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第10讲　圆周运动
知识内容 说明
圆周运动、向心加速度、向心力 在高考中，圆周运动常与牛顿运动定律、机械能守恒定律等知识综合考查，题型多样，包括选择题、计算题等。要求考生能熟练运用圆周运动的规律，分析物体的受力情况和运动状态，解决实际问题，如计算向心力、向心加速度、线速度、角速度等物理量，以及判断物体在圆周运动中的临界状态等。
生活中的圆周运动
一、圆周运动、向心加速度、向心力
1．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等．
(2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．
2．描述匀速圆周运动的物理量
(1)线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．
v＝＝.单位：m/s.
(2)角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
ω＝＝.单位：rad/s.
(3)周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
T＝.
(4)转速：物体单位时间内所转过的圈数．符号为n，单位：r/s(或r/min)．
(5)相互关系：v＝ωr＝r＝2πrf＝2πnr.
3．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．
an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
三、生活中的圆周运动
1．火车转弯
特点：重力与支持力的合力提供向心力．(火车应按设计速度转弯，否则将挤压内轨或外轨)
2．竖直面内的圆周运动
(1)汽车过弧形桥
特点：重力和桥面支持力的合力提供向心力．
(2)水流星、绳模型、内轨道
最高点：当v≥时，能在竖直平面内做圆周运动；当v<时，不能到达最高点．
3．离心运动定义
做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，即离心运动．
4．受力特点
当F合＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
当F合＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F合当F合＞mω2r时，物体做近心运动．
命题点一　描述圆周运动的物理量间的关系
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；
当ω一定时，v与r成正比；
当v一定时，ω与r成反比．
2．对a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
如图所示，自行车在平直路面上匀速行驶，车轮与路面不打滑，轴心O点的速度大小为v。则轮边缘最高点P处的速度大小为（　　）
A．0 B．v C．2v D．3v
【答案】C
【详解】P点和O点都在绕着车轮与地面的接触点运动，由于这三点共线，则P点和O点角速度相等，又P点到车轮与地面的接触点的距离是O点的2倍，根据可知，P处的速度为O点速度的2倍，即P处的速度大小为。
故选C。
在半径为10m的圆形跑道上，在t=0时刻甲、乙两小朋友从同一起点出发，沿逆时针方向跑步。甲始终以2m/s的速率运动，乙先以4m/s的速率运动半圈后，立即以1m/s的速率继续运动。下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙首次相遇的时刻为5πs
B．甲、乙首次相遇时甲运动的路程为10πm
C．甲、乙第二次相遇的时刻为25πs
D．甲、乙第二次相遇时甲运动的总路程为55πm
【答案】D
【详解】第一次相遇：乙以4m/s跑完半圈（10πm）用时，此时甲跑了，落后乙5πm。乙减速后，甲以相对速度1m/s追上需时5πs，总时间
甲路程
第二次相遇：相遇后，甲需再超乙一圈（20πm），相对速度仍1m/s，需时20π秒，总时间
甲路程
故选 D。
网球训练中心使用的轮式发球机，侧视结构如图所示。两个半径均为25cm的橡胶轮，相反方向等速旋转，带动网球飞出。发球机喷嘴在地面附近，与水平面成37°角斜向上，sin37°＝0.6，cos37°=0.8g取10m/s2。若要求水平射程约为15m，应将橡胶轮角速度调为约（　　）
A．5 rad/s B．10 rad/s
C．50 rad/s D．100rad/s
【答案】C
【详解】设发球机射出网球速度大小为v，喷嘴在地面附近，网球离开喷嘴后做与水平面成37°角斜抛运动,在水平方向有
竖直方向，根据速度-时间公式有
速度为
联立解得
故选C。
如图所示，某走时准确的时钟，分针与时针由转动轴到针尖的长度之比是1.2：1，分针与时针的角速度大小分别为ω1、ω2，分针针尖与时针针尖的线速度大小分别为v1、v2。下列关系正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】分针与时针的转动周期之比为
由
可得
根据
可得
故选A。
图为汽车在水平路面上匀速行驶时车轮边缘上M点的运动轨迹（车轮不打滑）。已知时刻M点与坐标原点O重合，车轮半径，汽车的速度，则（　　）
A．M点运动到最高点A时的速度为零 B．M点在圆心等高点处的速度大小为
C．最高点A的坐标为（，） D．M点从O运动到B的时间为0.3s
【答案】B
【详解】A．M点运动到最高点A时的速度不为零，方向水平向右，故A错误；
B．M点的运动可看成匀速圆周运动与匀速直线运动的合成，则M点在圆心等高点处的速度大小为
故B正确；
C．M点的运动可看成匀速圆周运动与匀速直线运动的合成，则最高点A的纵坐标为
匀速圆周运动的周期为
O点运动至A点的时间为
最高点A的横坐标为
最高点A的坐标为（，），故C错误；
D．根据对称性，M点从O运动到B的时间为
故D错误。
故选B。
命题点二　水平面内的圆周运动
解决圆周运动问题的主要步骤：
1．审清题意，确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环；
2．分析物体的运动情况，轨道平面、圆心位置、半径大小以及物体的线速度是否变化；
3．分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源；
4．根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
某儿童乐园里有水平大转盘，其简化图如图所示。两个小朋友坐在转盘中，转盘绕竖直轴转动，当转盘从静止开始逐渐增大转速时，小朋友们能体会到被转盘甩出去的刺激过程。在小朋友随转盘一起转动的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小朋友受重力、支持力两个力作用
B．小朋友受重力、支持力、摩擦力三个力作用
C．小朋友受重力、支持力、向心力三个力作用
D．小朋友受重力、支持力、摩擦力、离心力四个力作用
【答案】B
【详解】转盘从静止开始逐渐增大转速的过程中，小朋友受到重力、支持力和摩擦力，其中摩擦力提供了向心力。
故选B。
如图，水平圆盘上沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体A和B，此时绳子恰好伸直但未有弹力。A的质量为5m，B的质量为m。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为，A、B与盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若转盘从静止开始缓慢加速转动，在AB滑动前轻绳未断，则（　　）
A．A的摩擦力先增大后减小，再增大
B．A的摩擦力一直增大
C．B的摩擦力先增大，后保持不变
D．B的摩擦力先增大后不变，再减小，再反向增大
【答案】D
【详解】刚开始角速度较小时，A、B两个物体由所受的静摩擦力提供向心力，因B物体离中心轴更远，故B物体所需要向心力更大，即B物体所受到的静摩擦力先达到最大值，此时则有
之后对A有
对B有
联立，消去可得
可知继续增大，直到A摩擦力达到最大值，此过程B摩擦力保持不变。根据两者摩擦力方向可知，此时并未达到最终结果，根据重心在点靠A侧可知，最后会向A侧滑出。故根据
可知要继续增大，则根据
对B应有
则继续增大，会减小到0后反向增大到最大值，此过程不变。综上有A的摩擦力先增大后不变；B的摩擦力先增大后不变再减小到0后反向增大。
故选D。
图甲为“雪地转转”游戏，游戏时细转轴带动中心轮盘转动，中心轮盘通过轻绳牵引带动橡胶圈在水平面内做圆周运动，游客在橡胶圈中乘坐体验游戏带来的快乐。游戏装置可简化为如图乙所示，橡胶圈和游客可视为质点，牵引某橡胶圈的轻绳为AO。若橡胶圈做圆周运动的过程中半径始终不变，则关于橡胶圈及游客整体下列说法正确的是（　　）

A．做匀速圆周运动时，受到沿轨迹切线方向的滑动摩擦力和指向圆心方向的静摩擦力
B．做匀速圆周运动时，轻绳AO的延长线与转轴相交
C．角速度逐渐增大时，所受合力方向与其速度方向的夹角为锐角
D．角速度逐渐增大时，细绳拉力方向与橡胶圈的速度方向相垂直
【答案】C
【详解】A．同一个接触面只能有一个摩擦力，因此仅有滑动摩擦力，故A错误；
B．绳子拉力的竖直分力与转轴平行，水平分力与摩擦力的合力提供向心力，因此绳子拉力的作用线与转轴无交点，故B错误；
C．当角速度增大时，橡胶圈的线速度增大，因此橡胶圈所受合力沿切线方向的分力提供切线方向的加速度，指向圆心方向的分力提供向心力，因此橡胶圈所受合力方向与其速度方向的夹角为锐角，故C正确；
D．当角速度增大时，细绳拉力在水平方向的分力与速度不垂直，所以细绳拉力与橡胶圈的速度方向不垂直，故D错误。
故选C。
如图所示为水平转台的俯视图，转台上放有两个小物块A、B，A物块的质量为m，B物块的质量为2m，两物块到圆心的距离满足rB=2rA，A、B间用沿直径方向的细线相连，A、B与转台之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当转台以不同的角速度ω匀速转动时，两物块均未滑动，A与转台间的摩擦力fA与ω2的关系图像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当转动的角速度很小的时候，细线上没有拉力，对于A物块有
对于B物块有
当B物块的摩擦力达到最大静摩擦时，细线上开始有拉力，此时有
则A的摩擦力大小为
此后绳子有拉力，对于A物块有
对于B物块有
联立以上的两个式子可知
可知后半段图像斜率较大。
故选D。
如图所示，质量相同的物块A、B叠放在一起，放在水平转台上随圆盘一起匀速运动，它们和圆盘保持相对静止，以下说法正确的是（　　）
A．ω变大，A一定先发生相对滑动
B．图中A对B摩擦力是指向圆心的
C．两物块所受的合力大小不相等
D．圆盘对B的摩擦力的大小是B对A的摩擦力的2倍
【答案】D
【详解】B．图中A做圆周运动向心力是B对其向左的摩擦力提供的，所以A对B摩擦力是向右的，故B错误；
C．两物块所受的合力提供向心力，而A、B向心力相同，故C错误；
D．物块A所受摩擦力为
物块B所受转台提供摩擦力和A对B的摩擦力合力提供向心力
与等大，所以
故D正确；
A．当物块B所受转台的最大静摩擦力小于A与B之间的最大静摩擦力的2倍时，ω变大，B一定先发生相对滑动，故A错误。
故选D。
命题点三　竖直面内的圆周运动问题
绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做圆周运动得v临＝0
讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN(FN≥0) (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
模型1　轻绳模型
模型2　轻杆模型
模型3　凹形桥与拱形桥模型
FN－mg＝ 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力Fn＝FN－mg＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
mg－FN＝ 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力Fn＝mg－FN＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
圆周运动是生活中常见的一种运动。如图1所示，一个小朋友坐在圆盘上随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动；如图2所示，将小球拴在细绳一端，用手握住绳的另一端，使小球以点为圆心在竖直面内做完整的圆周运动。已知小球的质量为，细绳的长度为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．图1小朋友所受摩擦力的方向沿轨迹的切线方向
B．图1中，当小朋友的位置离圆心较近时，小朋友容易相对圆盘滑动
C．图2小球可能在竖直面内做匀速圆周运动
D．图2小球在最低点和最高点时，细绳对小球的拉力大小之差恒定
【答案】D
【详解】A．图1小朋友做圆周运动，摩擦力提供向心力，因此所受摩擦力的方向指向圆心，A错误；
B．根据可知，当小朋友的位置离圆心较远时，小朋友相同转速下受的静摩擦较大，则容易相对圆盘滑动，B错误；
C．小球在竖直面内做圆周运动时，由于重力做功，则速度大小不断变化，则不可能做匀速圆周运动，C错误；
D．小球在最低点和最高点时，速度关系满足
最高点时细绳的拉力满足
最低点时细绳的拉力满足
可得细绳对小球的拉力大小之差
即小球在最低点和最高点时，细绳对小球的拉力大小之差恒为6mg，D正确。
故选D。
如图所示，半径为的半圆弧轨道竖直固定在水平面上，竖直半径与倾斜半径、的夹角为，且，现让可视为质点的小球从点由静止释放，当小球运动到点时正好脱离轨道，小球此时速度的大小为（为未知量）；再把小球拿到点，并使小球在点获得大小为（为未知量）、方向与垂直斜向上的初速度，小球从点运动到点，运动轨迹的最高点为点，重力加速度为，不计一切摩擦，不计空气作用。下列说法正确的是（　　）
A．小球在点的向心加速度为
B．小球在点的速度为
C．小球从到的运动时间为
D．、两点的距离为
【答案】D
【详解】AB．把小球在D点的重力分别沿着OD方向与垂直OD方向正交分解，D点对小球的支持力恰好为0，则重力沿着OD方向的分力充当向心力，则有
由向心加速度公式可得结合
综合可得，
故AB错误；
C．由数学知识可得
小球从E点到D点做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度大小为
竖直方向做初速度为的竖直上抛运动，则有，
综合解得，
故C错误；
D．斜抛运动的最大高度为
由几何关系可得G、B两点的高度差为
综合可得
故D正确。
故选D。
如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管（管道内径极小），一质量为m的小球放置于管内顶端A点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B点与管道的圆心O等高，C点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是（　　）
A．小球不可能回到A点
B．小球对细管的作用力不可能为零
C．从A点运动到C点，小球对细管的作用力一直增大
D．从A点运动到B点，小球对细管的作用力先减小后增大
【答案】D
【详解】A．因不计摩擦阻力，则小球无机械能损失，到达A点时速度为零，小球可回到A点，选项A错误；
B．小球下滑在AB段时，若满足
（θ为该位置与圆心连线与竖直方向的夹角）时对细管的作用力为零，选项B错误；
CD．由上述分析，小球从A点运动到C点，在AB之间存在一个压力为零的位置，可知从A点运动到C点小球对细管的作用力先减小后增大，选项C错误，D正确。
故选D。
一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示．现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　）

A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
C．v1大小一定大于v2大小，图乙中S1和S2的面积一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，图乙中S1和S2的面积可能不等
【答案】A
【详解】AB．小球在竖直平面内做圆周运动，最高点和最低点的速度方向都水平且相反，，根据圆周运动的方向可知，在最高点速度方向为正，在最低点速度方向为负，另外，最高点和最低点合外力都指向圆心，水平方向合外力为零，因此反应在图乙中的速度—时间图像中，最高点和最低点所对应的图像在该位置的斜率为零，即水平方向加速度为零，而根据圆周运动的对称性可知，最低点和最高点两侧物体在水平方向的速度应具有对称性，因此，根据图乙可知，t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点，故A正确，B错误；
CD．竖直面内的圆周运动，在最高点时速度最小，最低点时速度最大，因此
而对小球的运动过程进行分析可知，S1表示小球从最低点到圆周的最左边的水平位移大小，S2表示小球从圆周最左边到最高点的水平位移的大小，显然S1和S2的面积相等，故CD错误。
故选A。
如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从点脱离后做平抛运动，经过后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为，小球可看做质点且其质量为，取。则（　　）
A．小球在斜面上的相碰点与点的水平距离是
B．小球在斜面上的相碰点与点的水平距离是
C．小球经过管道的点时，受到上管道的作用力的大小是
D．小球经过管道的点时，受到下管道的作用力的大小是
【答案】A
【详解】AB．小球从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰，则在C点的竖直分速度为
因小球恰好垂直撞在斜面上，则平抛运动水平初速度为
小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为
故A正确，B错误；
CD．设小球经过B点时，受到上管道竖直向下的作用力，根据牛顿第二定律可得
联立方程，解得
负号说明小球在B点受到下管道的作用力的大小是1N，方向竖直向上，故CD错误。
故选A。
2025年4月25日0时分，载满小商品货柜的第2112列“义新欧”班列跨越13052公里抵达了西班牙的首都马德里。关于这趟班列同学们的说法正确的是（　　）
A．13052公里是指列车完成的位移大小
B．运用质点代替列车研究列车运动的方法叫建立理想化模型法
C．当非常小时，代表列车的瞬时加速度，这里运用了微元法
D．列车过弯道时超速将会加剧对弯道内轨的磨损
【答案】B
【详解】A．3052公里是指列车完成的路程，故A错误；
B．运用质点代替列车研究列车运动的方法叫建立理想化模型法，故B正确；
C．当非常小时，代表列车的瞬时加速度，这里运用了极限法，故C错误；
D．列车过弯道时超速，列车有离心运动趋势，将会加剧对弯道外轨的磨损，故D错误。
故选B。
如图所示，在2025年春节文艺晚会的机器人表演中，机器人转动手帕使其在竖直面内做匀速圆周运动，机器人手帕的持续转速达到每分钟1200转，远超人类极限的每分钟800转。已知手帕边缘P点的转动半径为。则下列说法正确的是（　　）
A．手帕转动的角速度 B．手帕转动的角速度
C．P点转动的向心加速度 D．P点转动的向心加速度
【答案】C
【详解】AB．由题意可知，机器人手帕的持续转速达到每分钟1200转，则每秒钟转20转，则角速度
故AB错误;
CD．P点转动的向心加速度
故C正确，D错误。
故选C。
如图所示，当汽车行驶在这些路面上，在其他条件相同的情况下，则（ ）
A．在图乙路面最高点，汽车对路面的压力大于汽车的重力
B．在图丙路面最低点，汽车对路面的压力小于汽车的重力
C．关于路面对汽车轮胎的磨损，图丙路面最大，图乙路面最小
D．关于路面对汽车轮胎的磨损，三种路面一样大
【答案】C
【详解】A．在图乙路面最高点，汽车做圆周运动，合力提供向心力，向心力方向竖直向下，则重力大于地面给的支持力，根据牛顿第三定律可知，汽车的重力大于汽车对路面的压力，故A错误；
B．在图丙路面最高点，汽车做圆周运动，合力提供向心力，向心力方向竖直向上，则重力小于地面给的支持力，根据牛顿第三定律可知，汽车的重力小于汽车对路面的压力，故B错误；
CD．图甲汽车做匀速直线运动，可知汽车对路面的压力等于汽车的重力，综合以上可知
可知图丙汽车对路面压力最大，轮胎磨损最大，汽车对图乙路面压力最小，轮胎磨损最小，故C正确，D错误。
故选C。
如图甲所示，一滑雪场的高阶滑道由高的直滑道和与之在B点相切的圆弧轨道组合而成，圆弧轨道半径为R。运动员从斜面顶端A点静止下滑，无能量损失地进入圆弧轨道，最终从C点飞出。在圆弧轨道上，运动员与圆心O的连线与竖直线夹角为，记录运动员受到的轨道弹力N与，在图乙所示的坐标系中得到一条直线段。已知B、C在同一水平面，运动员（含装备）重力为，不计一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A．运动员在圆弧轨道运动时，处于失重状态
B．图乙中
C．运动员在圆弧轨道最低点的速率为
D．从C点飞出后，能上升的最大高度为
【答案】B
【详解】A．运动员在圆弧轨道运动时，向心加速度的竖直分量向上，运动员处于超重状态，故A错误；
BC．A到B过程由动能定理得
B点时由牛顿第二定律得
由图像知时
圆轨道最低点时由牛顿第二定律得
由图像知
故得，故B正确，C错误；
D．运动员从C点斜抛出达到最高点时，水平速度不为0，由机械能守恒知其高度小于，故D错误；
故选B。
用一根橡皮筋吊着小球做圆锥摆运动，已知在弹性限度内，橡皮筋的弹力与形变量成正比，橡皮筋始终在弹性限度内的情况下，小球做圆锥摆运动的角速度跟橡皮筋与竖直方向的夹角的关系图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设橡皮筋原长为，小球的质量为m，当橡皮筋与竖直方向的夹角为时，橡皮筋的弹力
橡皮筋的长度为
设做圆周运动的角速度为，则
解得
故选D。
如图是大型游乐装置“大摆锤”的简化图，摆锤和配重锤分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴在纸面内转动。若段与段的距离之比为3∶2，下列说法正确的是（　　）
A．的线速度大小之比为
B．的角速度大小之比为
C．的向心加速度大小之比为
D．的向心加速度大小之比为
【答案】A
【详解】AB．根据题意可知做同轴转动，角速度相等，即角速度之比为，根据可知的线速度大小之比为，故A正确，B错误；
CD．根据可知的向心加速度大小之比为，故CD错误。
故选A。
如图所示，甲、乙两同学握住绳子A、B两端摇动（A、B近似不动），绳子绕AB连线在空中转到图示位置时，则有关绳上P、Q两质点运动情况，说法正确的是（　　）
A．P的线速度小于Q的线速度
B．P的线速度大于Q的线速度
C．P的向心加速度等于Q的向心加速度
D．P的向心加速度大于Q的向心加速度
【答案】A
【详解】AB．绳子上的各点同轴转动，角速度相等，由图示可知
由
可知
故A正确；B错误；
CD．角速度相等，由图示可知
由
可知
故CD错误。
故选A。
某实验小组用如图甲所示的向心力演示器探究向心力大小与半径的关系，将两个质量相等的钢球分别放在B和C位置，下列说法正确的是（　　）
A．实验中应用了等效替代法
B．变速塔轮应按图乙中第一层方式连接
C．变速塔轮应按图乙中第二层方式连接
D．变速塔轮应按图乙中第三层方式连接
【答案】B
【详解】A．本实验采用了控制变量法，故A错误；
BCD．由题知，将两个质量相等的钢球分别放在B和C位置，是在探究向心力大小与半径的关系，需控制小球质量、角速度相同，运动半径不同，应将传动皮带调至第一层塔轮，则塔轮的线速度大小相同和塔轮的半径相同，所以小球运动的角速度相同，故B正确，CD错误。
故选B。
如图，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转轴与过陶罐球心O的对称轴重合，一质量为m的小物块放入陶罐内，随着陶罐一起以角速度ω匀速旋转。已知小物块和O点的连线与之间的夹角θ为60°，小物块与罐壁间的动摩擦因素，重力加速度大小为g。若 则小物块所受的摩擦力的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当物块与罐壁恰好没有摩擦力时，重力与支持力提供向心力，由
得
当ω=时，所需向心力更大，则摩擦力沿罐壁向下，与水平方向成60°角，则，
得。
故选B。
如图，一个质量为的小球，在左侧平台上运行一段距离后从边缘点以的速度水平飞出，恰能沿圆弧切线从点进入固定在地面上的竖直的圆弧管道，并继续滑行。已知圆弧管道口内径远小于圆弧半径与竖直方向的夹角是，平台到地面的高度差为。取，，。求：
(1)小球从点运动到点所需的时间；
(2)P点距地面的高度和圆弧半径；
(3)若通过最高点点时小球对管上壁的压力大小，求小球经过点时的速度大小。
【答案】(1)
(2)；
(3)
【详解】（1）对P点的速度矢量分解可得
解得
（2）竖直方向小球做自由落体运动，由
由几何关系，P点高度有
几何关系
代入数据得
（3）通过最高点点时小球对管上壁的压力大小，由牛顿第三定律得，在最高点点时管上壁对小球的作用力大小为，则在点由牛顿第二定律可得
代入数据得
如图1所示，一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小的速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。小球（可视为质点）质量为，细线长度为，重力加速度为。
(1)在紧贴着小球运动的水平面上加一光滑平板，使小球在板上做匀速圆周运动，此时细线与竖直方向所成夹角为，如图2所示，当小球的角速度大于某一值时，小球将脱离平板，求的大小；
(2)撤去光滑平板，再用一根细线，同样一端系在该小球上，另一端固定在细杆上的点，且当两条细线均伸直时，如图3所示，各部分长度之比，则当小球以匀速转动时，两细线对小球的拉力分别多大。
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）当平板对小球支持力为零时，小球恰好脱离平板，此时重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
（2）当细线恰好伸直时，由几何关系得，与竖直方向所成夹角为37°，同理可得，此时小球的角速度为
则时细线末伸直，即
设此时细线AC与竖直方向的夹角为，由上得
解得
根据平衡条件得
某电视台综艺节目中的场地设施如图所示，为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为，角速度为，铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为，悬挂器下端与转盘平面的高度差为。选手抓住悬挂器，可以在电动机带动下，从点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动。选手必须作好判断，在合适的位置脱离悬挂器，才能顺利落在转盘上。设人的质量为（不计身高大小），人与转盘间的最大静摩擦力为，重力加速度为。求：
(1)若已知，，，，且选手从某处点脱离悬挂器能恰好落到转盘的圆心上，则选手从平台出发多长时间脱离悬挂器？
(2)若，，假设选手恰好落到转盘边缘且相对转盘速度立即变为零，为保证选手不会被甩下转盘，则转盘的角速度应限制在什么范围？
【答案】(1)2s
(2)
【详解】（1）设水平加速段位移为x1，时间为t1；平抛时水平位移为x2，时间为t2，则加速时有，
平抛运动阶段有，
全程水平方向有
解得t1=2s
（2）设人落在转盘边缘也不至被甩下，最大静摩擦力提供向心力，则有
即转盘转动角速度应满足
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第10讲　圆周运动
知识内容 说明
圆周运动、向心加速度、向心力 在高考中，圆周运动常与牛顿运动定律、机械能守恒定律等知识综合考查，题型多样，包括选择题、计算题等。要求考生能熟练运用圆周运动的规律，分析物体的受力情况和运动状态，解决实际问题，如计算向心力、向心加速度、线速度、角速度等物理量，以及判断物体在圆周运动中的临界状态等。
生活中的圆周运动
一、圆周运动、向心加速度、向心力
1．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等．
(2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．
2．描述匀速圆周运动的物理量
(1)线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．
v＝＝.单位：m/s.
(2)角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
ω＝＝.单位：rad/s.
(3)周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
T＝.
(4)转速：物体单位时间内所转过的圈数．符号为n，单位：r/s(或r/min)．
(5)相互关系：v＝ωr＝r＝2πrf＝2πnr.
3．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．
an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
三、生活中的圆周运动
1．火车转弯
特点：重力与支持力的合力提供向心力．(火车应按设计速度转弯，否则将挤压内轨或外轨)
2．竖直面内的圆周运动
(1)汽车过弧形桥
特点：重力和桥面支持力的合力提供向心力．
(2)水流星、绳模型、内轨道
最高点：当v≥时，能在竖直平面内做圆周运动；当v<时，不能到达最高点．
3．离心运动定义
做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，即离心运动．
4．受力特点
当F合＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
当F合＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F合当F合＞mω2r时，物体做近心运动．
命题点一　描述圆周运动的物理量间的关系
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；
当ω一定时，v与r成正比；
当v一定时，ω与r成反比．
2．对a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
如图所示，自行车在平直路面上匀速行驶，车轮与路面不打滑，轴心O点的速度大小为v。则轮边缘最高点P处的速度大小为（　　）
A．0 B．v C．2v D．3v
在半径为10m的圆形跑道上，在t=0时刻甲、乙两小朋友从同一起点出发，沿逆时针方向跑步。甲始终以2m/s的速率运动，乙先以4m/s的速率运动半圈后，立即以1m/s的速率继续运动。下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙首次相遇的时刻为5πs
B．甲、乙首次相遇时甲运动的路程为10πm
C．甲、乙第二次相遇的时刻为25πs
D．甲、乙第二次相遇时甲运动的总路程为55πm
网球训练中心使用的轮式发球机，侧视结构如图所示。两个半径均为25cm的橡胶轮，相反方向等速旋转，带动网球飞出。发球机喷嘴在地面附近，与水平面成37°角斜向上，sin37°＝0.6，cos37°=0.8g取10m/s2。若要求水平射程约为15m，应将橡胶轮角速度调为约（　　）
A．5 rad/s B．10 rad/s
C．50 rad/s D．100rad/s
如图所示，某走时准确的时钟，分针与时针由转动轴到针尖的长度之比是1.2：1，分针与时针的角速度大小分别为ω1、ω2，分针针尖与时针针尖的线速度大小分别为v1、v2。下列关系正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
图为汽车在水平路面上匀速行驶时车轮边缘上M点的运动轨迹（车轮不打滑）。已知时刻M点与坐标原点O重合，车轮半径，汽车的速度，则（　　）
A．M点运动到最高点A时的速度为零 B．M点在圆心等高点处的速度大小为
C．最高点A的坐标为（，） D．M点从O运动到B的时间为0.3s
命题点二　水平面内的圆周运动
解决圆周运动问题的主要步骤：
1．审清题意，确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环；
2．分析物体的运动情况，轨道平面、圆心位置、半径大小以及物体的线速度是否变化；
3．分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源；
4．根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
某儿童乐园里有水平大转盘，其简化图如图所示。两个小朋友坐在转盘中，转盘绕竖直轴转动，当转盘从静止开始逐渐增大转速时，小朋友们能体会到被转盘甩出去的刺激过程。在小朋友随转盘一起转动的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小朋友受重力、支持力两个力作用
B．小朋友受重力、支持力、摩擦力三个力作用
C．小朋友受重力、支持力、向心力三个力作用
D．小朋友受重力、支持力、摩擦力、离心力四个力作用
如图，水平圆盘上沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体A和B，此时绳子恰好伸直但未有弹力。A的质量为5m，B的质量为m。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为，A、B与盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若转盘从静止开始缓慢加速转动，在AB滑动前轻绳未断，则（　　）
A．A的摩擦力先增大后减小，再增大
B．A的摩擦力一直增大
C．B的摩擦力先增大，后保持不变
D．B的摩擦力先增大后不变，再减小，再反向增大
图甲为“雪地转转”游戏，游戏时细转轴带动中心轮盘转动，中心轮盘通过轻绳牵引带动橡胶圈在水平面内做圆周运动，游客在橡胶圈中乘坐体验游戏带来的快乐。游戏装置可简化为如图乙所示，橡胶圈和游客可视为质点，牵引某橡胶圈的轻绳为AO。若橡胶圈做圆周运动的过程中半径始终不变，则关于橡胶圈及游客整体下列说法正确的是（　　）

A．做匀速圆周运动时，受到沿轨迹切线方向的滑动摩擦力和指向圆心方向的静摩擦力
B．做匀速圆周运动时，轻绳AO的延长线与转轴相交
C．角速度逐渐增大时，所受合力方向与其速度方向的夹角为锐角
D．角速度逐渐增大时，细绳拉力方向与橡胶圈的速度方向相垂直
如图所示为水平转台的俯视图，转台上放有两个小物块A、B，A物块的质量为m，B物块的质量为2m，两物块到圆心的距离满足rB=2rA，A、B间用沿直径方向的细线相连，A、B与转台之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当转台以不同的角速度ω匀速转动时，两物块均未滑动，A与转台间的摩擦力fA与ω2的关系图像是（　　）
A． B．
C． D．
如图所示，质量相同的物块A、B叠放在一起，放在水平转台上随圆盘一起匀速运动，它们和圆盘保持相对静止，以下说法正确的是（　　）
A．ω变大，A一定先发生相对滑动
B．图中A对B摩擦力是指向圆心的
C．两物块所受的合力大小不相等
D．圆盘对B的摩擦力的大小是B对A的摩擦力的2倍
命题点三　竖直面内的圆周运动问题
绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做圆周运动得v临＝0
讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN(FN≥0) (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
模型1　轻绳模型
模型2　轻杆模型
模型3　凹形桥与拱形桥模型
FN－mg＝ 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力Fn＝FN－mg＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
mg－FN＝ 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力Fn＝mg－FN＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
圆周运动是生活中常见的一种运动。如图1所示，一个小朋友坐在圆盘上随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动；如图2所示，将小球拴在细绳一端，用手握住绳的另一端，使小球以点为圆心在竖直面内做完整的圆周运动。已知小球的质量为，细绳的长度为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．图1小朋友所受摩擦力的方向沿轨迹的切线方向
B．图1中，当小朋友的位置离圆心较近时，小朋友容易相对圆盘滑动
C．图2小球可能在竖直面内做匀速圆周运动
D．图2小球在最低点和最高点时，细绳对小球的拉力大小之差恒定
如图所示，半径为的半圆弧轨道竖直固定在水平面上，竖直半径与倾斜半径、的夹角为，且，现让可视为质点的小球从点由静止释放，当小球运动到点时正好脱离轨道，小球此时速度的大小为（为未知量）；再把小球拿到点，并使小球在点获得大小为（为未知量）、方向与垂直斜向上的初速度，小球从点运动到点，运动轨迹的最高点为点，重力加速度为，不计一切摩擦，不计空气作用。下列说法正确的是（　　）
A．小球在点的向心加速度为
B．小球在点的速度为
C．小球从到的运动时间为
D．、两点的距离为
如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管（管道内径极小），一质量为m的小球放置于管内顶端A点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B点与管道的圆心O等高，C点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是（　　）
A．小球不可能回到A点
B．小球对细管的作用力不可能为零
C．从A点运动到C点，小球对细管的作用力一直增大
D．从A点运动到B点，小球对细管的作用力先减小后增大
一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示．现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　）

A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
C．v1大小一定大于v2大小，图乙中S1和S2的面积一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，图乙中S1和S2的面积可能不等
如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从点脱离后做平抛运动，经过后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为，小球可看做质点且其质量为，取。则（　　）
A．小球在斜面上的相碰点与点的水平距离是
B．小球在斜面上的相碰点与点的水平距离是
C．小球经过管道的点时，受到上管道的作用力的大小是
D．小球经过管道的点时，受到下管道的作用力的大小是
2025年4月25日0时分，载满小商品货柜的第2112列“义新欧”班列跨越13052公里抵达了西班牙的首都马德里。关于这趟班列同学们的说法正确的是（　　）
A．13052公里是指列车完成的位移大小
B．运用质点代替列车研究列车运动的方法叫建立理想化模型法
C．当非常小时，代表列车的瞬时加速度，这里运用了微元法
D．列车过弯道时超速将会加剧对弯道内轨的磨损
如图所示，在2025年春节文艺晚会的机器人表演中，机器人转动手帕使其在竖直面内做匀速圆周运动，机器人手帕的持续转速达到每分钟1200转，远超人类极限的每分钟800转。已知手帕边缘P点的转动半径为。则下列说法正确的是（　　）
A．手帕转动的角速度 B．手帕转动的角速度
C．P点转动的向心加速度 D．P点转动的向心加速度
如图所示，当汽车行驶在这些路面上，在其他条件相同的情况下，则（ ）
A．在图乙路面最高点，汽车对路面的压力大于汽车的重力
B．在图丙路面最低点，汽车对路面的压力小于汽车的重力
C．关于路面对汽车轮胎的磨损，图丙路面最大，图乙路面最小
D．关于路面对汽车轮胎的磨损，三种路面一样大
如图甲所示，一滑雪场的高阶滑道由高的直滑道和与之在B点相切的圆弧轨道组合而成，圆弧轨道半径为R。运动员从斜面顶端A点静止下滑，无能量损失地进入圆弧轨道，最终从C点飞出。在圆弧轨道上，运动员与圆心O的连线与竖直线夹角为，记录运动员受到的轨道弹力N与，在图乙所示的坐标系中得到一条直线段。已知B、C在同一水平面，运动员（含装备）重力为，不计一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A．运动员在圆弧轨道运动时，处于失重状态
B．图乙中
C．运动员在圆弧轨道最低点的速率为
D．从C点飞出后，能上升的最大高度为
用一根橡皮筋吊着小球做圆锥摆运动，已知在弹性限度内，橡皮筋的弹力与形变量成正比，橡皮筋始终在弹性限度内的情况下，小球做圆锥摆运动的角速度跟橡皮筋与竖直方向的夹角的关系图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
如图是大型游乐装置“大摆锤”的简化图，摆锤和配重锤分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴在纸面内转动。若段与段的距离之比为3∶2，下列说法正确的是（　　）
A．的线速度大小之比为
B．的角速度大小之比为
C．的向心加速度大小之比为
D．的向心加速度大小之比为
如图所示，甲、乙两同学握住绳子A、B两端摇动（A、B近似不动），绳子绕AB连线在空中转到图示位置时，则有关绳上P、Q两质点运动情况，说法正确的是（　　）
A．P的线速度小于Q的线速度
B．P的线速度大于Q的线速度
C．P的向心加速度等于Q的向心加速度
D．P的向心加速度大于Q的向心加速度
某实验小组用如图甲所示的向心力演示器探究向心力大小与半径的关系，将两个质量相等的钢球分别放在B和C位置，下列说法正确的是（　　）
A．实验中应用了等效替代法
B．变速塔轮应按图乙中第一层方式连接
C．变速塔轮应按图乙中第二层方式连接
D．变速塔轮应按图乙中第三层方式连接
如图，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转轴与过陶罐球心O的对称轴重合，一质量为m的小物块放入陶罐内，随着陶罐一起以角速度ω匀速旋转。已知小物块和O点的连线与之间的夹角θ为60°，小物块与罐壁间的动摩擦因素，重力加速度大小为g。若 则小物块所受的摩擦力的大小为（　　）
A． B． C． D．
如图，一个质量为的小球，在左侧平台上运行一段距离后从边缘点以的速度水平飞出，恰能沿圆弧切线从点进入固定在地面上的竖直的圆弧管道，并继续滑行。已知圆弧管道口内径远小于圆弧半径与竖直方向的夹角是，平台到地面的高度差为。取，，。求：
(1)小球从点运动到点所需的时间；
(2)P点距地面的高度和圆弧半径；
(3)若通过最高点点时小球对管上壁的压力大小，求小球经过点时的速度大小。
如图1所示，一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小的速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。小球（可视为质点）质量为，细线长度为，重力加速度为。
(1)在紧贴着小球运动的水平面上加一光滑平板，使小球在板上做匀速圆周运动，此时细线与竖直方向所成夹角为，如图2所示，当小球的角速度大于某一值时，小球将脱离平板，求的大小；
(2)撤去光滑平板，再用一根细线，同样一端系在该小球上，另一端固定在细杆上的点，且当两条细线均伸直时，如图3所示，各部分长度之比，则当小球以匀速转动时，两细线对小球的拉力分别多大。
某电视台综艺节目中的场地设施如图所示，为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为，角速度为，铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为，悬挂器下端与转盘平面的高度差为。选手抓住悬挂器，可以在电动机带动下，从点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动。选手必须作好判断，在合适的位置脱离悬挂器，才能顺利落在转盘上。设人的质量为（不计身高大小），人与转盘间的最大静摩擦力为，重力加速度为。求：
(1)若已知，，，，且选手从某处点脱离悬挂器能恰好落到转盘的圆心上，则选手从平台出发多长时间脱离悬挂器？
(2)若，，假设选手恰好落到转盘边缘且相对转盘速度立即变为零，为保证选手不会被甩下转盘，则转盘的角速度应限制在什么范围？
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