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(共103张PPT)
专题03 一次函数
（6考点+3专题突破+5易错）
八年级数学下学期期末复习
人教版
01
02
04
03
目
录
易错易混
题型剖析
考点透视
押题预测
六大常考点：知识梳理+针对训练
三大专题突破（4图象与实际问题+2面积问题+3动态问题）
五大易错易混经典例题+针对训练
精选3道期末真题对应考点练
图象法
一、
三
二、四
增大
减小
一、三、四
二、三、四
上加下减
知识结构
知识梳理
知识点一：函数自变量的取值范围
1. 自变量的取值范围
(1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围.
(2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.
(3)不同类型的函数自变量取值范围的确定
类型 特征 举例 取值范围
整式型 等式右边是关于自变量的整式 y＝2x2＋3x－1 全体实数
分式型 等式右边是关于自变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数
根 式 型 偶次根 式型 等式右边是关于自变量的开偶次方的式子 y＝ 使根号下的式子为大于或等于0 的数
奇次根 式型 等式右边是关于自变量的开奇次方的式子 y＝ 全体实数
1. 函数的图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
通过图象可以数形结合地研究函数
知识点二：函数的图象
拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上.
2. 描点法画函数图象的一般步骤
步骤 描述 注意
列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌
描点 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确
连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点
函数 字母系数取值 （ k>0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx+b (k≠0) b>0 y随x增大而
增大
b=0
b<0
第一、三象限
第一、二、三象限
第一、三、四象限
知识点三：一次函数的图象与性质
函数 字母系数取值 （ k<0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx+b (k≠0) b>0 y随x增大而
减小
b＝0
b<0
第一、二、
四象限
第二、四象限
第二、三、
四象限
求一次函数解析式的一般步骤：
（1）先设出函数解析式；
（2）根据条件列关于待定系数的方程（组）；
（3）解方程（组）求出解析式中未知的系数；
（4）把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.这种求解析式的方法叫待定系数法.
知识点四：用待定系数法求一次函数的解析式
　求ax+b=0(a，b是
　常数，a≠0)的解．
x为何值时，函数
y= ax+b的值为0？
从“数”的角度看
求ax+b=0(a, b是
　 常数，a≠0)的解．
　求直线y= ax+b与 x
　轴交点的横坐标．
从“形”的角度看
(1)一次函数与一元一次方程
知识点五：一次函数与方程、不等式
解不等式ax+b＞0
(a，b是常数，a≠0) ．
　x为何值时，函数
　y= ax+b的值大于0？
解不等式ax+b＞0
(a，b是常数，a≠0) ．
求直线y= ax+b在 x轴
上方的部分（射线）
所对应的横坐标的
取值范围．
从“数”的角度看
从“形”的角度看
(2)一次函数与一元一次不等式
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
(3)一次函数与二元一次方程组
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
建立模型：认真分析实际问题中的数量关系，找出其中的常量与变量，设出变量，根据已知条件建立一次函数关系式。
确定定义域：根据实际问题的背景，确定自变量的取值范围，即函数的定义域。
求解问题：利用一次函数的性质和相关数学知识，对建立的函数模型进行求解，得出结果。
检验答案：将求得的结果代入原问题中进行检验，看是否符合实际意义，若不符合，则需要重新检查解题过程。
知识点六：一次函数的应用
2． 函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
知识点1：函数自变量的取值范围
1． 函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A． x＞2 B． x≥2
C． x≤－2 D． x≥2或x≤－2
　x≥1且x≠2　
B
针对训练
A B C D
知识点2：函数的图象
3． 如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h与注水时间t的大致图象是( )
C
C　　 　　D
A　　　　　 B
4． 匀速地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的( )
A
A． 10 min时，水温升至100 ℃
B． 加热0~10 min时，水温随加热时间的增大而增大
C． 加热10 min后，水的温度不再变化
D． 加热0~10 min时，水的温度平均每分钟上升10 ℃
5． (跨学科融合)嘉琪同学对水进行加热，并记录了水的温度T(℃)随加热时间t(min)变化的大致图象如图所示．下列说法错误的是( )
D
6． 周末小王骑电动车从家出发去商店买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场．如图，表示他离家的距离y(km)与所用的时间x(min)之间关系的图象．请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小王在新华书店停留了多长时间？
(2)小王距离商场多少千米时返回书店的？
返回书店的速度是多少？
(3)小王在哪段路上骑行的速度最快？
最快速度是多少？
解：(1)30－20＝10(min)．
∴小王在新华书店停留了10 min．
(2)6.25－6＝0.25(km)，
(6－4)÷(20－15)＝0.4(km/min)．
∴小王距离商场0.25 km时返回书店的，返回书店的速度是0.4 km/min．
(3)小王在买到书后前往商场的速度最快，最快速度是(6.25－4)÷(35－30)＝0.45(km/min)．
知识点3：一次函数的图象与性质
7． 一次函数y＝(k－3)x＋2的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是( )
A． k＞0 B． k＜0 C． k＞3 D． k＜3
D
8． 若一次函数y＝x＋4的图象上有两点A，B(1，y2)，则下列说法正确的是( )
A． y1＞y2 B． y1≥y2
C． y1＜y2 D． y1≤y2
C
9． 已知直线y＝2x＋1是某一直线向上平移3个单位长度所得到的，则该直线的表达式为( )
A． y＝2x－2 B． y＝2x＋4
C． y＝2x＋7 D． y＝2x－5
A
D
C
A B
10． 一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx(a，b为常数，且ab≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
C
C D
A B
11． 若kb＜0，b－k＞0，函数y＝kx＋b与y＝bx＋k在同一坐标系中的图象是( )
D
12． (2024·镇江)点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝3x＋1的图象上，则y1　 　y2．(填“＞”“＜”或“＝”)
　＜　
知识点4：待定系数法求函数关系式
13． 已知一次函数的图象经过点(－3，7)和点(2，－3)．
(1)求一次函数的解析式；(2)求该函数图象与x轴的交点坐标．
解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
将点(－3，7)和点(2，－3)代入上式，得
∴一次函数的解析式为y＝－2x＋1．
(2)令y＝0，得－2x＋1＝0．解得x＝．
∴该函数图象与x轴的交点坐标为．
14． 若y与x－3成正比例，且x＝5时，y＝－4，试求出y与x的函数表达式．
解：由题意可设y＝k(x－3)(k≠0)．
把x＝5，y＝－4代入上式，
得－4＝(5－3)k．解得k＝－2．
∴y＝－2(x－3)＝－2x＋6．
∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋6．
15． 如图，直线y＝kx＋b(k＞0)与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标．
解：(1)∵OA＝3，OB＝4，∴A(3，0)，B(0，－4)．
将点A(3，0)，B(0，－4)代入y＝kx＋b，
得
∴直线AB的解析式为y＝x－4．
(2)设C．
∵△AOC的面积为6，∴OA·yC＝6，即×3×＝6．解得t＝6．
∴点C的坐标为(6，4)．
知识点5：一次函数与方程、不等式
16． 如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴，y轴分别交于点(2，0)，点(0，3)，关于x的方程kx＋b＝0的解是( )
A． x＝2 B． x＝3 C． x＝0 D． 不确定
A
17． 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，点A(－1，4)在该函数的图象上，则不等式kx＋b＞4的解集为( )
A． x≥－1 B． x＜－1
C． x≤－1 D． x＞－1
B
18． 如图，已知y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是 　．
19． 如图，直线l1∶y＝x＋1与直线l2∶y＝mx＋n相交于点P(a，2)．
(1)求a的值；
(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；
(3)请直接写出关于x的不等式x＋1≥mx＋n的解集．
解：(1)把点P(a，2)代入y＝x＋1，
得a＋1＝2．解得a＝1．
(2)∵直线y＝x＋1与直线y＝mx＋n的交点P的坐标为(1，2)，
∴关于x，y的方程组
(3)由图象可知，关于x的不等式x＋1≥mx＋n的解集是x≥1．
知识点6：一次函数的应用
20． 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为y2元．
(1)请分别写出y1，y2与x之间的关系式；
(2)该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
解：(1)由题意，得y1＝200×75%×x＝150x(10≤x≤25)，
y2＝200×80%(x－1)＝160x－160(10≤x≤25)．
(2)当150x＝160x－160时，
解得x＝16．
∴当x＝16时，两家旅行社费用一样；
当150x＜160x－160时，
解得x＞16．
∴当16＜x≤25时，甲旅行社费用较少；
当150x＞160x－160时，
解得x＜16．
∴当10≤x＜16时，乙旅行社费用较少．
综上所述，当人数为16人时，两家旅行社费用一样；当人数在10≤x＜16范围内时，选择乙旅行社旅支付的游费用较少；当人数在16＜x≤25范围内时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少．
21． 端午节前夕，某大型超市采购了一批礼盒进行销售，这批礼盒有A型和B型两种共600个，其进价与标价如下表：
型号 进价 标价
A型 90元 120元
B型 50元 60元
(1)该超市将A型礼盒按标价的九折销售，B型礼盒按标价进行销售，当销售完这批礼盒后可获利9 200元，求该商场购进A型、B型这两种礼盒各多少个；
(2)这批礼盒销售完毕后，该超市计划再次按原进价购进A、B两种礼盒共200个，且均按标价进行销售，请问如何进货能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%．
解：(1)设该商场购进A型礼盒x个，B型礼盒y个．
由题意，得
解得
答：该商场购进A型礼盒400个，B型礼盒200个．
(2)设该商场购进A型礼盒a个，则购进B型礼盒(200－a)个．
由题意，得
(120－90)a＋(60－50)(200－a)≤［90a＋50(200－a)］×25%．
解得a≤50．
∵每个A型礼盒的利润比B型礼盒的利润高，
∴当a＝50时，利润最大．
此时200－50＝150(个)．
答：该商场购进A型礼盒50个，B型礼盒150个时，能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%．
22． (2024·黑龙江)甲、乙两货车分别从相距225 km的A，B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)到达配货站之前，甲货车的速度是　 　km/h，乙货车的速度是________　 　km/h；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距
A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间
甲、乙两货车与配货站的距离相等．
　40　
　30　
解：(2)∵3.5＋0.5＝4(h)，6－0.5＝5.5(h)，
∴E(4，105)，
F(5.5，225)．
设线段EF对应的函数解析式为
y＝kx＋b(k≠0)．
将点E(4，105)，F(5.5，225)代入上式，
得
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y＝80x－215(4≤x≤5.5)．
(3)出发 h或 h或5 h时，甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【提示】根据图中数据可求出线段CM对应的函数解析式为y＝225－40x＝－40x＋225(0≤x≤3)，
线段MN对应的函数解析式为y＝105＋40(x－3)＝40x－15(3＜x≤6)，
线段OD对应的函数解式为y＝30x(0≤x≤3.5)，
线段EF对应的函数解式为y＝80x－215(4≤x≤5.5)．
当0≤x≤3时，
由题意，得105－30x＝－40x＋225－105．
解得x＝；
当3＜x≤3.5时，
由题意，得105－30x＝40x－15－105．解得x＝；
当3.5＜x≤5.5，即当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等．
由题意，得80x－215＝40x－15．解得x＝5．
综上所述，出发 h或 h或5 h时，甲、乙两货车与配货站的距离相等．
函数图象与实际问题
专项突破一
类型一 由实物图形判断函数图象
1.向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深
与注水量 的函数关系的大致图象是( )
D
A. B. C. D.
类型二 由实际情况的描述判断函数图象
2. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬浮
于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露
出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的
读数与铁块被提起的时间 之间的函数关系的大
致图象是( )
A
A. B. C. D.
3.小丽用洗衣机在洗涤衣服时经历了三个连续过程：注水、清洗、排水.
若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机
内水量（升）与时间 （分）之间的函数关系对应的图象大致为( )
C
A. B. C. D.
4.[2024·太原期末] 无人物品派送车现已应用于实际生活中.如图是派
送车某次派送的路线，该车从圆心 出发，按箭头所示方向，依次沿线
段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点 处.则该车离出发点
的距离与所用时间 之间关系的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
5. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午
，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学
校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学.上午 ，
军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，
然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离
仓库的路程为，所用时间为 ，则下列图象能正确反映上述过程的是 ( )
A. B. C. D.
√
类型三 由函数图象描述实际问题
6.在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入
容器中，容器内水面高度与时间 之间的函数图象如
图所示，那么这个容器的形状可能是( )
B
A. B. C. D.
7.[2024·武汉青山区期末] 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，
在注水过程中，水面高度随时间 的变化规律如图所示（图中
是一条折线）.这个容器的形状可能是下面图中的( )
D
A. B. C. D.
8.星期六早晨，蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她匀速走了
后回家.如图中的折线段 是她出发后所在的位置离
家的距离与行走时间 之间的函数关系图，则下列图形中可
以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线的是( )
B
A. B. C. D.
类型四 从函数图象中获取信息
9.嘉淇同学对水进行加热，并记录了水温随加热时间 变化的
大致图象，如图所示.下列说法错误的是( )
D
A.时，水温升至
B.加热 时，水温随加热时间的增大而增
大
C.加热 后，水温不再变化
D.加热时，水温平均每分钟上升
10. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一
段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组
对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流 与使
用电器的总功率的函数图象（如图①），插线板电源线产生的热量
与 的函数图象（如图②）.下列结论中错误的是( )
A.当时，
B.随 的增大而增大
C.每增加， 的增加量相同
D. 越大，插线板电源线产生的热量 越多
√
11.[2024·廊坊期末] ，两地相距 ，甲8：
00由地出发骑自行车去地，速度为 ；
乙9：30由地出发开汽车也去 地，速度为
.两人之间的距离 与甲行驶的时间
的函数关系大致如图所示，下列说法中正确
的是( )
A
A.， B.，
C.乙到达地时两人相距 D.乙比甲提前到 地
[解析] 点拨：根据题意，得甲到达B地所需的时间为
， .
乙到达B地所需的时间为 .
设乙出发后与甲相遇，则，解得 ，
，故A正确.
， ，故B错误.
，
乙比甲提前 到B地，故D错误.
乙到达B地时两人相距 ，故C错误.
一次函数与面积问题
专项突破二
类型一 直接利用面积公式求面积
1.如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为
，直线的解析式为，与 轴、
轴分别交于点，，直线与交于点 .
（1）求出点， 的坐标；
解：当时，， .
令，得， .
（2）求 的面积.
解：联立方程组解得
，
易知， .
2.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 与
一次函数的图象相交于点 ,一次函
数的图象与轴交于点.过点作
轴的平行线，分别交与 的图象于
点,，连接 .
（1）求这两个函数的解析式；
解：因为正比例函数与一次函数 的图象相交于点
,所以，，解得, .所以正比例函数的
解析式为，一次函数的解析式为 .
（2）求 的面积.
解：因为轴，,所以点,的纵坐标均为4.把 代入
,得，所以 .
把代入 ，
得，所以.所以 .
又因为，所以 .
所以 .
类型二 已知图形面积求点的坐标
3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 轴交于点
，与轴交于点，与正比例函数 的图象交于点
.
（1）直线 的解析式为__________；
（2）点是直线上的一点，若的面积为4，求点 的坐标.
解：设，令，得 ，
， .
，解得或 ，
或 ，
点的坐标为或 .
4.如图，一次函数的图象经过点,与轴交于点 ,与正
比例函数的图象交于点，点 的横坐标为1.
（1）直线 的解析式为____________；
（2）若点在轴负半轴上,且满足,求点 的坐标；
解：在中，当时，， .
在中,令,则, .
.
设，则 .
,，解得 .
.
（3）若,请直接写出 的取值范围.
解：的取值范围是 .
一次函数的动态问题
专项突破三
类型一 一次函数与动点
1.如图，直线与轴交于点，与 轴交
于点，点的坐标为，为线段的中点，
为轴上的一个动点，连接，，当 的周
长最小时，点 的坐标为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 点拨：如图，作点关于轴的对称点 ，连
接，交轴于点，连接,，则 ,
.
的周长
，
点D,是定点， 的长不变，
当点在点处时， 的周长最小.
对于，令,则，令，则 ，
， .是的中点， .
,点是点关于轴对称的点， .
设直线的解析式为 ，
将， 的坐标分别代入，
得解得
直线的解析式为 ，
令，则，即. 当的周长最小时，点 的坐标为
.
2.如图,在平面直角坐标系中，直线与
轴相交于点,与轴相交于点,并与直线 相
交于点,其中点 的横坐标为3.
（1）求点的坐标和 的值.
解：把代入,得 ,
所以点的坐标为 .
因为点在直线 上，
所以，解得 .
（2）点为直线上一动点,当点运动到何位置时, 的
面积等于 请求出此时点 的坐标.
解：由（1）可得的解析式为,把 代入,得
，所以点的坐标为，所以 .
设点的坐标为 ,则易得
，解得或 .
， ，
所以点的坐标为或 .
3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象与轴交于点 ,与一次函数
的图象交于点 .
（1）求点 的坐标;
解：联立解得
点的坐标为 .
（2）为轴上点右侧的一个动点,过点作 轴的平行线,与一次函数
的图象交于点,与一次函数为 的图象交于点
,当时,求 的长.
解：设点的横坐标为,则,, ，
, .
，,解得 .
,, .
类型二 一次函数与动直线
4.如图，在同一平面直角坐标系中，平行四边形
的边在轴的正半轴上，， 两点的坐标
分别为，，点 在第一象限，将直线
沿轴向上平移 个单位长度，若
平移后的直线与边有交点，则 的取值范围是
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 点拨：将直线沿轴向上平移个单位长度,
平移后的直线的解析式为 .
四边形为平行四边形，且点,, ,
, 点 .
平移后的直线与边 有交点,
当直线过时,，解得 .
当直线过时,，解得 .
.
5.如图，直线与轴、 轴分别交
于点,，与直线交于点 .
（1）求, 两点的坐标.
解：对于直线，令 ，解得
，
.
联立方程组解得 .
（2）有一条垂直于轴的直线以每秒1个单位长度的速度从点 出发沿
射线方向作匀速运动，分别交直线，及轴于点，和 .设运
动时间为.当时，求 的值.
解：，, 点,,的横坐标为 ,
则， ，
.
，，解得 或6.
（3）试探究在坐标平面内是否存在点，使得以,,, 为顶点的四边
形构成菱形.若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由.
解：存在，或 或4或2.
类型三 一次函数与几何变换
6.[2024·镇江模拟] 将一次函数（为常数）的图象位于 轴
下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数（ 为常数）
的图象位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作 轴的平行线
，若该“”型折线在直线下方的点的横坐标满足，则 的取
值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 点拨：一次函数的图象沿 轴翻折后的解析式为
，即 ,
把代入,得 ,
把代入,得 .
该“”型折线在直线下方的点的横坐标满足, ，
， .
7.[2024·南京期末] 如图，一次函数的图象与轴、 轴分别
交于点，，把直线绕点顺时针旋转 交轴于点，则线段
的长为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 点拨：对于 ，
令，则；令，则 ，
，， ,
， .
过点C作 ，垂足为D，
， 为等腰直角三角形，
设， ，
由旋转得 ， ，
.
又，，解得 ，
.
8.已知直线分别交轴、轴于点， .
（1）点的坐标是________，点 的坐标是______；
（2）如图①，在线段上有一点，将沿直线折叠后，点
恰好落在轴上的点处，求点 的坐标；
解：由点,的坐标知, ,
则 .
设，则， ,
由折叠的性质得, ,
.
，，解得 ,
点的坐标为 .
（3）如图②，将直线绕点逆时针旋转 交轴于点，求点 的
坐标.
解：如图，过点作于，过点
作轴于，作轴于 ，
，
，
，
，
, .
将直线绕点逆时针旋转 交轴于点 ，
, ,
,
， .
设，，，， ，
,, ，
解得， ,
设直线的解析式为,把， 的坐标分别代
入，得
解得
直线的解析式为 ,
当时，,解得 ,
点的坐标为 .
易错点1．忽略一次函数系数不能为零
【例1】已知函数y＝(n＋3)是一次函数，则n＝　　　　．
错解：3或－3．
错解分析：一次函数的定义为一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．本题正是因为忽略了k≠0这一限制条件而出错．
正解：3．
易混易错
【针对训练】当m为何值时，函数y＝－(m－2)＋(m－4)是一次函数？
解：由题意，得m2－3＝1且m－2≠0．
解得m＝±2且m≠2．
∴m＝－2．
易错点2．不熟悉函数的性质出现错误
【例2】一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的函数值为1≤y≤9，则这个函数的表达式是　　　　．
错解：∵当－3≤x≤1时，对应的函数值为1≤y≤9，
∴当x＝－3时y＝1；当x＝1时y＝9．
∴可得方程组解得
∴y＝2x＋7．
错解分析：由于问题中没有给出y随x的变化怎样变化，所以应该考虑到有可能y随x的增大而增大，也有可能y随x的增大而减小，本题的出错原因正是没有全面考虑到这一点而漏解出错．
正解：当k＞0时，即y随x的增大而增大，
则当x＝－3时y＝1，当x＝1时y＝9．
∴可得方程组解得
∴y＝2x＋7；
当k＜0时，即y随x的增大而减小，
则当x＝－3时y＝9，当x＝1时y＝1．
∴可得方程组解得
∴y＝－2x＋3．
∴这个函数的表达式是y＝2x＋7或y＝－2x＋3．
【针对训练】 (创新题)定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是在［m，n］范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以函数y＝－x＋4是在［1，3］范围内的“标准函数”．
(1)正比例函数y＝x是在［1，2 024］范围内的“标准函数”吗？并说明理由；
解：对于y＝x，当x＝1时，y＝1；当x＝2 024时，y＝2 024，
∴当1≤x≤2 024时，有1≤y≤2 024．
∴正比例函数y＝x是在［1，2 024］范围内的“标准函数”．
(2)若一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)是在［2，6］范围内的“标准函数”，求一次函数的解析式．
解：当x＝2时，y＝2k＋b；当x＝6时，y＝6k＋b．
①当k＞0时，由题意，得
∴y＝x；
②当k＜0时，由题意，得
∴y＝－x＋8．
综上所述，一次函数的解析式为y＝x或y＝－x＋8．
易错点3．忽略隐含条件，考虑问题不周密
【例3】已知直线y＝mx＋2m－4不经过第二象限，则m的取值范围是　 ．
错解：0＜m≤2．
错解分析：因为直线y＝mx＋2m－4，当m＝0时，y＝－4，图象也不经过第二象限，所以m＝0也符合条件，以上的错解忽略了直线y＝b(b＜0)图象不过第二象限这一情况，从而导致了错解．
正解：0≤m≤2．
【针对训练】已知一次函数y＝(2m＋1)x＋m－3．
(1)若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围；
(2)若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围．
解：由题意，得m－3＜0且2m＋1≠0．解得m＜3且m≠－．
∴m的取值范围是m＜3且m≠－．
解：由题意，得2m＋1＞0且m－3≥0．
解得m＞－且m≥3．
∴m的取值范围是m≥3．
易错点4．考虑问题不全面
【例4】已知直线y＝－x＋5与x轴交于点A，直线上有一点P，满足△POA的面积为10，求点P的坐标．
错解：若y＝0，则x＝5．
∴点A的坐标为(5，0)．
设P(x，y)，则S△POA ＝·OA·y．
∴10＝×5y．解得y＝4．
代入y＝－x＋5，得x＝1．
∴点P的坐标为(1，4)．
错解分析：此题错误原因在于漏解，即忽略了点P在x轴下方的情形(如图D19－1－1)．


正解：设P(x，y)，则S△POA＝·OA·×5＝10．解得＝4．
图D19－1－1
∴y1＝4，y2＝－4．
分别代入y＝－x＋5，得x1＝1，x2＝9．
∴点P的坐标为(1，4)或(9，－4)．
解：令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝8．
∴直线y＝－x＋4与坐标轴交点分别为A(8，0)，B(0，4)．
∵CD垂直平分AB，∴CA＝CB．
设C(t，0)．
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB2＋OC2＝BC2，即42＋t2＝(8－t)2．
【针对训练】如图，直线y＝－x＋4的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．
(1)求OC的长；
解得t＝3．∴OC＝3．
(2)若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标．
解：设点E(m，0)，则EA＝．
∵D为AB的中点，
∴S△BEA＝2S△BED．
又∵S△BEA＝EA·OB，S△BED＝10，
∴·4＝2×10．
解得m＝－2或m＝18．
∴点E的坐标为(－2，0)或(18，0)．
易错点5．画一次函数的图象没有考虑实际意义而出错
【例5】已知等腰三角形的周长为20，把底边y表示为腰长x的函数，并画出图象．
错解：∵等腰三角形底边长为y，腰长为x，周长为20，
∴y＋2x＝20，即y＝－2x＋20．
令x＝0，得y＝20．∴点A(0，20)．
令y＝0，得x＝10．∴点B(10，0)．
∴图象为过A，B的直线，如图．
错解分析：本题是实际问题，x和y分别表示线段的长的实际意义，x表示等腰三角形的腰长，y表示底边长，x和y应该满足三角形的三边关系定理，所以于是得5＜x＜10，故图象应是去掉端点的一条线段．
正解：由题意可得y＝－2x＋20(5＜x＜10)．
当x＝5时，y＝10．∴A(5，10)．
当x＝10时，y＝0．∴B(10，0)．
∴函数y＝－2x＋20(5＜x＜10)的图象如图D19－1－4．
【针对训练】已知一根长为20 m的铁丝围成一个长方形，若宽为x m，长为y m(x≤y)．
(1)写出y关于x的函数关系式；
解：由题意，得2(x＋y)＝20．
整理，得y＝－x＋10．
(2)画出y关于x的函数图象．
答图
解：∵x≤y，∴x≤－x＋10．
解得x≤5．
∴0＜x≤5．
当x＝1时，y＝－1＋10＝9；
当x＝5时，y＝－5＋10＝5．
∴函数图象经过点(1，9)，(5，5)，
画出函数图象如答图．
1．（跨学科） (2024·青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的，实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的
增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%
D
押题预测
2． (数学文化)我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　 　．
　250　
3．（综合探究）如图，在平面直角坐标系中，线段AB两端点的坐标分别为A(－4，2)，B(－1，5)，线段CD两端点的坐标分别为C(－5，1)，D(1，1)．
(1)求AB所在直线的函数解析式；
解：(1)设AB所在直线的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
将点A(－4，2)，B(－1，5)代入上式，得
∴AB所在直线的函数解析式为y＝x＋6．
(2)点P从点C出发向点D运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t s．
①当直线OP与线段AB有交点时，求t的取值范围；
解：(2)①设OP所在直线的函数解析式为y＝k'x(k'≠0)．
将点A(－4，2)代入上式，得2＝－4k'．解得k'＝－．∴y＝－x．
令y＝1，则1＝－x．解得x＝－2．∴t＝；
将点B(－1，5)代入y＝k'x，得5＝－k'．解得k'＝－5．∴y＝－5x．
令y＝1，则1＝－5x．解得x＝－．∴t＝．
∴t的取值范围为≤t≤．
(2)点P从点C出发向点D运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t s．
②当t＝2时，平面内存在一点Q，满足PQ∥y轴，
且QA＋QC的值最小，请直接写出符合条件的点Q的坐标．
解：(2)②符合条件的点Q的坐标为．
【提示】当t＝2时，CP＝2×2＝4，则P(－1，1)．
∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标为－1．则点Q在直线x＝－1上．
如答图，作点C关于PQ的对称点C'，连接AC'．
则QA＋QC＝QA＋QC'，当A，Q，C'三点共线时，QA＋QC的值最小，即为AC'．
∴直线AC'与直线x＝－1的交点即为符合条件的点Q．
由对称的性质可得C'(3，1)．
设直线AC'的函数解析式为y＝mx＋n(m≠0)．
将点A(－4，2)，C'(3，1)代入上式，
得
∴直线AC'的函数解析式为y＝－x＋．
将x＝－1代入上式，得y＝．
∴符合条件的点Q的坐标为．
答图

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