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(共69张PPT)
专题02 勾股定理
（3考点+2专项突破+4易错）
八年级数学下学期期末复习
人教版
01
02
04
03
目
录
易错易混
题型剖析
考点透视
押题预测
三大常考点：知识梳理+针对训练
二大专项突破(利用勾股定理解决折叠+最短路径问题）
四大易错易混经典例题+针对训练
精选3道期末真题对应考点练
直角
正整
知识结构
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
A
C
B
b
a
c
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
知识梳理
知识点一：勾股定理
赵爽弦图
S大正方形=c2
=(b-a)2+4× ab
化简结果，得c2=a2+b2.
数学思想：
数形结合思想
特殊到一般的思想
转化思想
分类讨论思想
知识点二：勾股定理的证明
重新组合
S左=a2+b2+4× ab
S右=c2+4× ab
∵S左=S右
∴a2+b2=c2
知识点三：毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法
题设：Rt△ABC≌Rt△CDE
易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形
S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE
即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2
化简得：a2+b2=c2
知识点四：加菲尔德：梯形面积法
知识点五：达芬奇证明方法：
勾股定理
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(a2+b2=c2)
勾股定理
的逆定理
题设：一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.
结论：这个三角形是直角三角形.
若两个命题的题设、结论正好相反，则这两个命题叫做互逆命题.
知识点六：互逆命题
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(a2+b2=c2)
题设：一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.
结论：这个三角形是直角三角形.
如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
考点1 勾股定理
1.在中， ,,,则 的长为( )
B
A.5 B. C.3 D.
针对训练
2.[2024· 天津模拟] 如图，的顶点 的坐标为
，顶点,分别在第一、四象限，且 轴，
若,，则点 的坐标是( )
D
A. B. C. D.
3.[2024· 北京西城区期中] 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上
形成一个长方形，以表示3的点为圆心，以长方形的对角线长为半径作
圆与数轴有两个交点，其中点 表示的数是( )
C
A.5.2 B. C. D.
4.[2024· 浙江] 如图，正方形 由四个全等的直角
三角形 和中间一个小
正方形组成，连接.若， ，则
的长为( )
C
A.5 B. C. D.4
5. 如图，图中所有的三角形都是
直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知
，，，，则 的值是
( )
B
A.18 B.10 C.36 D.40
6.[2024· 北京朝阳区期中] 如图，在中， ， ，
，，则 的长为 ( )
B
A.1.5 B.2 C.3 D.4
[解析] 点拨： ， ，
， .
， ，
解得（负值已舍去）， .
， ， ，
， .
考点2 勾股定理的逆定理
7.[2024· 重庆铜梁区期中] 下列各组数中是勾股数的是( )
D
A.，， B.1，2， C.4，5，7 D.5，12，13
8.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是
( )
C
A. B. C. D.
9.下面三个定理中，存在逆定理的有( )
①角平分线上的点到角的两边的距离相等；
②全等三角形的对应角相等；③内错角相等，两直线平行.
C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10.如图，在中，，，，以 为直径的
半圆过点，再分别以， 为直径向外作半圆，则阴影部分的面积
为____.
30
11.如图，已知等腰三角形 的底边长
，是 上的一点，且
， .
（1）求证： ；
证明：,,， ，
.
是直角三角形，且 .
（2）求 的面积.
解：设，则 .
, .
在中， ， ，
即，解得 .
.
的面积为 .
考点3 勾股定理及其逆定理的实际应用
12. “今有方池一丈，葭生其中央，出水
一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国
数学史上的“葭生池中”问题.如图，即 ，
，，则 ( )
C
A.8 B.10 C.12 D.13
13. 《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃
一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门
和，门边沿，两点到门槛的距离是1尺（1尺寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛 长为_____寸.
101
14. 如图为某品牌婴儿车简化结构示意图.根据安全标
准需满足，现测得，， ，
，其中与之间由一个固定为 的零件连接
（即 ），通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准.
解：在中， ，， ，
由勾股定理得 ，
在中，，， ，
， ，
，
是直角三角形， ，即 ，
该婴儿车符合安全标准.
利用勾股定理解决折叠问题
专项突破一
题型一 一次折叠问题
（第1题）
1.如图，在中，， ，
，将折叠，使点落在边上的点
处，是折痕，则 的周长为( )
C
A.6 B.8 C.12 D.14
（第2题）
2.[2024·莆田期中] 如图，， ，
将沿着直线折叠，点落在点 处，
与轴交于点，与交于点，则点 的坐
标是( )
B
A. B. C. D.
3.如图，把一张长方形纸片沿折叠，点 与点
重合，点落在点处,连接.若长方形的长 为8，
宽 为4，求：
（1）和 的长；
解： 四边形 为长方形，
,, .
由折叠得，， ,
设，则 ，
在中， ，
，解得，， .
（2）阴影部分的面积.
解：过点作于点 ，
，， ，
，
， ，
即阴影部分的面积为 .
题型二 两次折叠问题
4.如图，在三角形纸片中， ，， .沿过
点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处；再折叠纸片，使
点与点重合，第二条折痕与的交点为，求 的长.
解：由折叠得， ，
， ，
， ，
，
， ，
设，则 ，
，解得，即 .
5.如图,正方形纸片的边长为3,点，分别在边,上,将,
分别沿，折叠，点,恰好都落在点处.已知,求 的长.
解：设，由折叠的性质，得, 正方
形 的边长为3，
,, .
由题意得，点，，三点共线. .
在中， ,
，解得 .
.
利用勾股定理解决最短路径问题
专项突破二
图例 基本策略
模型一 ________________ 确定动点 所在的直线；利用对称性，将同侧的, 两点转化为异侧的两点，，则最短路径即为线段 ；常构造直角三角形 ，利用勾股定理求解
图例 基本策略
模型二 利用“垂线段最短”确定最短路径；
构造直角三角形，利用勾股定理求解
类型一 平面图形中的最短路径问题
1.如图，在中， ,，
的平分线交于点,且，是边 上一动
点，则 的最小值为( )
C
A.2 B. C.1 D.
2.[2024·天津和平区月考] 如图，在 中，
，，，为 边上一动
点，连接，与关于直线 对称，连
接，则 的最小值为( )
B
A. B.1 C. D.
3.[2024·佛山禅城区期中] 如图，在等边三角形
中，是高，点,分别在,上，点是边 上的
动点，连接,,若，，则 的
最小值为( )
B
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 点拨：如图，作点关于直线的对称点 ，
连接交于点，连接 ，
易知此时 的值最小，最小值为
，
是等边三角形， 是高，
,
由对称可知，, ，
，
,
的最小值为5.
4.如图，在中，，，且，若点 在
边上（不含端点）运动，则线段 的最小值为___.
[解析] 点拨：根据垂线段最短知，
当时， 的值最小，
,,, ，
当时， ，
即, ,
此时 ,
点在边上， 线段的最小值为 .
5.[2024·成都] 如图，在平面直角坐标系中，已知， ，
过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则
的最小值为___.
5
[解析] 点拨：如图，作点关于直线的对称点 ，
连接交直线于点，连接， ，
则，， ，
，
当,,三点共线，即点与点 重合时，
的值最小，为线段 的长，
直线轴， 轴.
，，,， ，
在 中，
.
的最小值为5.
类型二 几何体中的最短路径问题
图例 基本策略
圆柱 __________________________________________ 将立体图形展开成平面图形，
利用“两点之间，线段最短”确
定最短路径；构造直角三角
形，利用勾股定理求解
注意：长方体不同的展开方法
构造的直角三角形的各边长不
同，因此要先分类讨论再计算
比较
图例 基本策略
长方体 ___________________________________________________ 将立体图形展开成平面图形，
利用“两点之间，线段最短”确
定最短路径；构造直角三角
形，利用勾股定理求解
注意：长方体不同的展开方法
构造的直角三角形的各边长不
同，因此要先分类讨论再计算
比较
阶梯 ____________________________________________________________________________
续表
6.小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个
长方体的两个侧面，如图所示.他根据学过的数学知
识准确地判断出，从点攀爬到点 的最短路径长为
( )
D
A. B. C. D.
7.如图，圆柱的轴截面 是边长为4的正方形，动点
从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点 的最短
距离的平方为( )
A
A. B. C. D.
8.[2024·武汉经开区期末] 如图，长方体的长、宽、高分别为 ，
，，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点 ，则蚂蚁爬行
的最短路径的长是______ .
[解析] 点拨：如图①，展开前面和上面，连接
, ；如图
②，展开前面和右面，连接 ，
；如图③，展
开左面和上面，连接 ，
.
， 最短路径的长为 .
9.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、
宽、高分别为，和，和
是这个台阶的两个相对的端点， 点处有一
只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，则这只
蚂蚁从点出发沿着台阶爬到 点的最短距离
是____ .
73
[解析] 点拨：将台阶展开成平面图形，连接 ,
如图所示.
因为每级台阶长、宽、高分别为，
和 ，
所以 ，
,
在中， ,
所以最短距离是 .
10.如图，长方体的长和宽分别为和，高为 .
如果用一根细线从点开始经过四个侧面缠绕一圈达到点 ，那么所用
细线最短需要______ .
类型三 利用数形结合解决最短路径问题
11.[2024·莆田涵江区期中] 【问题背景】
在中，，，三边的长分别为，， ，求这个三
角形的面积.小蔡同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格
（每个小正方形的边长均为1），然后在网格中画出格点
（即三个顶点都在小正方形的顶点处， ,
, ），如图①.这样不需求
的高，借用网格就能计算出它的面积.这种求 面积的方法
叫做构图法.
【问题解决】
（1）借用网格计算出图①中 的面积为_ _.
【思维拓展】
（2）请运用构图法比较与 的大小，在图②的正方形网格
（每个小正方形的边长均为1）中画出相应的图形.
解：如图①，由图可得, ,
，
由三角形的三边关系可知 ，
.
【探索创新】
（3）已知是正数，请运用构图法求出 的最小
值.（画出相应的图形）
解：如图②， 的最小值可转
化为平面直角坐标系中轴正半轴上一点 到
, 两点的距离的和的最小值，
作关于轴的对称点，连接， ，
则， ，
当,,三点共线时，的值最小，最小值为 的长度.
， ，
，
的最小值为 .
易错点1.审题不到位，受思维定式的干扰
【例1】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)
(a－b)＝c2，则 (　　)
A. ∠A为直角
B. ∠B为直角
C. ∠C为直角
D. △ABC不是直角三角形
易混易错
错解：C.
错解分析：常见的直角三角形表示中，一般将直角标注为∠C，因此容易思维定式选择∠C为直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，再根据勾股定理进行判断，较长边对应的角是直角.
正解：A.
【针对训练】填空：
(1)在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，则斜边BC长为　 　；
(2)在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，则第三边长为　 　.
10或2
10　
易错点2.概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理
【例2】下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是
(　　)
A.1，2，3 B.62，82，102
C. D.
错解：B.
错解分析：未能彻底区分勾股定理及其逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方，看是否满足a2＋b2＝c2的形式.
正解：因为，故选C.
【针对训练】(1)以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. ，2 B. 1，2，
C. D. 4，5，6
(2)已知∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A＋∠C＝∠B B. ＝3，＝4，＝5
C.(a＋b)2－c2＝2ab D. ∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2
B
C
易错点3.方向角问题中方向不明确时，结果没有进行分类
【例3】如图D17－1－1，某港口O位于东西海岸线上，甲、乙两艘渔船同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，甲船沿北偏东30°方向以每小时16 n mile的速度航行，乙船沿某方向以每小时12 n mile的速度航行，2 h后，甲船到达点A处，两艘船相距40 n mile，问乙船沿哪个方向航行？
图D17－1－1
错解：如图D17－1－2，假设2 h后乙船到达点B处.
由题意，得OA＝16×2＝32(n mile)，OB＝12×2＝24(n mile).
∵OA2＋OB2＝322＋242＝1 600，AB2＝402＝1 600，
∴OA2＋OB2＝AB2.
∴△OAB是直角三角形，且∠AOB＝90°.
∵甲船沿北偏东30°方向航行，
∴90°－30°＝60°.
∴乙船沿北偏西60°方向航行.
图D17－1－2
错解分析：该解题过程错在只讨论了其中一种情况，导致漏解，这题没有给出航行方向，乙船可能沿北偏西的某个方向航行，也可能沿南偏东的某个方向航行，需要自己画图分类讨论.
由题意，得OA＝16×2＝32(n mile)，
OB＝12×2＝24(n mile).
∵OA2＋OB2＝322＋242＝1 600，AB2＝402＝1 600，
∴OA2＋OB2＝AB2.
∴△OAB是直角三角形，且∠AOB＝90°.
∵甲船沿北偏东30°方向航行，
∴90°－30°＝60°.
∴乙船沿北偏西60°或南偏东60°方向航行.
正解：如图D17－1－3，假设2 h后乙船到达点B处.
图D17－1－3
【针对训练】某港口A位于东西海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行45 n mile，乙船每小时航行60 n mile，它们离开港口1.2 h后分别位于点B，C处，且相距90 n mile.若甲船沿南偏西25°方向航行，问乙船沿哪个方向航行？
解：如答图D17－1－1.
由题意，得AB＝45×1.2＝54(n mile)，AC＝60×1.2＝72(n mile).
∵AB2＋AC2＝542＋722＝8 100，BC2＝902＝8 100.
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.
∵甲船沿南偏西25°方向航行，∴90°－25°＝65°.
∴乙船沿南偏东65°或北偏西65°方向航行.
答图D17－1－1
易错点4.分析不深入，以偏概全而造成漏解
【例4】在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，求△ABC的周长.
错解：∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，
∴AD＝＝9，BD＝＝5.
∴AB＝AD＋BD＝9＋5＝14.
∴△ABC的周长为14＋13＋15＝42.
错解分析：本题求解时，容易分析不深入，以偏概全而造成漏解，只考虑了三角形的高在形内的情况，遗漏了三角形的高可能在形外这一情况，因而导致出现漏解，造成解题答案不完整.
正解：∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，
∴AD＝＝9，
BD＝＝5.
如图D17－1－4①，CD在△ABC内部时，
AB＝AD＋BD＝9＋5＝14.
此时△ABC的周长为14＋13＋15＝42；
如图D17－1－4②，CD在△ABC外部时，
AB＝AD－BD＝9－5＝4.
此时△ABC的周长为4＋13＋15＝32.
综上所述，△ABC的周长为42或32.
图D17－1－4
【针对训练】在△ABC中，AD为BC边上的高，AC＝5，BC＝6，△ABC的面积为12，求AB的长.
解：∵AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×AD＝12.
解得AD＝4.
由勾股定理，得CD＝＝3.
如答图D17－1－2①，当AD在△ABC内部时，BD＝BC－CD＝6－3＝3.
此时AB＝＝5；
答图D17－1－2
如答图D17－1－2②，当AD在△ABC外部时，BD＝BC＋CD＝6＋3＝9.
此时AB＝.
综上所述，AB的长为5或.
1.[2024·聊城期末] 如图，数轴上的点， 分别对
应的数是1，2，过点作，以点 为圆
心，长为半径画弧，交于点 ；以数轴原点
（点）为圆心， 长为半径画弧，交数轴于点
，则点 对应的数是( )
D
A. B. C. D.
押题预测
2. 如图，这是一个供滑板
爱好者使用的型池示意图，该 型池可以看成是
长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部
分的截面是直径为 的半圆，其边缘
，点在上， ，一
C
A. B. C. D.
名滑板爱好者从点滑到 点，则他滑行的最短距离约为（边缘部分的
厚度忽略不计， 取3，结果精确到 ）( )
3. 如图， 是等腰直角
三角形，，点在 的斜边上.求证：
.
证明：如图，作，垂足为， .
在中， .
, 易得 .
，
，
, .

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