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第5章 特殊平行四边形 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2．如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（　　）
A．59° B．62° C．69° D．72°
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB
4．如图，已知点P是正方形ABCD对角线AC上一点，若PC＝AB，则∠PBA等于（　　）
A．22° B．22.5° C．25.5° D．30°
5．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　）
A．6 B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD上，且DE＝AD，连接AE，若BD＝16，BC＝10，则AE的长为（　　）
A．2 B． C． D．10
8．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3
10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．若正方形ABCD的面积为4，则正方形的对角线AC的长为 　 　 ．
12．如图，在菱形ABCD中，M，N分别为AC，CD的中点．若MN＝1，则菱形ABCD的周长是 　 　 ．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，则GH的长是 　 　 ．
14．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为菱形，则需添加的条件为　 　 ．（写出一个即可）
15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为　 　 ．
16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AC延长线上，且AC＝2CE，连接EB，过点A作AF⊥EB，垂足为F，AF与DB延长线交于点G，若，则
（I）线段AE的长等于 　 　 ；
（Ⅱ）线段AG的长等于 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF＝CD，连接AF，BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
18．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，AF与DE相交于点G．
（1）求证：△ADE≌△BAF；
（2）求∠DGF的度数．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长．
20．如图，A，C是菱形BEDF的对角线EF上的两点，且AE＝CF，∠ACB＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的边长为3，AE＝1，求菱形BEDF的面积．
21．如图，在 ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O．有下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）在（1）的条件下，若菱形ABCD的面积为24，BD＝6，求菱形ABCD的边长．
23．如图1，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于点E、F、O，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，连接BE、DF分别交AF于点G，交CE于点H．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形（不包括四边形ABCD和四边形AFCE）．
24．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB＝GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若，AG＝2，求EB的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【点拨】根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．
【解析】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
2．如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（　　）
A．59° B．62° C．69° D．72°
【点拨】根据菱形的性质得：AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，根据等腰三角形的性质可得∠ABD＝31°，由菱形的对角线平分线组对角可得∠CBE＝31°，最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝118°，
∴∠ABD＝＝31°，
∴∠CBE＝31°，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°﹣31°＝59°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每一组对角．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB
【点拨】由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA＝，OB＝，
∴OA⊥OB，∠BAC＝∠ACB不一定成立，OA＝OB，一定成立，AB＝AD一定不成立，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．如图，已知点P是正方形ABCD对角线AC上一点，若PC＝AB，则∠PBA等于（　　）
A．22° B．22.5° C．25.5° D．30°
【点拨】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ACB＝∠CBD＝45°，正方形的四条边都相等可得AB＝BC，然后求出BC＝CP，再根据等腰三角形两底角相等求出∠CBP，然后根据∠PBA＝∠ABC﹣∠CBP计算即可得解．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠CBD＝45°，AB＝BC，
∵PC＝AB，
∴BC＝CP，
∴∠CBP＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠PBA＝∠ABC﹣∠CBP＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
【点拨】由菱形的性质得AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，则∠BOC＝90°，所以BC＝＝5，而AE⊥BC于点E，则S菱形ABCD＝5AE＝×6×8，求得AE＝，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵AE⊥BC于点E，
∴S菱形ABCD＝5AE＝×6×8，
∴AE＝，
故选：A．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出BC的长是解题的关键．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　）
A．6 B． C． D．
【点拨】由矩形的性质得出OA＝OB，由等腰三角形的性质得出AB＝AO＝BO＝6，推出BD＝12，最后由勾股定理计算即可得解．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，∠BAD＝90°，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE⊥BD，BE＝EO，即AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO＝6，
∴BD＝12，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD上，且DE＝AD，连接AE，若BD＝16，BC＝10，则AE的长为（　　）
A．2 B． C． D．10
【点拨】由四边形ABCD是菱形，推出，DE＝AD＝BC＝10，AC⊥BD，求出OE的长，由勾股定理即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
∵BC＝10，BD＝16，
∴DE＝AD＝10，OD＝8，
∴OE＝DE﹣OD＝2，
在Rt△AOD中，AO2＝AD2﹣OD2＝36，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
8．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3
【点拨】先根据四边形EFGH是正方形，证明AF⊥BG，再根据AG＝AB，证明GF＝BF，然后设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x，根据全等三角形的性质证明AF＝BG＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理求出AB，最后根据正方形的面积公式求出答案即可．
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴∠GFE＝90°，
∴AF⊥BG，
∵AG＝AB，
∴AF是BG边上的中线，
∴GF＝BF，
设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x，
∵Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH，
∴AF＝BG＝2x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
，
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形和全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握正方形与全等三角形的性质、等腰三角形的性质．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3
【点拨】证四边形AFPE是矩形，得EF＝AP，再由垂线段最短和三角形面积求出AP的长，即可解决问题．
【解析】解：如图，连接AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
∵M是EF的中点，
∴PM＝EF＝AP，
根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短，
则PM也最短，
此时，S△ABC＝BC AP＝AB AC，
∴AP＝＝＝2.4，
即AP最短时，AP＝2.4，
∴PM的最小值＝AP＝1.2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP＝EF，③∠PFE＝∠BAP，在此基础上，通过等量代换可证明③，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得结论④正确．
【解析】解：过P作PG⊥AB于点G，如图，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP＝EP，
在△GPB中，∠GBP＝45°，
∴∠GPB＝45°，
∴GB＝GP，
同理，得
PE＝BE，
∵AB＝BC＝GF，
∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，
∴AG＝PF，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF，
∴结论①正确；
∵△AGP≌△FPE，
∴∠PFE＝∠GAP
∴∠PFE＝∠BAP，
∴结论③正确；
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG＝∠PFH，
∵∠APG＝∠FPH，
∴∠PHF＝∠PGA＝90°，
即AP⊥EF；
∴结论②正确；
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
又∵∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴PD＝EC，
∴结论④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若正方形ABCD的面积为4，则正方形的对角线AC的长为 　　 ．
【点拨】根据正方形的面积等于边长的平方列式求出AB，再根据勾股定理列式计算即可得解．
【解析】∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
∴正方形的对角线 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，正方形的面积公式，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，M，N分别为AC，CD的中点．若MN＝1，则菱形ABCD的周长是 　8　 ．
【点拨】先根据三角形中位线定理得到AD＝2MN＝2，然后根据菱形的性质得到菱形ABCD的周长．
【解析】解：∵M，N分别为AC，CD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN＝AD，
∵MN＝1，
∴AD＝2，
∴菱形ABCD的周长＝4×2＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了三角形中位线定理．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，则GH的长是 　5　 ．
【点拨】连接BE，如图，根据矩形的性质和勾股定理可求出BE，再根据三角形的中位线定理解答即可．
【解析】解：连接BE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵E为AD中点，AD＝12，
∴，
则在直角三角形ABE中，根据勾股定理可得：，
∵G，H分别为EF，BF中点，
∴；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线等知识，连接BE，灵活应用三角形的中位线的性质是解题的关键．
14．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为菱形，则需添加的条件为　AC⊥BD　 ．（写出一个即可）
【点拨】四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，根据菱形的判定定理证明四边形ABCD为菱形，也可以由四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，根据菱形的定义证明四边形ABCD是菱形，所以添加的条件可以是AC⊥BD或AB＝BC，写出其中一个条件即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
故答案为：AC⊥BD．
注：答案不唯 一．
【点睛】此题重点考查菱形的定义及判定定理，正确理解和运用菱形的定义和判定定理是解题的关键．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为　8　 ．
【点拨】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝2，通过证明四边形ODEC是菱形，即可求解．
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝2，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，且OC＝OD，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OD＝DE＝CE＝OC＝2，
∴四边形CODE的周长＝4×2＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的矩形，证明四边形ODEC是菱形是本题的关键，
16．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AC延长线上，且AC＝2CE，连接EB，过点A作AF⊥EB，垂足为F，AF与DB延长线交于点G，若，则
（I）线段AE的长等于 　　 ；
（Ⅱ）线段AG的长等于 　　 ．
【点拨】（I）先根据勾股定理求出AC＝，再根据AC＝2CE得CE＝，由此即可得出线段AE的长，
（Ⅱ）先证明∠G＝∠E，进而可依据“AAS”判定△AOG和△BOE全等，则AG＝BE，由（I）可知AC＝，AE＝，则OB＝OA＝OC＝，OE＝AE﹣OA＝，由勾股定理得BE＝，据此即可得出线段AG的长．
【解析】解：（I）∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴BC＝AB＝2√（6），∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°，OA＝OC＝OB，OA⊥OB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
∵AC＝2CE，
∴2CE＝，
∴CE＝，
∴AE＝AC+CE＝＝，
故答案为：；
（Ⅱ）如图所示：
∵AF⊥EB，∠ABC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵OA⊥OB，
∴∠AOG＝∠BOE＝90°，
在Rt△AOG中，∠G+∠1+∠BAC＝90°，
∴∠G+∠1+45°＝90°，
∴∠G+∠1＝45°
∵∠BCA是△CBE的外角，∠BCA＝45°，
∴∠E+∠3＝∠BCA＝45°，
又∵∠1＝∠3，
∴∠G＝∠E，
在△AOG和△BOE中，
，
∴△AOG≌△BOE（AAS），
∴AG＝BE，
由（I）可知：AC＝，AE＝，
∴OB＝OA＝OC＝AC＝，
∴OE＝AE﹣OA＝＝，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，
∴AG＝BE＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF＝CD，连接AF，BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
【点拨】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，再证四边形ABFC是平行四边形，然后证BC＝AF，即可得出结论．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∵CF＝CD，
∴CF＝AB，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴平行四边形ABFC是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，AF与DE相交于点G．
（1）求证：△ADE≌△BAF；
（2）求∠DGF的度数．
【点拨】（1）根据正方形性质得AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，由此可依据“SAS”判定△ADE和△BAF全等；
（2）根据全等三角形性质得∠ADE＝∠BAF，再根据∠DAG+∠BAE＝90°得∠DAG+ADE＝90°，由此可得出∠AGD＝90°，据此即可得出∠DGF的度数．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△BAF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠DAE＝∠DAG+∠BAE＝90°，
∴∠DAG+ADE＝90°，
在△AGD中，∠AGD＝180°﹣（∠DAG+ADE）＝90°，
即AF⊥DE，
∴∠DGF＝90°．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，再根据平行线的性质得∠DBE＝90°，然后根据AE⊥AD，可得∠DAE＝90°，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得AB，然后根据矩形的性质得BE＝AD＝3，AE＝BD＝2，最后根据三角形的面积相等得出答案．
【解析】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB＝90°，
∵BE∥AD，AE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3，
∴．
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：．
∵四边形ADBE是矩形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
20．如图，A，C是菱形BEDF的对角线EF上的两点，且AE＝CF，∠ACB＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的边长为3，AE＝1，求菱形BEDF的面积．
【点拨】（1）连接BD交AC于点O，先证明四边形ABCD是菱形，结合∠BCD＝90°即可得出结论；
（2）根据正方形的性质得到AC＝BD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可．
【解析】（1）证明：连接BD交AC于点O，如图：
由题意可得：AC⊥EF，EO＝FO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AE+EO＝CF+FO，即AO＝CO，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
即∠BCD＝90°
∴四边形ABCD是正方形．
（2）解：由题意可得：
∴AC＝BD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，
∴Rt△ABC中，，
∵AE＝CF＝1，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
21．如图，在 ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长．
【点拨】（1）证△AOB≌△DOE（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后证∠BDE＝90°，即可得出结论；
（2）过点O作OF⊥DE于点F，由矩形的性质得DE＝AB＝4，OD＝OE，再由等腰三角形的性质得DF＝EF＝DE＝2，则OF为△BDE的中位线，得OF＝BD＝，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝2，进而由勾股定理即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝4，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EF＝DE＝2，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OF＝BD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC＝＝＝，
即OC的长为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O．有下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）在（1）的条件下，若菱形ABCD的面积为24，BD＝6，求菱形ABCD的边长．
【点拨】（1）若选择②AB＝CD，由AB∥CD，AB＝CD，证明四边形ABCD是平行四边形，而AB＝AD，则四边形ABCD是菱形；若选择①AD∥BC，由AB∥DC，AD∥BC，证明四边形ABCD是平行四边形，而AB＝AD，则四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，由S菱形ABCD＝BD AC＝24，且BD＝6，得×6AC＝24，求得AC＝8，则OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，根据勾股定理求得AB＝5，所以菱形ABCD的边长是5．
【解析】解：（1）选择②AB＝CD，
证明：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
注：答案不唯一．
（2）∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵S菱形ABCD＝BD AC＝24，且BD＝6，
∴×6AC＝24，
∴AC＝8，
∴OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴菱形ABCD的边长是5．
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
23．如图1，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于点E、F、O，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，连接BE、DF分别交AF于点G，交CE于点H．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形（不包括四边形ABCD和四边形AFCE）．
【点拨】（1）证△AOE≌△COF（ASA），得EO＝FO，则四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论．
（2）由平行四边形的判定与性质分别进行判定即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EF⊥AC，OA＝OC，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO＝FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形．
（2）解：图2中的所有平行四边形（不包括四边形ABCD和四边形AFCE）为平行四边形ABFE、平行四边形CDEF，平行四边形BFDE、平行四边形EGFH，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，
由（1）可知，四边形AFCE为菱形，
∴EF⊥AC，
∴AB∥EF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE＝BF，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AE＝CF，AF∥CE，
∴AE＝DE，
∴BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点睛】本题考查了菱形的判定于性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB＝GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若，AG＝2，求EB的长．
【点拨】（1）根据正方形性质得AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，进而得∠BAE＝∠DAG，由此可依据“SAS”判定△BEA和△DGA全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）设AD与BE相交于点P，根据△BEA和△DGA全等得∠ABE＝∠ADG，再根据三角形内角和定理及∠BPA＝∠DPH得∠DHP＝∠BAD＝90°，由此可得出EB与GD的位置关系；
（3）过点E作EK⊥BA，交BA的延长线于点K，证明△AEK是等腰直角三角形得AK＝EK，再由勾股定理得AK＝EK＝√，进而得BK＝AB+AK＝，然后在Rt△BEK中，由勾股定理即可求出EB的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD+∠EAD＝∠EAG+∠EAD，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△BEA和△DGA中，
，
∴△BEA≌△DGA（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：EB与GD的位置关系是：EB⊥GD，理由如下：
设AD与BE相交于点P，如图1所示：
由（1）可知：△BEA≌△DGA，
∴∠ABE＝∠ADG，
在△ABP中，∠ABE+∠BAD+∠BPA＝180°，
在△DPH中，∠ADG+∠DHP+∠DPH＝180°，
又∵∠BPA＝∠DPH，
∴∠DHP＝∠BAD＝90°，
∴EB⊥GD；
（3）解：过点E作EK⊥BA，交BA的延长线于点K，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠BAC＝45°，
∴∠GAK＝∠BAC＝45°，
∵四边形AEFG是正方形，AG＝2，
∴AE＝AG＝2，∠GAE＝90°，
∴∠EAK＝∠GAE﹣∠GAK＝45°，
∵EK⊥BA，
∴△AEK是等腰直角三角形，
∴AK＝EK，
由勾股定理得：AE＝＝AK，
∴AK＝EK＝AE＝＝，
∵AB＝，
∴BK＝AB+AK＝，
在Rt△BEK中，由勾股定理得：EB＝＝＝．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
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