∴∠G=∠E,
在△AOG和△BOE中,

∴△AOG≌△BOE(AAS),
∴AG=BE,
由(I)可知:AC=,AE=,
∴OB=OA=OC=AC=,
∴OE=AE﹣OA==,
在Rt△BOE中,由勾股定理得:BE===,
∴AG=BE=.
故答案为:.
【点睛】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,理解方形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质,勾股定理是解决问题的关键.
三.解答题(共8小题,共72分)
17.如图,延长平行四边形ABCD的边DC到点F,使得CF=CD,连接AF,BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
【点拨】由平行四边形的性质得AB∥CD,AB=CD,AD=BC,再证四边形ABFC是平行四边形,然后证BC=AF,即可得出结论.
【解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,
∵CF=CD,
∴CF=AB,
∴四边形ABFC是平行四边形,
∵AD=AF,
∴BC=AF,
∴平行四边形ABFC是矩形.
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质等知识,熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键.
18.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=BF,AF与DE相交于点G.
(1)求证:△ADE≌△BAF;
(2)求∠DGF的度数.
【点拨】(1)根据正方形性质得AD=BA,∠DAE=∠ABF=90°,由此可依据“SAS”判定△ADE和△BAF全等;
(2)根据全等三角形性质得∠ADE=∠BAF,再根据∠DAG+∠BAE=90°得∠DAG+ADE=90°,由此可得出∠AGD=90°,据此即可得出∠DGF的度数.
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BA,∠DAE=∠ABF=90°,
在△ADE和△BAF中,

∴△ADE≌△BAF(SAS);
(2)∵△ADE≌△BAF,
∴∠ADE=∠BAF,
∵∠DAE=∠DAG+∠BAE=90°,
∴∠DAG+ADE=90°,
在△AGD中,∠AGD=180°﹣(∠DAG+ADE)=90°,
即AF⊥DE,
∴∠DGF=90°.
【点睛】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握正方形的性质,全等三角形的判定与性质是解决问题的关键.
19.如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,BE∥AD,AE⊥AD.
(1)求证:四边形ADBE是矩形;
(2)作EF⊥AB于F,若BC=4,AD=3,求EF的长.
【点拨】(1)根据等腰三角形的性质得∠ADB=90°,再根据平行线的性质得∠DBE=90°,然后根据AE⊥AD,可得∠DAE=90°,即可得出结论;
(2)根据等腰三角形的性质求出,再根据勾股定理得AB,然后根据矩形的性质得BE=AD=3,AE=BD=2,最后根据三角形的面积相等得出答案.
【解析】(1)证明:∵△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,∠ADB=90°,
∵BE∥AD,AE⊥AD,
∴∠DBE=90°,∠DAE=90°,
∴四边形ADBE是矩形;
(2)解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=4,AD=3,
∴.
在直角三角形ABD中,由勾股定理得:.
∵四边形ADBE是矩形,
∴BE=AD=3,AE=BD=2.
∵,
∴.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定,等腰三角形的性质,勾股定理,解答本题的关键是熟练掌握勾股定理.
20.如图,A,C是菱形BEDF的对角线EF上的两点,且AE=CF,∠ACB=45°.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)若正方形ABCD的边长为3,AE=1,求菱形BEDF的面积.
【点拨】(1)连接BD交AC于点O,先证明四边形ABCD是菱形,结合∠BCD=90°即可得出结论;
(2)根据正方形的性质得到AC=BD,∠ABC=90°,AB=BC=3,根据勾股定理求出,再根据菱形的面积公式求解即可.
【解析】(1)证明:连接BD交AC于点O,如图:
由题意可得:AC⊥EF,EO=FO,BO=DO,
∵AE=CF,
∴AE+EO=CF+FO,即AO=CO,
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,
∵∠ACB=45°,
∴∠ACD=∠ACB=45°,
即∠BCD=90°
∴四边形ABCD是正方形.
(2)解:由题意可得:
∴AC=BD,∠ABC=90°,AB=BC=3,
∴Rt△ABC中,,
∵AE=CF=1,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质,正方形的判定,勾股定理等知识,掌握相关知识是解题的关键.
21.如图,在 ABCD中,点O为线段AD的中点,延长BO交CD的延长线于点E,连接AE,BD,∠BDC=90°.
(1)求证:四边形ABDE是矩形;
(2)连接OC.若AB=4,,求OC的长.
【点拨】(1)证△AOB≌△DOE(ASA),得AB=DE,再证四边形ABDE是平行四边形,然后证∠BDE=90°,即可得出结论;
(2)过点O作OF⊥DE于点F,由矩形的性质得DE=AB=4,OD=OE,再由等腰三角形的性质得DF=EF=DE=2,则OF为△BDE的中位线,得OF=BD=,然后由平行四边形的性质得CD=AB=2,进而由勾股定理即可得出结论.
【解析】(1)证明:∵O为AD的中点,
∴AO=DO,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BAO=∠EDO,
又∵∠AOB=∠DOE,
∴△AOB≌△DOE(ASA),
∴AB=DE,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∵∠BDC=90°,
∴∠BDE=90°,
∴平行四边形ABDE是矩形;
(2)解:如图,过点O作OF⊥DE于点F,
∵四边形ABDE是矩形,
∴DE=AB=4,OD=AD,OB=OE=BE,AD=BE,
∴OD=OE,
∵OF⊥DE,
∴DF=EF=DE=2,
∴OF为△BDE的中位线,
∴OF=BD=,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=4,
∴CF=CD+DF=6,
在Rt△OCF中,由勾股定理得:OC===,
即OC的长为.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
22.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O.有下列条件:①AD∥BC,②AB=CD.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是菱形.
(2)在(1)的条件下,若菱形ABCD的面积为24,BD=6,求菱形ABCD的边长.
【点拨】(1)若选择②AB=CD,由AB∥CD,AB=CD,证明四边形ABCD是平行四边形,而AB=AD,则四边形ABCD是菱形;若选择①AD∥BC,由AB∥DC,AD∥BC,证明四边形ABCD是平行四边形,而AB=AD,则四边形ABCD是菱形;
(2)由菱形的性质得AC⊥BD,由S菱形ABCD=BD AC=24,且BD=6,得×6AC=24,求得AC=8,则OA=OC=4,OB=OD=3,根据勾股定理求得AB=5,所以菱形ABCD的边长是5.
【解析】解:(1)选择②AB=CD,
证明:∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
注:答案不唯一.
(2)∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,
∴AC⊥BD,
∴∠AOB=90°,
∵S菱形ABCD=BD AC=24,且BD=6,
∴×6AC=24,
∴AC=8,
∴OA=OC=AC=4,OB=OD=BD=3,
∴AB===5,
∴菱形ABCD的边长是5.
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识,推导出四边形ABCD是平行四边形,进而证明四边形ABCD是菱形是解题的关键.
23.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于点E、F、O,连接CE、AF.
(1)求证:四边形AFCE为菱形;
(2)如图2,若∠BAC=90°,连接BE、DF分别交AF于点G,交CE于点H.在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的所有平行四边形(不包括四边形ABCD和四边形AFCE).
【点拨】(1)证△AOE≌△COF(ASA),得EO=FO,则四边形AFCE为平行四边形,再由EF⊥AC,即可得出结论.
(2)由平行四边形的判定与性质分别进行判定即可.
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠EAC=∠FCA,
∵EF是AC的垂直平分线,
∴EF⊥AC,OA=OC,
在△AOE与△COF中,

∴△AOE≌△COF(ASA).
∴EO=FO,
∴四边形AFCE为平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴平行四边形AFCE为菱形.
(2)解:图2中的所有平行四边形(不包括四边形ABCD和四边形AFCE)为平行四边形ABFE、平行四边形CDEF,平行四边形BFDE、平行四边形EGFH,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∵∠BAC=90°,
∴AB⊥AC,
由(1)可知,四边形AFCE为菱形,
∴EF⊥AC,
∴AB∥EF,
∵AD∥BC,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴AE=BF,
∵AB∥EF,AB∥CD,
∴CD∥EF,
∴四边形CDEF是平行四边形,
∴DE=CF,
∵四边形AFCE是菱形,
∴AE=CF,AF∥CE,
∴AE=DE,
∴BF=DE,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴BE∥DF,
∴四边形EGFH是平行四边形.
【点睛】本题考查了菱形的判定于性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识;熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
24.如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.
(1)求证:EB=GD;
(2)判断EB与GD的位置关系,并说明理由;
(3)若,AG=2,求EB的长.
【点拨】(1)根据正方形性质得AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,进而得∠BAE=∠DAG,由此可依据“SAS”判定△BEA和△DGA全等,然后根据全等三角形的性质即可得出结论;
(2)设AD与BE相交于点P,根据△BEA和△DGA全等得∠ABE=∠ADG,再根据三角形内角和定理及∠BPA=∠DPH得∠DHP=∠BAD=90°,由此可得出EB与GD的位置关系;
(3)过点E作EK⊥BA,交BA的延长线于点K,证明△AEK是等腰直角三角形得AK=EK,再由勾股定理得AK=EK=√,进而得BK=AB+AK=,然后在Rt△BEK中,由勾股定理即可求出EB的长.
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAD+∠EAD=∠EAG+∠EAD,
∴∠BAE=∠DAG,
在△BEA和△DGA中,

∴△BEA≌△DGA(SAS),
∴EB=GD;
(2)解:EB与GD的位置关系是:EB⊥GD,理由如下:
设AD与BE相交于点P,如图1所示:
由(1)可知:△BEA≌△DGA,
∴∠ABE=∠ADG,
在△ABP中,∠ABE+∠BAD+∠BPA=180°,
在△DPH中,∠ADG+∠DHP+∠DPH=180°,
又∵∠BPA=∠DPH,
∴∠DHP=∠BAD=90°,
∴EB⊥GD;
(3)解:过点E作EK⊥BA,交BA的延长线于点K,如图2所示:
∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,
∴∠BAC=45°,
∴∠GAK=∠BAC=45°,
∵四边形AEFG是正方形,AG=2,
∴AE=AG=2,∠GAE=90°,
∴∠EAK=∠GAE﹣∠GAK=45°,
∵EK⊥BA,
∴△AEK是等腰直角三角形,
∴AK=EK,
由勾股定理得:AE==AK,
∴AK=EK=AE==,
∵AB=,
∴BK=AB+AK=,
在Rt△BEK中,由勾股定理得:EB===.
【点睛】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,理解正方形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质,勾股定理是解决问题的关键.
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