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第9讲　平抛运动
知识内容 说明
平抛运动 在高考中，平抛运动常与斜面、机械能守恒、动能定理等知识结合命题，题型有选择题、计算题等。要求考生能运用平抛运动的规律，通过运动的合成与分解方法，解决实际问题，如计算物体的运动轨迹、落点位置、飞行时间、速度大小和方向等，还需具备分析临界问题和多体平抛运动问题的能力。
平抛运动
1．定义
将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．平抛运动的研究方法
将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成的方法进行合成．
4．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
(5)角度关系：tan θ＝2tan α.
命题点一　平抛运动的基本规律
1．飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关．
3．落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．重要推论：做平抛运动的物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线必通过此时水平位移的中点．
飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，点为镖靶中心，水平、竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置点水平射出飞镖，且三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面三点的飞镖，下列说法错误的是（　　）
A．射中点的飞镖射出时的速度最小
B．射中点的飞镖射出时的速度最小
C．射中点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中、两点的飞镖空中飞行时间相等
【答案】AB
【详解】飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点有
联立解得
因为
可知飞镖射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等，射中Q点的飞镖空中飞行时间最长，即
又因为
则有
可知平抛初速度最小的是射中Q点的，所以AB错误，符合题意，CD正确，不符合题意。
故选AB。
如图所示为两同学打排球的情景，甲同学在距离地面高h1=2.45m处将排球以v0=12m/s的速度水平击出，乙同学在离地高h2=0.65m处将排球垫起。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．排球被垫起前在空中运动的时间为0.7s
B．排球从击出到被垫起前运动的水平距离为7.2m
C．排球被垫起前瞬间的速度大小为12m/s
D．排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为30°
【答案】B
【详解】A．排球在空中做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，设排球在空中的运动时间为t，则
解得
故A错误；
B．排球在水平方向做匀速直线运动，排球从击出到被垫起前运动的水平距离为
故B正确；
C．排球被垫起前瞬间的竖直方向速度为
则排球被垫起前瞬间的速度大小为，解得
故C错误；
D．设排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为，则
所以该夹角不是，故D错误。
故选B。
如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶、和青蛙在同一竖直平面内，高度相同，高度相同，分别在正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则下列说法正确的是（ ）
A．青蛙跳到荷叶上和荷叶上的初速度相等
B．青蛙跳到荷叶上和荷叶上的初速度相等
C．青蛙跳到荷叶上的初速度最小
D．青蛙跳到荷叶上的初速度最大
【答案】D
【详解】A．根据平抛运动规律可知，
联立解得
青蛙跳到荷叶a上和荷叶b上的下落高度相同，荷叶b的水平位移大，所以青蛙跳到荷叶a上的初速度小于跳到荷叶b上的初速度，故A错误；
B．青蛙跳到荷叶上和荷叶上水平位移相等，跳到荷叶c的下落高度大，所以青蛙跳到荷叶a上的初速度大于跳到荷叶c上的初速度，故B错误；
C．青蛙跳到荷叶c的下落高度最大，水平位移最小，所以青蛙跳到荷叶c上的初速度最小，故C错误；
D．青蛙跳到荷叶b的下落高度最小，水平位移最大，所以青蛙跳到荷叶b上的初速度最大，故D正确。
故选D。
凤仙花的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。如图所示，多粒种子同时以相同速率向不同方向弹射，不考虑叶子的遮挡，忽略种子运动过程所受的空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．沿方向弹出的种子，经过最高点时速度为零
B．若沿方向弹出的种子与沿方向水平弹出的种子运动轨迹相交于点，则两颗种子在点相撞
C．沿不同方向弹出的种子到达地面时的速度大小相等
D．位置越高的果实，弹射出的种子落地点离凤仙花越远
【答案】C
【详解】A．斜向上抛运动，在最高点速度方向水平，为初速度在水平方向的分量，不是零，故A错误；
B．同时沿方向弹出的种子与沿方向水平弹出的种子运动轨迹相交于点，沿方向弹出的种子用时长，二者不能相撞，故B错误；
C．无论初速度方向如何，由动能定理，有
落地速度均为
故C正确；
D．位置越高的果实，弹射出的种子落地时间越长，但初速度方向未知，所以落地点离凤仙花的距离不一定越远，故D错误。
故选C。
如图所示，将某物体以一定的速度从距地面15m高处水平抛出，落地时物体速度与水平地面的夹角为。以物体抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，不计空气阻力，g取，则物体运动的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】竖直方向为自由落体运动，则由
得
落地时竖直方向的速度
又由落地时物体速度与水平地面的夹角为；可得水平方向的初速度
则可得水平位移
联立
得
故选C。
命题点二　有约束条件的平抛运动模型
模型1　对着竖直墙壁平抛
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.
模型2　斜面上的平抛问题
1．顺着斜面平抛(如图)
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2．对着斜面平抛(如图)
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
从空中某点分别以速度、、将三个相同的小球1、2、3沿垂直于竖直墙壁方向水平抛出，三小球分别经时间、、，下落、、高度后与墙壁碰撞，相碰时速度大小分别为、、，速度与竖直方向的夹角分别为60°、45°、30°，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】C．设抛出点到墙壁的距离为，根据平抛运动的规律可知速度反向延长线过水平位移的中点，由几何关系可知
，，
得，故C正确；
A． 由得
得，故A正确；
B．由，，
得
故B正确；
D．由，，
得，故D错误。
选不正确的，故选D。
如图所示，某同学在同一位置先后水平抛出一物体，第一次落在甲点，第二次落在乙点，不计空气阻力，则（　　）
A．抛出时速度关系
B．抛出后加速度关系
C．抛出后位移关系
D．抛出后时间关系
【答案】D
【详解】AD．物体做平抛运动，竖直方向有
由于，可得
水平方向有
由于，则有
故A错误，D正确；
B．抛出后的加速度为重力加速度，则有，故B错误；
C．抛出后的位移大小为
由于，，则无法确定抛出后的位移大小关系，故C错误。
故选D。
小明在篮球场上练习定点投篮时站在篮筐正前方离篮板水平距离的位置上，将篮球（视为质点）从离地高度的手中以初速度（未知）斜向上抛出，正好垂直打在篮板上，此时篮球距离地面高度，如图所示。不计空气阻力，重力加速度。求：
(1)篮球从手中抛出到打在篮板位置所需的时间；
(2)篮球抛出时初速度的大小及与水平方向夹角的正切值。
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）根据运动独立性，由正交分可知竖直方向位移
代入数据得
（2）水平方向位移
即水平方向分速度
代入数据得
竖直方向分速度
则合速度为
解得
根据速度的分解有
如图所示，无人机在练习投弹，无人机甲、乙均沿水平方向飞行，且均在A点的正上方释放炸弹，两炸弹均落在斜面上的P点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．无人机甲释放的炸弹在空中运动的时间比无人机乙释放的炸弹在空中运动的时间长
B．无人机甲释放的炸弹在空中运动的时间比无人机乙释放的炸弹在空中运动的时间短
C．释放炸弹时，无人机甲的速度小于无人机乙的速度
D．释放炸弹时，无人机甲的速度大于无人机乙的速度
【答案】AC
【详解】AB．释放炸弹时，无人机甲在无人机乙的正上方，根据平抛运动的规律有，无人机甲释放的炸弹在空中下落的高度更高，可知无人机甲释放的炸弹在空中运动的时间比无人机乙释放的炸弹在空中运动的时间长，故A正确、B错误；
CD．两炸弹的水平位移相同，由，可知释放炸弹时，无人机甲的速度小于无人机乙的速度，故C正确、D错误。
故选AC。
如图所示，某同学向一圆柱形杯中水平抛出一小物块（可视为质点），小物块恰好经过杯口中心无阻挡地落到杯底边沿P点。已知杯内高h，杯底直径为D，重力加速度为g，抛出点O与竖直杯壁（厚度不计）在同一竖直线上。忽略空气阻力，则小物块水平抛出时的速度大小为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设拖出点O到杯壁上端的距离为H，小物块平抛时的速度大小为v，从O点到P点历时t，则在水平方向有
在竖直方向有
且
联立解得
故选A。
命题点三　平抛运动的临界问题
1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到临界的条件．
2．确立临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，还可以使一些隐藏于问题深处的条件暴露出来
某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸。圆心为O半径为R的圆弧槽BCD上开有小孔，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，已知，，，重力加速度为g，若游戏正好过关，则弹射器在轨道上的位置M（M点图中未画出）离B点的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，把P点的速度分解可得
把弹丸的平抛运动分解
，
解得
故选C。
如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示
网球从A点发出后落在C点。网球从A点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有
解得
若网球恰不触网，则有
解得
网球在水平方向上做匀速直线运动，即
因与为相似三角形，则有
因、，可得
则发球机有效发球时发出网球的最小速率为
故选A。
在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为
C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为
【答案】C
【详解】AB．排球做平抛运动的轨迹在地面上的投影为，如图所示
显然
所以排球在左、右场地运动的时间之比为1∶2，设排球做平抛运动的时间为3t，有
，
解得
，
故AB错误；
C．排球击出时的速度大小
故C正确；
D．排球着地时的速度大小
故D错误。
故选C。
【点睛】
如图，光滑的水平面左端为O，右端足够长，在O的左下方有一倾斜的传送带，传送带始终以10m/s的速度逆时针转动，物体与传送带间的动摩擦因数，物体的质量，传送带上、下两端相距5m，物体在O处在水平恒力的作用下由静止向右运动一段时间，后将反向，大小变为，经过相同的时间它刚好回到O，所做的功为4J，然后物块从O处向左水平抛出，恰好沿传送带方向进入传送带。下列说法正确的是（　　）

A．物块从O处以4m/s的水平速度做平抛运动
B．物块在传送带上运动的时间为
C．物块在传送带上留下痕迹的长度
D．整个过程中、所做的总功为12J
【答案】AB
【详解】A．物体在O处在水平恒力F1的作用下由静止向右运动一段时间，设末速度为，运动时间为t，则
大小变为F2后
联立解得
故A正确；
B．物块从O处向左水平抛出，恰好沿传送带方向进入传送带，即末速度与水平方向夹角为，则物块进入传送带的速度为
物块在传送带上，根据牛顿第二定律
解得
物块加速到与传送带速度相同时，设所用时间为t，则
物块加速阶段，物块的位移为
即，物块运动到传送带下端刚好和传送带共速，故B正确；
C．传送带运动的位移为
物块在传送带上留下痕迹的长度为
故C错误；
D．根据动能定理，整个过程中F1、F2所做的总功为
故D错误。
故选AB。
如图所示，一细木棍斜靠在地面与竖直墙壁之间，木棍与水平面之间的夹角为45°，A、B为木棍的两个端点，A点到地面的距离为1m。重力加速度取10m/s2，空气阻力不计。现一跳蚤从竖直墙上距地面0.55m的C点以水平速度v0跳出，要到达细木棍上，v0最小为（ ）
A．1m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s
【答案】C
【详解】跳蚤做平抛运动，若要想以最小水平速度跳到木棍上，则落到木棍上时应恰好满足速度方向与水平方向成角，即木棍恰好与跳蚤运动轨迹相切，如图
设下降高度为，则
竖直方向速度
由几何关系可得
由水平方向的运动规律可得
解得
故选C。
消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则（　　）
A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等
B．乙水枪喷出的水初速度较大
C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长
D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大
【答案】B
【详解】AB．令喷出水的初速度与水平方向夹角为，到达最高点过程，斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，利用逆向思维有
解得
根据图示可知，竖直方向高度相等，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则乙水枪喷出的水初速度较大，故A错误，B正确；
C．斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，根据图示可知，高度相等，利用逆向思维有
根据对称性可知，上升与下降时间相等，水枪喷出的水在空中运动的时间
解得
即甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相等，故C错误；
D．斜抛运动水平方向做匀速直线运动，则水在最高点的速度
结合上述可知，甲喷水速度小于乙喷水速度，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则甲水枪喷出的水在最高点的速度较小，故D错误。
故选B。
2024年巴黎奥运会于8月12日闭幕，中国体育代表团共收获40金27银24铜，创造夏季奥运会境外参赛最佳战绩。铅球比赛中，某铅球运动员正在进行投球，铅球投出后在空中的某段运动轨迹如图所示，铅球在A点时的速度大小v0=3m/s，铅球在B点的速度v1恰好与v0方向垂直，且A、B两点的间距LAB=1.8m。若将铅球视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．铅球从A点运动到B点的时间为0.6s
B．铅球在B点的速度大小为
C．铅球上升的最大高度为
D．A、B两点的高度差为0.45m
【答案】A
【详解】A．将铅球的运动沿初速度与末速度方向分解，设重力与的夹角为，沿方向有
沿方向有
由几何关系有
代入数据解得，
A正确；
B．铅球在B点的速度大小
B错误；
C．铅球在竖直方向上的速度减为0时，上升的高度最大，根据几何关系可知，初速度方向与竖直方向的夹角为
则有
解得
C错误；
D．由
即A、B两点的高度差为0.9m，D错误。
故选A。
2024年巴黎奥运会网球女子单打金牌赛中，中国选手郑钦文夺得金牌，创造了新的历史。某次在网前截击中，网球以3m/s的速度水平击出，落地时的速度大小是5m/s，忽略空气阻力，重力加速度的大小g=10m/s2，则网球落地点与击出点的水平距离x和网球击出点的高度h分别为（　　）
A．1.2m，0.8m B．1.2m，1.4m C．1.6m，0.8m D．1.6m，1.4m
【答案】A
【详解】网球击出之后球的运动视作平抛运动，落地瞬间有
解得竖直分速度为
网球在竖直方向做自由落体运动，则有
解得
在水平方向做匀速直线运动，则网球落地点与击出点的水平距离为
网球下落的高度为
故选A。
一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最底端和顶端，洞口处于斜面上的P点，O点在A点的正上方，A、B、O、P四点在同一竖直面内。第一次小球以的水平速度从O点抛出，正好落入洞中的点，的连线正好与斜面垂直；第二次小球以另一水平速度也从O点抛出，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度大小取，下列说法正确的是（　　）
A．小球从点运动到P点的时间是
B．点在P点的下方
C．第二次小球水平抛出的速度小于
D．、A两点的高度差为
【答案】D
【详解】A．第一次以水平速度v0从O点抛出小球，正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面，由几何关系可知
解得
故A错误；
BC．根据速度偏角的正切值等于位移偏角的正切值的二倍，当小球以水平速度v从O点抛出，可知此时落到斜面上的位移偏角小于以水平速度v0=3m/s抛出时落到斜面上的位移偏角，所以Q点在P点的上方，则，水平位移，所以
故BC错误；
D．根据几何关系结合运动学规律可得O、A两点的高度差
故D正确。
故选D。
如图，某同学面向竖直墙上固定的靶盘水平投掷可视为质点的小球，不计空气阻力。小球打在靶盘上的得分区即可得到相应的分数。某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想获得更高的分数，在其他条件不变的情况下，下列调整方法可行的是（　　）
A．投掷时球的初速度适当大些
B．投掷时球的初速度适当小些
C．投掷时球的位置向前移动少许
D．投掷时球的位置向上移动少许
【答案】B
【详解】小球在空中做平抛运动，根据平抛运动规律有，
联立可得
某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想获得更高的分数，应使小球打在靶盘上的位置向下移动；在其他条件不变的情况下，投掷时球的初速度适当小些、投掷时球的位置向后移动少许、投掷时球的位置向下移动少许。
故选B。
如图（a）所示，一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。打开花洒后，如图（b）所示，水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度大小相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设水龙头最低点离地面的高度为h，水龙头的半径为R，水滴距离地面的高度为，初速度为，则有，
解得，其中
由于y均匀增加时，x不是均匀增加，且x增加得越来越慢，所以俯视的形状为C图。
故选C。
图为羽毛球运动员练习扣杀球时的场景，运动员从点将羽毛球以速度水平击出，羽毛球经点后，落在水平地面上点。羽毛球在点、点的速度方向与竖直方向的夹角分别为和，不计空气阻力，重力加速度大小为，则羽毛球从点运动到点的时间为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】羽毛球在点
羽毛球在点
羽毛球从点运动到点的时间为
联立，解得
故选A。
2025年1月7日，中国航天实现开门红，实践25号双机械臂的在轨服务卫星成功发射，标志我国在该领域技术水平居于世界前列。研发过程中，实验室测试机械臂抛投物体，把质量为m的小球从同一高度的A、B两点抛出，均能垂直击中竖直墙壁上的目标点P，轨迹如图。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．A点抛出的初速度的竖直分量更大 B．B点抛出的运动时间更长
C．两抛体击中P点时速度大小相等 D．A点抛出时机械臂对物体做功更多
【答案】D
【详解】AB．两次抛体运动均垂直击中P点，说明末速度竖直分量为零，由逆向思维可把P到A、B看出平抛运动，根据，
由于高度相同，可知两抛体竖直初速度相同，运动时间t相同，故AB错误；
C．根据
因为相同，A点水平位移更大，可知其水平初速度更大，故两抛体击中P点时速度大小不相等，故C错误；
D．根据总初速度
由于A的水平速度更大，A点抛出时的物体初速度更大，机械臂做功更多，故D正确。
故选D。
如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为，在O点击中网球，球以的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小，，下列说法正确的是（　　）
A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为12m/s B．网球由O点运动到P点的时间为1.4s
C．O、P两点间的水平距离为16.6m D．O、P两点间的高度差为11.8m
【答案】A
【详解】A．网球的逆向运动（由点到点）为平抛运动，对点速度进行分解可得
故A正确；
B．在竖直方向上有
解得
故B错误；
C．两点间的水平距离
故C错误；
D．两点间的高度差
故D错误。
故选A。
如图所示，从固定在水平地面上的斜面顶端A点朝不同方向抛出两个初速度大小相同的小球（可视为质点），两小球恰能落在斜面上的同一点B，两小球运动的时间分别为t1、t2，若要使小球以最小的初速度从A点抛出并落到B点，不计空气阻力，则该小球运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】沿斜面和垂直于斜面建立坐标系，设斜面的倾角为θ，小球的初速度方向与斜面间的夹角为α，抛出点和落点间的距离为L，小球在垂直于斜面方向上的运动可表示为
在沿着斜面方向上的运动可表示为
消去α可得
由题意可知
解得
当时小球的初速度最小，有
故选C。
图甲是某人在湖边打水漂的图片，图乙是石块运动轨迹的示意图。石块从水面弹起到再次触水后即将弹起算一个水漂，假设石块始终在同一竖直面内运动，且每次从水面弹起时速度与水面的夹角均为，一个水漂的过程速率损失。若石块第1次弹起后的滞空时间为，不计空气阻力，，重力加速度，则石块第4次在水面弹起瞬间的速率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】石块第1次弹起后的滞空时间为，设石块第1次弹起的速度大小为，石块做斜上抛运动，则有，
解得
一个水漂的过程速率损失，则石块第4次在水面弹起瞬间的速率为
故选B。
如图所示，以点为原点在竖直面内建立平面直角坐标系，在第一象限中建立一个斜面。现将一小球从点斜向上抛出，水平经过轴上的点（0，15m）后，垂直落在斜面上的点（图中未画出），重力加速度大小取，不计一切阻力。以下说法正确的是（ ）
A．小球从点抛出时的初速度大小为
B．小球从点抛出时的速度方向与水平方向的夹角为
C．小球经过点时的速度大小为
D．斜面上点坐标为（5m，5m）
【答案】B
【详解】AC．小球从到做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，有
代入数据有
解得小球从到的时间为
在水平方向，有
代入数据有
解得
点处竖直方向的速度为
点的合速度大小（等于小球从点抛出时的初速度大小）为
AC错误；
B．令小球从点抛出时的速度方向与水平方向的夹角为，则有
解得
B正确；
D．令小球从点到点的运动时间为，在点由速度的合成和分解有
解得
下落的高度为
则点的纵坐标为
水平位移为
则点的横坐标为，所以点的坐标为（10m，10m），D错误。
故选B。
如图所示，小齐同学借助安装在水平地面的篮球发球机练习原地竖直起跳接球。小齐站在水平地面上，伸直双臂举手时手掌距地面最大高度。发球机出球口距地面的高度为，篮球从出球口以与水平方向成的速度射向小齐。在篮球发出一段时间后，小齐起跳离地，跳至最高点伸直双臂恰能在头顶正上方接住到达最高点的篮球。篮球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取，，求：
(1)处于最高点的篮球距地面的高度H；
(2)从篮球发出到小齐起跳离地的时间。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）篮球射出时竖直方向的分速度为
篮球在竖直方向上有
篮球最高点距地面的高度为
解得
（2）小齐离开地面后竖直上抛过程中有
篮球在竖直方向上有
从篮球发出到小齐起跳离地的时间为
解得
打板投篮是一种很直接、命中率很高的投篮方式，因此是一种很常见的篮球技术动作训练。如图所示，一篮球以水平初速度碰撞竖直篮板后水平弹回，速率变为原来的倍（为一定值），弹回后篮球的中心恰好经过篮框的中心。已知篮球的半径为，篮框半径为，篮框中心距篮板的距离为，碰撞点与篮框中心的高度差为，不考虑篮球转动和空气阻力，重力加速度为。问：
(1)值为多少？
(2)碰撞点不变时，为保证篮球不与篮框碰撞的情况下进篮，碰撞篮板前瞬间速度的最大值为多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）弹回后篮球做平抛运动，在水平方向
L r=kv0t
在竖直方向
联立以上两式解得
（2）当篮球边缘恰好经过篮球框内部左边缘时，入射速度最大且为vm，则反弹过程中，做平抛运动，在水平方向
在竖直方向
联立解得
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第9讲　平抛运动
知识内容 说明
平抛运动 在高考中，平抛运动常与斜面、机械能守恒、动能定理等知识结合命题，题型有选择题、计算题等。要求考生能运用平抛运动的规律，通过运动的合成与分解方法，解决实际问题，如计算物体的运动轨迹、落点位置、飞行时间、速度大小和方向等，还需具备分析临界问题和多体平抛运动问题的能力。
平抛运动
1．定义
将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．平抛运动的研究方法
将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成的方法进行合成．
4．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
(5)角度关系：tan θ＝2tan α.
命题点一　平抛运动的基本规律
1．飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关．
3．落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．重要推论：做平抛运动的物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线必通过此时水平位移的中点．
飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，点为镖靶中心，水平、竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置点水平射出飞镖，且三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面三点的飞镖，下列说法错误的是（　　）
A．射中点的飞镖射出时的速度最小
B．射中点的飞镖射出时的速度最小
C．射中点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中、两点的飞镖空中飞行时间相等
如图所示为两同学打排球的情景，甲同学在距离地面高h1=2.45m处将排球以v0=12m/s的速度水平击出，乙同学在离地高h2=0.65m处将排球垫起。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．排球被垫起前在空中运动的时间为0.7s
B．排球从击出到被垫起前运动的水平距离为7.2m
C．排球被垫起前瞬间的速度大小为12m/s
D．排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为30°
如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶、和青蛙在同一竖直平面内，高度相同，高度相同，分别在正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则下列说法正确的是（ ）
A．青蛙跳到荷叶上和荷叶上的初速度相等
B．青蛙跳到荷叶上和荷叶上的初速度相等
C．青蛙跳到荷叶上的初速度最小
D．青蛙跳到荷叶上的初速度最大
凤仙花的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。如图所示，多粒种子同时以相同速率向不同方向弹射，不考虑叶子的遮挡，忽略种子运动过程所受的空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．沿方向弹出的种子，经过最高点时速度为零
B．若沿方向弹出的种子与沿方向水平弹出的种子运动轨迹相交于点，则两颗种子在点相撞
C．沿不同方向弹出的种子到达地面时的速度大小相等
D．位置越高的果实，弹射出的种子落地点离凤仙花越远
如图所示，将某物体以一定的速度从距地面15m高处水平抛出，落地时物体速度与水平地面的夹角为。以物体抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，不计空气阻力，g取，则物体运动的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
命题点二　有约束条件的平抛运动模型
模型1　对着竖直墙壁平抛
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.
模型2　斜面上的平抛问题
1．顺着斜面平抛(如图)
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2．对着斜面平抛(如图)
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
从空中某点分别以速度、、将三个相同的小球1、2、3沿垂直于竖直墙壁方向水平抛出，三小球分别经时间、、，下落、、高度后与墙壁碰撞，相碰时速度大小分别为、、，速度与竖直方向的夹角分别为60°、45°、30°，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
如图所示，某同学在同一位置先后水平抛出一物体，第一次落在甲点，第二次落在乙点，不计空气阻力，则（　　）
A．抛出时速度关系
B．抛出后加速度关系
C．抛出后位移关系
D．抛出后时间关系
小明在篮球场上练习定点投篮时站在篮筐正前方离篮板水平距离的位置上，将篮球（视为质点）从离地高度的手中以初速度（未知）斜向上抛出，正好垂直打在篮板上，此时篮球距离地面高度，如图所示。不计空气阻力，重力加速度。求：
(1)篮球从手中抛出到打在篮板位置所需的时间；
(2)篮球抛出时初速度的大小及与水平方向夹角的正切值。
如图所示，无人机在练习投弹，无人机甲、乙均沿水平方向飞行，且均在A点的正上方释放炸弹，两炸弹均落在斜面上的P点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．无人机甲释放的炸弹在空中运动的时间比无人机乙释放的炸弹在空中运动的时间长
B．无人机甲释放的炸弹在空中运动的时间比无人机乙释放的炸弹在空中运动的时间短
C．释放炸弹时，无人机甲的速度小于无人机乙的速度
D．释放炸弹时，无人机甲的速度大于无人机乙的速度
如图所示，某同学向一圆柱形杯中水平抛出一小物块（可视为质点），小物块恰好经过杯口中心无阻挡地落到杯底边沿P点。已知杯内高h，杯底直径为D，重力加速度为g，抛出点O与竖直杯壁（厚度不计）在同一竖直线上。忽略空气阻力，则小物块水平抛出时的速度大小为（　　）

A． B． C． D．
命题点三　平抛运动的临界问题
1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到临界的条件．
2．确立临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，还可以使一些隐藏于问题深处的条件暴露出来
某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸。圆心为O半径为R的圆弧槽BCD上开有小孔，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，已知，，，重力加速度为g，若游戏正好过关，则弹射器在轨道上的位置M（M点图中未画出）离B点的距离为（　　）
A． B． C． D．
如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（ ）
A． B． C． D．
在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为
C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为
如图，光滑的水平面左端为O，右端足够长，在O的左下方有一倾斜的传送带，传送带始终以10m/s的速度逆时针转动，物体与传送带间的动摩擦因数，物体的质量，传送带上、下两端相距5m，物体在O处在水平恒力的作用下由静止向右运动一段时间，后将反向，大小变为，经过相同的时间它刚好回到O，所做的功为4J，然后物块从O处向左水平抛出，恰好沿传送带方向进入传送带。下列说法正确的是（　　）

A．物块从O处以4m/s的水平速度做平抛运动
B．物块在传送带上运动的时间为
C．物块在传送带上留下痕迹的长度
D．整个过程中、所做的总功为12J
如图所示，一细木棍斜靠在地面与竖直墙壁之间，木棍与水平面之间的夹角为45°，A、B为木棍的两个端点，A点到地面的距离为1m。重力加速度取10m/s2，空气阻力不计。现一跳蚤从竖直墙上距地面0.55m的C点以水平速度v0跳出，要到达细木棍上，v0最小为（ ）
A．1m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s
消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则（　　）
A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等
B．乙水枪喷出的水初速度较大
C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长
D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大
2024年巴黎奥运会于8月12日闭幕，中国体育代表团共收获40金27银24铜，创造夏季奥运会境外参赛最佳战绩。铅球比赛中，某铅球运动员正在进行投球，铅球投出后在空中的某段运动轨迹如图所示，铅球在A点时的速度大小v0=3m/s，铅球在B点的速度v1恰好与v0方向垂直，且A、B两点的间距LAB=1.8m。若将铅球视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．铅球从A点运动到B点的时间为0.6s
B．铅球在B点的速度大小为
C．铅球上升的最大高度为
D．A、B两点的高度差为0.45m
2024年巴黎奥运会网球女子单打金牌赛中，中国选手郑钦文夺得金牌，创造了新的历史。某次在网前截击中，网球以3m/s的速度水平击出，落地时的速度大小是5m/s，忽略空气阻力，重力加速度的大小g=10m/s2，则网球落地点与击出点的水平距离x和网球击出点的高度h分别为（　　）
A．1.2m，0.8m B．1.2m，1.4m C．1.6m，0.8m D．1.6m，1.4m
一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最底端和顶端，洞口处于斜面上的P点，O点在A点的正上方，A、B、O、P四点在同一竖直面内。第一次小球以的水平速度从O点抛出，正好落入洞中的点，的连线正好与斜面垂直；第二次小球以另一水平速度也从O点抛出，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度大小取，下列说法正确的是（　　）
A．小球从点运动到P点的时间是
B．点在P点的下方
C．第二次小球水平抛出的速度小于
D．、A两点的高度差为
如图，某同学面向竖直墙上固定的靶盘水平投掷可视为质点的小球，不计空气阻力。小球打在靶盘上的得分区即可得到相应的分数。某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想获得更高的分数，在其他条件不变的情况下，下列调整方法可行的是（　　）
A．投掷时球的初速度适当大些
B．投掷时球的初速度适当小些
C．投掷时球的位置向前移动少许
D．投掷时球的位置向上移动少许
如图（a）所示，一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。打开花洒后，如图（b）所示，水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度大小相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　）

A． B．
C． D．
图为羽毛球运动员练习扣杀球时的场景，运动员从点将羽毛球以速度水平击出，羽毛球经点后，落在水平地面上点。羽毛球在点、点的速度方向与竖直方向的夹角分别为和，不计空气阻力，重力加速度大小为，则羽毛球从点运动到点的时间为（　　）
A． B．
C． D．
2025年1月7日，中国航天实现开门红，实践25号双机械臂的在轨服务卫星成功发射，标志我国在该领域技术水平居于世界前列。研发过程中，实验室测试机械臂抛投物体，把质量为m的小球从同一高度的A、B两点抛出，均能垂直击中竖直墙壁上的目标点P，轨迹如图。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．A点抛出的初速度的竖直分量更大 B．B点抛出的运动时间更长
C．两抛体击中P点时速度大小相等 D．A点抛出时机械臂对物体做功更多
如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为，在O点击中网球，球以的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小，，下列说法正确的是（　　）
A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为12m/s B．网球由O点运动到P点的时间为1.4s
C．O、P两点间的水平距离为16.6m D．O、P两点间的高度差为11.8m
如图所示，从固定在水平地面上的斜面顶端A点朝不同方向抛出两个初速度大小相同的小球（可视为质点），两小球恰能落在斜面上的同一点B，两小球运动的时间分别为t1、t2，若要使小球以最小的初速度从A点抛出并落到B点，不计空气阻力，则该小球运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
图甲是某人在湖边打水漂的图片，图乙是石块运动轨迹的示意图。石块从水面弹起到再次触水后即将弹起算一个水漂，假设石块始终在同一竖直面内运动，且每次从水面弹起时速度与水面的夹角均为，一个水漂的过程速率损失。若石块第1次弹起后的滞空时间为，不计空气阻力，，重力加速度，则石块第4次在水面弹起瞬间的速率是（　　）
A． B． C． D．
如图所示，以点为原点在竖直面内建立平面直角坐标系，在第一象限中建立一个斜面。现将一小球从点斜向上抛出，水平经过轴上的点（0，15m）后，垂直落在斜面上的点（图中未画出），重力加速度大小取，不计一切阻力。以下说法正确的是（ ）
A．小球从点抛出时的初速度大小为
B．小球从点抛出时的速度方向与水平方向的夹角为
C．小球经过点时的速度大小为
D．斜面上点坐标为（5m，5m）
如图所示，小齐同学借助安装在水平地面的篮球发球机练习原地竖直起跳接球。小齐站在水平地面上，伸直双臂举手时手掌距地面最大高度。发球机出球口距地面的高度为，篮球从出球口以与水平方向成的速度射向小齐。在篮球发出一段时间后，小齐起跳离地，跳至最高点伸直双臂恰能在头顶正上方接住到达最高点的篮球。篮球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取，，求：
(1)处于最高点的篮球距地面的高度H；
(2)从篮球发出到小齐起跳离地的时间。
打板投篮是一种很直接、命中率很高的投篮方式，因此是一种很常见的篮球技术动作训练。如图所示，一篮球以水平初速度碰撞竖直篮板后水平弹回，速率变为原来的倍（为一定值），弹回后篮球的中心恰好经过篮框的中心。已知篮球的半径为，篮框半径为，篮框中心距篮板的距离为，碰撞点与篮框中心的高度差为，不考虑篮球转动和空气阻力，重力加速度为。问：
(1)值为多少？
(2)碰撞点不变时，为保证篮球不与篮框碰撞的情况下进篮，碰撞篮板前瞬间速度的最大值为多少？
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