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(共55张PPT)
八年级数学下学期期末复习
专题01 二次根式
（6考点+2专项突破+6易错）
人教版
01
02
04
03
目
录
易错易混
题型剖析
考点透视
押题预测
六大常考点：知识梳理+针对训练
二大突破（比较二次根式大小+二次根式的化简求值）
六大易错易混经典例题+针对训练
精选4道期末真题对应考点练
分母
能开得尽方
知识结构
3个概念：二次根式，代数式，最简二次根式
4个性质：( )2=a(a≥0)； =｜a｜= 积的平方根的性质 (a≥0，b≥0)；
商的平方根的性质 (a≥0，b＞0)
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： (a≥0，b≥0),
二次根式的乘法
积的算术平方根的性质
(a≥0，b＞0)
二次根式的除法
商的算术平方根的性质
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
知识梳理
考点1 二次根式
1.[2024· 重庆秀山区期末] 下列各式一定为二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
针对训练
2. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围
是______.
考点2 最简二次根式
3.下列二次根式是最简二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
4.若与最简二次根式可以合并，则 ___.
2
考点3 代数式
5.用代数式表示：
（1）面积为 的正方形的边长为____；
（2）面积为的直角三角形的两直角边的比为 ，则这两条直角边分
别为________.
,
考点4 二次根式的性质
6.若，则 的立方根是( )
A
A.2 B. C.0 D.1
7.[2024· 北京丰台区月考] 已知 ，化简
的结果为( )
C
A. B. C.5 D.3
8.若，且为偶数，则 的值为___.
6
9.若实数满足，则 _______.
10.已知，，满足 .
（1）求，， 的值.
解：根据题意，得，， ，
，， ，
解得，， .
（2）以，， 为边长能否构成三角形？请说明理由.若能构成三角形，
求出三角形的周长.
解：以，， 为边长能构成三角形.
因为 ，所以能构成三角形.
该三角形的周长为 .
考点5 二次根式的运算
11.[2024· 济宁] 下列运算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
12.[2024· 重庆江北区期中] 估计 的值应在( )
C
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
13.[2024· 南京玄武区二模] 下列各数中，与 的积为有理数的是
( )
C
A. B. C. D.
14.如图，大正方形中有两个相邻的白色小正方形，其面
积分别为8和18，则图中阴影部分的面积为( )
A
A.24 B.50 C. D.26
[解析] 点拨：根据题意得白色小正方形的边长分别为
， ，
大正方形的边长为 ，
最大的正方形的面积为 ，
阴影部分的面积为 .
15. 已知，，则 的值为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 点拨：， ，
， ，
.
16. 已知，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 点拨： ， .
17.[2024· 衡水一模] 设，其中， ，
则 的值为( )
B
A.2 B. C.1 D.
[解析] 点拨：
.
18. 从，， 中任意选择两个数，分别填在算式
里面的“”与“ ”中，计算该算式的结果是
_ _________________________.（只需写出一种结果）
（答案不唯一）
19.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
20.已知， ，求下列式子的值：
（1） ；
解： ，
， ，
原式 .
（2） .
解： ，
， ，
原式 .
考点6 二次根式的实际应用
21.[2024· 蚌埠期中] 高空物体下落的时间（单位：）和高度 （单位：）近似
满足公式：为重力加速度，取 . 若一物体从 的高空下落，
则落到地面的时间大约为( )
B
A. B. C. D.
22.在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加 ，宽增加，就成为了
一个面积为 的正方形，则原长方形纸片的面积为________.
[解析] 点拨：一个面积为的正方形纸片的边长为 ,
原长方形的长为,宽为 ，
原长方形纸片的面积为 .
23.（1）如图①，在边长为 的正方形的一角剪去一个边长
为 的小正方形，求图中阴影部分的面积；
解：由题意得
.
（2）小明是一名爱动脑筋的学生，他发现沿图①中的虚线将阴影部分
剪开，可拼成如图②所示的长方形，请你根据小明的思路求图①中阴影
部分的面积.
解：由题意得，题图②中长方形的长为
，题图②中长方形的宽为
，
.
比较二次根式大小的方法
专项突破一
方法一 平方法
1.比较与 的大小.
解： ,
，且 ，
.
又, ,
.
方法二 作商法
2.比较与 的大小.
解： ，
,, ,
, .
方法三 分子有理化法
3.（1）比较与 的大小；
解:
，
.
,, ,
，
即 .
（2）比较与 的大小.
解:， ，
且 ，
，即 .
方法四 分母有理化法
4.比较与 的大小.
解：，，且 ，
.
方法五 作差法
5.比较与 的大小.
解： .
， .
方法六 倒数法
6.已知，，试比较， 的大小.
解： ，
, .
方法七 定义法
7.比较与 的大小.
解：, .
又， .
方法八 特殊值法
8.若，请用“ ”号连接，，， ：
________________.
二次根式的化简求值
专项突破二
类型一 利用二次根式的性质求值
1.[2024·济宁期末] 已知， 在数轴上的位置如图所示，化简代数式
的结果为( )
A
A. B. C. D.2
[解析] 点拨：由题图，可得,且, ，所以
.
2.[2024·泰安期末] 已知点 是平面直角坐标系中第二象限的点，
则化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.0
[解析] 点拨：点是平面直角坐标系中第二象限的点， ，
，
.
3.[2024·泰州靖江市期中] 已知，，且 ，则
的值是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 点拨：,,, ,
.
4.已知实数满足，求 的值.
解：根据二次根式的意义可知 ,
即， ,
整理，得 ,
两边平方，得,即 .
类型二 先化简或变形待求式，再求值
5.若，则 的值为( )
A
A. B.5 C. D.2
[解析] 点拨： ，
.
6. 已知，则 的值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 点拨： ，
，
.
7. 已知,则 ____.
8.已知,求 的值.
解： .
, .
.
类型三 先化简或变形已知条件，再求值
9.若，则 _ _.
[解析] 点拨：, ,
, .
10.已知，则 __.
[解析] 点拨：由已知得,则,即 ，
原式 .
类型四 利用乘法公式化简求值
11.[2024·秦皇岛一模] 已知，，则 的值为
( )
B
A.2 B.4 C.5 D.7
[解析] 点拨：原式
.
12.[2024·黄冈月考] 已知，，则 的值为
_______.
[解析] 点拨：, ,
,
,
，
.
13.形如的根式叫做复合二次根式，对 可进行如下化
简： ，利用上
述方法化简： .
解：
.
易错点1.求解含二次根式的代数式有意义时，忽略分母不为零
【例1】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　.
错解：x≥3.
错解分析：在求解含二次根式的代数式有意义时，只注意到了根号内代数式大于等于零，忽略了题目中根式在分母的位置时，还要保证分母不为零.
正解：由2x－6＞0，解得x＞3.
易混易错
【针对训练】(1)使代数式有意义的x的取值范围是( )
A. x≥2 B. x＞2
C. x＜2 D. x≠2
(2)若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠2 B. x≥0
C. x＞0且x≠2 D. x≥0且x≠2
D
B
易错点2.应用性质()＝a时，忽视了a≥0
【例2】已知实数a在数轴上的位置如图D16－1－1，则化简＝
　　　.
图D16－1－1
错解：a－2.
错解分析：忽视了算术平方根的非负性，应该先写出化简后的带绝对值的代数式，再根据数轴判断绝对值中的代数式的符号，然后去绝对值.
正解：由数轴可得a＜2.
∴a－2＜0.
∴＝2－a.
A. －1 B. 2a－3 C. 1 D. 3－2a
图D16－1－2
【针对训练】 已知实数a在数轴上的对应点位置如图D16－1－2，则化简的结果是( )
B
易错点3.二次根式化简不彻底
【例3】计算：.
错解：原式＝5－3
＝2.
错解分析：二次根式的运算中，结果不是最简二次根式，被开方数还含有分母，应将看成，再将其进行化简计算.
正解：原式＝5－3
＝.
【针对训练】计算：.
解：原式＝2
＝.
易错点4.错误理解最简二次根式
【例4】下列根式中，不是最简二次根式的是 (　　)
A. B.
C. D.
错解：A或C.
错解分析：最简二次根式应满足两个条件：一是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式；二是被开方数中不能含有分母.其中，中不再含有开得尽方的因式了，尽管式子含有分母，但被开方数是2b.而，被开方数中还含有分母，故它不是最简二次根式.
正解：D.
【针对训练】(1)下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. －
C. (y≥－1) D.
(2)下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
C
C
易错点5.错误运用乘法分配律
【例5】计算：÷().
错解：原式＝
＝.
错解分析：错解是对乘法分配律a(b＋c)＝ab＋ac的变形应用(a＋b)÷d＝(a＋b)·的错误理解.
正解：原式＝.
【针对训练】计算：.
解：原式＝
＝
＝
＝.
易错点6.不熟悉二次根式的运算法则
【例6】下列计算正确的是 (　　)
A.B.＝3－1
C.(2－)(2＋)＝1 D.＝1
错解：A或D.
错解分析：对二次根式的运算法则不熟悉，二次根式的混合运算中，应先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式.
正解：B.
【针对训练】下列计算正确的是( )
A. ＝2 B. 3＝3
C. ＝－2 D.()()＝1
D
1.[2024 天津南开区期末] 下列的取值中，可以使 有意义的是
( )
D
A.13 B.10 C.7 D.4
押题预测
2.[2024 南京秦淮区期末] 下列二次根式中，是最简二次根式的是
( )
B
A. B. C. D.
3. 任意一个二次根式（ 为正整数），都可以进行
这样的分解：，都是正整数，且，在 的所有
这种分解中，若最小，我们就称是 的最佳分解，并
记为：.例如可以分解成，或 ，
显然是的最佳分解，此时.若正整数， 满足
，，且，则 的值为___________.
或
[解析] 点拨： ,
可设，其中为正整数，则 .
, .
, 为一个正整数的平方.
, ，
, 或4.
当时，；当时， .
4. 阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些
含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，
善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中，，， 均为整数），则有
，.这样小明就找到了一种把类似 的式
子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，均为正整数时，若 ，用含
，的式子分别表示，，得__________， ______；
（2）试着把 化成一个完全平方式；
解： .
（3）化简： .
解： .

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