资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台第5章 特殊平行四边形 单元检测基础过关卷一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角2.如图,菱形ABCD中,过点C作CE⊥BC交BD于点E,若∠BAD=118°,则∠CEB=( )A.59° B.62° C.69° D.72°3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )A.OA⊥OB B.∠BAC=∠ACB C.OA=OB D.AD=AB4.如图,已知点P是正方形ABCD对角线AC上一点,若PC=AB,则∠PBA等于( )A.22° B.22.5° C.25.5° D.30°5.如图,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )A. B.6 C. D.126.如图,在矩形ABCD中,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,若BE=EO,则AD的长是( )A.6 B. C. D.7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在BD上,且DE=AD,连接AE,若BD=16,BC=10,则AE的长为( )A.2 B. C. D.108.如图,由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,连接AG.若AG=AB,则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为( )A.1:6 B.1:5 C.1:4 D.1:39.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则PM的最小值为( )A.2.5 B.2.4 C.1.2 D.1.310.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接EF,给出下列四个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③∠PFE=∠BAP;④PD=EC,其中正确的是( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分.11.若正方形ABCD的面积为4,则正方形的对角线AC的长为 .12.如图,在菱形ABCD中,M,N分别为AC,CD的中点.若MN=1,则菱形ABCD的周长是 .13.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=12,E为AD中点,F为CD边上任意一点,G,H分别为EF,BF中点,则GH的长是 .14.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,要使四边形ABCD为菱形,则需添加的条件为 .(写出一个即可)15.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=4,则四边形CODE的周长为 .16.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E在AC延长线上,且AC=2CE,连接EB,过点A作AF⊥EB,垂足为F,AF与DB延长线交于点G,若,则(I)线段AE的长等于 ;(Ⅱ)线段AG的长等于 .三.解答题(共8小题,共72分)17.如图,延长平行四边形ABCD的边DC到点F,使得CF=CD,连接AF,BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.18.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=BF,AF与DE相交于点G.(1)求证:△ADE≌△BAF;(2)求∠DGF的度数.19.如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,BE∥AD,AE⊥AD.(1)求证:四边形ADBE是矩形;(2)作EF⊥AB于F,若BC=4,AD=3,求EF的长.20.如图,A,C是菱形BEDF的对角线EF上的两点,且AE=CF,∠ACB=45°.(1)求证:四边形ABCD是正方形;(2)若正方形ABCD的边长为3,AE=1,求菱形BEDF的面积.21.如图,在 ABCD中,点O为线段AD的中点,延长BO交CD的延长线于点E,连接AE,BD,∠BDC=90°.(1)求证:四边形ABDE是矩形;(2)连接OC.若AB=4,,求OC的长.22.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O.有下列条件:①AD∥BC,②AB=CD.(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是菱形.(2)在(1)的条件下,若菱形ABCD的面积为24,BD=6,求菱形ABCD的边长.23.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于点E、F、O,连接CE、AF.(1)求证:四边形AFCE为菱形;(2)如图2,若∠BAC=90°,连接BE、DF分别交AF于点G,交CE于点H.在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的所有平行四边形(不包括四边形ABCD和四边形AFCE).24.如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.(1)求证:EB=GD;(2)判断EB与GD的位置关系,并说明理由;(3)若,AG=2,求EB的长.答案与解析一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角【点拨】根据题目中给出的四个选项,对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案.【解析】解:对于选项A,矩形、正方形具有对角线相等的性质,而菱形不具有;对于选项B,矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分;对于选项C,菱形、正方形具有对角线互相垂直,而矩形不具有;对于选项D,菱形、正方形具有对角线平分对角,而矩形不具有.综上所述:矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分.故选:B.【点睛】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质,理解矩形的对角线互相平分且相等;菱形的对角线互相垂直平分,且每一条对角线都平分一组内角;正方形的对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线都平分一组内角.2.如图,菱形ABCD中,过点C作CE⊥BC交BD于点E,若∠BAD=118°,则∠CEB=( )A.59° B.62° C.69° D.72°【点拨】根据菱形的性质得:AB=AD,∠ABD=∠CBE,根据等腰三角形的性质可得∠ABD=31°,由菱形的对角线平分线组对角可得∠CBE=31°,最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论.【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠ABD=∠CBE,∴∠ABD=∠ADB,∵∠BAD=118°,∴∠ABD==31°,∴∠CBE=31°,∵CE⊥BC,∴∠BCE=90°,∴∠CEB=90°﹣31°=59°.故选:A.【点睛】本题主要考查了菱形的性质,解题的关键是熟知菱形的对角线平分每一组对角.3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )A.OA⊥OB B.∠BAC=∠ACB C.OA=OB D.AD=AB【点拨】由矩形的性质分析每个选项,从而可得答案.【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,AD∥BC,OA=,OB=,∴OA⊥OB,∠BAC=∠ACB不一定成立,OA=OB,一定成立,AB=AD一定不成立,故选:C.【点睛】本题考查了矩形的性质,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.4.如图,已知点P是正方形ABCD对角线AC上一点,若PC=AB,则∠PBA等于( )A.22° B.22.5° C.25.5° D.30°【点拨】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠CBD=45°,正方形的四条边都相等可得AB=BC,然后求出BC=CP,再根据等腰三角形两底角相等求出∠CBP,然后根据∠PBA=∠ABC﹣∠CBP计算即可得解.【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=∠CBD=45°,AB=BC,∵PC=AB,∴BC=CP,∴∠CBP=×(180°﹣45°)=67.5°,∴∠PBA=∠ABC﹣∠CBP=90°﹣67.5°=22.5°.故选:B.【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.5.如图,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )A. B.6 C. D.12【点拨】由菱形的性质得AC⊥BD,OC=OA=AC=3,OB=OD=BD=4,则∠BOC=90°,所以BC==5,而AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=5AE=×6×8,求得AE=,于是得到问题的答案.【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,∴AC⊥BD,OC=OA=AC=3,OB=OD=BD=4,∴∠BOC=90°,∴BC===5,∵AE⊥BC于点E,∴S菱形ABCD=5AE=×6×8,∴AE=,故选:A.【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法,正确地求出BC的长是解题的关键.6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,若BE=EO,则AD的长是( )A.6 B. C. D.【点拨】由矩形的性质得出OA=OB,由等腰三角形的性质得出AB=AO=BO=6,推出BD=12,最后由勾股定理计算即可得解.【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,∴,,∠BAD=90°,AC=BD,∴OA=OB,∵AE⊥BD,BE=EO,即AE垂直平分OB,∴AB=AO,∴AB=AO=BO=6,∴BD=12,∴.故选:D.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在BD上,且DE=AD,连接AE,若BD=16,BC=10,则AE的长为( )A.2 B. C. D.10【点拨】由四边形ABCD是菱形,推出,DE=AD=BC=10,AC⊥BD,求出OE的长,由勾股定理即可求解.【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,,∵BC=10,BD=16,∴DE=AD=10,OD=8,∴OE=DE﹣OD=2,在Rt△AOD中,AO2=AD2﹣OD2=36,∴.故选:C.【点睛】本题考查菱形的性质,勾股定理,掌握其性质定理是解决此题的关键.8.如图,由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,连接AG.若AG=AB,则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为( )A.1:6 B.1:5 C.1:4 D.1:3【点拨】先根据四边形EFGH是正方形,证明AF⊥BG,再根据AG=AB,证明GF=BF,然后设GF=BF=x,则BG=GF+BF=2x,根据全等三角形的性质证明AF=BG=2x,在Rt△ABF中,由勾股定理求出AB,最后根据正方形的面积公式求出答案即可.【解析】解:∵四边形EFGH是正方形,∴∠GFE=90°,∴AF⊥BG,∵AG=AB,∴AF是BG边上的中线,∴GF=BF,设GF=BF=x,则BG=GF+BF=2x,∵Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH,∴AF=BG=2x,在Rt△ABF中,由勾股定理得:,∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为:,故选:B.【点睛】本题主要考查了正方形和全等三角形的性质,解题关键是熟练掌握正方形与全等三角形的性质、等腰三角形的性质.9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则PM的最小值为( )A.2.5 B.2.4 C.1.2 D.1.3【点拨】证四边形AFPE是矩形,得EF=AP,再由垂线段最短和三角形面积求出AP的长,即可解决问题.【解析】解:如图,连接AP,∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,∴BC===5,∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴∠AEP=∠AFP=90°,∴四边形AFPE是矩形,∴EF=AP,∵M是EF的中点,∴PM=EF=AP,根据垂线段最短可知,当AP⊥BC时,AP最短,则PM也最短,此时,S△ABC=BC AP=AB AC,∴AP===2.4,即AP最短时,AP=2.4,∴PM的最小值=AP=1.2,故选:C.【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.10.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接EF,给出下列四个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③∠PFE=∠BAP;④PD=EC,其中正确的是( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【点拨】过P作PG⊥AB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件,证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF,③∠PFE=∠BAP,在此基础上,通过等量代换可证明③,在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得结论④正确.【解析】解:过P作PG⊥AB于点G,如图,∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,∴GP=EP,在△GPB中,∠GBP=45°,∴∠GPB=45°,∴GB=GP,同理,得PE=BE,∵AB=BC=GF,∴AG=AB﹣GB,FP=GF﹣GP=AB﹣GB,∴AG=PF,∴△AGP≌△FPE(SAS),∴AP=EF,∴结论①正确;∵△AGP≌△FPE,∴∠PFE=∠GAP∴∠PFE=∠BAP,∴结论③正确;②延长AP到EF上于一点H,∴∠PAG=∠PFH,∵∠APG=∠FPH,∴∠PHF=∠PGA=90°,即AP⊥EF;∴结论②正确;∵GF∥BC,∴∠DPF=∠DBC,又∵∠DPF=∠DBC=45°,∴∠PDF=∠DPF=45°,∴PF=EC,在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,∴PD=EC,∴结论④正确;故选:D.【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定及性质,垂直的判定,等腰三角形的性质,勾股定理的运用.本题难度较大,综合性较强,在解答时要认真审题.二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。11.若正方形ABCD的面积为4,则正方形的对角线AC的长为 .【点拨】根据正方形的面积等于边长的平方列式求出AB,再根据勾股定理列式计算即可得解.【解析】∵正方形ABCD的面积为4,∴AB2=4,∴AB=2,∴正方形的对角线 .故答案为:.【点睛】本题考查了正方形的性质,正方形的面积公式,勾股定理等知识,熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键.12.如图,在菱形ABCD中,M,N分别为AC,CD的中点.若MN=1,则菱形ABCD的周长是 8 .【点拨】先根据三角形中位线定理得到AD=2MN=2,然后根据菱形的性质得到菱形ABCD的周长.【解析】解:∵M,N分别为AC,CD的中点,∴MN是△ACD的中位线,∴MN=AD,∵MN=1,∴AD=2,∴菱形ABCD的周长=4×2=8.故答案为:8.【点睛】本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等.也考查了三角形中位线定理.13.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=12,E为AD中点,F为CD边上任意一点,G,H分别为EF,BF中点,则GH的长是 5 .【点拨】连接BE,如图,根据矩形的性质和勾股定理可求出BE,再根据三角形的中位线定理解答即可.【解析】解:连接BE,如图,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∵E为AD中点,AD=12,∴,则在直角三角形ABE中,根据勾股定理可得:,∵G,H分别为EF,BF中点,∴;故答案为:5.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线等知识,连接BE,灵活应用三角形的中位线的性质是解题的关键.14.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,要使四边形ABCD为菱形,则需添加的条件为 AC⊥BD .(写出一个即可)【点拨】四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,根据菱形的判定定理证明四边形ABCD为菱形,也可以由四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,根据菱形的定义证明四边形ABCD是菱形,所以添加的条件可以是AC⊥BD或AB=BC,写出其中一个条件即可.【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,∴四边形ABCD为菱形,故答案为:AC⊥BD.注:答案不唯 一.【点睛】此题重点考查菱形的定义及判定定理,正确理解和运用菱形的定义和判定定理是解题的关键.15.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=4,则四边形CODE的周长为 8 .【点拨】由矩形的性质可得AO=BO=CO=DO=AC=2,通过证明四边形ODEC是菱形,即可求解.【解析】证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO=CO=DO=AC=2,∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形ODEC是平行四边形,且OC=OD,∴四边形ODEC是菱形,∴OD=DE=CE=OC=2,∴四边形CODE的周长=4×2=8,故答案为:8.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质,矩形的矩形,证明四边形ODEC是菱形是本题的关键,16.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E在AC延长线上,且AC=2CE,连接EB,过点A作AF⊥EB,垂足为F,AF与DB延长线交于点G,若,则(I)线段AE的长等于 ;(Ⅱ)线段AG的长等于 .【点拨】(I)先根据勾股定理求出AC=,再根据AC=2CE得CE=,由此即可得出线段AE的长,(Ⅱ)先证明∠G=∠E,进而可依据“AAS”判定△AOG和△BOE全等,则AG=BE,由(I)可知AC=,AE=,则OB=OA=OC=,OE=AE﹣OA=,由勾股定理得BE=,据此即可得出线段AG的长.【解析】解:(I)∵四边形ABCD是正方形,AB=,∴BC=AB=2√(6),∠ABC=90°,∠BAC=∠BCA=45°,OA=OC=OB,OA⊥OB,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC===,∵AC=2CE,∴2CE=,∴CE=,∴AE=AC+CE==,故答案为:;(Ⅱ)如图所示:∵AF⊥EB,∠ABC=90°,∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,∵OA⊥OB,∴∠AOG=∠BOE=90°,在Rt△AOG中,∠G+∠1+∠BAC=90°,∴∠G+∠1+45°=90°,∴∠G+∠1=45°∵∠BCA是△CBE的外角,∠BCA=45°,∴∠E+∠3=∠BCA=45°,又∵∠1=∠3,∴∠G=∠E,在△AOG和△BOE中,,∴△AOG≌△BOE(AAS),∴AG=BE,由(I)可知:AC=,AE=,∴OB=OA=OC=AC=,∴OE=AE﹣OA==,在Rt△BOE中,由勾股定理得:BE===,∴AG=BE=.故答案为:.【点睛】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,理解方形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质,勾股定理是解决问题的关键.三.解答题(共8小题,共72分)17.如图,延长平行四边形ABCD的边DC到点F,使得CF=CD,连接AF,BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.【点拨】由平行四边形的性质得AB∥CD,AB=CD,AD=BC,再证四边形ABFC是平行四边形,然后证BC=AF,即可得出结论.【解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,∵CF=CD,∴CF=AB,∴四边形ABFC是平行四边形,∵AD=AF,∴BC=AF,∴平行四边形ABFC是矩形.【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质等知识,熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键.18.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=BF,AF与DE相交于点G.(1)求证:△ADE≌△BAF;(2)求∠DGF的度数.【点拨】(1)根据正方形性质得AD=BA,∠DAE=∠ABF=90°,由此可依据“SAS”判定△ADE和△BAF全等;(2)根据全等三角形性质得∠ADE=∠BAF,再根据∠DAG+∠BAE=90°得∠DAG+ADE=90°,由此可得出∠AGD=90°,据此即可得出∠DGF的度数.【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BA,∠DAE=∠ABF=90°,在△ADE和△BAF中,,∴△ADE≌△BAF(SAS);(2)∵△ADE≌△BAF,∴∠ADE=∠BAF,∵∠DAE=∠DAG+∠BAE=90°,∴∠DAG+ADE=90°,在△AGD中,∠AGD=180°﹣(∠DAG+ADE)=90°,即AF⊥DE,∴∠DGF=90°.【点睛】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握正方形的性质,全等三角形的判定与性质是解决问题的关键.19.如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,BE∥AD,AE⊥AD.(1)求证:四边形ADBE是矩形;(2)作EF⊥AB于F,若BC=4,AD=3,求EF的长.【点拨】(1)根据等腰三角形的性质得∠ADB=90°,再根据平行线的性质得∠DBE=90°,然后根据AE⊥AD,可得∠DAE=90°,即可得出结论;(2)根据等腰三角形的性质求出,再根据勾股定理得AB,然后根据矩形的性质得BE=AD=3,AE=BD=2,最后根据三角形的面积相等得出答案.【解析】(1)证明:∵△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∠ADB=90°,∵BE∥AD,AE⊥AD,∴∠DBE=90°,∠DAE=90°,∴四边形ADBE是矩形;(2)解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=4,AD=3,∴.在直角三角形ABD中,由勾股定理得:.∵四边形ADBE是矩形,∴BE=AD=3,AE=BD=2.∵,∴.【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定,等腰三角形的性质,勾股定理,解答本题的关键是熟练掌握勾股定理.20.如图,A,C是菱形BEDF的对角线EF上的两点,且AE=CF,∠ACB=45°.(1)求证:四边形ABCD是正方形;(2)若正方形ABCD的边长为3,AE=1,求菱形BEDF的面积.【点拨】(1)连接BD交AC于点O,先证明四边形ABCD是菱形,结合∠BCD=90°即可得出结论;(2)根据正方形的性质得到AC=BD,∠ABC=90°,AB=BC=3,根据勾股定理求出,再根据菱形的面积公式求解即可.【解析】(1)证明:连接BD交AC于点O,如图:由题意可得:AC⊥EF,EO=FO,BO=DO,∵AE=CF,∴AE+EO=CF+FO,即AO=CO,又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,∵∠ACB=45°,∴∠ACD=∠ACB=45°,即∠BCD=90°∴四边形ABCD是正方形.(2)解:由题意可得:∴AC=BD,∠ABC=90°,AB=BC=3,∴Rt△ABC中,,∵AE=CF=1,∴,∴.【点睛】本题考查了菱形的判定与性质,正方形的判定,勾股定理等知识,掌握相关知识是解题的关键.21.如图,在 ABCD中,点O为线段AD的中点,延长BO交CD的延长线于点E,连接AE,BD,∠BDC=90°.(1)求证:四边形ABDE是矩形;(2)连接OC.若AB=4,,求OC的长.【点拨】(1)证△AOB≌△DOE(ASA),得AB=DE,再证四边形ABDE是平行四边形,然后证∠BDE=90°,即可得出结论;(2)过点O作OF⊥DE于点F,由矩形的性质得DE=AB=4,OD=OE,再由等腰三角形的性质得DF=EF=DE=2,则OF为△BDE的中位线,得OF=BD=,然后由平行四边形的性质得CD=AB=2,进而由勾股定理即可得出结论.【解析】(1)证明:∵O为AD的中点,∴AO=DO,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAO=∠EDO,又∵∠AOB=∠DOE,∴△AOB≌△DOE(ASA),∴AB=DE,∴四边形ABDE是平行四边形,∵∠BDC=90°,∴∠BDE=90°,∴平行四边形ABDE是矩形;(2)解:如图,过点O作OF⊥DE于点F,∵四边形ABDE是矩形,∴DE=AB=4,OD=AD,OB=OE=BE,AD=BE,∴OD=OE,∵OF⊥DE,∴DF=EF=DE=2,∴OF为△BDE的中位线,∴OF=BD=,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=4,∴CF=CD+DF=6,在Rt△OCF中,由勾股定理得:OC===,即OC的长为.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.22.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O.有下列条件:①AD∥BC,②AB=CD.(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是菱形.(2)在(1)的条件下,若菱形ABCD的面积为24,BD=6,求菱形ABCD的边长.【点拨】(1)若选择②AB=CD,由AB∥CD,AB=CD,证明四边形ABCD是平行四边形,而AB=AD,则四边形ABCD是菱形;若选择①AD∥BC,由AB∥DC,AD∥BC,证明四边形ABCD是平行四边形,而AB=AD,则四边形ABCD是菱形;(2)由菱形的性质得AC⊥BD,由S菱形ABCD=BD AC=24,且BD=6,得×6AC=24,求得AC=8,则OA=OC=4,OB=OD=3,根据勾股定理求得AB=5,所以菱形ABCD的边长是5.【解析】解:(1)选择②AB=CD,证明:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.注:答案不唯一.(2)∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,∴AC⊥BD,∴∠AOB=90°,∵S菱形ABCD=BD AC=24,且BD=6,∴×6AC=24,∴AC=8,∴OA=OC=AC=4,OB=OD=BD=3,∴AB===5,∴菱形ABCD的边长是5.【点睛】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识,推导出四边形ABCD是平行四边形,进而证明四边形ABCD是菱形是解题的关键.23.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于点E、F、O,连接CE、AF.(1)求证:四边形AFCE为菱形;(2)如图2,若∠BAC=90°,连接BE、DF分别交AF于点G,交CE于点H.在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的所有平行四边形(不包括四边形ABCD和四边形AFCE).【点拨】(1)证△AOE≌△COF(ASA),得EO=FO,则四边形AFCE为平行四边形,再由EF⊥AC,即可得出结论.(2)由平行四边形的判定与性质分别进行判定即可.【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAC=∠FCA,∵EF是AC的垂直平分线,∴EF⊥AC,OA=OC,在△AOE与△COF中,,∴△AOE≌△COF(ASA).∴EO=FO,∴四边形AFCE为平行四边形,又∵EF⊥AC,∴平行四边形AFCE为菱形.(2)解:图2中的所有平行四边形(不包括四边形ABCD和四边形AFCE)为平行四边形ABFE、平行四边形CDEF,平行四边形BFDE、平行四边形EGFH,理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,由(1)可知,四边形AFCE为菱形,∴EF⊥AC,∴AB∥EF,∵AD∥BC,∴四边形ABFE是平行四边形,∴AE=BF,∵AB∥EF,AB∥CD,∴CD∥EF,∴四边形CDEF是平行四边形,∴DE=CF,∵四边形AFCE是菱形,∴AE=CF,AF∥CE,∴AE=DE,∴BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形,∴BE∥DF,∴四边形EGFH是平行四边形.【点睛】本题考查了菱形的判定于性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识;熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.24.如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.(1)求证:EB=GD;(2)判断EB与GD的位置关系,并说明理由;(3)若,AG=2,求EB的长.【点拨】(1)根据正方形性质得AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,进而得∠BAE=∠DAG,由此可依据“SAS”判定△BEA和△DGA全等,然后根据全等三角形的性质即可得出结论;(2)设AD与BE相交于点P,根据△BEA和△DGA全等得∠ABE=∠ADG,再根据三角形内角和定理及∠BPA=∠DPH得∠DHP=∠BAD=90°,由此可得出EB与GD的位置关系;(3)过点E作EK⊥BA,交BA的延长线于点K,证明△AEK是等腰直角三角形得AK=EK,再由勾股定理得AK=EK=√,进而得BK=AB+AK=,然后在Rt△BEK中,由勾股定理即可求出EB的长.【解析】(1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,∴∠BAD+∠EAD=∠EAG+∠EAD,∴∠BAE=∠DAG,在△BEA和△DGA中,,∴△BEA≌△DGA(SAS),∴EB=GD;(2)解:EB与GD的位置关系是:EB⊥GD,理由如下:设AD与BE相交于点P,如图1所示:由(1)可知:△BEA≌△DGA,∴∠ABE=∠ADG,在△ABP中,∠ABE+∠BAD+∠BPA=180°,在△DPH中,∠ADG+∠DHP+∠DPH=180°,又∵∠BPA=∠DPH,∴∠DHP=∠BAD=90°,∴EB⊥GD;(3)解:过点E作EK⊥BA,交BA的延长线于点K,如图2所示:∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,∴∠BAC=45°,∴∠GAK=∠BAC=45°,∵四边形AEFG是正方形,AG=2,∴AE=AG=2,∠GAE=90°,∴∠EAK=∠GAE﹣∠GAK=45°,∵EK⊥BA,∴△AEK是等腰直角三角形,∴AK=EK,由勾股定理得:AE==AK,∴AK=EK=AE==,∵AB=,∴BK=AB+AK=,在Rt△BEK中,由勾股定理得:EB===.【点睛】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,理解正方形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质,勾股定理是解决问题的关键.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览